Topologen untersuchen ihre Studienobjekte, z.B. Mannigfaltigkeiten oder allgemeinere topologische Räume, mit Hilfe einer Vielzahl von Techniken aus anderen Gebieten.
Klassisch werden zu jeder kompakten Mannigfaltigkeit ihre Bettizahlen definiert, die Dimensionen der Kohomologie-Vektorräume.
Die Kohomologie nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten ist im allgemeinen unendlich dimensional, und liefern daher keinen sinnvollen Begriff einer Bettizahl.
Für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten, die genügend Symmetrie besitzen, insbesondere solche, die als Überlagerung einer kompakten Mannigfaltigkeit auftreten, kann man mit Hilfe von funktionalanalytischen Methoden (unter Benutzung von Hilbertraum-Theorie, ...) die L2-Bettizahlen definieren (es ergeben sich nicht-negative reelle Zahlen). Um deren Eigenschaften zu verstehen, muss die Funktionalanalysis mit Algebra kombiniert werden.
Die L2-Bettizahlen enthalten neue Informationen über die betrachteten Räume, mit interessanten Anwendungen in verschiedenen Gebieten.
Man erhält zum Beispiel:
Im Seminar wollen wir von Grund auf die benötigte Theorie entwickeln. Hierzu auch die Grundlagen in Funktionalanalysis und homologischer Algebra (überblicksweise) gelegt werden. Mehr Details (auch zum vorgeschlagenen Programm)