Zu den wichtigsten und interessantesten Studienobjekten der Topologie
gehören die (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Man kann sie
immer mit einer Riemannschen Metrik versehen --dann sind auch die
geometrischen Eigenschaften von großem Interesse.
Morse Theorie ist entwickelt worden, um Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von ``Höhenfunktionen'' zu beschreiben. Es zeigt sich, dass man mit Hilfe dieser Höhenfunktionen eine Mannigfaltigkeit schrittweise aus einfachen Bausteinen, den sogenannten Henkeln, aufbauen kann. Der erste Teil des Seminars soll, startend mit den benötigten Grundlagen der Differentialtopologie, zeigen wie dies gemacht wird, und einige (einfache) topologische Anwendungen geben.
Morse Theorie kann aber auch auf geeignete unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten angewendet werden. Dabei sind allerdings einige zusätzliche analytische Schwierigkeiten zu überwinden. Dies ist sehr erfolgreich angewendet worden, um den Raum der Geodäten einer Riemannschen Mannigfaltigkeit zu untersuchen.
Man kann z.B. in vielen Fällen zeigen, dass es unendlich viele verschiedene Geodäten (lokal abstandsminimierende Kurven) zwischen zwei Punkten geben muss, und dass es mindestens eine oder sogar unendlich viele geschlossene Geodäten geben muss.
Das Seminar wird zum einen die analytischen Grundlagen für die Theorie erarbeiten (Analysis auf Mannigfaltigkeiten, z.T. unendlich dimensional), diese dann auf vielfältige Weise in Geometrie und Topologie anwenden.
| Thema | Quelle | Name | Termin |
| Local description of manifolds via Morse theory | M 1-Theorem 3.2 | Sebastian Hage | 21.10. |
| Homotopietyp von Mf, Beispiele (inklusive exotischer 7-Sphaeren) + Morse Ineq | M 3,4,5 M2 | Nils Waterstraat | 28.10. |
| Existence of Morse functions and further applications | M 6 | Mari Miyamoto | 4.11.! |
| Homology of algebraic varieties | M7 | Alexander Rahm | 11.11. |
| Basics of Riemannian geometry | M 8,9,10 | Thomas Schick | 18.11. |
| Pfadräume und Energie | M 11,12,13 | Philipp Landgraf | 25.11.+x |
| Jakobi Felder und der Indexsatz | M 14,15 | Wilfried Keller | 2.12.+x |
| Topologie des Wegeraums | M 16,17,18 | Torsten Hilgenberg | 9.12.+x |
| Mannigfaltigkeiten von Pfaden und Anwendungen | M 22 | Nora Seeliger | 16.12. |
| Pfadräume von Liegruppen | M Theorem 21.7 und nötige Vorbereitungen | Ulrich Pennig | 3.1. |
| Bott Periodizität | M 23 | Lars Bohl | 10.1. |
| Existenz von geschlossenen Geodäten | J 7+Vorbereitung | Christian Gläser | 17.1.+24.1. |
| Existenz unendlich vieler geschlossener Geodäten | K 4.2+Vorbereitung | fällt wohl aus | |
| The free loop space of globally symmetric spaces | Z | Nora Seeliger (?) | 31.1. |
| Projektive Räume und Anwendungen | ? | Lars Bohl | Oberseminar |
Lars Bohl: ``Projektive Räume und ihre Anwendungen'' beinhaltet: komplex projektiver Raum klassifiziert zweite Kohomologie und komplexe Linienbündel, SO(3) ist der 3-dim reell projektive Raum, reell projektiver Raum klassifiziert erste Kohomologie mit Z/2-Koeffizienten und reelle Geradenbündel; Kegelschnitte in projektiver Geometrie
Teilnehmer