Ein wichtiges Ziel der Topologie ist es, kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand
zu klassifizieren. Dazu wurde eine ausgefeilte Theorie entwickelt (``Schneiden
und Kleben'' oder ``Chirurgie'' bzw. englisch ``Surgery''). Diese
verbindet Bündeltheorie, Algebra (insbesondere quadratischer Formen) und
geometrische Analysis zu einem sehr erfolgreichen ganzen; führt dabei zu
tiefliegenden offenen Fragestellungen und Vermutungen aus der aktuellen
Forschung (Novikov-Vermutung, Borel-Vermutung, Farrell-Jones- und Baum-Connes
-Isomorphismus Vermutung).
Wir wollen die Grundlagen dieser Theorie und einige ihrer Anwendungen kennenlernen. Quellen für den Lesekurs sind dabei relativ aktuell entstandene Lehrbücher, ich denke momentan insbesondere an diejenigen von Ranicki und Lück. Hinzu kommen die klassischen Arbeiten von Kervaire und Milnor, Levine.
Ein Hauptziel des Kurses ist es, die Klassifikation exotischer Sphären von Kervaire-Milnor zu verstehen. Dabei gibt es zwei Zugänge: ein ``kurzer'', welche der ursprünglichen Behandlung folgt, und zunächst ``nur'' dieses Resultat beweist, und ein ``langer'', welcher Chirurgietheorie ausführlich einführt, und dann das Resultat als spezielle Anwendung betrachtet. Wir werden den ersten Weg wählen.
Der Kurs findet als Lesekurs mit wöchentlicher Diskussion statt, wobei abschnittsweise Hausaufgaben zu lesen sind.
(KM) M. A. Kervaire and J. Milnor: Groups of homotopy spheres. I.
Ann. of
Math. (2), 77:504-537, 1963.
(KL) Kreck and Lück; The Novikov conjecture: Geometry and Algebra,
Birkhäuser
(La) T. Lance. Differentiable structures on manifolds. In
Surveys on surgery
theory, Vol. 1, pages
73-104. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2000.
(Le) J. P. Levine. Lectures on groups of homotopy
spheres. In Algebraic and
geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983), pages 62-95. Springer,
Berlin, 1985.
(L) Lück; A
basic introduction to surgery
theory
(M1) J. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math.
(2), 64:399-405, 1956.
(M2) J. Milnor. Classification of (n-1)-connected 2n-dimensional manifolds
and the discovery of exotic spheres. In Surveys on surgery theory, Vol. 1,
pages 25-30. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2000.
(M3) J. Milnor. A procedure for killing homotopy groups of spheres
(R) Ranicki; Algebraic and geometric surgery, Cambridge University
Press
(W) Wall; Surgery on
compact manifolds
| Thema | Termin | Aufgaben |