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Seminar: Darstellungstheorie endlicher Gruppen
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| Veranstalter: |
Dorothea Bahns
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| Beginn: |
April 2012
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(vorläufig) Dienstag 12:30-14 Uhr und falls nötig Dienstag 10:15-11:45, HS6, Mathematisches Institut
Einführung und Vorbesprechung: 17. April, 12:30-14:00 HS6.
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Themen:
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Darstellungstheorie von Gruppen spielt in vielen Bereichen der
Mathematik eine Rolle und besitzt interessante Anwendungen auch in
anderen Naturwissenschaften. Wir werden in diesem Seminar die
Darstellungstheorie endlicher Gruppen studieren.
Sei G eine endliche Gruppe, also zum Beispiel die Symmetriegruppe eines Kristalls. Eine Darstellung von G auf einem
endlich-dimensionalen ℂ-Vektorraum V ist ein
Gruppenhomomorphismus G → GL(V) (die Gruppe der linearen invertierbaren Abbildungen von V nach V). Ist die Darstellung
injektiv (treu), so kann man die Gruppe G mit einer endlichen
Untergruppe der GL(V) identifizieren, d.h. nach Wahl einer Basis von
V ist G als eine endliche Gruppe von Matrizen mit komplexen Einträgen realisiert.
Nach einigen Einführungsvorträgen zu Darstellungen,
Reduzibilität/Irreduzibilität und
Charaktertheorie werden
wir auch anspruchsvollere Themen wie induzierte Darstellungen besprechen. An Anwendungen interessierte Studierende können
Vorträge über Molekülschwingungen oder Kristallgruppen halten. Bei
entsprechend großem Interesse können die Vorträge 2, 6 und 7 auch
noch in je zwei Vorträge aufgeteilt werden.
1. Grundlegende Definitionen, Beispiele ([1], 1.1-6)
2. Charaktere 1 ([1], 2.1-2.4), Beispiele ([1], 5)
3. Charaktere 2 ([1], 2.5-2.7), Beispiele ([1], 5)
4. Induzierte Darstellungen 1 ([1] 3.1-3.3), Beispiele ([1], 5)
5. Die Gruppenalgebra ([1], 6)
6. Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe ([2] oder [4])
7. Induzierte Darstellungen 2 ([1], 7 und 8)
8. und 9. Anwendungen: Molekülschwingungen, Kristallgruppen... ([2], [3])
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Vorkenntnisse: |
Lineare Algebra. Elementare Algebra-Kenntnisse (Algebra I) sind von Vorteil, aber nicht notwendig. Die Veranstaltung richtet sich speziell an Studierende des Lehramts.
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Literatur: |
[1] J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer
Graduate Texts in Mathematics, 1977.
[2] G. James, M. Liebeck, Representations and characters of groups,
Cambridge University Press, 2001.
Außerdem:
[3] S. Sternberg, Group Theory and Physics, Cambridge University Press, 1995
[4] W. Fulton, J. Harris, Representation theory: A First Course,
Springer, 1991
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Weitere Info:
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Bitte melden Sie sich bei Interesse per Email an bahnsDIESLOESCHEN@uni-math.gwdg.de
möglichst bald bei mir (mit Angabe einer Wunschliste von ein bis
drei Vorträgen), und sagen Sie mir bitte auch, ob Ihnen der Termin/die Termine
passen. Das Seminar kann (wegen Mutterschutzfristen) nur bis zum 12.6. stattfinden; um die Zahl der möglichen Vorträge nicht zu sehr zu begrenzen, ist daher noch der zusätzliche Termin 10:15-11:45 angesetzt. Die endgültige Termin-Festsetzung findet am 17.4. statt. Bei
entsprechendem Interesse könnte ich das Seminar auch als Blockseminar z.B. an 2 Samstagen während der Vorlesungszeit anbieten.
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