In dieser Vorlesung werden Grundlagen aus zwei Gebieten eingeführt:
Topologie ist ein wichtiges mathematisches Forschungsgebiet , und gleichzeitig fundamental für das tiefere Verständnis von Analysis und Geometrie (bis hin zur algebraischen Geometrie).
Ganz grob behandelt Topologie alle Fragen, bei denen es auf "`Nachbarschaftsbeziehungen"' ankommt: wie beschreibt man Stetigkeit von Funktionen (keine Sprünge, Nachbarschaft bleibt erhalten) oder Nachbarschaftsbezieungen.
Die Mengen, die untersucht werden, heißen "`topologische Räume"'. Wichtige Beispiele sind der euklidische Raum Rn, Räume von Funktionen, HIlbert- und Banachräume, aber auch Teilmengen des Rn wie die Sphären, der Torus, andere Flächen, abstrakte Mannigfaltigkeiten, Simplizialkomplexe, allgemeine metrische Räume,....
In der Vorlesung wird zunächst in die mengentheoretische Topologie eingeführt: wichtige Eigenschaften topologischer Räume wie Kompaktheit, Trennunngseigenschaften (Hausdorff), Existenz stetiger Funktionen,... werden eingeführt und untersucht. Wir lernen wichtige Konstruktionen wie Produkte, Quotienten, ... kennen.
Später wenden wir uns der Untersuchung topologischer Räume mit Hilfe algebraischer Methoden zu. Wir lernen insbesondere Homologiegruppen, Bettizahlen, Fundamentalgruppe, ... kennen. Diese werden benutzt, um relevante Eigenschaften besonders wichtiger topologischer Räume wie von Simplizialkomplexen zu verstehen, und um solche bis auf Äquivalenz zu unterscheiden.
Die Vorlesung gibt einen vertieften Überblick über Begriffe und Tatsachen, die jeder Mathematiker kennen sollte. Sie wird vertiefend fortgesetzt.
Der Beginn der Vorlesung wird von Gastprofessor Alexander Pavlov auf Englisch gehalten, ab Dezember dann zusammen mit Lukasz Grabowski von Thomas Schick (auf Wunsch weiter auf Englisch, oder auch auf Deutsch).
The first 6 weeks will be taught in English. Upon request, also the rest this course can be taught in English.
Literatur: