Coarse Geometry, auf deutsch `Grobgeometrie``, ist das Studium der großräumigen Eigenschaften (,,large scale``) von Räumen (insbesondere von metrischen Räumen). Dies ist effektiv, da es oft wahr ist, dass wichtige geometrische Eigenschaften durch die Grobstruktur bestimmt sind. Interessant ist dies insbesondere auch in der Gruppentheorie: viele wichtige Vermutungen für Gruppen können für Klassen mit ,,guten geometrischen Eigenschaften`` (und hierbei handelt es sich eigentlich immer um Grobgeometrie) bewiesen werden.
Zwei berühmte Beispiele ist Gromovs Erfindung der wort-hyperbolischen Gruppe, und Mostovs Beweis seines berühmten Starrheitssatzes. Eines der Highlights des Seminars wird (zumindest in outline) ein Beweis dieses Rigiditätssatzes sein: Falls zwei kompakte Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung homotopieäquivalent sind, dann sind sie bereits isometrisch.
Im Seminar werden wir zunächst allgemeine Tatsachen über Grobstrukturen (axiomatischer Zugang mit Beispielen) kennenlernen.
Dann werden wir uns ausführlich mit den Begriffen ,,Mittelbarkeit`` ,,negative Krümmung`` und ,,Starrheit`` beschäftigung.
Am Ende werden wir neue Resultate über die asymptotische Dimension und uniforme Einbettungen/Nichteinbettbarkeit in Hilberträume kennenlernen.
Das Seminar soll dem Buch ``Lectures on Coarse Geometry'' John Roes folgen, ganz am Ende werden wir einige Resultate aus der Göttinger Doktorarbeit Bernd Graves mit einbauen.
| Nr | Thema | Quelle | Name | Termin | ||
| 1 | Abstrakte Grobräume | R 2.1, 2.2, 2.4, 1.3 | Kühnrich | 23.10. | ||
| 2 | Hyperbolisierung | R 1.5,1.6, 2.5 | Reuss | 30.10 | ||
| 3 | Mittelbarkeit I | R 3.1-3.4 | Vlad Chernysh | 6.11. | ||
| 4 | Mittelbarkeit II | 1.4, 3.5-3.7 | Paul Mitchener | 13.11. | ||
| 5 | (Grobgeometrie und Analysis) | R 4.1,4.2,4.4, 4.3 | ||||
| 6 | Grobe Kohomologie I | R 5.1,5.3 | Behnam | 20.11. | ||
| 7 | Grobe (Ko)homologie II | R 5.2,5.4,5.5 | Behnam Norouzizadeh | 27.11. | ||
| 8 | Gromov Hyberbolizität | R 6.1-6.4 | Vlad Chernysh | 4.12. | ||
| 9 | Reskalierungslimiten | R 7 | Andreas Lochmann | 11.12. | ||
| 10 | Rigidität I | R 1.7, 8.1,8.2 | Ulrich Pennig | 18.12. | ||
| 11 | Rigidität II | R 8.3, (8.4) | Alessandro Fermi | 10.1. | ||
| 11 | Rigidität III | R 8.3, (8.4) | Alessandro Fermi | 17.1. | ||
| 12 | Asymptotische Dimension I | R 9.1-9.3 oder G 3 | ||||
| 13 | Asymptotische Dimension II | G 6 | ||||
| 14 | Grobe Einbettbarkeit und Eigenschaft T | R 11.1-11.3 |
(G) Bernd Grave: Coarse Geometry and asymptotic
dimension
(R) John Roe; Lectures on coarse geometry (AMS)