Das Seminar hat zum Ziel, in die (algebraische) Topologie einzuf"uhren. Hierbei werden fundamental wichtige Techniken und Ideen in einem besonders interessanten Themenkreis eingeführt. Das Seminar kann als Vorbereitung auf den ab WS 08 geplanten Zyklus ``Topologie'' dienen; und kann auch als Abkürzung für den Start eine Bachelor (oder nach altem System Diplomarbeit/Staatsexamensarbeit) genutzt werden.
Zu den wichtigsten und interessantesten Studienobjekten der Topologie gehören die (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Wir versuchen, diese besser zu verstehen und dabei auch einige nützliche Techniken, die für andere Fragestellungen nützich sind, zu lernen.
Jeder Mannigfaltigkeit kein eine Folge von Vektorräumen, die De Rham Kohomologie, zugeordnet werden. Dies wird mit Hilfe von Differentialformen durchgeführt, die auch in der Physik viele wichtige Anwendungen hat, weshalb auch de Rham Kohomologie dort eine Rolle spielt.
Besonders gut vorbereitet werden alle sein, welche Mannigfaltigkeiten und Differentialformen bereits kennen; für weitere Interessenten wird ein ``Einführungskurs'' eingebaut, der schnell den notwendigen Wissensstand vermittelt.
Zur Durchführung von Berechnungen eignet sich oft ein algebraisch-kombinatorischer Zugang besser. Im zweiten Teil des Seminars werden wir diesen Zugang vorstellen, dazu Prägarben und ihre Kohomologie einführen. Hier werden wir insbesondere einiges homologisch-algebraisches Handwerkszeug erwerben. Als Fernziel, um mit der de Rham Kohomologie zu vergleichen, werden wir ein in vielen Bereichen der modernen Mathematik unverzichtbares Werkzeug entwickeln, die Spektralsequenzen, und dann einige wichtige Ergebnisse mit Hilfe dieser Spektralsequenzen herleiten.