Zu den wichtigsten und interessantesten Studienobjekten der Topologie gehören die (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Man kann sie immer mit einer Riemannschen Metrik versehen - dann sind auch die geometrischen Eigenschaften von großem Interesse.
Morse-Theorie ist entwickelt worden, um Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von "Höhenfunktionen" zu beschreiben. Es zeigt sich, dass man mit Hilfe dieser Höhenfunktionen eine Mannigfaltigkeit schrittweise aus einfachen Bausteinen, den sogenannten Henkeln, aufbauen kann. Der erste Teil des Seminars soll, startend mit den benötigten Grundlagen der Differentialtopologie, zeigen wie dies gemacht wird, und einige (einfache) topologische Anwendungen geben.
Morse-Theorie kann aber auch auf geeignete unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten angewendet werden. Dabei sind allerdings einige zusätzliche analytische Schwierigkeiten zu überwinden. Dies ist sehr erfolgreich angewendet worden, um den Raum der Geodäten einer Riemannschen Mannigfaltigkeit zu untersuchen.
Man kann z.B. in vielen Fällen zeigen, dass es unendlich viele verschiedene Geodäten (lokal abstandsminimierende Kurven) zwischen zwei Punkten geben muss, und dass es mindestens eine oder sogar unendlich viele geschlossene Geodäten geben muss.
Das Seminar wird zum einen die analytischen Grundlagen für die Theorie erarbeiten (Analysis auf Mannigfaltigkeiten, z.T. unendlich dimensional), diese dann auf vielfältige Weise in Geometrie und Topologie anwenden. Als Beispiel werden wir die Morse-Theorie auch benutzen, um einen weiteren Zugang zur Bott-Periodizitä zu erhalten.
| Thema | Quelle | Name | Termin |
| Grundlagen der Morse-Theorie | M 1 - 2 | -- | -- |
| Lokale Beschreibung von Mannigfaltigkeiten durch Morse-Theorie | M 3 - 3.4 | <-- | -- |
| Homotopietyp von Mannigfaltigkeiten, Beispiele (inklusive exotischer 7-Sphären) und Morse-Ungleichungen | M 3.5 - 5, M2 | -- | -- |
| Existenz von Morse-Funktionen und weitere Anwendungen | M 6 | -- | -- |
| Homologie algebraischer Varietäten | M 7 | -- | -- |
| Grundlagen Riemannscher Geometrie | M 8, 9 | -- | -- |
| Geodäten | M 10 | -- | -- |
| Pfadräume und Energie | M 11, 12, 13 | -- | -- |
| Jakobi-Felder und der Indexsatz | M 14, 15 | -- | -- |
| Topologie des Wegeraums | M 16, 17, 18 | -- | -- |
| Krümmung und Topologie | M 19 | -- | -- |
| Pfadräume von Liegruppen | M 20 - 21 | -- | -- |
| Mannigfaltigkeiten von Pfaden und Anwendungen | M 22 | -- | -- |
| Bott-Periodizität für U | M 23 | -- | -- |
| Reelle Bott-Periodizität | M 24 | -- | -- |