Proseminar ``Analysis der Zahlen''

• Interessentenkreis: Studierende nach dem 1. Semester
• Dozenten: Thomas Schick und NN.
• Thema: Analysis der Zahlen
• Vorbesprechung: Do, 25.1., 13:00-14:00 im Sitzungssaal

Zahlen (insbesondere reelle und komplexe) sind das ``Handwerkszeug'' der Analysis; au"serdem nat"urlich auch fundamental f"ur viele andere Bereiche der Mathematik und dar"uber hinaus. Viele interessante und verbl"Uffende Eigenschaften von Zahlen lassen sich mit analytischen Methoden nachweisen, die alleine auf dem Stoff des 1. Semesters aufbauen (diese Theorie f"uhrt nat"urlich weiter, bis zu heute aktueller Forschung und ber"uhmten ungel"osten Problemen wie der Riemannschen Vermutung).

Wir werden uns einige spezielle Aspekte anschauen (die in sich immer wieder abgeschlossen sind), insbesondere zu folgenden Fragestellungen (die teilweise etwas "uber ``Analysis von Zahlen'' hinausgehen); genauere Details werden bis zur Vorbesprechung ausgearbeitet.

1. Zur Zahl $\pi$ (Geschichte, N"aherungswerte, Charakterisierungen, Formeln) [[Ee, Kapitel 5, insbes 5.1.3, 5.4.1,5.4.4, 5.4.3] [MT History of $\pi$]
2. mehr zur Zahl $\pi$, insbesondere Irrationalit"at von $\pi$. [Ee, Kap 5], [K], [Ko], [Ee 5.4.6] [St 6.2,6.3]
3. Transzendente Zahlen und Transzendenz von e [JMP 7.2], [Ko 4, A12], [Sp S. 362], [Si], [K]
4. Nullstellen komplexer Polynome, Fundamentalsatz der Algebra [E 4.3, 4.2]
5. Transzendenz von $\pi$ I[JMP 7.3-7.6], [L], [H]
6. Transzendenz von $\pi$ II [JMP 7.3-7.6], [L], [H]
7. Die Stirlingsche Formel f"ur n! [Ko 8., 8.6]
8. Die $\Gamma$-Funktion und einige ihrer Eigenschaften [Ko 18]
9. Primzahlen, insbesondere ihre Anzahl $\le n$ [Z]
10. Der Primzahlsatz [S] (nicht leicht, vielleicht 2 Vortr"age)
11. Kettenbr"uche I+II [R 12.2, 12.3, 12.4], [Ch 1-6,9]
12. Approximationseigenschaften der Fourier-Polynome und Fourierreihen? [Ko]
13. Weierstra"s Satz "uber Polynomapproximationen? [Ko S.341]
14. Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 und 4 (?)

Literatur

A

Apostol: Introduction to analytic number theory; Springer

Ch

Chintchine: Kettenbr"uche, Teubner Leipzig

Ee

Ebbinghaus e.a.: Zahlen (2. Auflage); Springer 1988

H

Hilbert: Gesammelte Werke I

JMP

Jones, Morris, Pearson: Famous Impossibilities

K

Karcher: Monotoniesatz und Transzendenz von e. Math. Semesterber. 33 (1986), no. 1, 84-116.

Ko

Königsberger: Analysis I

L

Lindemann: "Uber die Zahl $\pi$, Math. Ann. 20, 213-225.

MT

The MacTutor history of math archive

R

Rosen: Elementary number theory and its applications 5th ed. Addison-Wesley 2004

S

Selberg: An elementary proof of the prime number theorem, Annels of Mathematics 50 (1949), 305-313, http://han.sub.uni-goettingen.de/han/5310/www.jstor.org/cgi-bin/jstor/printpage/0003486x/di961711/96p0056t/0?frame=noframe&dpi=3&userID=864ca38c@uni-goettingen.de/01cc99332600501b50b59&backcontext=table-of-contents&backurl=/cgi-bin/jstor/listjournal/0003486x/di961711

Si

Transzendente Zahlen. B. I. Hochschultaschenbücher, Band 137*. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967 86 pp.

Sp

Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1965 xii+144 pp.

St

Steward: Galois Theory, Chapman and Hall 2004

Z

Zagier: Die ersten 500 Millionen Primzahlen. Living numbers, pp. 39-73, Math. Miniaturen, 1, Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981, oder Mathematical Intelligencer 1