Im Seminar wollen wir uns insbesondere mit K-Homologie (analytisch für
C*-Algebren definiert) und deren Anwendungen, insbesondere in der
Index-Theorie und in der Differentialgeometrie, beschäftigen.
Ausgangspunkt ist: zu einer C*-Algebra A (man sollte sich eine Algebra
beschränkter Operatoren auf einen Hilbertraum vorstellen) sollen
Homologiegruppen funktoriell definiert werden. Die Zykeln sollen
verallgemeinerte Indexprobleme beschreiben. Insbesondere sollen (auch im
Zusammenspiel mit K-Theorie) höhere Indextheoreme in diesem Kontext
formuliert und bewiesen werden. Dazu werden auch eine Reihe guter abstrakter
Eigenschaften dieser K-Homologiegruppen benötigt.
Eine solche Konstruktion (in noch allgemeinerem Kontext als wir es behandeln
wollen) ist Kasparov gelungen; wir werden also insbesondere die wichtigtsten
Konstruktionen und Eigenschaften von Kasparovs K-Homologie (ein wichtiger
Aspekt der KK-Theorie) erarbeiten.
Dies wird dann angewendet auf geometrische Probleme: Definition und Berechnung
interessanter Indizes von geometrisch gegebenen Operatoren. Anwendungen, in denen diese
Indizes spezielle geometrische Eigenschaften (beispielsweise Homotopie-"Aquivalenz von
Mannigfaltigkeiten oder positive Krümmung von Mannigfaltigkeiten) verhindern.
Als Alternativvorschlag bitte auch die Ankündigung zum Seminar Morse-Theorie und Anwendungen in der Differentialgeometrie beachten. Der Vorschlag mit mehr Interessenten wird umgesetzt werden.
| Thema | Quelle | Name | Termin |
| Fredholm-Moduln und K-Gruppen | HR 8.1 - 8.3 | -- | -- |
| Dualität | HR 5.1, 5.2, 8.4 | <-- | -- |
| Ausschneidung | HR 8.5, 3.1 | -- | -- |
| Abstrakte Index-Paarung | HR 8.6, 8.7 | -- | -- |
| Kasparov-Produkt | HR 9.1, 9.2 | -- | -- |
| Homotopie-Invarianz, vielleicht etwas zu wenig | HR 9.3 | -- | -- |
| Bott-Periodizität | HR 9.4 | -- | -- |
| Produkt, Randabbilung und Paarung | HR 9.5, 9.6 | -- | -- |
| Kurzeinführung in (elliptische) Differential-Operatoren | HR 10.1-10.5 | -- | -- |
| Elliptische Operatoren und K-Homologie, vielleicht zwei Vorträge | HR 10.6 - 10.8 | -- | -- |
| Spin-c-Mannigfaltigkeiten, Dirac-Operatoren und ihr Index | HR 11.1, 11.2, 11.4 | -- | -- |
| Index und Krümmung | HR 12.1, 12.2 | -- | -- |
| Grobe Geometrie und Index | HR 12.3 (und Vorbereitung) | -- | -- |
| Grobe Geometrie und Baum-Connes Vermutung | HR 12.4 - 12.6 (Auswahl) | -- | -- |