Seminar Fourieranalysis

• es sind noch 1-2 Plätze frei, bei Intersse bei mir melden
• Interessentenkreis: Mathe/Physik-Studierende ab dem 3. Semester mit Interesse an Analysis und ihren Anwendungen
• Dozenten: Thomas Schick, schick@uni-math.gwdg.de, Tel. 397766, Raum 201
• Termin: Montag, 14:15-16:00, Ort: Sitzungssaal

Fourierreihen und Fourierintegrale/Fouriertransformation sind ein extrem m"achtiges analytisches Werkzeug um periodische Funktionen zu verstehen, Differenzialgleichungen zu l"osen (dazu wurden sie von d'Alambert und Fourier urspr"unglich eingef"uhrt), und in vielen anderen Bereichen. Gleichzeitig ist die zugrundeliegende Theorie von abstrakter Sch"onheit.

Neben der Erarbeitung der Grundlagen der Theorie von Fourierreihen und Fourierintegralen werden folgende Anwendungen zu den H"ohepunkten des Seminars z"ahlen:

• exakte Berechnungen spezieller Reihen
• Ergodens"atze f"ur dynamische Prozesse: auf lange Sicht ergibt sich der r"aumliche Mittelwert
• L"osung des W"armeleitungsproblems (bis zur Berechnung der optimale Tiefe eines Kartoffelkellers)
• L"osung der Wellengleichung, insbesondere Herleitung des Huygensschen Prinzips
• Poisson-Summenformel
• Heisenbergsche Unsch"arferelation
• zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie
• Jacobi-Identit"at f"ur Thetafunktionen

Im Seminar soll insbesondere die selbstständige Erarbeitung mathematischer Tatsachen geübt werden, sowie die Präsentation von Ergebnissen. Es ist eventuell geplant, hierzu kleine Teams unter den Teilnehmern zu bilden.

Die Voraussetzungen zum Verstehen des Stoffs in der benutzten Literatur sind in den 1. Semester-Vorlesungen gelegt worden (für einige Sitzungen in der zweiten Hälfte werden ein paar Konzepte vom Beginn der Diff II Vorlesung benötigt).

Das Seminar kann auch dazu genutzt werden, Schl"usselqualifikationen zu erwerben und die dazu geh"orenden Kreditpunkte ``Mathe-Englisch'' sowie ``Pr"asentationstechniken'' zu erwerben.

Ablauf des Seminars

Thema	Quelle	Termin	Namen
Grundlagen zum Lebesgue-Integral	1.1-1.3		Thomas Schick
Fourierreihen: Einf"uhrung/Erinnerung	1.4
Faltung	1.5
Gibbs'sches Ph"anomen	1.6
Reihenberechnungen, Wirtinger-Ungleichung, Jacobi-Identit"at	1.7 (1),(2),(5)
Ergondensatz und Greenfunktionen	1.7 (6), (7)
W"armeleitungsgleichung	1.8 (1), (3), (4), (5)
Wellengleichung	1.8 (2),(6), 1.9 (outline)
Mehrdimensionale Fourierreihen und ``random walks''	1.10 (eventuell ohne (3)
Fourierintegrale	2.1, 2.2, 2.3
$L^1$-Fourierintegrale	2.6
Fouriertransformation und Differenzialgleichungen	2.7 (1),(2), (3)
Poisson-Summenformel und Zentraler Grenzwertsatz	2.7 (5),(7)
Heisenbergsche Unsch"arferelation	2.8

Literatur

H. Dym, H.P. McKean: Fourier Series and Integrals; Academic Press New York, 1972