Seminar ``Topologische K-Theorie und Divisionsalgebren

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Interessentenkreis: Studierende mit grundlegenden Kenntnissen in algebraischer Topologie
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Dozenten: Thomas Schick und Tammo tom Dieck
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Unterlagen: werden als Kopie bereitgestellt, vergleiche außerdem die Literaturliste
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Thema: Topologische K-Theorie und Anwendungen, z.B.  auf Divisionsalgebren
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Termin: Versuch: Fr, 9-11
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Ort: Sitzungszimmer
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Kontakt: schick@uni-math.gwdg.de, Tel. 397766, Raum 201
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Über das Gebiet können Abschlußarbeiten geschrieben werden.


Wie im laufenden Semester in der Ringvorlesung ``Die vierte Dimension'' von Prof. tom Dieck berichtet, kann man dem n-dimensionalen euklidischen Raum die Struktur einer nullteilerfreien Algebra nur dann geben, wenn n=1,2,4,8. Dass es in diesen Fällen geht, zeigen explizite Konstruktionen. Dass es in den anderen Dimensionen nicht möglich ist, ist ein tiefliegender Satz, der mittels topologischer K-Theorie bewiesen werden soll.

Im Seminar wollen wir daher zunächst topologische K-Theorie kennenlernen. Wir werden uns grundlegendes über Vektorraumbündel aneignen. Dann werden wir K-Theorie definieren, und als zentrales Beispiel einer (verallgemeinerten) Kohomologietheorie kennenlernen. Eine der zentralen Eigenschaften von K-Theorie ist Bott-Periodizität. Diese werden wir in einem verallgemeinerten Rahmen, nämlich für die K-Theorie beliebiger C*-Algebren, beweisen (und natürlich auch ein wenig in die entsprechende Theorie von C*-Algebren vertiefen).

Außerdem wollen wir die zur K-Theorie gehörende Homologietheorie geometrisch verstehen.

Um zu beweisen, dass es auf nur die oben beschriebenen Divisionsalgebren gibt, muss man die K-Theorie mit weiterer Struktur versehen, und schließlich den Zusammenhang zum Anwendungsproblem herstellen. Hier werden uns insbesondere die in Prof. tom Diecks Vortrag beschriebenen Hopf-Invarianten nützlich sein.

Zum Abschluss wollen wir uns noch mit Anwendungen der K-Theorie auf Transformationsgruppen und Darstellungstheorie beschäftigen. Hierzu werden wir äquivariante K-Theorie einführen. Außerdem werden wir von einen anderen Standpunkt auch wieder zum Startpunkt, zu Vektorbündeln zurückkehren, und diesmal Informationen über ihre Homotopietheorie erhalten.

Je nach Vorkenntnissen können auch einige Programmpunkte vertieft und dafür andere weggelassen werden.

Ablauf des Seminars

Es handelt sich hier nur um eine grobe Richtschnur. Wir hatten uns ja bei der Vorbesprechung darauf geeinigt, dass wir f"ur die einzelnen Vortr"age durchaus auch mehr Zeit als jetzt angesetzt verwenden d"urfen, wenn dies notwendig sein sollte. Dadurch k"onnen sich die Termine nach hinten verschieben.

Der Wochentag ist ja auch noch nicht festgelegt, ggf. kann das Datum auch daher noch eine kleine Modifikation erfordern.

Thema Quelle Termin Namen
Vektorbündel I, II A I 24.10. Johannes
K-Theorie als Kohomologietheorie A II.4 31.10. Elias/Anselm
Produkte in K-Theorie A 2.6 7.11. Elias/Anselm
Survey: C*-Algebren und ihre K-Theorie I, II W 1.1, 1.6, 1.13, 7,8 (?) 21.11. f Philipp
Bott Periodizität S 28.11. f Georg
Wichtige C*-Algebren in Geometrie C II.2, II.5 12.12. Andreas Lochmann
Hopfinvarianten und Divisionsalgebren I H 14.1-14.3 19.12. Robert
Adams-Operationen und Beweis des Hauptsatzes A III.1 und III.3 (jeweils Anfang) oder H 12.1-12.3 u. H 14.4 9.1. Bernd/Vincent
K-Theorie und Indextheorie   16.1. Jan-Phillipp/Paul
geometrische (bivariante) K-Theorie, K-Homologie BS, eB DS Wassim
Klassifizierende R"aume f"ur K-Theorie, charakteristische Klassen, Chern-Charakter H 7.6-7.12 23.1. Moritz
"Aquivariante K-Theorie und Anwendungen   30.1. Zoran

Erl"auterung: DS steht f"ur ``Diplomandenseminar, findet also Mo bzw. Di statt, Termin steht noch nicht fest.


Literatur

(A)
Atiyah, Michael: K-Theory; Benjamin
(C)
Connes, Alain: Noncommutative Geometrye; Academic Press
(BS)
Bunke, Ulrich and Schick, Thomas: Smooth K-Theory; preprint
(eB)
el Benny, Wassim: Diplomarbeit, in Vorbereitung
(H)
Husemoller, Dale: Fibre bundles; Springer
(K)
Karoubi, Max: K-Theory; Springer
(MS)
Milnor, John and Stasheff, Jim: Chracteristic classes; Princeton University Press
(S)
Schick, Thomas: Bott-Periodizit"at nach Cuntz; Vorlesungsausarbeitung
(W)
Wegge-Olsen, Niels Erik: K-Theory and C*-algebras; Oxford Science Publishing

Teilnehmer

  1. Johannes H"artel
  2. Anselm Knebusch
  3. Elias Kappos
  4. Wassim El-Benny
  5. Philipp Rumpf
  6. Georg Stahl
  7. Robert Waldm"uller
  8. Bernd Grave
  9. Jan-Phillipp Hoffmann
  10. Zoran Nikolic
  11. Andreas Lochmann
  12. Moritz Wiedhaup
  13. Paul Mitchener
  14. Vincent van der Noort
  15. Tammo tom Dieck
  16. Thomas Schick



Thomas Schick 2003-12-02