Vorlesung Algebraische Topologie II

• Interessentenkreis: Studierende der Mathematik ab 5. Semester
• Dozent: Thomas Schick
• Thema: Algebraische Topologie II
• Gebiet: Topologie und Geometrie
• Vorkenntnisse: Diff I/II, Mannigfaltigkeiten, AGLA I/II, Algebraische Topologie I (oder entsprechende Kenntnisse in Homotopietheorie und Homologie)
• Termin: Mo, Do, 10:15-11:55
• Übung: N.V.
• Ort: Sitzungszimmer
• Kontakt/Fragen: schick@math.uni-goettingen.de, Tel. 39-7766
• Kriterien: 120 Minütige Klausur (für Bachelor/Master) Ende September

Die Vorlesung "Algebraische Topologie II" ist eine Fortsetzung der Vorlesung "Algebraische Topologie I".

Wie die Vorlesung "Algebraische Topologie I" planen wir, auch die Vorlesung "Algebraische Topologie II" zweigeteilt zu unterrichten:

• Prof tom Dieck wird 2-stuendig sich mit Differenzialtopologie beschaeftigen. Hier geht es um die Struktur und Eigenschaften glatter Mannigfaltigkeiten. Es handelt sich hier um die wichtigste Klasse von topologischen Raeumen fuer die algebraische Topologie (man kann sie sogar benutzen, um eine Homologietheorie fuer beliebige Raeume zu konstruieren, die sogenannte Bordismustheorie; ein Ausblick dorthin ist eines der Ziele der Vorlesung). Grundlegender sind aber Eigenschaften wie Transversalitaet von Untermannigfaltigkeiten, kanonische Umgebungen von Untermannigfaltigkeiten (Tubenumgebungen, Kraegen), Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten... Dieser Teil der Vorlesung kann auch eigenstaendig als 2-stuendiges Modul belegt werden.
• Thomas Schick wird die algebraischen Topologie mit Homologie- und Kohomologietheorie fortsetzen. Es wird zunaecht Kohomologie eingefuehrt; hier gibt es eine besondere Zusatzstruktur, naemlich ein Produkt. Dieses wird genau untersucht - insbesondere auch im Hinblick auf Mannigfaltigkeiten. Es stellt sich heraus, dass Mannigfaltigkeiten besondere homologische Eigenschaften haben (Poincare Dualitaet). Im weiteren Verlauf soll auch ein Ausblick in de Rham Kohomologie (welche Analysis benutzt) gegeben werden, und wie sich mit der ueblichen Homologie (z.B. singulaerer Homologie) in Beziehung steht. Weitere Ausblicke sind weitere Berechnungsmethoden fuer (Ko)homologie wie der Satz von Leray-Hirsch oder Spektralsequenzen.

Sollten die Hoerer ein grosses Zeitbudget aufweisen, kann die algebraische Topologie II auch komplett 4-stuendig im wesentlichen mit (Ko)homologie-theorie ausgefuellt werden; der Stoff, den Prof tom Dieck anbietet, ist aber so wichtig, dass diese Veranstaltung dann unbedingt zusaetzlich belegt werden sollte. Hierzu gibt es eine Umfrage in Stud.ip (mit weiteren, ggf aktuelleren, Information). Upon request, this course can be taught in English.