Einen Knoten, wie wir ihn in diesem Seminar betrachten wollen, erhält man, indem man ein Stück Schnur (mehr, oder weniger, oder gar nicht) verknotet, und dann die beiden Enden miteinander veschweißt. Dieses Verschweißen macht es oft unmöglich, den ursprünglichen Verknotungsprozess rückgängig zu machen --aber nicht immer. Ziel der Knotentheorie ist es, mathematisch zu entscheiden, ob zwei solche (verschweißte) Knoten ineinander deformiert werden können, oder (wichtiger und schwierige) zu beweisen, zu beweisen, dass dies nicht geht.
Wir werden eine mathematische exakte Modellierung dieses Knotenproblems geben, und dann sogenannte Invarianten entwickeln, die es uns erlauben, Knoten voneinander zu unterscheiden. Dabei denken wir insbesondere an ``Knotenpolynome'' und moderne Verallgemeinerungen dieses Konzepts.
Knotentheorie ist ein wichtiger Zweig der (algebraischen) Topologie. Dieses Seminar ist allerdings für Interessenten ohne solche Vorkenntnisse gedacht, es wird nicht mehr als der Stoff des Grundstudiums vorausgesetzt. Das Seminar bietet einen guten Einstieg in das Arbeitsgebiet der algebraischen Topologie.
Nach den grundlegenden Eigenschaften der Knotentheorie werden wir uns dem Jones-Polynom zuwenden. Eine geniale Idee (von ganz anderen mathematischen Richtungen motiviert und mit der Fields-Medaille motiviert) erlaubt es auf sehr kombinatorische Weise, viele Knoten voneinander zu unterscheiden. Eine ganz moderne Verallgemeinerung des Jones-Polynoms ist die ``Khovanov-Homoloogie'' eines Knotens (hierüber wird ganz aktuell geforscht!)--diese Invariante ist noch wesentlich stärker; zu Ihrer Definition wird einige homologische Algebra gebraucht, welche wir im Seminar mit bereitstellen wollen.
| Nr | Thema | Quelle | Name | Termin | ||
| 1 | Grundlegendes zur Knotentheorie | BZ 1, A,B (ohne Beweis von 1.10) | Benjamin Heuer | |||
| 2 | Reidemeister ``Bewegungen und Knotenäquivalenz'' | R I oder BZ 1 C | Di Ma | |||
| 3 | Jones Polynom | M 11 oder L 3 | Simon Baier | |||
| 4 | Tensorprodukte, Kettenkomplexe | La XVI 1,2, Lu 2.1 | Seven Gassel | |||
| 5 | Khovanov Homologie I | BN 3 | Daniel Tubbenbauer, Simon Naarmann, Johannes Nüßle | |||
| 6 | Khovanov Homologie II | BN 3 | Daniel Tubbenbauer, Simon Naarmann, Johannes Nüßle | |||
| 7 | Khovanov Homologie III | BN 3,4 | Daniel Tubbenbauer, Simon Naarmann, Johannes Nüßle | |||
| 8 | Theorie von Flächen | A 4.1,4.2 | ||||
| 9 | Geometrische Ideen und Knoten | BZ 2, A,B oder A 4.3 | ||||
| 10 | Milnor's Krümmungsabschätzung | Mi, nur Polygone | ||||
| 11 | Alexander Polynom über Seifert-Flächen | BZ 8, A und D | ||||
| 12 | Zöpfe und Links I | BZ 10 | ||||
| 13 | Zöpfe und Links II | BZ 10 |
Literatur
(A) Adams: Das Knotenbuch (Spektrum)
(BN) Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial,
Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 337-370. Elektronisch unter
http://arxiv.org/abs/math.QA/0201043http://arxiv.org/abs/math.QA/0201043
(BZ) Burde and Zieschang: Knots
(CF) Crowell and Fox: Introduction to knot theory (Ginn and Company)
(L) Lickorish: An introduction to knot theory (Springer)
(La) Lang: Algebra (Addison-Wesley)
(Lu) Lück: Algebraische Topologie (Vieweg)
(Lv) Livingston: Knotentheorie für Einsteiger (vieweg)
(Mi) Milnor: On the total curvature of knots, Ann. Math. 52 (1950), 248-257.
Elektronisch unter
http://ams.math.uni-bielefeld.de/leavingmsn?url=http://dx.doi.org/10.2307/1969467http://ams.math.uni-bielefeld.de/leavingmsn?url=http://dx.doi.org/10.2307/1969467
oder stud.ip
(Mu) Murasugi: Knot theory and its applications (Birkhäuser)
(R) Reidemeister: Knotentheorie (Chelsea)
(Ro) Rohlfson: Knots and links