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Laplace Operator, Symbol und Elliptizit"at
Zu den wichtigsten und interessantesten Studienobjekten der Topologie gehören die (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Wir versuchen, diese besser zu verstehen und dabei auch einige nützliche Techniken, die für andere Fragestellungen nützich sind, zu lernen.
Jeder Mannigfaltigkeit kein eine Folge von Vektorräumen, die De Rham Kohomologie, zugeordnet werden. Dies wird mit Hilfe von Differentialformen durchgeführt, die auch in der Physik viele wichtige Anwendungen hat, weshalb auch de Rham Kohomologie dort eine Rolle spielt. Wir werden grundlegend in die Theorie einführen und einige Berechnungen durchführen.
Danach werden wir noch einige weitere Fragestellungen vom Gesichtspunkt der Differentialformen und der de Rham Kohomologie untersuchen, insbesondere die Hopf-Invariante für Abbildungen von Sphä"-ren zu Sphä"-ren, sowie charakteristische Klassen von Vektorraumbündeln.
Bei der Definition der de Rham Kohomologie spielt ein Differentialoperator (die äußere Ableitung d eine grundlegende Rolle. Im nächsten Teil des Seminars werden wir uns ausführlicher mit Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten beschäftigen. Ziel hier wird der Satz von Hodge sein. Dieser sagt, dass die de Rham Kohomologie-Vektorräume genau isomorph sind zum Vektorraum der Lösungen der Laplace Operatoren, gewisser besonders wichtiger Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten (die natürlich insbesondere auch auf dem euklidischen Raum definiert sind). Diese Lösungen heißen harmonische Formen; im Lauf des Beweises werden wir auch einige ihrer Eigenschaften kennen lernen.
| Thema | Quelle | Name | Termin | ||
| Wiederholung Differentialformen; de Rham Komplex; homologische Algebra: Kettenkomplexe, lange exakte Sequenzen; Mayer-Vietoris Sequenz | BT 1+2 | Sebastian | 19.4. | ||
| Wiederholung: Satz von Stokes; Poincaré Lemma; Homotopie-Invarianz | BT 3-4.8 | Torsten | 26.4. | ||
| Mayer-Vietoris Argument; Poincaré Dualit"at | BT 5.1-5.8 | Wilfried | 3.5. | ||
| Grad einer Abbildung, Berechnung mittels Urbildern, Anwendungen auf klassische S"atze der Topologie | BT 4.9 ff, nach 5.8, B III 3.12, B IV 6.7 | Norbert | 10.5. | ||
| K"unneth-Formel Untermannigfaltigkeiten, ihr Poincaré Dual; transversale Schnitte; Cup Produkt | BT 5.9-5.11, BT 5.11 ff; XX | Philipp | 17.5. | ||
| Fouriertransformation | BF,F,H,S,T,CB, K,V | Oliver | 24.5. | ||
| Sobolev-R"aume auf dem Torus | R 3.1-3.10 | Anselm | 7.6. | ||
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Riemannsche Mannigfaltigkeiten, adjungierter Operator ,
Laplace Operator, Symbol und Elliptizit"at |
XX | Thomas | 14.6. | ||
| Sobolev-R"aume auf Mannigfaltigkeiten; Garding-Ungleichung und elliptische Ungleichung: erst auf Torus, dann allgemein | XX | Thomas | Fr, 18.6. 16:00 | ||
| unbeschr"ankte Operatoren, elliptische Regularit"at | R 4 | Christian | 28.6. | ||
| Spektralsatz f"ur den Laplace Operator | R 4 | Ulrich | 5.7. | ||
| Hodge-Zerlegung und harmonische Formen | R 4 | Wassim | 12.7. |
Literatur
Bredon: Topology and Geometry (B)
Bott-Tu: Differential forms in algebraic topology (BT).
Roe: Elliptic operators, topology and asymptotic methods (R)
Barner, Flohr: Analysis I, Kapitel 12; Verlag de Gruyter (BF)
Churchill, Brown: Fourier series and boundary value problems,
McGraw-Hill (CH)
Forster: Analysis 1, Kapitel 23; Vieweg Verlag (F)
K"orner: Fourier Analysis, Cambridge University Press (K)
Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 2; Kapitel 17; Teubner Verlag (H)
Seeley: An introduction to Fourier series and integrals;
Benjamin Inc. (S)
Taylor: Partial Differential Equations (Basic theory) (T)
Vretblad: Fourier analysis and its applications; Springer (V)
noch zu bestimmen: XX
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