Kurz-Skript zu ”Topologie und Differentialgeometrie 1”

Thomas Schick^{∗} Last compiled 26. Mai 2008; last edited 20.1. 2005 or later

Hinweis: dieses Skript ist wurde nicht korrekturgelesen. Es gibt mit Sicherheit eine Menge Fehler. FürHinweise auf Fehler schreiben Sie bitte eine email an schick@uni-math.gwdg.de. Das Skript stellt nur eine Approximation an die Vorlesung dar: Nicht alle Sätze und Beweise werden notwendigerweise vorgeführt, andererseits mögen nicht alle behandelten Sätze und Beispiele hier notiert sein.

Inhaltsverzeichnis

1 Vorbemerkungen 2

I Einführung in Differentialgeometrie 3

2 Glatte Mannigfaltigkeiten 3 3 Riemannsche Geometrie -1 9 4 Abstrakter Tangentialraum 9 5 Riemannsche Geometrie 0 11

5.1 Riemannsche Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Isometrien und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Vektorbündel und Tangentialraum 15

6.1 Neue Vektorbündel aus alten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7 Riemannsche Geometrie 1 21 8 Drei Sätze über Mannigfaltigkeiten 21

8.1 Urbildsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.2 Satz von Sard über Existenz regulärer Werte . . . . . . . . . . . 24 8.3 Teilung der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Kurven und Flächen im Raum I 25 9.1 Kurventheorie im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9.2 Flächen im Raum I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Thomas Schick

∗email: thomas.schick@uni-math.gwdg.de

10 Baby Lie Gruppen 0 32 11 Überlagerungen 0 33 12 Fundamentalgruppe 0 35 13 Tangentialvektoren als Derivationen 37 14 Baby Liegruppen 1 40 15 Überlagerungen 1 41 16 Wiederholung zur (Multi)lineare Algebra 44

16.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 16.2 Verjüngungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

17 Kovariante Ableitung und Zusammenhang 46 17.1 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 17.2 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

18 Geodäten 53 18.1 Differentialgleichung für Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 18.2 Geodäten und Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 18.3 Der Satz von Hopf-Rinov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 18.4 Geodäten und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

19 Krümmung 58

19.1 Krümmung und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 20 Variation von Bogenlänge und Jakobifelder 62

20.1 Variation von Bogenlänge und Energie . . . . . . . . . . . . . . . 62 20.2 Jakobifelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 20.3 Cut Locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 20.4 Myers Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

21 Riemannsche Untermannigfaltigkeiten 69 22 Riemannsche Submersionen 71 23 Struktur von allgemeinen topologishcen Räumen und Mannig-

faltigkeiten —ein Ausbilck 72

1 Vorbemerkungen

Die Vorlesungsreihe Topologie und Differentialgeometrie soll eine Einführung sowohl in die algebraische Topologie als auch in die Differentialgeometrie, insbesondere die Riemannsche Geometrie, geben. Oft werden solche Vorlesungen unabhängig voneinander gehalten. Da es aber viele Zusammenhänge gibt, und jedes der beiden Gebiete das andere mittels interessanter Beispiele und Problemstellungen befruchtet, da außerdem die zugrundeliegenden Objekte in beiden Fällen hauptsächlich Mannigfaltigkeiten sind, wird hier ein integrierter Kurs angeboten.

Der Teil 1 wird zunächst, und für den größten Teil dieses Semesters, Differentialgeometrie behandeln. So sollte die Vorlesung auch für Hörer von Interesse sein, die bei Prof. tom Dieck in den letzten Jahren Vorlesungen über algebraische Topologie besucht haben.

Empfohlene und benutzte Literatur besteht insbesondere aus den Lehrbüchern, die im Literaturverzeichnis aufgeführt sind. Die Liste ist schon lang, könnte aber noch ergänzt werden.

Von besonderer Relevanz für die Vorbereitung waren [14], [5]. Eine Liste mit online verfügbarer Literatur kann man auf http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/Geometryon-web.html finden.

Teil I

Einführung in Differentialgeometrie

2 Glatte Mannigfaltigkeiten

In der Vorlesung wird eine gewisse Vertrautheit mit Mannigfaltigkeiten vorausgesetzt. Trotzdem sollen hier die wichtigsten Begriffe und einige Beispiele wiederholt werden. Da hin und wieder Mannigfaltigkeiten anders definiert werden (z.B. nur als Teilmengen des euklidischen Raums) kann hier sicherlich für den ein oder anderen auch neues zu lernen sein.

2.1 Definition. Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Teilmenge τ der Potenzmenge von X (die Elemente von τ sind also Teilmenge von X, diese werden die offenen Mengen genannt), so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ.

(2) Falls U, V ∈ τ , so auch U ∩ V ∈ τ.

(3) Sei I eine beliebige Indexmenge. Falls U_{i} ∈ τ für i ∈ I, so auch ⋃_{i∈I} U_{i}.

2.2 Beispiel. ℝ^{n} mit der üblichen Definition offener Mengen ist ein topologischer Raum, ebenso jeder metrische Raum.

2.3 Definition. Sei (X, τ) topologischer Raum und A ⊂ X. Auf A definiert man die Teilraumtopologie τ_{A} als τ_{A} := {U ∩ A | U ∈ τ}.

2.4 Beispiel. So wird also jede Teilmenge A von ℝ^{n} (oder eines metrischen Raums) wieder ein topologischer Raum.

Man kann natürlich auch die Metrik von ℝ^{n} auf A einschränken, erhält so eine Metrik auf A, und dann die zugehörige Topologie betrachten. Dies ist genau die Teilraumtopologie (Übungsaufgabe).

2.5 Definition. Eine Abbildung f: X → Y heißt stetig, falls das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y eine offene Teilmenge von X ist. f heißt Homöomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f also auch seine Umkehrabbildung stetig sind.

2.6 Aufgabe. Gib eine Homöomorphieklassifikation der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets. Versuche, Begründungen zu finden, warum Buchstaben nicht homöomorph sind.

2.7 Definition. Eine n-dimensionale (topologische) Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum mit folgenden Eigenschaften:

(1) Für jeden Punkte x ∈ M gibt es eine offene Umgebung U_{x} mit x ∈ U_{x} und ein Homöomorphismus phi: U_{x} → V_{x}, wobei V_{x} eine offene Teilmenge von ℝ^{n} für ein n ∈ ℕ ist. Diese Abbildungen heißen Karten der Mannigfaltigkeit M.

(2) M ist ein Hausdorffraum. D.h. für je zwei Punkte x, y ∈ M mit x ≠ y gibt es offene Mengen U_{x}, U_{y} mit x ∈ U_{x}, y ∈ U_{y} und so dass U_{x} ∩ U_{y} = ∅.

(3) M erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom (historische Notation!), d.h. es gibt eine abzählbare Teilmenge, welche dicht in M liegt.

Falls M eine Mannigfaltigkeit ist, so heißt ein Kollektion (=Menge) {ϕ_{i}: U_{i} → V_{i} | i ∈ I} von Karten von M ein Atlas, falls ⋃_{i∈I} U_{i} = M.

2.8 Beispiel. (1) ℝ^{n} ist selbst eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit

(2) jede offene Teilmenge von ℝ^{n} ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit

(3) S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} ist n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Als Karten kann man z.B. die orthogonalprojektionen auf die Koordinatenhyperflächen wählen.

(4) Definiere ℂP^{n} : als Menge aller 1-dimensionalen komplexen Unterräume von ℂ^{n+1}, entsprechend ℝP^{n} als Menge der 1-dimensionalen reellen Unterräume von ℝ^{n+1} (ein Punkt in der Menge ist also ein 1-dimensionaler Unterraum). beachte, dass es surjektive Abbildungen p: ℂ^{n+1}\{0} → ℂP^{n} und p: ℝ^{n+1}\{0} → ℝP^{n} gibt, die jeden Vektor auf den von ihm erzeugten 1-dimensionalen Unterraum abbildet (warum ist 0 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen?).

Wir definieren eine Topologie auf ℂP^{n} und ℝP^{n}, indem eine Menge als offen definiert wird, genau wenn ihr Urbild unter p offen ist. Für (z_{0}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n+1} \ {0} sei [z_{0} : ⋯: z_{n}] ∈ ℂP^{n} der von (z_{0}, …, z_{n}) erzeugte Unterraum. Wir definieren Karten auf ℂP^{n} auf folgende Weise: sei U_{k} := {[z_{0} : …: z_{n}] | z_{k} ≠ 0}. Definiere ϕ_{k}: U_{k} → ℂ^{n}; [z_{0} : …: z_{n}] ↦ (z_{0}/z_{k}, …, z_{k−1}/z_{k}, z_{k+1}/z_{k}, …, z_{n}/z_{k}). Dies sind Karten für ℂP^{n}. Wir benutzen hier natürlich die Identifikation ℂ^{n} = ℝ^{2n} (Aufgabe: beweise dass die Abbildung wohldefiniert ist und dass es sich um Homöomorphismen handelt).

(5) Die Gruppe O(n) aller reellen orthogonalen n × n-Matrizen (A orthogonal heißt A^{∗}A = 1) bildet eine Mannigfaltigkeit der Dimension n(n−1)/2. Die Topologie erhält sie als Teilmenge von ℝ^{n^{2}}. Karten zu finden, ist etwas schwieriger.

(6) Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ^{k} eine glatte Abbildung, so dass ihr Differential für jedes x ∈ f^{−1}(0) eine surjektive lineare Abbildung D_{x}f: ℝ^{n} → ℝ^{k} ist. Dann ist f^{−1}(0) eine n − k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Auch dies wird später bewiesen, Das Beispiel O(n) ist ein Spezialfall, hier ist U = ℝ^{n^{2}} = M(n × n, ℝ) und f: ℝ^{n^{2}} → ℝ^{n(n+1)/2}; A ↦ [A^{∗}A − 1], wobei in diesem Fall mit [A^{∗}A − 1] die Koordinaten oberhalb und auf der Diagonalen zusammengefasst werden (man muss eine Anordnung wählen, dann erhält meinen einen Vektor in ℝ^{n(n+1)/2}).

2.9 Satz. Sei X ein topologischer Raum und p: X → Y eine surjektive Abbildung. Dann definiert folgende Vorschrift eine Topologie auf Y, die sogenannte Quotiententopologie:

U ⊂ Y ist genau dann offen, wenn p^{−1}(U) ⊂ X offen ist.

Diese Topologie hat folgende (universelle) Eigenschaft: eine Abbildung f: Y → A (A topologischer Raum) ist genau dann stetig, wenn f ∘ p: X → A stetig ist.

Beweis. Übungsaufgabe.

2.10 Beispiel. Die von uns auf ℂP^{n} und ℝP^{n} definierte Topologie ist eine Quotiententopologie.

Definiere p: ℝ^{n+1} \ \{0\} → S^{n}; v ↦ \frac{v}{|v|}. Die übliche Topologie auf S^{n} ist genau die Quotiententopologie (Übungsaufgabe).

Sie X topologischer Raum und eine Äquivalenzrelation auf X. Bezeichne mit X/ die Menge der Äquivalentzklassen. Es gibt eine offensichtliche surjektive Abbildung X → X/ , die jeden Punkt auf seine Äquivalenzklasse abbildet. Wir werden bei solchen Beispielen immer die entsprechende Quotiententopologie auf X/ benutzen.

Eine interessante (aber bei weitem nicht einfache) Frage ist: ist die Dimension n einer Mannigfaltigkeit wohldefiniert. Dies werden wir in algebraischer Topologie (also viel später) beweisen. Wir beweisen dann folgenden Satz über Gebietsinvarianz:

2.11 Satz. Sei U ⊂ ℝ^{n} eine offene Teilmenge und f: U → ℝ^{n} stetig und injektiv. Dann ist auch f(U) offen.

2.12 Aufgabe. Beweise die Aussage aus Satz 2.11 unter der Zusatzvoraussetzung, dass f und seine Inverse g: f(U) → U differenzierbar sind.

2.13 Aufgabe. Es gibt noch wesentlich einfachere Eigenschaften als Aussage, dass die Dimension einer Mannigfaltigkeit wohldefiniert ist, dies sich daraus ergeben, dass sie lokal wie ℝ^{n} aussieht.

Hier ein Beispiel: zeige, dass jede zusammenhängende Mannigfaltigkeit auch wegzusammenhängend ist.

Zur Erinnerung:

2.14 Definition. Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls für jede Teilmenge ∅ ≠ U ⊂ X, welche sowohl offen als auch abgeschlossen ist gilt: U = X.

Ein topologischer Raum X heißt wegzusammenhängend, falls es für je zwei Punkte p, q ∈ X einen Weg von p nach q gibt, d.h. eine stetige Abbildung c: [a, b] → X mit c(a) = p und c(b) = q, wobei ∅ ≠ [a, b] ⊂ ℝ ein nichtleeres abgeschlossenes Intervall ist.

Der Vollständigkeit beweise zudem: jedes Intervall in ℝ ist zusammenhängend, jeder wegzusammenhängende topologische Raum ist zusammenhängend, ℝ^{n} ist wegzusammenhängend, also zusammenhängend.

Finde einen topologischen Raum, welcher zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.

2.15 Bemerkung. Tipp für Aufgabe 2.13: Wenn man für jeden Punkt eines zusammenhängenden Raums eine gewisse Eigenschaft beweisen will, geht man wie folgt vor: man beweist, dass ein Punkt die Eigenschaft hat, dann beweist man, dass die Menge der Punkte, welche die Eigenschaft erfüllen, sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

In ganz anderer Richtung wird dies z.B. für globale Existenz von Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen benutzt. Das wird uns später noch begegnen.

Die Aufgabe zeigt, dass es häufig wünschenswert ist, auf unseren Mannigfaltigkeiten auch Differentialrechnung zu betreiben (das kommt auch in den Anwendungen sehr häufig vor). Ein Beispiel ist die Berechnung von Extrema unter Nebenbedingungen.

Die ist auch erfolgversprechend, da ja kleine Umgebungen jeden Punktes wie ℝ^{n} aussehen, auf welchem wir Differentialrechnung kennen. Problem: das muss konsistent sein. Dazu muss man geeignete Karten auswählen, die gut zusammen passen. So soll z.B. ausgechlossen werden, dass eine Funktion bezüglich einer Karte an einer Stelle differenzierbar zu sein scheint, bezüglich einer anderen Karte aber nicht.

2.16 Definition. Eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit M ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einem vorgegebenen Atlas (dem sogenannten glatten Atlas) {ϕ_{i}: U_{i} → V_{i}} so dass folgende Kompatibilitätsbedingung erfüllt ist:

Immer wenn ϕ_{i}: U_{i} → V_{i} und ϕ_{j}: U_{j} → V_{j} zwei Karten des gegebenen Atlas sind, betrachte die Funktion

ϕ_{i} ∘ ϕ_{j}^{−1}|: ϕ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → ϕ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}).

Nach Voraussetzung ist U_{i} ∩ U_{j} eine offene Teilmenge von M (Könnte auch leer sein). Da ϕ_{i} und ϕ_{j} Homöomorphismen sind, sind dann ϕ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) und ϕ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) offene Teilmengen von ℝ^{n}, und ϕ_{j} ∘ϕ_{i}^{−1}| wie oben ist ein Homöomorphismus. Wir nennen diese Abbildung die Kartenwechselabbildung.

Wir verlangen, dass diese Abbildung zwischen offenen Teilmengen des ℝ^{n} ein Diffeomorphismus ist (also bijektiv und glatt mit glatter Umkehrabbildung).

Hier gibt es offensichtliche Varianten, bei denen man statt glatt nur k-mal differenzierbar verlangt, man spricht dann von einer C^{k}-Mannigfaltigkeit.

2.17 Beispiel. Die Beispiele aus 2.8 sind alle glatte Mannigfaltigkeiten —dazu muss natürlich ein geeigneter Atlas angegeben werden, dies ist bei ℂP^{n} und ℝP^{n} schon geschehen; mehr oder weniger dieselbe Definition liefert den üblichen glatten Atlas für S^{n}. Für ℝ^{n} besteht der Atlas einfach aus id: ℝ^{n} → ℝ^{n}.

Der Beweis, dass f^{−1}(0) unter den angegebenen Bedingungen eine Mannigfaltigkeit ist, liefert gleich einen glatten Atlas mit.

Alle in Diff 3 definierten glatten Mannigfaltigkeiten sind auch glatte Mannigfaltigkeiten im jetzigen Sinn.

2.18 Bemerkung. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit zugehörigem Atlas {ϕ_{i}: U_{i} → V_{i}}. Sei ϕ: U → V eine weitere Karte von M, so dass alle Kartenwechselabbildungen mit den ϕ_{i} des glatten Atlas differenzierbar sind.

Dann können wir offensichtlich ϕ: U → V zum glatten Atlas hinzunehmen, ohne die Bedingung aus Definition 2.16 zu verletzen. Den so erhaltenen Atlas betrachten wir als äquivalent zum ursprünglichen, die differenzierbaren Strukturen fassen wir als gleich auf.

Meist nimmt man zu einem gegebenen glatten Atlas einfach alle Karten hinzu, die die obige Kartenwechselbedingung erfüllen. Auf diese Weise kann man aus jedem differenzierbaren Atlas einen maximalen differenzierbaren Atlas machen (maximal, weil man ihn nach Konstruktion nicht mehr vergrößern kann). Im folgenden werden wir in der Regel annehmen, dass unser Atlas maximal ist. Natürlich wird man bei der Definition einer konkreten differenzierbaren Mannigfaltigkeit versuchen, ökonomisch einen möglichst kleinen Atlas anzugeben.

2.19 Definition. Seien M^{m}, N^{n} glatte dimensionale Mannigfaltigkeit mit dim(M^{m}) = m, dim(N^{n}) = n mit glatten Atlanten , und alle Karten seinen im folgenden diesen glatten Atlanten entnommen. Eine stetige Abbildung f: M → N heißt glatt, falls für jede glatte Karte ϕ: U → V von M und ψ: U′ → V′ von N die Komposition

ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1} : ϕ(f^{−1}(U′)) → V′

von Abbildungen zwischen offenen Teilmengen von ℝ^{m} und ℝ^{n} selbst eine glatte Abbildung ist.

Eine bijektive Abbildung, die glatt ist und bei der die Inverse Abbildung glatt ist heißt Diffeomorphismus.

2.20 Bemerkung. In der Definition der Kartenwechsel und der glatten Abbildungen musste man immer auf lästige Weise den richtigen Definitionsbereich ermitteln. Dies wird leider auch im weiteren oft der Fall sein. Dies führt zwar zu unübersichtlicher Notation; das Prinzip ist aber immer ganz einfach: es wird der maximale Definitionsbereich benutzt, der noch Sinn macht. Manchmal wird man aus Notationsgründen die Definitionsbereiche daher gar nicht (oder falsch) angeben, mit dem Verständnis dass nur dort komponiert werden kann, wo die Komposition definiert ist.

2.21 Aufgabe. Zeige, dass ℝ diffeomorph ist zu (−1, 1).

Zeige, dass S^{1} und ℝP^{1} diffeomorph zueinander sind. Gilt dasselbe auch für S^{2} und ℝP^{2} (dies ist nicht einfach!)?

Zeige, dass S^{2} und ℂP^{2} diffeomorph sind.

Fasse S^{3} auf als Teilmenge von ℂ^{2} \ {0} = ℝ^{4} \ {0} auf die übliche Weise. Man erhält nun eine surjektive Abbildung S^{3} → ℂP^{2} = S^{2} auf die übliche Weise. Zeige, dass das Urbild jedes Punktes homöomorph zu S^{1} ist.

Zeige, dass S^{3} \ {(0, 0, 1)} diffeomorph zu ℝ^{3} ist. Wie sieht die erhaltene Zerlegung von ℝ^{3} in Kreise (und eine Gerade) aus, die man aus der oben beschriebenen Zerlegung von S^{3} in eine disjunkte Vereinigung von S^{1}-en erhält.

2.22 Aufgabe. Betrachte auf der topologischen Mannigfaltigkeit ℝ den Atlas {ϕ: ℝ → ℝ; x ↦ x^{3}}. Ist dies ein glatter Atlas? Wenn ja, ist diese Mannigfaltigkeit diffeomorph zu ℝ mit der Standard-glatten-Struktur? Ist die glatte Struktur sogar dieselbe wie beim Standardatlas?

2.23 Bemerkung. Einige sehr schwere Resultate aus der wilden weiten Welt der Mannigfaltigkeiten: Sei eine topologische Mannigfaltigkeit M gegeben, und zwei differenzierbare Strukturen s_{1}, s_{2}auf M.

(1) Falls dim(M) ≤ 3, so gibt es immer einen Diffeomorphismus (M, s_{1}) → (M, s_{2}) (allerdings kann man nicht immer die Identität benutzen, da diese nicht notwendigerweise differenzierbar ist!)

(2) Auf S^{7} kann man zwei verschiedene Differenzierbare Strukturen finden, so dass es keinen Diffeomorphismus zwischen den beiden gibt (man spricht von exotischen differenzierbaren Strukturen).

(3) Auf ℝ^{n}, n ≠ 4 gibt es bis auf Diffeomorphie immer genau eine differenzierbare Struktur. Auf ℝ^{4} jedoch überabzählbar viele. Es gibt z.B. offene Teilmengen des ℝ^{4}, die homöomorph zu ℝ^{4} sind, aber nicht diffeomorph.

2.24 Bemerkung. Nun ist uns zwar gelungen, Differenzierbarkeit zu definieren. Was noch fehlt, ist eine Definition der Ableitung. Hier soll ein Konzept gefunden werden, dass zwar die Karten benutzt, aber doch unabhängig von der Wahl spezieller Karten ist.

Idee: die Ableitung liefert eine lineare Approximation an die gegebene Abbildung. Hier muss man nun, bevor man dies tun kann, die Mannigfaltigkeit (welche ja einfach nur eine Menge ist) durch einen Vektorraum approximieren, dies geschieht mittels des Tangentialraums.

Bei in ℝ^{N} eingebetteten Untermannigfaltigkeiten ist anschaulich (halbwegs) klar, was der Tangentialraum (an einem Punkt) sein soll, wir müssen jetzt aber eine ganz abstrakte Definition finden. Wir wollen das erste Konzept jedoch auch kurz wiederholen.

2.25 Definition. Eine glatte k-dimensionale Untermannigfaltigkeit N einer glatten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist eine Untermenge, so dass für jeden Punkt x ∈ N ⊂ M eine Karte ϕ: U → V des (maximalen) glatten Atlas von M existiert, so dass

ϕ(U ∩ N) = V ∩ ℝ^{k} × {0} ⊂ ℝ^{n}.

Entsprechend kann man natürlich auch topologische Untermannigfaltigkeiten von topologischen Mannigfaltigkeiten definieren.

2.26 Beispiel. Jede offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit ist eine Untermannigfaltigkeit (derselben Dimension).

Die Mannigfaltigkeiten aus Diff 3 sind Untermannigfaltigkeiten von ℝ^{N}.

2.27 Definition. Sei M ⊂ ℝ^{N} eine glatte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{N}. Sei x ∈ M. Wir definieren T_{x}M als Menge aller Vektoren v ∈ ℝ^{N} so dass eine glatte Kurve c: ℝ → ℝ^{N} existiert mit im(c) ⊂ M, c(0) = x und c′(0) = v.

Definiere T M := {(x, v) ∈ M × ℝ^{N} | v ∈ T_{x}M}.

2.28 Bemerkung. Tatsächlich ist T_{x}M für jedes x ∈ M ein n-dimensionaler Unterraum von ℝ^{N} und T M selbst eine glatte Untermannigfaltigkeit von ℝ^{N} × ℝ^{N}.

2.29 Beispiel. S^{n} ist eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n+1} und für x ∈ S^{n} gilt T_{x}S^{n} = {v ∈ ℝ^{n+1} | v ⊥ x}.

3 Riemannsche Geometrie -1

3.1 Beispiel. Die Riemannsche Geometrie, für wir uns in dieser Vorlesung interesssieren, beschreibt nicht nur die topologischen, sondern die metrischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten.

Was damit gemeint ist, sei am Beispiel der S^{2} veranschaulicht: diese ist in unserer Vorstellung ja nicht nur ein topologischer Raum, sondern hat Geometrie: rund und perfekt. Insbesondere können wir Abstände auf S^{2} messen. Dies macht man nicht, indem man den Abstand der zugehörigen Vektoren im ℝ^{3} bildet, sondern indem man Längen auf der Sphäre mißt.

Wenn z.B. c: [a, b] → S^{2} eine glatte Kurve ist, so ist die ‘Länge von c definiert als

l(c) := ∫_{a}^{b} |c′(t)| dt.  (3.2)

Es gibt eine offensichtliche Verallgemeinerung für stetige und stückweise glatte Kurven, und zum Schluss definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten durch

d(p, q) := inf{l(c) | c stückweise glatte Kurve von p nach q}.  (3.3)

Es ist Alltagswissen, dass dieser Abstand durch Grosskreissegmente realisiert wird.

Es ist eine Übungsaufgabe, nachzuweisen dass auf die beschriebene Weise auf S^{2} eine Metrik definiert wird, und dass die sich daraus ergebende Topologie genau die gewöhnliche Topologie von S^{2} ist.

Ebenfalls bleibt es Übungsaufgabe, diese Konstruktion und Beobachtung auf beliebige in ℝ^{n} eingebettete Mannigfaltigkeiten zu verallgemeinern.

4 Abstrakter Tangentialraum

Für eine abstrakt gegebene Mannigfaltigkeit, wie ℂP^{n}, haben wir die Schwierigkeit, dass man sich keinen abstrakt gegebenen “Oberraum ℝ^{N}” vorstellen kann, in welchem die Tangentialvektoren liegen sollen.

Wir machen aus der Not eine Tugend, indem wir die Idee von Definition 2.27 abstrahieren: dort liefern Kurven die Tangentialvektoren, im abstrakten zwingen wir die Kurven dazu, dasselbe zu leisten.

4.1 Definition. Sei M glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit, x ∈ M. Wir definieren T_{x}M als Menge von Äquivalenzklassen von glatten Wegen c: ℝ → M mit c(0) = x. Hierbei definieren wir, dass zwei solche Wege c_{1}, c_{2} äquivalent sind, wenn für eine (und damit alle) Karten ϕ: U → V mit x ∈ U gilt (ϕ ∘ c_{1})′(0) = (ϕ ∘ c_{2})′(0).

Wir definieren T M := ⋃_{x∈M} T_{x}M (dies ist eine disjunkte Vereinigung). Dann gibt es die offensichtliche Projektion T M → M; v ↦ x falls v ∈ T_{x}M.

4.2 Bemerkung. Es gibt noch eine Reihe alternativer Definition des Tangentialraums, und alle sind wichtig. Wenn wir sie brauchen werden, werden wir darauf zurück kommen. Die gegebene Variante ist die geometrischste, passend zum Titel der Vorlesung. Einen großen Nachteil müssen wir sofort beheben: der Tangentialraum soll ja ein Vektorraum sein, aber es ist bei weitem nicht klar, wie man unsere Äquivalenzklassen von Wegen addieren oder skalar multiplizieren soll. Wichtig ist hier, dass die Äquivalenzklasse nur von der Geschwindigkeit am Ursprung abhängt, und solche sollten ja tatsächlich einen Vektorraum bilden.

Um dies zu erreichen, erinnern wir uns dass mit Hilfe der Karten eine kleine Umgebung jedes Punktes wie ℝ^{n} aussieht, und dort sind die Tangentialvektoren einfach auch wieder Vektoren des ℝ^{n}. Allerdings muss man sich natürlich merken, mit welcher Karte man arbeitete.

Die folgende Definition beinhaltet einen Trick, wie man den Tangentialraum mit allen Karten gleichzeitig beschrieben kann.

4.3 Definition. Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit, x ∈ M. Wir definieren den Karten-Tangentialraum T_{x}M als Äquivalenzklassen von Tupeln (x, ϕ: U → V, v) mit ϕ: U → V eine glatte Karte von M so dass x ∈ U, und v ∈ ℝ^{n}.

Zwei solche Tupel (x, ϕ_{1} : U_{1} → V_{1}, v_{1}) und (x, ϕ_{2} : U_{2} → V_{2}, v_{2}) heißen äquivalent, falls D(ϕ_{2}ϕ_{1}^{−1})(ϕ(x))(v_{1}) = v_{2} (Differential an der Stelle ϕ(x), angewendet auf den Vektor v_{1}).

Wir erhalten eine Bijektion des Wege-Tangentialraums T_{x}M mit dem Karten-Tangentialraum (den wir schon mit dem gleichen Namen bezeichnet haben), indem wir [c: ℝ → M] abbilden auf (ϕ: U → V, (ϕ ∘ c)′(0)).

Wir definieren eine ℝ-Vektorraumstruktur auf T_{x}M durch λ[ϕ: U → V, v_{1}]+ μ[ϕ: U → V, v_{2}] = [ϕ: U → V, λv_{1} + μv_{2}] (λ, μ ∈ ℝ, ϕ: U → V Karte wie oben, v_{1}, v_{2} ∈ ℝ^{n}).

Die Dimension von T_{x}M ist n.

4.4 Bemerkung. Wir müssen natürlich überprüfen, dass alles wie oben definiert funktioniert. Beachte zunächst dass für zwei Karten ϕ_{k}: U_{k} → V_{k} (k = 1, 2) wie in Definition 4.3 und v_{1} ∈ ℝ^{n} genau ein v_{2} ∈ ℝ^{n} existiert, so dass (ϕ_{1}, v_{1}) und (ϕ_{2}, v_{2}) äquivalent sind, nämlich v_{2} = D(ϕ_{2}ϕ_{1}^{−1})(ϕ(x))(v_{1}).

Da die Abbildungen D(ϕ_{2}ϕ_{1}^{−1}) linear sind, ist die Vektorraumstruktur wohldefiniert. Jede Karte ϕ wie oben liefert einen Isomorphismus zu ℝ^{n}.

Wegen der Kettenregel ist die Abbildung zwischen dem Wege-Tangentialraum und dem Karten-Tangentialraum wohldefiniert. Nach Definition 4.1 der Äquivalenzrelation von Wegen ist die Abbildung injektiv. Sie ist auch surjektiv, weil wir in der offenen Teilmenge V zu jedem v ∈ ℝ^{n} einen glatten Weg c: ℝ → V mit c(0) = 0 und c′(0) = v definieren können (in einer Umgebung von 0 einfach linear abbilden), und dann mittels ϕ^{−1} ∘ c den entsprechenden Weg in M erhalten.

4.5 Definition. Sei f: M → N glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Definiere T_{x}f: T_{x}M → T_{f(x)}N durch T_{x}f([c]) := [f ∘ c], oder auch T_{x}f([x, ϕ, v]) := [x, ψ, (D(ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1})(v))].

Mittels Kettenregel rechnet man nach, dass beide Definitionen unter der in 4.3 beschriebenen Bijektion übereinstimmen. Man er’hält nun sofort die Kettenregel:

4.6 Satz. Seien f: M → N und g: N → X glatte Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten, x ∈ M. Dann gilt

T_{x}(g ∘ f) = T_{f(x)}g ∘ T_{x}f.

Beweis. Einfach eine Äquivalenzklasse von Wegen einsetzen.

4.7 Aufgabe. Wiese ist die Kettenregel für Mannigfaltigkeiten plötzlich scheinbar automatisch? Eigentlich sollte man doch erwarten, die Kettenregel für ℝ^{n} benutzen zu müssen immerhin ist dies ja auch ein Spezialfall, da ℝ^{n} selbst glatte Mannigfaltigkeit ist.

4.8 Definition. Sei c: [a, b] → M ein glatter Weg in einer glatten Mannigfaltigkeit. Für t ∈ [a, b] definieren wir c′(t) ∈ T_{c(t)}M durch c′(t) = [c(· − t)] = Dc(t)(1) (wende das Differential Dc an der Stelle t, also die lineare Abbildung Dc(t): T_{t}ℝ → T_{c(t)}M an auf das Element 1 ∈ T_{t}ℝ = ℝ).

5 Riemannsche Geometrie 0

Früher bereits angekündigt: Ziel der Riemannschen Geometrie ist es, geometrische Aspekte von Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Grundlegend dazu ist, Abstände und Winkel zu verstehen, also zunächst einmal definieren zu können. Wir können uns hier von Beispiel 3.1 leiten lassen. Da man auf beliebigen Mannigfaltigkeiten kaum von Geraden sprechen kann, machen Winkel wohl nur zwischen Richtungen Sinn. Richtungen sind aber gegeben durch Elemente des Tangentialraums, nur dass diese auch noch eine Länge haben. Mit solchen infinitesimalen Länge kann man dann wie in Gleichung (3.2) die Länge von stückweise glatten Kurven definieren, und zuletzt mittels Gleichung (3.3) den Abstand zwischen zwei Punkten (in derselben Wegzusammenhangskomponente).

5.1 Riemannsche Metriken

5.1 Definition. Eine Riemannsche Metrik g auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine ”Funktion“, die jedem Punkt x ∈ M eine positiv definites Skalarprodukt auf dem endlich dimensionalen Vektorraum T_{x}M zuordnet.

Diese Skalarprodukte sollen glatt vom Punkt x abhängen, was wie folgt definiert wird: für jede Karte ϕ: U → V ⊂ ℝ^{n} liefert g Funktionen g_{ij}: V → ℝ auf folgende Weise:

g_{ij}(x) := g(ϕ^{−1}(x))([x, ϕ, e_{i}], [x, ϕ, e_{j}]).

Diese Funktionen, oder die Funktionen g_{ij} ∘ ϕ: U → ℝ werden “Metrischer Tensor in lokalen Koordinaten“ genannt. Wir verlangen, dass diese Funktionen glatt sind.

5.2 Beispiel. Sei M ⊂ ℝ^{N} eine eingebettete Untermanngifaltigkeit. Dann ist für jedes x ∈ M T_{x}M nach der ursprünglichen Definition ein Untervektorraum von ℝ^{N}, und erbt als solcher die Einschränkung des Standard-Skalarprodukts. Dies liefert eine Riemannsche Metrik auf M im Sinn von Definition 5.1. Insbesondere ist dies genau das, was wir im Beispiel 3.1 für die 2-dimensionale Sphäre benutzt haben.

5.3 Aufgabe. ℝ^{2} mit dem euklidischen Skalarprodukt ist Riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den metrischen Tensor in Polarkoordinaten (r, ϕ) ∈ (0, ∞)× (0, 2π) mit x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ).

5.4 Definition. Sei M glatte Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g. Sei c: [a, b] → M ein glatter Weg. Wir definieren

l(c) := ∫_{a}^{b} \sqrt{g_{c(t)}(c′(t), c′(t))} dt.

Falls p, q ∈ M in derselben Wegzusammenhangskomponente liegen, definieren wir

d(p, q) := inf{l(c) | c stetiger stückweise glatter Weg von p nach q.}

5.5 Aufgabe. Besonders einfache Untermannigfaltigkeiten von ℝ^{3} ergeben sich als Rotationsflächen. Sei dazu c: ℝ → ℝ^{2} eine glatte Abbildung mit c_{1}(t) > 0 für alle t ∈ ℝ. Definiere dann

5.6 Definition. die Rotationsfläche S := {(c_{1}(t) cos(ϕ), c_{1}(t) sin(ϕ), c_{2}(t)) | t ∈ ℝ, ϕ ∈ [0, 2π]}.

Zeichne S (in schematischen Beispielen). Zeige, dass S eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{3} ist, finde geeignete lokale Koordinaten. Damit erhält S eine induzierte Riemannsche Metrik. Berechne diese in lokalen Koordinaten. Berechne die Länge der Kurven c_{t}: [0, 2π] → S; ϕ ↦ (c_{1}(t) cos(ϕ), c_{1}(t) sin(ϕ), c_{2}(t)) und d_{ϕ}: [a, b] → S; t ↦ (c_{1}(t) cos(ϕ), c_{1}(t) sin(ϕ), c_{2}(t)).

5.7 Satz. Durch die Definition 5.4 wird auf M eine Metrik definiert. Diese Metrik liefert die auf M gegebene Topologie.

Beweis. Genau wie der Beweis von Aufgabe 3.1.

Wegen der “stückweisen”Definition erfüllt d die Dreiecksungleichung. Da man Wege rückwärts laufen kann, ist d symmetrisch. A priori ist nicht klar dass d(x, y) = 0 nur wenn x = y, aber auch ohne diese Bedingung definiert d in der üblichen Weise eine Topologie (dann nicht notwendig hausdorffsch).

5.8 Definition. Eine Funktion d: X ×X → [0, ∞), die alle Eigenschaften einer Metrik außer d(x, y) = 0 nur wenn x = y erfüllt, heißt Pseudometrik.

Wir m”ussen noch zeigen, dass die Identität auf M bezüglich der ursprünglichen und der d-Topologie (in beiden Richtungen) stetig ist, dann sind die Topologien gleich.

Dies sind lokale Fragen, können also in lokalen Koordinaten behandelt werden. Entscheidend ist nun, dass für eine feste Karte ϕ: U → V und für eine kompakte Teilmenge von V (z.B. ein abgeschlossener Ball) es c > 0 gibt, so dass |v| /c ≤ \sqrt{g(v, v)} ≤ c |v| für jeden Tangentialvektor v (wobei |v| die euklidische Länge) tangential an diese kompakte Teilmenge. Es folgt eine entsprechende Ungleichung für die euklidische und die g-Länge und die euklidische Länge von stückweise glatten Kurve innerhalb der kompakten Teilmenge. Die euklidische Länge solcher Kurven zwischen zwei Punkten wird aber durch die Verbindungsstrecke minimiert, und ist dort gleich dem euklidischen Abstand. Die Behauptung folgt jetzt ohne gar zu große Mühe.

Achtung: hier könnten noch ein paar Details zugefügt werden!

5.9 Aufgabe. Seien τ_{1} und τ_{2} zwei Topologien auf einer Menge X. Zeige, dass τ_{1} = τ_{2} genau dann, wenn id_{X}: (X, τ_{1}) → (X, τ_{2}) ein Homöomorphismus ist.

5.2 Isometrien und Beispiele

5.10 Definition. Sei f: (M, g_{M}) → (N, g_{N}) eine glatte Abbildung zwischen zwei Riemannschen Mannigfaltigkeiten. f heißt isometrische Einbettung, falls T_{x}f: T_{x}M → T_{f(x)}N eine isometrische Injektion von Skalarprodukträumen für jedes x ∈ M ist (also g_{N}(T_{x}f(v), T_{x}f(w)) = g_{M}(v, w) ∀v, w ∈ T_{x}M).

f heißt (Riemannsche) Isometrie, falls f zusätzlich ein Diffeomorphismus. f heißt lokale Isometrie, falls für jedes x ∈ M eine offene Umgebung U existiert, so dass f(U) ⊂ N offen und f|_{U}: U → f(U) Isometrie.

5.11 Aufgabe.

5.12 Definition. Der Katenoid ist die Rotationsfläche der Kurve x_{1} = cosh(x_{2}) = (e^{x} + e^{−x})/2 in ℝ^{3}.

Der Helizoid H ist die Vereinigung der Geraden \overline{(0, 0, t) (cos(t), sin(t), t)} ⊂ ℝ^{3}, t ∈ ℝ.

Zeige, dass der Helizoid eine glatte Untermannigfaltigkeit von ℝ^{3} ist (finde ”natürliche“ lokale Koordinaten). Zeige, dass Katenoid und Helizoid lokal isometrisch sind (z.B. indem der metrische Tensor in geeigneten lokalen Koordinaten berechnet wird).

Lösung: Lokale Koordinaten für das Helizoid: es handelt sich um eine 2dimensionale Untermannigfaltigkeit, die wir durch die Höhe t und den ”signierten“ Abstand zur x_{3}-Achse parametrisieren:

ϕ^{−1} : ℝ^{2} → H; (r, t) ↦ (r cos(t), r sin(t), t).

Es handelt sich wirklich um eine glatte Untermannigfaltigkeit; dafür müssen wir eine Karte von ℝ^{3} finden, so dass H als Untermannigfaltigkeit gegeben ist. Hierzu verwenden wir eine dritte Koordinate senkrecht zu der Geraden durch (0, 0, t) und (cos(t), sin(t), t), also

Φ^{−1} : ℝ^{3} → ℝ^{3}; (r, t, x) ↦ r(cos(t), sin(t), 0) + x(sin(t), − cos(t), 0) + (0, 0, t).

Beachte, dass hier die Quelle der Abbildung Φ^{−1} die Teilmenge V des ℝ^{3} ist (zufällig gerade ℝ^{3}), und das Ziel die Teilmenge U der Mannigfaltigkeit (hier ist sowohl die Mannigfaltigkeit als auch U gleich ℝ^{3} —man sieht dass die ”einfachen“ Situationen oft die kompliziertesten sind, weil man die verschiedenen Objekte nicht auseinanderhalten kann).

Um die Riemannsche Metrik in diesen Koordinaten zu berechnen, müssen wir nur die ”Standard-Tangentialvektoren“ des ℝ^{2} (als Ziel der Koordinaten) e_{1} =: ∂_{r} und e_{2} =: ∂_{t} in die ”umgebende“ Mannigfaltigkeit (den Tangentialraum von ℝ^{3}) abbilden, und dann die Skalarprodukte (dort gibt es ja eine Riemannsche Metrik, nämlich hier die übliche euklidische) bilden.

Nun gilt Dϕ^{−1}(∂_{r}) = ∂ϕ^{−1}/∂r = (cos(t), sin(t), 0) und Dϕ^{−1}(∂_{t}) = ∂ϕ∂t = (−r sin(t), r cos(t), 1). Somit ergibt sich (indem man die entsprechenden Skalarprodukte bildet) für die Riemannsche Metrik in den durch ϕ gegebenen Koordinaten

g_{tt} = ⟨Dϕ^{−1}(∂_{t}), Dϕ^{−1}(∂_{t})⟩ = r^{2} + 1; g_{rr} = 1; g_{tr} = g_{rt} = 0.

Entsprechend muss man für den Katenoid vorgehen (die Standard-Koordinaten ergeben sich aus der Darstellung als Rotationsfläche).

5.13 Definition. Der hyperbolische Raum der Dimension n wird definiert als ℍ^{n} := (D^{n})^{∘} mit Riemannscher Metrik g_{ℍ}(x) := 4\frac{g_{Eukl}}{(1−|x|_{Eukl}^{2})^{2}} . Dies ist das Scheibenmodell des hyperbolischen Raums.

5.14 Aufgabe. Berechne die Länge von Strecken durch den Ursprung im Scheibenmodell des hyperbolischen Raums.

5.15 Definition. Das obere Halbraummodell des hyperbolischen Raums ist die Mannigfaltigkeit {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{1} > 0}, der obere Halbraum, mit Riemannscher Metrik g(x_{1}, …, x_{n}) := \frac{g_{Eukl}}{x_{1}^{2}} .

5.16 Aufgabe. Setze P := (−1, 0, …, 0). Zeige, dass x ↦ P + \frac{2(x−P)}{|x−P |^{2}} eine Isometrie zwischen dem Scheibenmodell und dem obere Halbraummodell des hyperbolischen Raums liefert.

5.17 Definition. Die Standard-Bilinearform auf ℝ^{n+1} mit Signatur (−1, n) ist definiert durch ⟨(x_{0}, …, x_{n}), (y_{n}, …, y_{n})⟩_{(−1,n)} := −x_{0}y_{0} + x_{1}y_{1} + ⋯ x_{n}y_{n}.

Das natürliche Modell des Hyperbolischen Raums ist ℍ^{n} := {x ∈ ℝ^{n+1} | ⟨x, x⟩_{(−1,n)} = −1, x_{0} > 0} (die Bedingung x_{0} > 0 wählt eine der beiden Schalen=Zusammenhangskomponenten des entsprechenden Hyperboloiden aus). Dies ist eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension n von ℝ^{n+1}.

Die Bilinearform ⟨·, ·⟩_{(−1,n)} schränkt sich zu einem positiv definiten Skalarprodukt auf jedem Tangentialraum von ℍ^{n} ein. Insgesamt erhält man so eine Riemannsche Metrik auf ℍ^{n}.

5.18 Bemerkung. Natürlich dürfte man eigentlich nicht dieselbe Notation ℍ^{n} für die verschiedenen Modelle benutzen; aber da sie isometrisch sind (siehe Aufgabe 5.19) nimmt man es wie so oft auch hier nicht so genau.

5.19 Aufgabe. Beweise die Behauptung aus Definition 5.17, also dass ℍ Untermannigfaltigkeit ist, und dass man tatsächlich eine Riemannsche Metrik erhält.

Sei P = (−1, 0, …, 0). Zeige, dass die Abbildung

x ↦ P − \frac{2(x − P)}{⟨x − P, x − P ⟩_{(−1,n)}}

eine Isometrie zwischen dem natürlichen Modell und dem Scheibenmodell des hyperbolischen Raums definiert (wobei die Scheibe mit der Scheibe in der (x_{0} = 0)-Ebene identifiziert wird).

5.20 Aufgabe. Definiere und klassifiziere flache Tori.

Wir beenden das Kapitel mit ein paar weiteren Konstruktionen.

5.21 Definition. Seien X, Y topologische Räume. Die Produkttopologie auf X × Y ist die Topologie, deren offene Mengen von Mengen der Form U × V erzeugt wird (U ⊂ X offen, V ⊂ Y offen). Erzeugt heißt: eine Teilmenge von X × Y ist genau dann offen, wenn es eine Vereinigung (beliebig vieler) Mengen ist, welche selbst wieder endliche Schnitte von Menge der Form U × V wie oben sind.

Seien M und N topologische oder glatte Mannigfaltigkeiten. Dann wird auch M × N eine solche, indem man einfach Kreuzprodukte von Karten benutzt.

5.22 Aufgabe. Überprüfe, dass die Produkttopologie wieder eine Topologie ist. Überprüfe, dass beim ”Erzeugen“ in Definition 5.21 immer eine Topologie entsteht, egal von welcher Kollektion von Mengen man ausgeht.

Zeige, dass M × N tatsächlich eine (glatte) Mannigfaltigkeit wird, und dass die Projektion M ×N → M; (x, y) ↦ x eine stetige (bzw. glatte) Abbildung ist.

5.23 Definition. Der n-Torus T^{n} ist das Produkt von n-Kopien von S^{1}: T^{n} = (S^{1})^{n}.

5.24 Aufgabe. Finde eine Einbettung von T^{n} als glatte Untermannigfaltigkeit in ℝ^{N} (das ist einfach mit N = 2n, versuche, N = n+1 zu erreichen, zumindest für n = 2).

Definiere auf ℝ^{n} die Äquivalenzrelation v v + z für alle v ∈ ℝ^{n} und alle z ∈ ℤ^{n}. Zeige, dass T^{n} homöomorph zu ℝ^{n}/ ist. Für die Menge der Äquivalenzklassen schreibt man in der Regel ℝ^{n}/ℤ^{n}.

5.25 Beispiel. In Aufgabe 5.24 sieht man, dass T^{n} eine abelsche Gruppe wird (Faktorgruppe der additiven Gruppe von ℝ^{n} modulo der Untergruppe ℤ^{n}). Die Addition und Inversion sind sogar glatte Abbildungen.

5.26 Aufgabe. Zeige, dass T^{n} × T^{n} → T^{n}; (x, y) ↦ x + y und T^{n} → T^{n}; x ↦ −x glatte Abbildungen sind.

5.27 Satz. Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten. Dann gibt es kanonische Vektorraumisomorphismen T_{(p,q)}M × N → T_{q}M ⊕ T_{q}N; [c: ℝ → M × N] ↦ ([pr_{M} ∘c], [pr_{N} ∘c]).

Sind g_{M} und g_{N} Riemannsche Metriken auf M und N, so liefert unter diesem Iso die direkte Summe eine Riemannsche Metrik auf M × N, die Produktmetrik g_{M} × g_{N} (oft auch g_{M} ⊕ g_{N} oder g_{M} + g_{N} geschrieben).

Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung linear und ein Iso ist. Sei dazu ϕ: U → V Karte von M um p ∈ M und ψ: U_{2} → V_{2} Karte von N um q. Dann ist ϕ×ψ Karte von M ×N. Die beschriebene Abbildung ist dann gegeben durch

[(p, q), ϕ × ψ, (v_{1}, v_{2})] ↦ ([p, ϕ, v_{1}], [q, ψ, v_{2}]),

offensichtlich der gewünschte Isomorphismus.

Die direkte Summe zweier positiv definiter Skalarprodukte ist wieder ein positiv definites Skalarprodukt, wegen der Produkt-Kartenstruktur folgt auch sofort, dass die Produktmetrik glatt ist. Ist etwa g_{ij}(x) der metrische Tensor in lokalen Koordinaten ϕ von M (i, j = 1, …, m), und h_{ij}(y) der metrische Tensor in Koordinaten ψ von N, so ist k_{ij}(x, y) := g_{ij}(x) für i, j = 1, …, m k_{ij}(x, y) := h_{i−m,j−m}(y) für i, j = m + 1, … m + n und k_{ij}(x, y) = 0 sonst der metrische Tensor von M × N in lokalen Koordinaten ϕ × ψ.

6 Vektorbündel und Tangentialraum

Wir haben in Diff 3 schon gesehen, dass die Vereinigung aller Tangentialräume (für eine eingebettete Untermannigfaltigkeit M) selbst eine glatte Mannigfaltigkeit ist. Dazu hat man die spezielle Struktur, dass man für jeden Punkt in M einen Vektorraum erhält, und dass diese Vektorräume ‘glatt vom Punkt in M abhängen“.

Dies wollen wir nun mathematisch präzisieren und axiomatisieren, zum Vektorraumbündel. Die entscheidende Überlegung hierbei ist, dass es zunächst ein besonders naheliegendes Modell für das oben beschriebene gibt, nämlich das Produkt M × ℝ^{n} —hier ist insbesondere auch klar, was das “glatt vom Punkt abhängen“ bedeutet. Dies muss aber ja nur lokal gelten, und wie bei Mannigfaltigkeiten wollen wir Karten benutzen, um mit dem lokalen Modell zu vergleichen.

6.1 Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Ein (glattes) Vektorraumbündel über M ist eine glatte Mannigfaltigkeit E zusammen mit einer glatten surjektiven Abbildung p: E → M, der Struktur eines ℝ-Vektorraums auf jeder Faser E_{b} := p^{−1}(b) (b ∈ M), und einem glatten Vektorbündelatlas, bestehend aus Vektorbündelkarten (d.h. Diffeomorphismen)

ϕ: U → V × ℝ^{n},

wobei U ⊂ E offen, V ⊂ M offen, und so dass pr_{V} ∘ϕ = p, und so dass die Einschränkungen ϕ|_{E_{b}}: E_{b} → {b} × ℝ^{n} linear sind.

Atlas heißt natürlich wieder, dass die Vereinigung aller Kartendefinitionsbereiche U ganz E ist. Man kann (und wird im allgemeinen) jeden Atlas zu einem maximalen Atlas mit den entsprechenden Eigenschaften ergänzen.

6.2 Lemma. Sei E → M ein Vektorbündel und

ψ ∘ ϕ^{−1}V_{1} ∩ V_{2} × ℝ^{n} → U_{1} ∩ U_{2} → V_{1} ∩ V_{2} × ℝ^{n}

ein Vektorbündelkartenwechsel. Dann gibt es eine glatte Abbildung θ_{1,2} : V_{1} ∩ V_{2} → Gl(n, ℝ), so dass

ψ ∘ ϕ^{−1}(x, v) = (x, θ_{1,2}(x) · v).

Glatt heißt hier, dass jede Komponente der Matrix glatt von x abhängt.

Beweis. Da ϕ und ψ faserweise linear und bijektiv sind, gilt dies auch für die Verknüpfung ψ ∘ϕ^{−1}; mit anderen Worten: die Abbildung ist faserweise gegeben durch Multiplikation mit einer Matrix. Außerdem ist ψ ∘ ϕ^{−1} glatt, also ist insbesondere x ↦ ψ ∘ ϕ^{−1}(x, e_{k}) glatt für die Einheitsvektoren e_{k}. Dies liefert aber gerade die k-te Spalte der Matrix θ_{1,2}(x).

6.3 Bemerkung. Mann kann natürlich auch die Differenzierbarkeitsbedingung in Definition 6.1 durch Homöomorphie ersetzen, und erhält so den Begriff des topologischen Vektorbündels. Dann kann der Basisraum ein beliebiger topologischer Raum sein.

6.4 Beispiel. Das Tangentialbündel von S^{1} (Teilmenge von S^{1} × ℝ^{2}) ist ein Vektorraumbündel, sogar Unterbündel.

6.5 Beispiel. Klebefunktionen ϕ_{i,j} welche die Kozykelbedingung erfüllen, ergeben ein Vektorbündel. (Kommentar: Mehr Details!)

6.6 Definition. Seien p: E → M und q: E′ → N glatte Vektorbündel über glatten Mannigfaltigkeiten und f: M → N eine glatte Abbildung. Eine glatte Abbildung F: E → E′ heißt Vektorbündelabbildung über f, falls q ∘ F = f ∘ p, man also das kommutative Diagram

E ⟶^{F} E′
↓^{p}  ↓^{q}
M ⟶^{f} N

hat, und falls F faserweise linear ist, also F |_{E_{b}}: E_{b} → E′_{f(b)} linear ist.

Ein Vektorbündelisomorphismus ist eine Vektorbündelabbildung über id, welche Faserweise ein Isomorphismus ist.

6.7 Beispiel. Das trivialisierte Bündel der Dimension n M × ℝ^{n} ist offensichtlich ein glattes Vektorbündel.

Das Tangentialbündel einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n} ist ebenfalls ein Vektorbündel (die Vektorbündelkarten gewinnt man mittels der Karten der Mannigfaltigkeit, siehe unten).

Das nächste Ziel ist es nun, die Tangentialräume für eine abstrakte Mannigfaltigkeit zu einem Vektorbündel zusammen zu bauen.

6.8 Definition. Sei M glatte Mannigfaltigkeit. Als Menge setzen wir T M := ⋃_{x∈M} T_{x}M. Wir brauchen nun noch eine Topologie und die Vektorbündelkarten. Wir beginnen zunächst mit den Karten:

Sei ϕ: V → W ⊂ ℝ^{n} eine Karte von M. Dann erhält man eine Abbildung

Φ: U := ⋃_{x∈V} T_{x}M → U × ℝ^{n}; [x, ϕ, v] ↦ (x, v).

Hier repräsentieren wir einen Tangentialvektor in T_{x}M durch die Karte ϕ und den Spaltenvektor v ∈ ℝ^{n}.

Es ist nach Definition klar, dass Φ auf jeder Faser T_{x}M ein Vektorraumisomorphismus ist.

Wir definieren nun die Topologie auf T M dadurch, dass sie von den Urbildern unter Φ der offener Mengen in V × ℝ^{n} erzeugt wird (wobei alle möglichen Φ wie oben benutzt werden sollen).

Dies wird kanonisch eine glatte Mannigfaltigkeit, mit Karten

Φ̃ := (ϕ × id_{ℝ^{n}}) ∘ Φ: U → V′ × ℝ^{n} ⊂ ℝ^{2n}.

6.9 Aufgabe. Man muss in Definition 6.8 natürlich noch eine ganze Menge von Dingen nachrechnen: erhält man wirklich eine glatte Mannigfaltigkeit T M, werden die Abbildungen Φ glatt, …. Dies bleibt Übungsaufgabe.

6.10 Satz. Sei f: M → N glatt. Dann ist T f: T M → T N glatte Vektorbündelabbildung über f.

Beweis. Nach Konstruktion erhalten wir eine Abbildung über f die faserweise linear ist. Es bleibt nur nachzuprüfen, dass T f glatt ist.

Wieder nach Definition kann man dies in Karten (“in lokalen Koordinaten”) tun. Seien dazu ϕ: V → W und ψ: V′ → W′ Karten von M und von N, sein x ∈ V und f(x) ∈ V′.

Dann erhält man Karten Φ̃ und Ψ̃ von T M und T N, und es gilt nach Definition

Ψ̃ ∘ T f ∘ Φ̃^{−1}(p, v) = (ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1}(p), D(ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1})(v)).

Da ψ ∘f ∘ϕ^{−1} glatt ist, gilt dies nach Resultaten aus Diff 2 auch für diese daraus gebildete Abbildung.

6.11 Aufgabe. Wieso gilt das? Gib mehr Details.

6.12 Bemerkung. Hier sieht man ein typisches Beweisprinzip, welches wir schon vorher benutzt haben, und auch später noch oft benutzen werden: viele topologische Aussagen sind lokal (Stetigkeit, Differenzierbarkeit), und werden daher lokal bewiesen. Der lokale Fall kann dann mit Hilfe geeigneter Hilfsmittel (Karten) auf ein einfacheres, im Optimum bereits bekanntes Problem zurückgeführt werden.

6.13 Definition. Ein n-dimensionales Vektorbündel E → M ist trivial, wenn es isomorph zum Bündel M × ℝ^{n} ist

6.14 Aufgabe. Zeige, dass das Tangentialbündel von S^{1} trivial ist. Zeige, dass das Tangentialbündel von S^{3} trivial ist (Tipp: benutze die Quaternionen).

6.1 Neue Vektorbündel aus alten

Es gibt viele Methoden, wie man aus gegebenen ℝ-Vektorräumen neue Vektorräume bilden kann.

6.15 Beispiel. (1) Direkte Summe V ⊕ W

(2) Tensorprodukt V ⊗ W.

(3) Dualraum V^{∗} = Hom(V, ℝ).

(4) Homomorphismenraum Hom(V, W).

(5) symmetrische Bilinearformen Sym^{2}(V).

Die entsprechenden Operationen wollen wir nun statt mit Vektorr”’aumen mit Vektorbündeln über einer festen Mannigfaltigkeit M durchführen, indem wir die Operation faserweise anwenden.

Dies ist natürlich möglich, liefert aber zunächst einmal nur, wie beim Tangentialbündel, eine Menge, welche als disjunkte Vereinigung von Vektorräumen gegeben ist.

Wie beim Tangentialbündel bleibt dann noch, diese Menge mit einer Topologie zu versehen und die Vektorbündel- und Mannigfaltigkeitskarten zu erklären.

Dies wollen wir am Beispiel der direkten Summe betrachten:

Falls Φ: U → V × ℝ^{n} Vektorbündelkarte von E und Ψ: U′ → V × ℝ^{m} Vektorbündelkarte von E′ (durch Bildung von Schnittmengen können wir erreichen dass V in beiden Karten dieselbe Menge ist), so definieren wir

Φ⊕Ψ: ⋃_{x∈V} E_{x}⊕E′_{x} → V ×ℝ^{n}⊕ℝ^{m}; (v, v′) ↦ (x, Φ(v), Φ′(v′)); falls (v, v′) ∈ E_{x}⊕E′_{x}.

Die Topologie auf E ⊕ E′ := ⋃_{x∈M} E_{x} ⊕ E′_{x} wird dann wieder von Urbildern offener Mengen unter den Abbildungen Φ ⊕ Φ′ erzeugt.

Entsprechend geht man in den anderen Fällen vor. Es bleibt natürlich, die Axiome eines glatten Vektorbündels nachzuprüfen. Dies wollen wir nicht im Einzelnen tun. Es soll nur aufgezeigt werden, welche Eigenschaften man benutzt, um dies durchzuführen.

Um dies bequem durchführen zu können, benutzen wir den Begriff der Kategorie und des Funktors:

6.16 Definition. Eine Kategorie K besteht

(1) aus einer Klasse von Objekten Ob(K)

(2) Für je zwei Objekte X, Y ∈ Ob(K) gibt es eine Menge von Morphismen Mor(X, Y) (kann auch leer sein)

mit folgenden Eigenschaften.

(1) Fur jedes Objekt X gibt es ein ausgezeichnetes Element id_{X} ∈ Mor(X, X).

(2) Falls X, Y, Z ∈ Ob(K), so gibt es eine Verknüpfung

∘: Mor(Y, Z) × Mor(X, Y) → Mor(X, Z),

so dass f ∘ id_{X} = id_{Y} ∘f = f für alle f ∈ Mor(X, Y) und (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) immer wenn dies Sinn macht.

6.17 Beispiel. Die ℝ-Vektorräume bilden eine Kategorie, mit Morphismen den linearen Abbildungen. Ebenso die Gruppen, mit Morphismen die Gruppenhomomorphismen, die Mengen (Morphismen einfach alle Abbildungen), die topologischen Räume (Morphismen die stetigen Abbildungen), die glatten Mannigfaltigkeiten (Morphismen die glatten Abbildungen)

6.18 Beispiel. Sei C eine Kategorie. Dann definiert man die umgekehrte Kategorie C^{op} auf folgende Weise: Ob(C^{op}) := Ob(C); Mor_{C^{op}}(A, B) := Mor_{C}(B, A). Mit anderen Worten: alle Pfeile werden formal umgedreht. Die Komposition ergibt sich aus der Komposition in C.

6.19 Beispiel. Seien K_{1} und K_{2} Kategorien. Dann definiert man die Produktkategorie K_{1} × K_{2}, wobei die Objekte Tupel (A, B) mit A ∈ Ob(K_{1}), B ∈ Ob(K_{2}) und Mor_{K_{1}×K_{2}}((A_{1}, B_{1}), (A_{2}, B_{2})) := Mor_{K_{1}}(A_{1}, A_{2})×Mor_{K_{2}}(B_{1}, B_{2}).

6.20 Definition. Ein (kovarianter) Funktor F zwischen zwei Kategorien K_{1} und K_{2} ordnet jedem Objekt X ∈ Ob(K_{1}) ein Objekt F (X) ∈ Ob(K_{2}) zu, und jedem Morphismus f ∈ Mor(X, Y) (X, Y ∈ Ob(K_{1})) einen Morphismus F (f) ∈ Mor(f(X), f(Y)).

Dabei wird gefordert, dass immer F (id_{X}) = id_{F (X)} und F (f ∘ g) = F (f) ∘ F (g) gilt.

Ein kontravarianter Funktor wird entsprechend definiert, mit dem Unterschied, dass F (f) ∈ Mor(F (Y), F (X)) falls f ∈ Mor(X, Y), und dann auch F (f ∘ g) = F (g) ∘ F (f) (alle Pfeile werden umgedreht). Äquivalent: ein Kontravarianter Funktor von K_{1} nach K_{2} ist ein kovarianter Funktor von K_{1}^{op} nach K_{2}.

6.21 Beispiel. Bilden des Dualraums ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der Vektorräume in die Kategorie der Vektorräume, wobei einer Abbildung die duale Abbildung zugeordnet wird.

Vergessen der Topologie ist ein Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der Mengen.

Definiere die Kategorie der Paare von ℝ-Vektorräumen und Paare von Vektorraumhomomorphismen.

Die direkte Summe ist ein Funktor von der Kategorie der Paare von Vektorräumen in die Kategorie von Vektorräumen.

Um aus gegebenen Vektorraumbundeln neue konstruieren zu können, brauchen wir folgende Daten:

(1) Eine Funktor F von der Kategorie der n-Tupel von Vektorräumen zu Kategorie der Vektorräume, z.B. direkte Summe.

(In der Kategorie der n-Tupel von Vektorräumen sind die Morphismen natürlich n-Tupel von Morphismen. Bei der Komposition wollen wir zulassen, dass in manchen Komponenten die formal umgekehrte Komposition gilt (also V ect^{op} benutzt wird). Formal: es handelt sich um ein n-faches Produkt von Kategorien wie in Beispiel 6.19, wobei die Faktoren entweder die Kategorie der Vektorräume oder deren umgekehrte Kategorie (vergleiche Beispiel 6.18) ist.)

(2) Dieser Funktor muss F (ℝ^{n_{1}}, …) = ℝ^{F (n_{1},...)} erfüllen (wie die direkte Summe).

Durch faserweise Anwenden des Funktors auf die Vektorbündelkarten erhalten wir so Kandidaten für die Vektorbündelkarten des zu konstruierenden Bündels.

(3) Um eine vernünftige Topologie und damit tatsächlich ein glattes Vektorbündel zu lieferen, muss der Funktor F noch die Topologie respektieren. Dazu fordern wir:

Falls M glatte Mannigfaltigkeit und θ: M → Gl(n_{1}, ℝ) × ⋯ eine glatte Abbildung ist, so muss auch die Abbildung F ∘ θ: M → Gl(F (n_{1}, …), ℝ) eine glatte Abbildung sein.

Wenn ein F diese Eigenschaften hat, nennen wir ihn glatten Funktor.

6.22 Satz. Erfüllt ein Funktor F diese Regeln, dann kann man diesen Funktor faserweise auf Vektorbündel anwenden und erhält auf diese Weise aus n Vektorbündeln E_{1}, …, E_{n} über M in kanonischer Weise ein neues glattes Vektorbündel F (E_{1}, …, E_{n}), so dass für jede Faser gilt F (E_{1}, …, E_{n})_{p} = F ((E_{1})_{p}, …, (E_{n})_{p}) für alle p ∈ M.

Beweis. Als Menge setzt man natürlich F (E_{1}, …, E_{n}) := ⨿_{p∈M}F ((E_{1})_{p}, …, (E_{n})_{p}). Die Topologie definiert man mit Hilfe der lokalen Trivialisierungen, und letztere baut man aus den lokalen Trivialisierungen der Bündel E_{1}, …, E_{n} zusammen, wobei man die Eigenschaften des Funktors F, insbesondere seine Stetigkeit/Glattheit (3) benutzt.

6.23 Bemerkung. Bei der Definition der Vektorbündel kann man überall auch ℝ durch ℂ ersetzen. Zur Unterscheidung spricht man dann von reellen bzw. komplexen Vektorbündeln. Für uns ist die erste Variante momentan wichtiger, weil das Tangentialbündel ein ℝ-Vektorbündel ist.

7 Riemannsche Geometrie 1

Wir wollen nun zurückkommen zu den Riemannschen Metriken und sie mit der neuen Notation beschreiben.

7.1 Definition. Sei p: E → M ein glattes Vektorbündel. Ein glatter Schnitt von E ist eine glatte Abbildung s: M → E mit p ∘ s = id_{M}. Es wird also jedem Punkt von M ein Element des zu diesem Punkt gehörenden Vektorraums zugeordnet.

Die Menge der glatten Schnitte bezeichnen wir mit Γ(E).

Entsprechend definiert man stetige Schnitte.

Die Schnitte des Tangentialbündels erhalten noch einen eigenen Namen, man nennt sie Vektorfelder. Die Schnitte von des dualen Bündels T^{∗}M des Tangentialbündels heißen 1-Formen, man schreibt auch Γ(T^{∗}M) = Ω^{1}(M).

Wendet man den Funktor ”alternierende p-Formen“ auf das Tangentialbündel an, erhält man das Bündel Alt^{p}(T M) (beachte: Alt^{1}(T M) = T^{∗}M), die Schnitte sind die p-Formen Γ(Alt^{p} T M) =: Ω^{p}(M).

7.2 Bemerkung. Mit den p-Formen werden wir uns momentan nicht beschäftigen, vielen sollten sich aus Diff 3 an sie erinnern, wo wir dieselbe Definition, allerdings vielleicht nur für Untermannigfaltigkeiten, benutzt haben.

7.3 Beispiel. Die glatten Schnitte des trivialisierten Bündels sind gerade die Funktionen:

Γ(M × ℝ^{n}) = C^{∞}(M; ℝ^{n}).

7.4 Satz. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit g auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist genau ein Schnitt g des Vektorbündels der symmetrischen Bilinearformen auf T M, so dass g(x) für jedes x ∈ M positiv definit ist.

Beweis. Eine Riemannsche Metrik ordnet jedem x ∈ M ein positiv definites Skalarprodukt von T_{x}M zu, also ein entsprechendes Element in Sym^{2}(T_{x}M).

Es bleibt zu zeigen, dass die Definition von glatt in 5.1 und für glatte Schnitte von Sym^{2}(T M) dieselbe ist. Dies ist per Definition der Fall. (Auch hier könnten mehr Details nicht schaden.)

8 Drei Sätze über Mannigfaltigkeiten

Hier soll nun das Versprechen eingelöst werden, zu zeigen, dass O(n) eine glatte Mannigfaltigkeit ist.

Dazu eine Definition und ein paar Sätze.

8.1 Definition. Sei f: M → N glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Ein Punkt x ∈ M heißt regulär, falls T_{x}f: T_{x}M → T_{f(x)}N surjektiv ist.

y ∈ N heißt regulärer Wert, falls jeder Punkt in f^{−1}(y) regulär ist. Beachte: falls f^{−1}(x) = ∅, dann ist diese Bedingung erfüllt.

f heißt Immersion, falls T_{x}f für jedes x ∈ M injektiv ist, und f heißt Submersion, falls T_{x}f für jedes x ∈ M surjektiv ist.

8.2 Definition. Eine Riemannsche Immersion ist eine glatte Abbildung f: M → N zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g^{M}) und (N, g^{N}) so dass T_{x}f: T_{x}M → T_{f(x)}N eine isometrische Einbettung von Vektorräume mit Skalarprodukt ist.

Ist umgekehrt f: M → N eine Immersion und g^{N} eine Riemannsche Metrik auf N, so definiert f^{∗}g^{N} mit f^{∗}g^{N}(v, w) := g^{N}(T f(v), T f(w)) eine Riemannsche Metrik auf M ,so dass f eine Riemannsche Submersion wird.

8.3 Beispiel. Die Inklusion ℝ^{k} × {0} ist eine Riemannsche Immersion (sogar eine isometrische Einbettung), die Projektion ℝ^{n} = ℝ^{k} × ℝ^{n−k} → ℝ^{k} eine Riemannsche Submersion.

8.4 Aufgabe. Mache Dir klar, dass jede Riemannsche Submersion eine Submersion ist.

Mache Dir klar, dass es für Submersionen nicht so einfach ist, aus einer Riemannschen Metrik auf M eine Riemannsche Metrik auf N zu gewinnen, die f zu einer Riemannschen Submersion macht.

8.1 Urbildsatz

8.5 Satz. Sei f: M^{m} → N^{n} glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Sei y ∈ N regulärer Wert von f. Dann ist f^{−1}(y) eine glatte Untermannigfaltigkeit von M, mit dim(f^{−1}(y)) = dim(M) − dim(N) = m − n.

Beweis. Dieser Satz ist eine globale Version des Satzes über implizite Funktionen und wird auf letzteren zurückgeführt.

Nach Definition des Begriffs Untermannigfaltigkeit müssen wir für jedes x ∈ M mit f(x) = y eine Karte ϕ: U → V ℝ^{m} finden, so dass ϕ(U ∩ f^{−1}(y)) = V ∩ ℝ^{n−m} × {0}.

Wähle zunächst irgendeine Karte ϕ: U → V von M mit ϕ(x) = 0, und eine Karte ψ: U′ → V′ von N mit ψ(y) = 0. Durch Komposition erhalten wir dann eine glatte Abbildung g := ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1} : V → V′ zwischen offenen Teilmengen des ℝ^{m} und des ℝ^{n}, und es gilt dass Dg(0) = D(ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1})(0) surjektiv ist.

Hier kann man nun den Satz über implizite Funktionen anwenden. Dieser sagt (nachdem man eventuell V durch eine kleinere offene Menge ersetzt hat und eventuell die Koordinaten anders angeordnet hat) dass es eine glatte Abbildung α: V ∩ ℝ^{m−n} × {0} → ℝ^{n−m} so dass g(u, v) = 0 für (u, v) ∈ ℝ^{m} × ℝ^{n−m} ∩ V genau dann, wenn v = α(u).

Wir modifizieren nun die ursprüngliche Karte ϕ (auf einer entsprechend verkleinerten offenen Menge) indem wir Verknüpfen mit der Abbildung (v, w) ↦ (v, w − α(v)). Da g(v, w − α(v)) = 0 genau dann, wenn (v, w − α(v)) = 0, entsprechen unter der neuen Karte die y-Stellen von f genau den Punkten (v, 0) (da die y-Stellen von f genau den Nullstellen von g entsprechen).

8.6 Korollar. O(n) ist Untermannigaltigkeit von Gl(n).

Beweis. Da Gl(n) offene Teilmenge von ℝ^{n^{2}} ist, ist Gl(n) glatte Mannigfaltigkeit. Wir wollen Satz 8.5 anwenden, und zwar auf die Abbildung f: A ↦ A^{∗}A. Nach Definition ist O(n) = {A ∈ Gl(n) | A^{∗}A = 1}. Es muss also nur noch gezeigt werden, dass 1 regulärer Wert ist. Das kann aber so nicht sein. Da jede Matrix der Form A^{∗}A symmetrisch ist, muss man die Komponenten unterhalb der Diagonalen vergessen, und die Abbildung als Abbildung nach ℝ^{n(n+1)/2} auffassen. Es gilt D_{A}f(H) = A^{∗}H + H^{∗}A (als lineare Approximation an die Abbildung f). Sei X symmetrische Matrix. Mit H := (A^{∗})^{−1}X/2 gilt dann A^{∗}H = X/2 = H^{∗}A (da X symmetrisch), also D_{A}f(H) = X. Somit ist Df an jeder Stelle A ∈ Gl(n) surjektiv.

Der Urbildsatz hat eine nützliche Verallgemeinerung, die wir hier zunächst ohne Beweis angeben wollen.

8.7 Definition. Sei p: E → M glattes Vektorbündel, N ⊂ M eine glatte Untermannigfaltigkeit. Setze E|_{N} := p^{−1}(N). Dies ist ein glattes Vektorbündel über N (die Karten erhält man einfach durch Einschränken der Karten von E).

Sei allgemeiner f: N → M eine glatte Abbildung. Dann definiert man f^{∗}E := {(x, v) ∈ N × E | f(x) = p(v)}. Dann hat man die offensichtliche Projektion q: f^{∗}E → N. f^{∗}E wird glattes Vektorbündel über N. f^{∗}E heißt pullback-Bündel oder zurückgezogenes Bündel oder Faserprodukt. Es handelt sich hier um eine überaus nützliche und häufig verwendete Konstruktion.

Dazu beachte zunächst, dass N × E ein glattes Vektorbündel über N × M ist (die Bündelkarten ergeben sich als Produkte mit id_{N}). Wir fassen N als Untermannigfaltigkeit von N × M auf, mittels Einbettung x ↦ (x, f(x)). Dann ist f^{∗}E genau die Einschränkung von N × E auf diese Untermannigfaltigkeit N.

Umgekehrt ist E|_{N} = i^{∗}E, falls im ersten Beispiel i: N → M die Inklusionsabbildung ist.

8.8 Aufgabe. Zeige, dass in Definition 8.7 die Abbildung N → N × M; x ↦ (x, f(x)) wirklich eine glatte Einbettung liefert.

8.9 Definition. Sei N eine glatte Untermannigfaltigkeit der glatten Mannigfaltigkeit M. Das Normalenbündel ν(N) ist der Quotient T M|_{N}/T N.

8.10 Satz. Sei f: X → M glatte Abbildung und N ⊂ M glatte Untermannigfaltigkeit. Die Abbildung f heißt transversal zu N, falls für jedes x ∈ X mit f(x) ∈ N gilt, dass die (nicht notwendig direkte) Summe von Untervektorräumen

T_{x}f(T X) + T_{x}N = T_{x}M.

Falls f transversal zu N, so ist f^{−1}(N) eine glatte Untermannigfaltigkeit von X, und das Normalenbündel ν(f^{−1}(N)) ist isomorph zu f^{∗}ν(N).

Insbesondere gilt dim(X) − dim(f^{−1}(N)) = dim(M) − dim(N).

Beweis. Auch dieser Satz folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, wobei man natürlich noch etwas genauer hinsehen muss.

8.11 Aufgabe. Zeige, dass der Urbildsatz 8.5 ein Spezialfall von Satz 8.10 ist. Wie sieht das Normalenbündel des Urbilds eines regulären Wertes aus.

Beweise die Dimensionsformel am Ende von Satz 8.10 aus den restlichen Aussagen.

8.2 Satz von Sard über Existenz regulärer Werte

8.12 Satz. (Satz von Sard): Sei f: M → N glatte Abbildung. Dann ist das Komplement der Menge der regulären Werte eine Nullmenge, insbesondere ist die Menge der regulären Werte dicht in N, insbesondere nicht leer.

Beweis. Für den Beweis wird auf die Literatur verwiesen. (Man könnte hier natürlich auch den, leider nicht wirklich kurzen, Beweis angeben oder wenigstens skizzieren.)

8.3 Teilung der Eins

In der Theorie glatter Mannigfaltigkeiten gewinnt man große Flexibilität dadurch, dass nicht nur viele Beweise lokal geführt werden können (das haben wir schon gesehen), sondern auch viele Konstruktionen lokal durchgeführt werden können. Das haben wir bei den Bündeln schon im Ansatz kennen gelernt. Seine ganze Bedeutung gewinnt dieses Prinzip aber erst, wenn man lokale Konstruktionen ”Zusammenkleben“ kann. Dafür wird die Teilung der Eins benutzt.

8.13 Satz. Sei M glatte Mannigfaltigkeit. Seien V_{j} (j ∈ J) offene Teilmengen von M welche M überdecken. Dann gibt es eine lokal-endliche Verfeinerung U_{i} (i ∈ I) der offenen Überdeckung, d.h.

(1) Es gibt Abbildung α: I → J, und U_{i} ⊂ V_{α(i)} für alle i ∈ I.

(2) Für jedes x ∈ M gibt es eine offene Menge U_{x} so dass U_{x} ∩ U_{i} = ∅ für alle bis auf endlich viele i ∈ I.

Dann gibt es glatte Abbildungen ′ϕ_{i}: U_{i} → [0, 1] (genannt Abschneidefunktionen) mit folgenden Eigenschaften:

(1) Für jedes x ∈ M gibt es eine offene Umgebung U_{x}, so dass auf U_{x} nur endlich viele der ϕ_{i} von Null verschieden sind.

(2) ∑_{i∈I} ϕ_{i}(x) = 1 ∀x ∈ M (wegen Punkt (1) ist dies tatsächlich für jedes x eine endliche Summe).

Die ϕ_{i} heißen glatte Teilung der Eins, der Überdeckung U_{i} untergeordnet.

Beweis. Siehe Literatur (der Beweis wird einfach zu oft vorgemacht). Die Existenz der lokal-endliche Verfeinerung verallgemeinert die definierende Eigenschaft von Kompaktheit.

8.14 Definition. Ein Raum, für den es solche loakl-endlichen Verfeinerungen für jede offene Überdeckung gibt, heißt parakompakt.

Hier geht es also darum, zu zeigen dass M parakompakt ist. Dafür benutzt man die abzählbare dichte Teilmenge.

Es wäre natürlich nicht schlecht, den Beweis hier komplett zu geben.

8.15 Aufgabe. Sei M kompakte glatte m-Mannigfaltigkeit. Zeige, dass es für genügend großes N eine Einbettung i: M → ℝ^{N} gibt.

Tipp: benutze Karten, um kleine Teilstücke in ℝ^{n} “einzubetten”. Für die verschiedenen Karten, benutze verschiedene Komponenten in einem großen ℝ^{N}.

Benutze eine Teilung der Eins, um daraus tatsächlich überall definierte glatte Abbildungen zu machen.

Benutze den Satz von Sard und geeignete Projektionen, um aus solch einer Einbettung eine Einbettung in ℝ^{2m+1} zu machen. (Diese Aufgabe ist recht anspruchsvoll, kann in der Literatur vielfach nachgesehen werden.)

9 Kurven und Flächen im Raum I

Die ”klassische“ Differentialgeometrie beschäftigt sich insbesondere mit den Eigenschaften von eingebetteten Kurven und Flächen im Raum.

9.1 Definition. Eine eingebettete Kurve im Raum ist eine 1-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3}. Es gibt also insbesondere folgende Typen:

Einbettungen von (offenen) Intervallen, und Einbettungen von S^{1}. Letztere Kurven werden geschlossene Kurven genannt.

Eine eingebettete Fläche im Raum ist eine 2-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3}.

Wir haben bereits gesehen, dass jede solche Mannigfaltigkeit auf kanonische Weise eine Riemannsche Metrik enthält.

9.2 Bemerkung. Bei der Untersuchung von Kurven und Flächen sind zwei verschiedene Fragestellungen miteinander verquickt:

(1) Was ist die intrinsische metrische Struktur der Untermannigfaltigkeit? Insbesondere bei Kurven ist das sehr langweilig: alle zusammenhängenden sind isometrisch entweder zu einem Interval oder zu einem Kreis (wobei es nur noch auf die Länge ankommt). Flächen sind da schon etwas interessanter.

(2) Wie ist die Kurve oder Fläche in den ℝ^{3} eingebettet —also extrinsische Eigenschaften. Im ℝ^{3} sollte es ja durchaus einen Unterschied zwischen Geraden und echten Kurven geben.

9.1 Kurventheorie im Raum

Wir wollen uns hier zunächst nur mit lokalen Eigenschaften der eingebetteten Kurven beschäftigen.

9.3 Definition. Eine parametrisierte Kurve ist eine glatte Abbildung f: I → ℝ^{3}, wobei I ⊂ ℝ ein offenes Intervall und f′(t) ≠ 0 ∀t ∈ I.

Eine Umparametrisierung ist die Komposition mit einem Diffeomorphismus ϕ: I′ → I, also c = f ∘ ϕ.

Die Krümmung einer parametrisierten Kurve f: I → ℝ^{3} ist definiert als

κ: I → ℝ_{≥0}; t ↦ |f′′(t)| .

Ist κ(t_{0}) ≠ 0, so definiert man den Normalenvektor n(t_{0}); = c′′(t_{0})/ |c′′(t_{0})|, und den Binormalenvektor b(t_{0}) := c′(t_{0}) × n(t_{0}), wobei × das Vektorkreuzprodukt in ℝ^{3} bezeichnet., mit (x_{1}, x_{2}, x_{3}) × (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}). Die Orthonormalbasis (c′(t_{0}), n(t_{0}), b(t_{0})) heißt dann begleitendes Dreibein.

9.4 Aufgabe. Zeige, dass es für jede parametrisierte Kurve f eine Umparametrisierung c gibt, so dass |c′(t)| = 1 ∀t ∈ I′. Eine solche Kurve heißt nach Bogenlänge parametrisiert. Zeige, dass die Parametrisierung nach Bogenlänge bis auf eine konstante Verschiebung im Argument eindeutig ist.

9.5 Aufgabe. Sei c: I → ℝ^{3} eine glatte Kurve mit |c′(t)| = 1 ∀t ∈ I. Zeige, dass f genau dann eine affin lineare Abbildung ist, wenn τ(t) = 0 ∀t ∈ I.

Die Krümmung zeigt also, wie stark die Kurve davon abweicht, eine Gerade zu parametrisieren (beachte aber auch, dass dazu die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert sein muss).

9.6 Definition. Sei c: I → ℝ^{3} nach Bogenlänge parametrisiert und κ(t_{0}) ≠ 0. Dann heißt τ(t_{0}) := ⟨n′(t_{0}), b(t_{0})⟩ die Windung oder Torsion von c in t_{0}.

9.7 Beispiel. Der Kreis c(t) := r(cos(t/r), sin(t/r), 0) ist nach Bogenlänge parametrisiert und hat κ(t) = 1/r, τ(t) = 0.

(Die Krümmung beschreibt den Kreis welchen Radius sich am besten an die Kurve anschmiegt.)

Die Schraubenlinie c: ℝ → ℝ^{3} mit c(t) = (cos(t/\sqrt{2}), sin(t/\sqrt{2}), t/\sqrt{2}) ist nach Bogenlänge parametrisiert. Elementare Rechnungen ergeben κ(t) = 1/2 und τ(t) = 1/2.

(Die Torsion sagt, wie stark sich die Kurve aus der Ebene des Anschmiegkreises herausdreht.)

9.8 Aufgabe. Sei c: I → ℝ^{3} eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve und Φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} eine sogenannte orientierungserhaltende Euklidische Bewegung (oder orientierungserhaltende affine Isometrie), d.h. es gibt eine lineare Abbildung A ∈ SO(3), also eine Matrix A ∈ M(3 × 3, ℝ) mit A^{∗}A = 1 und det(A) > 0 und einen Vektor v_{0} ∈ ℝ^{3} so dass Φ(v) = v_{0} + Av für alle v ∈ ℝ^{3}.

Zeige, dass dann auch c̃ := Φc ∘ c nach Bogenlänge parametrisiert ist, und dass Krümmung und Windung von c̃ und von c übereinstimmen.

Was passiert, wenn det(A) < 0, also wenn die Orientierung umgekehrt wird?

9.9 Satz. (Hauptsatz der Raumkurventheorie) Sie I ⊂ ℝ ein Interval und κ, τ: I → ℝ glatte Kurven mit κ(t) > 0 für alle t ∈ I.

Dann gibt es eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c: I → ℝ^{3} mit Krümmung κ und Windung τ. Diese Raumkurve ist bis auf Komposition mit orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen eindeutig.

Beweis. Krümmung und Torsion werden ja durch gewisse Ableitungen der Kurve definiert; bei der Aufgabe handelt es sich also versteckt um eine Differentialgleichung. Dies kann man etwas expliziter machen: wir stellen eine Gleichung auf, die nicht nur die Kurve, sondern gleichzeitig die Vektoren des begleitenden Dreibeins beschreibt. Betrachte das lineare gewöhnliche Differentialgleichungssystem

\frac{d}{dt}(c, v, n, b) = (c, v, n, b) · (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & −κ & 0 \\ 0 & κ & 0 & −τ \\ 0 & 0 & τ & 0 \end{matrix})  (9.10)

für die Funktionen c, v, n, b: I → ℝ^{3}. Dies sind die sogenannten Frenet-Gleichungen. Einfache Berechnung von Skalarprodukten (wir werden gleich ein paar Beispiele sehen) zeigen, dass jede Kurve c(t) mit begleitendem Dreibein (v(t), n(t), b(t)) diese Dgls erfüllt. Nun sagt der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen, dass es genau eine Lösung mit Anfangsbedingungen c(t_{0}) = 0, v(t_{0}) = e_{1}, n(t_{0}) = e − 2, b(t_{0}) = e_{3} gibt. Da die Dgl linear ist, existiert die eindeutige Lösung sogar für alle t ∈ I.

Mit den Anfangsbedingungen legen wir den Anfangspunkt c(t_{0}) = 0 und das anfängliche begleitende Dreibein (die Standardbasis) fest.

Indem man die Skalarprodukte ⟨v, v⟩, ⟨v, n⟩ etc. ableitet, und die Identitäten aus der definierenden DGl (9.10) benutzt, erhält man dann ein lineares System von Dgls für diese 6 Skalarprodukte, z.B.

\frac{d}{dt}⟨v, v⟩ = 2⟨v′, v⟩ = 2κ⟨n, v⟩; ⟨v, n⟩′ = ⟨v′, n⟩+⟨v, n′⟩ = −κ⟨v, v⟩+τ⟨b, v⟩+κ⟨n, n⟩.

Wenn man alles ausschreibt, erkennt man sofort, dass dieses Gleichungssystem die Lösung ⟨v, v⟩ = ⟨n, n⟩ = ⟨b, b⟩ = 1, ⟨v, n⟩ = ⟨v, b⟩ − ⟨n, b⟩ = 0. hat. Wegen der Eindeutigkeit folgt, dass unsere Vektoren tatsächlich für alle t ∈ I ein Orthonormalsystem bilden. Dieses ist immer positiv orientiert (wegen der Stetigkeit: es kann nicht plötzlich ein Vektor umklappen).

Da c′ = v und |v| = 1, ist die sich ergebende Kurve c nach Bogenlänge parametrisiert. Da c′′ = v′ = κn, κ > 0 und |n| = 1, ist die Krümmung korrekt.

Weiter bilden v und n somit die ersten beiden Vektoren des begleitenden Dreibeins, und somit, als passender dritter Orthonormalvektor, b den zugehörigen dritten Vektor. Damit erhält man zuletzt auch ⟨n′, b⟩ = −κ⟨v, b⟩ + τ⟨b, b⟩ = τ, also hat auch die Torsion den richtigen Wert.

Eine beliebige zweite Kurve γ: I → ℝ^{3} mit κ(t_{0}) > 0 (insbesondere eine mit derselben Krümmung und Torsion) kann man zunächst mittels einer orientierungserhaltenden euklidischen Bewegung so verschieben und verdrehen, dass (ich benutze dasselbe γ für die verdrehte verschobene Kurve) γ(t_{0}) = 0 und so dass das begleitende Dreibein bei t_{0} gerade (e_{1}, e_{2}, e_{3}) ist. Krümmung und Torsion ändern sich nicht. Man erhält also eine zweite Lösung der Differentialgleichung (9.10). Wegen der Eindeutigkeit stimmt sie mit der ersten überein.

9.11 Bemerkung. Interessanter als die Existenz ist für mich der Eindeutigkeitssatz. Dieser sagt, dass eine gekrümmte Kurve mit vorgegebener Torsion ihre Form behält. Dies kennen wir auch aus dem Alltag, und Designer haben es sich zunutze gemacht: die stark verdrehte Telefonschnur behält ihre Form, wenn man nicht Kräfte auf sie ausübt. Eine Gerade dagegen (nicht gekrümmt) kann man relativ leicht in verschiedene andere Formen bringen.

9.12 Definition. Sei c nun eine geschlossene Kurve. Dies können wir so beschreiben: c: ℝ → ℝ^{3} ist eine (nach Bogenlänge parametrisierte) Kurve, welche L-periodisch ist für ein L > 0, also c(t + L) = c(t) für jedes t ∈ ℝ. Äquivalent ist c gegeben als Abbildung S^{1} → ℝ^{3}, wobei man S^{1} ⊂ ℂ auffasst und die ”Aufwicklung“ ℝ → S^{1}; t ↦ exp(2πt/L) benutzt.

Die Totalkrümmung ist definiert als

κ(c) := ∫_{0}^{L} κ(t) dt.

Definiere außerdem für jeden Einheitsvektor e ∈ S^{2}

μ(c, e) := |{lokale Maxima in [0, L) von c} ∈ ℕ ∪ {∞}| .

Grob gesagt mißt iese Zahl, wie oft die Kurve die Richtung bezüglich e wechselt.

Der Satz von Sard impliziert, dass für fast alle e diese Zahl endlich ist.

9.13 Satz. Sei c eine geschlossene Raumkurve. Dann gilt

2 · ∫_{S^{2}} μ(c, e) = κ(c)

Da S^{2} kompakt ist, hat die definierende Funktion von μ(c, e) für jedes e ∈ S^{2} mindestens ein Maximum, also folgt κ(c) ≥ 2π.

Milnor bewies (als undergrad) sogar: Falls c “verknotet“ ist, gilt κ(c) ≥ 4π.

Beweis. Vergleiche [1, Kapitel 2.3]/

9.14 Definition. Seien f, g: M → N zwei glatte Einbettungen.

Eine Isotopie von N ist eine glatte Abbildung Φ: [0, 1] × N → N, so dass Φ|_{t×N} eine Diffeomorphismus ist für jedes t ∈ [0, 1].

Eine ambiente Isotopie zwischen f und g ist eine Isotopie Φ: [0, 1]×N → N, so dass Φ_{0} = id_{N} und so dass Φ_{1} ∘ f = g.

Zwei Schleifen c_{1} : S^{1} → ℝ^{3} heißt verknotet, falls sie nicht ambient isotop ist zur Standardschleife, die zur Einbettung S^{1} ⊂ ℝ^{2} = ℝ^{2} ×{0} ⊂ ℝ^{3} ist. Beispiel: Kleeblattschlinge.

9.2 Flächen im Raum I

9.15 Definition. Eine Fläche im Raum ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit F ⊂ ℝ^{3}. Beachte, dass diese als Untermannigfaltigkeit automatisch eine Riemannsche Metrik erhält.

Im Gegensatz zu Kurven ist nun auch die Metrik, welche die Fläche erhält, interessant, und nicht nur der Weg, wie die Fläche im ℝ^{3} eingebettet ist.

Wir wollen aber zunächst ein paar Größen betrachten, die entscheidend von der Einbettung abhängen.

9.16 Definition. Sei F eine eingebettete Fläche. Dann erhält man für jedes x ∈ F eine Einbettung T_{x}F ⊂ ℝ^{3} (das Bild des Differentials der Inklusion i: F ↪ ℝ^{3}).

Eine glatte Abbildung N: F → S^{2} so dass N(x) ⊥ T_{x}F für jedes x ∈ F heißt Einheitsnormalenfeld oder Gaußabbildung. Die Fläche F ist orientierbar genau dann, wenn es eine solche Abbildung gibt. Die Fläche zusammen mit dieser Abbildung heißt dann orientierte Fläche.

Lokal existiert eine solche Gauß-Abbildung immer (man kann sie aber durch ihr negatives ersetzen, sie ist also nicht eindeutig), wir werden hin und wieder die lokale Variante benutzen.

9.17 Definition. F ⊂ ℝ^{3} eingebettete orientierte Fläche mit Gauß-Abbildung N: F → S^{2}.

Das (negative) Differential −T_{p}N: T_{p}F → T_{N(p)}S^{2} kann für p ∈ F aufgefaßt werden als Abbildung

W_{p} := −T_{x}N: T_{p}F → T_{p}F,

da T_{N(p)}S^{2} = N(p)^{⊥} = T_{p}F ⊂ ℝ^{3}. Als solche wird die Abbildung die Weingarten-Abbildung genannt.

Die zur Weingarten-Abbildung gehörende Bilinearform

II_{p}(v, w) := ⟨W_{p}(v), w⟩_{ℝ^{3}}; v, w ∈ T_{p}F

wird zweite Fundamentalform der Fläche F genannt.

9.18 Lemma. Die Weingarten-Abbildung ist selbstadjungiert (symmetrisch), daher ist auch die zweite Fundamentalform symmetrisch.

Beweis. Um dies klassisch zu beweisen, muss kann man alles mittels lokaler Koordinaten darstellen.Die Rechnung führt dann letztendlich auf den Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit von Differentiationen. Vergleiche [1].

Einen in viel allgemeinerem Kontext gültigen Beweis (eines entsprechend allgemeineren Theorems) werden wir (hoffentlich) später sehen. Er beruht auf der Frobenious-Eigenschaft des Tangentialraums von Untermannigfaltigkeiten.

Die zweite Fundamentalform beschreibt, wie eine eingebettete Fläche im Raum gekrümmt ist. Wir machen folgende Definition:

9.19 Definition. Sei S ∈ ℝ^{3} eine orientierte reguläre Fläche (mit Einheitsnormalenfeld N). Sei p ∈ S und v ∈ T_{p}S. Dann heißt

κ_{nor}(v) := II_{p}(v, v)

die Normalkrümmung von S im Punkt p in Richtung v.

9.20 Lemma. Die Normalkrümmung von S im Punkt p in Richtung v (|v| = 1) kann folgendermaßen berechnet werden: Sei c: ℝ → S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = p und c′(0) = v. Dann gilt

κ_{nor}(v) = ⟨c′′(0), N(p)⟩_{T_{p}ℝ^{3}}.

Beweis. Da c in S verläuft, ist seine Ableitung immer tangential an S, also ⟨c′(t), N(c(t))⟩ = 0 für alle t. Differenzieren ergibt

0 = ⟨c′(t), N(c(t))⟩′ = ⟨c′′(t), N(c(t))⟩ + ⟨(N(c(t)))′, c′(t)⟩ = κ_{nor} + ⟨T_{p}N(c′(t)), c′(t)⟩ = −II_{p}(c′(t), c′(t)) + κ_{nor}.

9.21 Definition. Sei S ∈ ℝ^{3} orientierte parametrisierte Fläche, p ∈ S und W_{p}: T_{p}S → T_{p}S die Weingarten-Abbildung. Da diese selbstadjungiert ist, läßt sie sich diagonalisieren. Ihre Eigenwerte κ_{1} ≤ κ_{2} heißen die Hauptkrümmungen von S in p, zugehörige Eigenvektoren die Hauptkrümmungsvektoren.

K(p) := det(W_{p}) = κ_{1}κ_{2} heißt Gaußkrümmung, H(p) := tr(W_{p}) = (κ_{1} + κ_{2})/2 die mittlere Krümmung von S in p.

9.22 Beispiel. (1) In der Ebene ist II_{p} = 0 für jedes p, also sind alle Normalkrümmungen Null, somit auch die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung. Jede Richtung ist Hauptkrümmungsrichtung.

(2) Für die Sphäre S^{2} gilt, dass alle Normalkrümmungen 1 sind, entsprechendes gilt für die Gauß- und die mittlere Krümmung.

(3) Der Zylinder S^{1} × ℝ ⊂ ℝ^{3} hat verschiedene Normalkrümmungen: in Richtung des Kreises 1, in Richtung der Geraden 0. Die Gauß’krümmung ist also 0, die mittlere Krümmung an jedem Punkt 1/2.

(4) Die Sattelfläche S := {(x, y, z) | z = y^{2} − x^{2}} ist reguläre Fläche. Am Punkt 0 kann man als Normalenvektor den Einheitsvektor N = (0, 0, 1) wählen.

9.23 Aufgabe. Beweise, dass S wirklich reguläre Fläche (also eingebettete Untermannigfaltigkeit) ist, und berechne T_{0}S, besser T_{x}S für jedes x ∈ S.

Die Kurve c_{1}(t) := (α(t), 0, −α(t)^{2}) erfüllt c(0) = 0 und |c′_{1}(t)|^{2} = α′(t)^{2} + 4α(t)^{2}α′(t)^{2} = α′(t)^{2}(1 + 4α(t)^{2}) = 1, falls α geeignet als Lösung dieser Differentialgleichung gewählt wird (insbesondere α(0) = 0 und α′(0) = 1). Dann gilt

⟨c′′_{1}(0), N⟩ = −2α(0)α′′(0) − 2α′(0)^{2} = −2.

Also ist die Normalkrümmung in Richtung (1, 0, 0) gleich −2. Entsprechend erhält man für die Normalkrümmung in Richtung (0, 1, 0) den Wert 2. Am Punkt Null ist also die mittlere Krümmung 0, die Gaußkrümmung hat den Wert −4.

9.24 Bemerkung. Zur Definition der Normalkrümmungen und damit von mittlerer und Gaußkrümmung haben wir ein Einheitsnormalenvektorfeld N, also eine Orientierung, benötigt. Lokal existiert ein solches immer, global aber ja nicht. Wenn man das Einheitsnormalenvektorfeld ändert (also durch sein negatives ersetzt), muss man auch die Vorzeichen der Normalkrümmungen ändern. Das Vorzeichen der Gaußkrümmung bleibt jedoch erhalten. Letztere ist also auch für nicht-orientierte Flächen wohldefiniert.

Die mittlere Krümmung ändert jedoch ihr Vorzeichen. Reparieren kann man dies, indem man anstelle der Funktion H(p) das mittlere Krümmungs(-Normalenvektor)feld H(p) := H(p)N(p) betrachtet. Dies ist ein Schnitt der Einschränkung des Tangentialbündels T ℝ^{3} auf S.

9.25 Satz. Sei S ⊂ ℝ^{3} eine kompakte nicht-leere reguläre Fläche. Dann gibt es p ∈ S mit K(p) > 0.

Beweis. Sei p ∈ S eine Maximalstelle des Abstands zum Ursprung, und R_{0} der entsprechende Abstand (für die Existenz wird die Kompaktheit gebraucht!).

Dann gilt nach Lemma 9.26 T_{p}S = T_{p}S_{R_{0}}^{2}, wobei S_{R_{0}}^{2} die Sphäre vom Radius R_{0} um den Ursprung in ℝ^{3} ist (da beide Vektorräume die gleich Dimension, nämlich 2, haben).

Wähle nun N = p ∈ ℝ^{3} orthogonal zu T_{p}S und für eine Richtung v ∈ T_{p}S mit |v| = 1 die Ebene E =< v, N > sowie eine Kurven c_{1} auf S∩E mit c_{1}(0) = p und c′_{1}(0) = v und eine Kurve c_{2} auf S_{R_{0}}^{2} ∩ E mit c_{2}(0) = p und c′_{2}(0) = v.

Wir haben jetzt also in folgendes ebenes Problem übersetzt: eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c_{1} : I → ℝ^{2} verläuft im Inneren des Kreises c_{2} vom Radius R_{0}, und für t = 0 berührt c_{1} den Rand des Kreises. Dann gilt κ_{c_{1}}(0) ≥ 1/R_{0}. Dies zu beweisen ist Übungsaufgabe.

9.26 Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit Untermannigfaltigkeit N. Sei f: M → ℝ eine glatte Funktion, so dass c := max{f(x) | x ∈ N} existiert und regulärer Wert von f: M → ℝ ist.

Dann ist ja L := f^{−1}(c) Untermannigfaltigkeit von M. Für jedes x ∈ N ∩ L gilt dann:

T_{x}N ⊂ T_{x}L ⊂ T_{x}M.

Beweis. Übungsaufgabe.

9.27 Definition. Sei F ⊂ ℝ^{3} reguläre Fläche. F heißt Minimalfläche, falls für die mittlere Krümmung gilt H(x) = 0 für jedes x ∈ M.

9.28 Bemerkung. Zur Definition von H muss man zwar lokal eines von zwei möglichen Einheitsnormalenfeldern wählen. H = 0 hängt aber nicht von der Wahl ab, kann also auch für nicht-orientierbare Flächen definiert werden.

9.29 Lemma. Sei F ⊂ ℝ^{3} reguläre Fläche. Dann gilt K(x) ≤ H(x)^{2} für alle x ∈ F. Beachte, dass diese Aussage sogar Sinn macht, wenn F nicht orientierbar ist, da H^{2} nicht von der (lokalen) Orientierung abhängt.

Beweis. Seien κ_{1}, κ_{2} Hauptkrümmungen bei x (mit beliebig gewähltem lokalen Einheitsnormalenfeld). Dann gilt K(x) = κ_{1}κ_{2} und H(x) = (κ_{1} + κ_{2})/2. Somit

4(H^{2} − K) = (κ_{1} + κ_{2})^{2} − 4κ_{1}^{2}κ_{2}^{2} = (κ_{1} − κ_{2})^{2} ≥ 0.

9.30 Definition. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g, f: M → ℝ stetige Funktion mit kompaktem Träger.

Definiere ∫_{M} fdμ_{g} auf folgende Weise: wähle Atlas κ_{i}: U_{i} → V_{i} von M mit untergeordneter glatter Partition der 1 ϕ_{i}: U_{i} → ℝ.

Definiere dann

∫_{M} fdμ_{g} := ∑_{i∈I} ∫_{V_{i}} f ∘ κ_{i}^{−1} · \sqrt{|det g_{ij}|}.

Definiere vol(M, g) := ∫_{M} 1 dμ_{g}.

9.31 Aufgabe. Zeige, dass Definition 9.30 nicht von den Wahlen (Atlas, Teilung der 1,…) abhängt.

9.32 Satz. Sei F ⊂ ℝ^{3} reguläre Fläche mit kompaktem Abschluss \overline{F}. Für jede andere Fläche F_{2}, so dass \overline{F} \ F = \overline{F_{2}} \ F_{2} (die also den gleichen Rand wie F hat) gelte vol(F) ≤ vol(F_{2}).

Dann ist F Minimalfläche, also gilt H ≡ 0.

Beweis. Angenommen, H(x) ≠ 0 für ein x ∈ F. Wähle ein lokales Normalenfeld N so, dass H(x) > 0. Betrachte eine Funktion f: F → ℝ mit kompaktem Träger in einer Kartenumgebung von x, mit f(x) = 1 und f(y) ≥ 0 für alle y ∈ F. Wähle den Träger von f so klein, dass H(y) > 0 für alle y mit f(y) ≠ 0.

Definiere F_{ϵ} := {y + f(y)N(y) | y ∈ F }.

9.33 Aufgabe. F_{ϵ} ist für kleine ϵ eine reguläre Fläche.

9.34 Aufgabe. Es gilt ∂ vol(F_{ϵ})/∂ϵ|_{ϵ=0} = −2 ∫_{F} f(y)H(y) dμ_{F}.

In unserem Beispiel ist diese Ableitung echt negativ, also gibt es (nach Diff 1) ϵ > 0, so dass vol(F_{ϵ}) < vol(F). Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme über die Minimalität des Volumens von F.

9.35 Korollar. Sei F ⊂ ℝ^{3} kompakte reguläre Fläche (ohne Rand). Dann ist F keine Minimalfläche, insbesondere kann man F deformieren und dabei die Fläche verkleinern.

Beweis. Da F kompakt, gibt es nach Satz 9.25 ein x ∈ F mit K(x) > 0. Nach Lemma 9.29 ist H(x) ≠ 0, also F keine Minimalfläche.‘

9.36 Bemerkung. In der Flächentheorie könnten/sollten jetzt noch folgende Themen besprochen werden, auf die wir zurückkommen werden, wobei einiges etwas allgemeiner behandelt werden wird.

(1) Einführung des Krümmungstensors als innere metrische (nur von der Metrik, nicht irgendwelchen Einbettungen) abhängenden Größe).

(2) Beschreibung des Krümmungstensors in Koordinaten, dazu auch Einführung der Christoffel-Symbole.

(3) Theorema Egregium: die Gaußkrümmung kann mittels des Krümmungstensors berechnet werden, ist also bei Isometrien invariant.

(4) Satz von Gauß-Bonnet: für eine kompakte Fläche F mit Riemannscher Metrik g gilt ∫_{F} K(x)dμ_{g} = 2πχ(F).

Für die Eulercharakteristik gilt dabei: χ(F) = e − k + f, wobei e, k, f die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen einer Triangulierung von F ist; alternativ gilt χ(F) = 2 − 2g, wobei g das Geschlecht der Fläche ist, also die Anzahl der ”Löcher“ (eine Sphäre hat 0 davon, ein Torus 1,…). Die letzte Formel gilt nur für orientierbare Flächen.

10 Baby Lie Gruppen 0

10.1 Definition. Eine Lie Gruppe ist eine Gruppe G, so dass G eine glatte Mannigfaltigkeit ist, und so dass die Abbildung G×G → G; (g, h) ↦ gh^{−1} glatt ist.

10.2 Beispiel. (1) ℝ^{n} mit der Addition ist Liegruppe.

(2) T^{n} = ℝ^{n}/ℤ^{n} mit Addition ist Liegruppe.

(3) Gl(n, ℝ) und Gl(n, ℂ) sind Liegruppen.

(4) O(n) ist Liegruppe.

(5) S^{3}, aufgefasst als Menge der Quaternionen von Länge 1, mit der Quaternionenmultiplikation ist eine Liegruppe.

10.3 Aufgabe. Sie G Liegruppe. Zeige, dass das Tangentialbündel von G trivial ist.

11 Überlagerungen 0

11.1 Definition. Seien \overline{X}, X topologische Räume. Eine Abbildung p: \overline{X} → X heißt Überlagerungsabbildung, wenn für jedes x ∈ X eine Umgebung U und eine diskrete Menge Γ existiert, so dass man ein kommutatives Diagramm

p^{−1}(U) ⟶_{≈}^{f} U × Γ
p↓  ^{pr}^{U} ↓
U  U.

Lokal sieht also \overline{X} wie X × Γ aus. Die Kardinalzahl |Γ| wird Blätterzahl der Überlagerung genannt. Für p ∈ X ist die Menge p^{−1}(x) (die Faser von p an x) homöomorph zur diskreten Menge Γ.

11.2 Beispiel. (1) Die Abbildung exp: ℝ → S^{1} ⊂ ℂ; t ↦ exp(2πit) ist eine Überlagerung. Für einen Punkt q ∈ S^{1} kann man U := S^{1} \ {−q} wählen. Dann ist ja S^{1}\{−q} ≈ (0, 1). Umgekehrt ist z.B.‘p^{−1}(0) = ℝ\ℤ ≈ (0, 1)× ℤ, und die Hom”’oomorphismen kann man auch mit den Projektionen verträglich wählen.

(2) Die Projektion p: S^{n} → ℝP^{n} (Einschränkung der kanonische Projektion ℝ^{n+1} → ℝP^{n}) ist eine Überlagerung. Als Mengen U können die Kartenumgebungen aus Beispiel 2.8 gewählt werden, p^{−1}(U) besteht dann jeweils aus der Vereinigung von 2 Halbschalen, z.B. {x ∈ S^{n} | x_{k} = 0}.

11.3 Aufgabe. Sei p: \overline{X} → X eine Überlagerung, X zusammenhängend. Zeige, dass dann |p^{−1}(x)| = |p^{−1}(y)| für alle x, y ∈ X. Die Blätterzahl ist also wohldefiniert.

Zeige, dass p ein lokaler Homöomorphismus ist, dass es also für jedes \overline{x} ∈ \overline{X} offene Umgebungen \overline{U} von \overline{x} und U von x gibt, so dass p|: \overline{U} → U ein Homöomorphismus ist. Finde ein Beispiel für einen lokalen Homöomorphismus, welche keine Überlagerung ist.

11.4 Lemma. Sei p: \overline{M} → M eine Überlagerung mit abzählbarer Blätterzahl und M eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann hat \overline{M} auf eindeutige Weise eine glatte Mannigfaltigkeit, so dass p ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Gibt es dann noch auf M eine Riemannsche Metrik g, so kann man eine eindeutige Riemannsche Metrik \overline{g} auf \overline{M} finden, die geliftete Metrik, so dass p eine lokale Isometrie ist.

Beweis. Die Karten für \overline{M} erhält man einfach, indem man den lokalen Homöomorphismus p auf genügend kleine Mengen einschränkt und dann mit den Karten von M verknüpft.

Für jeden lokalen Diffeomorphismus f: N → M kann man die zurückgezogene Metrik f^{∗}g durch f^{∗}g(v, w) := g(T f(v), T f(w)) definieren, damit wird offensichtlich f eine lokale Isometrie.

11.5 Definition. Sei G eine (diskrete) Gruppe, X ein topologischer Raum. Eine stetige (Links)-Operation von G auf X ist ein Gruppenhomomorphismus ϕ: G → Homeo(X); man schreibt dies oft als “Multiplikation” G × X → X; (g, x) ↦ gx := ϕ(g)(x). Dann gilt 1 · x = x und g · (h · x) = (gh) · x für alle x ∈ X, g, h ∈ G.

Falls X glatte Mannigfaltigkeit, dann heißt eine solche Operation glatt, wenn man Homöomorphismen durch Diffeomorphismen ersetzt.

Eine Operation ϕ heißt

(1) effektiv, falls ker(ϕ) = 1.

(2) frei, falls g · x = x impliziert, dass g = 1 (jedes nicht-triviale Element von G bewegt jeden Punkt von x)

(3) diskret, falls für alle x, y ∈ X offene Umgebungen U_{x} ∋ x, U_{y} ∋ y existieren, so dass g · U_{x} ∩ U_{y} ≠ ∅ nur für endlich viele g ∈ G.

Jede Operation definiert eine Äquivalenzrelation auf X, mit x ∼ gx für alle x ∈ X, g ∈ G. Für den Quotientenraum schreibt man Γ\X, er heißt auch der Bahnenraum.

11.6 Beispiel. Die Abbildung ℤ × ℝ → ℝ; (z, t) ↦ z + t ist eine glatte freie Operation von ℤ auf der Mannigfaltigkeit ℝ.

Die triviale Operation ist definiert durch gx := x für jedes g ∈ G, x ∈ X. Sie ist das Gegenteil von effektiv.

11.7 Satz. Sei \overline{M} eine glatte Mannigfaltigkeit mit freier diskreter glatter Operation der Gruppe Γ. Dann gibt es für jedes x ∈ \overline{M} eine Umgebung U_{x} ∋ x, so dass gU_{x} ∩ gU_{x} ≠ ∅ für höchstens ein g ∈ Γ.

Außerdem kann man M := Γ\\overline{M} in kanonischer Weise die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit geben, so dass die Projektion p: \overline{M} → M eine glatte Überlagerungsabbildung ist.

Beweis. Wähle zunächst U_{x}, so dass U_{x} ∩ gU_{x} ≠ ∅ nur für endlich viele g ∈ Γ. Da Γ frei operiert, ist gx ≠ x für g ≠ 1. Da \overline{M} hausdorffsch ist, können wir U_{x} verkleinern und offene Umgebungen U_{g} von gx finden, so dass U_{x} ∩ U_{g} = ∅. Ersetze dann U_{x} durch den Schnitt von U_{x} mit den endlich vielen offenen Mengen g^{−1}U_{g}. Dann gilt gU_{x} ⊂ U_{g}, und somit U_{x} ∩ gU_{x} = ∅ für g ≠ 1.

Wähle eine Überdeckung von \overline{M} durch Kartenumgebungen U_{x} (x ∈ \overline{M}) mit Karten ϕ_{x}: U_{x} → V_{x} ⊂ ℝ^{n}, so dass gU_{x} ∩ U_{x} = ∅ für g ≠ 1. Dann ist p(U_{x}) eine offene Teilmenge von M, da p^{−1}(p(U_{x})) = ∪_{g∈Γ}gU_{x} offen. Außerdem ist p: U_{x} → p(U_{x}) ein Homöomorphismus (dafür braucht man, dass gU_{x} ∩ U_{x} = ∅ für g ≠ 1) mit Inverse q_{x}: p(U_{x}) → U_{x}.

Wir definieren nun den Atlas von M mit Karten ϕ_{x} ∘ q_{x}: p(U_{x}) → V_{x}. Die Kartenwechselabbildungen sind dann interessant, wenn p(U_{x}) ∩ p(U_{y}) ≠ ∅, also wenn es g ∈ Γ gibt, so dass U_{x} ∩ gU_{y} ≠ ∅. Die Kartenwechselabbildungen sind dann (lokal) gegeben durch ϕ_{y} ∘ l_{g} ∘ ϕ_{x}^{−1}, wobei l_{g} der durch Multiplikation mit g (von links) gegebene Diffeomorphismus ist; dies sind also alle glatte Abbildungen.

Wir müssen noch überprüfen, dass M hausdorffsch ist und eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Die letztere erhält man als Bild (unter p) einer solchen Teilmenge von \overline{M}.

Für die Hausdorffsch-Eigenschaft wähle zu x, y ∈ \overline{M} Umgebungen U_{x}, U_{y}, so dass gU_{x} ∩ U_{y} = ∅ für alle bis auf endlich viele g ∈ Γ. Es sei p(x) ≠ p(y), also gx ≠ y für alle g ∈ Γ.Da \overline{M} hausdorffsch, können wir (U_{y} verkleinern!) für die endlich vielen g mit gU_{x} ∩ U_{y} ≠ ∅ offene Umgebungen U_{g} von gx und U_{y} von y finden, so dass U_{g} ∩ U_{y} = ∅. Ersetze dann U_{x} durch U_{x} ∩ g^{−1}U_{g}, und danach gilt gU_{x} ∩ U_{y} = ∅ für alle g ∈ Γ, also auch p(U_{x}) ∩ p(U_{y}) = ∅. Dies sind aber zwei offene Umgebungen der (beliebig gewählten) Punkte p(x), p(y) ∈ M.

Nach Konstruktion sehen wir, dass wir für die gewählten Umgebungen einen mit p verträglichen Diffeomorphismus p^{−1}(p(U_{x})) → U_{x} × Γ erhalten.

Auch hier gibt es Kartenwechsel für die Überlagerungskarten; diese sind hier gegeben durch Multiplikation mit einem g_{0} ∈ Γ.

11.8 Aufgabe. Mache die letzte Aussage präzise und beweise sie.

11.9 Definition. Eine Abbildung p: M → N heißt lokaler Diffeomorphismus, falls es für jedes x ∈ M offene Umgebungen U_{x} von x und U_{y} von y = p(x) gibt, so dass p|: U_{x} → U_{y} ein Diffeomorphismus ist.

11.10 Bemerkung. Wegen des Satzes von der lokalen Umkehrfunktion ist p: M → N genau dann ein lokaler Diffeomorphismus, wenn T_{x}p ein Isomorphismus ist für jedes x ∈ M.

Jede Überlagerungsprojektion ist ein lokaler Diffeomorphismus.

11.11 Definition. Sei p: M → N ein lokaler Diffeomorphismus und g_{N} eine Riemannsche Mannigfaltigkeit auf N. Dann definiert g_{M} := p^{∗}g_{N} mit g_{M}(v, w) := g_{N}(T p(v), T p(w)) eine Riemannsche Metrik auf M, die zurückgezogene Metrik.

Wendet man diese Konstruktion auf eine Überlagerung p: \overline{M} → M an, so erhält man eine Überlagerungsmetrik und spricht von einer Riemannschen Überlagerung.

Ist umgekehrt eine freie diskrete glatte Gruppenoperation Γ × \overline{M} → \overline{M} isometrisch (d.h. Multiplikation mit g ist für jedes g ∈ Γ eine Isometrie), so gibt es eine eindeutige Riemannsche Metrik auf M := Γ\\overline{M}, welche die Projektion zur Riemannschen Überlagerung macht. Man benutzt einfach den lokalen Diffeomorphismus, um die Metrik nach vorne zu drücken. Da Γ isometrisch operiert, ist dies wohldefiniert.

11.12 Beispiel. Die Operation von ℤ^{n} auf ℝ^{n} ist isometrisch, also erhält man eine eindeutige Metrik auf T^{n} = ℤ^{n}\ℝ^{n}.

Wählt man andere Gitter in ℝ^{n}, erhält man als Quotienten andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten, welche aber diffeomorph zum Torus sind.

11.13 Aufgabe. Ein Gitter ist eine Untergruppe Γ von ℝ^{2} welche diskret (also ohne Häufungspunkte) in ℝ^{2} enthalten ist, und so dass Γ als ℝ-Vektorraum ganz ℝ^{2} erzeugt.

Zeige, dass jede solche Untergruppe isomorph zu ℤ^{2} ist. Bestimme bis auf Isometrie alle möglichen Quotienten Γ\ℝ^{2}.

12 Fundamentalgruppe 0

12.1 Definition. Seien X, Y topologische Räume. Zwei Abbildungen f, g: X → Y heißen homotop, falls es eine Homotopie H: X × [0, 1] → Y zwischen ihnen gibt, also eine stetige Abbildung, so das H ∘ i_{0} = f und H ∘ i_{1} = g, wobei i_{t}: X → X × [0, 1]; x ↦ (x, t).

Sei x_{0} ∈ X und y_{0} ∈ Y. Wir schreiben f: (X, x_{0}) → (Y, y_{0}), falls f: X → Y stetige Abbildung mit f(x_{0}) = y_{0}. Man spricht dann von punktierten Abbildungen.

Eine Homotopie H: X × [0, 1] → Y heißt punktiert, falls H(x_{0}, t) = y_{0} für alle t ∈ [0, 1].

Wir schreiben [X, Y] für die Menge aller Homotopieklassen von Abbildungen von X nach Y, und [(X, x_{0}), (Y, y_{0})] für die Menge der punktierten Homotopieklassen.

12.2 Aufgabe. Zeige, dass Homotopie tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist: man kann Homotopien umdrehen und verketten.

12.3 Lemma. Seien f, g: X → Y homotop (mit Homotopie H, und seien h: Y → Z und u: U → X stetig. Dann sind auch h ∘ f ∘ u und h ∘ g ∘ u homotop (mit Homotopie h ∘ H ∘ u × id_{[0,1]}

Beweis. Übungsaufgabe.

12.4 Definition. Sei x_{0} ∈ X. Wir definieren π_{1}(X, x_{0}) := [(S^{1}, 1), (X, x_{0})]. Hierbei ist S^{1} ⊂ ℂ, mit 1 ∈ ℂ.

12.5 Definition. π_{1}(X, x_{0}) wird eine (in der Regel nicht abelsche) Gruppe, mit Verknüpfung [γ_{1}] · [γ_{2}] gegeben durch Hintereinanderausführen der beiden Schleifen. Das neutrale Element ist repräsentiert durch die Konstante Schleife, das Inverse durch die umgekehrte Schleife.

12.6 Aufgabe. Beweise, dass die Verknüpfung in π_{1}(X, x_{0}) wohldefiniert ist, und dass sich wie angegeben eine Gruppe ergibt.

12.7 Lemma. Sei f: (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) stetig. Dann induziert f einen Gruppenhomomorphismus π_{1}(f): π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}); [γ] ↦ [f ∘ γ].

Beweis. Die Abbildung ist wohldefiniert nach Lemma 12.3, die Definition ergibt, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.

12.8 Satz. Sei M glatte zusammenhängende Mannigfaltigkeit, x_{0} ∈ M. Zu jeder Untergruppe H ⊂ π_{1}(M, x_{0}) gibt es eine zusammenhängende Überlagerung p_{H}: M_{H} → M und x_{H} ∈ M_{H}, so dass im(π_{1}(p_{H})) = H.

Ist p′_{H}: M′_{H} → M, mit x′_{H} ∈ M′_{H} eine zweite solche Überlagerung, so gibt es einen (eindeutigen) Homöomorphismus f: M_{H} → M′_{H} mit p′_{H} ∘ f = p_{H}, f(x_{H}) = x′_{H}.

Für jede zusammenhängende Überlagerung p: \overline{M} → M ist π_{1}(p) injektiv.

Dieser Satz ist der Hauptsatz der Überlagerungstheorie, er gilt in noch viel größerer Allgemeinheit, nämlich für jeden wegzusammenhängenden und semilokal-einfachzusammenhängenden Raum. Den Beweis werden wir später durchführen.

12.9 Definition. Sei M glatte zusammenhängende Mannigfaltigkeit. Jede zusammenhängede Überlagerung p: M̃ → M mit π_{1}(tildeM, x_{1}) = {1} heißt universelle Überlagerung. Sie ist bis auf Überlagerungsisomorphismus eindeutig.

13 Tangentialvektoren als Derivationen

Im euklidischen Raum kann man zu jedem v die Richtungsableitung in Richtung von v betrachten. Damit erhält man für jedes x ∈ ℝ^{n} und jedes v ∈ T_{x}ℝ^{n} = ℝ^{n} eine Abbildung C^{∞}(ℝ^{n}) → ℝ; f ↦ ∂_{v}f(x). Man beachte, dass man v (und x), also die Elemente aus T_{x}M aus dieser Abbildung wiedergewinnen kann. Man erinnere sich insbesondere an das konkret berechnete Beispiel des Helizoiden aus Aufgabe 5.11, in dem wir die Tangentialvektoren schon mit ∂_{t} und ∂_{r} bezeichnet haben.

Für die Richtungsableitungen gilt die Leibnitzregel (=Produktregel). Dies machen wir zu einer Definition.

13.1 Definition. Sei M glatte Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung D: C^{∞}(M) → ℝ heißt Derivation an x ∈ M, falls

D(f · g) = D(f) · g(x) + f(x) · D(g) ∀f, g ∈ C^{∞}(M).

13.2 Lemma. Die Menge der Derivationen an x aus Definition ist ein r-Vektorraum.

13.3 Bemerkung. Seien abstrakt A und B Algebren über einem Ring R, und Ψ: A → B ein Algebrenhomomorphismus. Eine R-lineare Abbildung D: A → B heißt Derivation über Ψ, falls

D(ab) = D(a) · Ψ(b) + Ψ(a) · D(b) ∀a, b ∈ A.

Derivationen spielen in Algebra und höherer Analysis eine wichtige Rolle. In unserem Fall ist A = C^{∞}(M), B = ℝ = R und Ψ(f) = f(x).

13.4 Aufgabe. Beweise, dass jede Derivation D von C^{∞}(M) über x lokal bei x ist, d.h. dass D(f) = D(g), falls es eine offene Umgebung U von x gibt, so dass f|_{U} = g|_{U}.

Tipp: benutze Abschneidefunktionen.

13.5 Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, x ∈ M. Wir definieren auf der Menge {f: U → ℝ | U offene Umgebung von x, f glatt} eine Äquivalenzrelation, mit f g genau dann, wenn es eine (genügend kleine) offene Umgebung V von x gibt, so dass f|_{V} = g|_{V}. Die Äquivalenzklassen heißen (glatte) Funktionskeime bei x, wir nennen die Menge der Äquivalenzklassen C_{x}^{∞}(M).

13.6 Bemerkung. Für glatte Funktionen können wir in jeden Funktionskeim eine auf ganz M definierte Funktion finden; dazu benutzt man einfach eine Abschneidefunktion, um dann außerhalb deren Träger mit Null fortzusetzen.

Beachte, dass man dies nicht für holomorphe oder analytische (durch konvergierende Potenzreihen) Funktionen machen kann: nach dem Identitätssatz kann es so etwas wie Teilungen der 1 nicht geben. Tatsächlich sagt ja der Satz von Liouville, dass jede beschränkte auf ganz ℂ definierte Funktion konstant ist, lokal gibt es aber natürlich ganz viele holomorphe Funktionen.

13.7 Lemma. Sei M glatte n-Mannigfaltigkeit, x ∈ M. Eine neue Definition von T_{x}M ist gegeben als Vektorraum aller Derivationen des Raums der Keime C_{x}^{∞}(M).

Der Isomorphismus ist gegeben durch [x, ϕ, v] ↦ (f ↦ ∂_{v}(f ∘ ϕ^{−1})(ϕ(x))), d.h. wir transportieren mittels ϕ die Funktion f auf ℝ^{n} (lokal), und bilden dann die Richtungsableitung in Richtung v ∈ ℝ^{n}.

Wenn man lokal ein Vektorfeld X: x ↦ [x, ϕ: U → V, v(x)] gegeben hat, ordnet man diesem eine glatte ”Familie von Derivationen“ (die also an jedem Punkt x ∈ U ableitet) auf entsprechende Weise zu:

f ↦ L_{X}(f) := (∂_{v(x)}(f ∘ ϕ^{−1})) ∘ ϕ = T f(X).

Beachte, dass X(f) glatte Funktion von x ist, falls dasselbe für f und v (also X) gilt.

Auf diese Weise ist jedes glatte Vektorfeld X ∈ Γ(T M) ein Derivation L_{X}: C^{∞}(M) → C^{∞}(M); f ↦ X(f) = T f(X).

(Wir nutzen hier aus, dass Derivationen lokal sind.)

13.8 Beispiel. Schauen wir uns dies nochmal auf ℝ^{n} (also, wenn man es so auffassen möchte, in lokalen Koordinaten) an. Es gilt (kanonisch) T_{x}ℝ^{n} = ℝ^{n} für jedes x ∈ ℝ^{n}, also Γ(T ℝ^{n}) = C^{∞}(ℝ^{n}; ℝ^{n}). Sei e_{1} =: ∂_{1}, …, e_{n} =: ∂_{n} die Standardbasis von ℝ^{n}. Dann ist jedes Vektorfeld X auf eindeutige Weise eine Linearkombination X(x) = ∑_{i=1}^{n} f_{i}(x)∂_{i}, mit glatten Funktionen f_{i} ∈ C^{∞}(ℝ^{n}).

Der entsprechende Differentialoperator liefert g ↦ L_{X}(g) = ∑_{i=1}^{n} f_{i}∂g/∂x_{i} = ∑ f_{i}∂_{i}g.

13.9 Lemma. Sei M glatte Mannigfaltigkeit. Die Beschreibung aus Definition 13.7 definiert einen Isomorphismus zwischen den glatten Vektorfelder Γ(T M) und den Derivationen C^{∞}(M) → C^{∞}(M).

Beweis. Wir konstruieren eine Umkehrabbildung zur Abbildung X ↦ L_{X}. Jede Derivation D: C^{∞}(M) → C^{∞}(M) definiert auch Derivationen auf der Menge der Keime D_{x}: C_{x}^{∞}(M) → ℝ; hierzu benutzen wir, dass man glatte Funktionskeime nach Bemerkung 13.6 auf ganz M ausdehnen kann, und dass Derivationen lokal sind (13.4). Jede Derivation D_{x} liefert einen Tangentialvektor X(x) ∈ T_{x}M nach Lemma 13.7. Sind (x_{1}, …, x_{n}) lokale Koordinaten (also Verknüpfung einer Karte ϕ mit der Projektion auf die erste, …, n-te Koordinate), so gilt nach der Taylorformel für jede Funktion f in der Nähe des Punktes p ∈ M mit den Koordinaten (0, …, 0)

f(x) = f(p) + ∑_{i=1}^{n} x_{i}h_{i}(x)

mit h_{i}(p) = ∂_{i}f(p), somit wegen der Produktregel D(f)(p) = ∑_{i=1}^{n} D(x_{i})(p) · (∂_{i}f)(p).

Da sowohl Derivationen (nach Aufgabe 13.4) als auch Vektorfelder lokal sind, reicht es, dies auf C^{∞}(ℝ^{n}) nachzuweisen.

13.10 Aufgabe. Beweise, dass es für jede glatte Funktion f: ℝ^{n} → ℝ glatte Funktionen h_{i}: ℝ^{n} → ℝ gilt, so dass

f(x) = f(0) + ∑_{i=1}^{n} x_{i}h_{i}(x),

mit h_{i}(0) = ∂_{i}f(0).

Beweis. Idee: h_{i}(x) = ∫_{0}^{1} ∂f/∂x_{i}(tx) dt.

13.11 Lemma. Sei M glatte Mannigfaltigkeit. In der Interpretation von Definition 13.7 kann man zwei Vektorfelder X, Y ∈ Γ(T M) komponieren, und erhält so eine weitere Abbildung

X ∘ Y : C^{∞}(T M) → C^{∞}(T M).

Dies ist kein Vektorfeld, sondern ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Allerdings gilt: der Kommutator

[X, Y] := X ∘ Y − Y ∘ X

ist wieder ein glattes Vektorfeld. Man nennt [X, Y] auch die (Lie)-Klammer von X und Y.

Beweis. Der Kommutator zweier Derivationen ist nach Aufgabe 13.12 wieder eine Derivation, und dann kann man Lemma 13.9 benutzen.

13.12 Aufgabe. Zeige, dass der Kommutator zweier Derivationen wieder eine Derivation ist (dies ist eine ganz allgemeine algebraische Tatsache).

13.13 Satz. Die Abbildung Γ(T M) × Γ(T M) → Γ(T M) erfüllt folgende Eigenschaften:

(1) bilinear

(2) antisymmetrisch: [X, Y] = −[Y, X] ∀X, Y ∈ Γ(T M).

(3) Jakobi-Identität [X, [Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y, [X, Z]] ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M). Mit anderen Worten: betrachtet man die Lieklammer als ein Produkt (nicht assoziativ!), so ist die Operation ”nimm Lie-Klammer mit X“ eine Derivation bezüglich dieses Produkts.

(4) Seien X, Y ∈ Γ(T M), f, g ∈ C^{∞}(M). Dann gilt

[fX, gY] = fg[X, Y] + fX(g)Y − gY (f)X.

13.14 Aufgabe. Beweise Satz 13.13. Beachte, dass die Behauptungen (2), (3) und (4) sich ganz abstrakt aus der Derivationseigenschaft ergeben.

13.15 Definition. Ein Vektorraum V zusammen mit einer Klammer V × V → V; (X, Y) ↦ [X, Y] welches die Eigenschaften aus Satz 13.13 erfüllt, heißt Lie-Algebra.

13.16 Beispiel. • Wir haben gerade gesehen, dass Γ(T M) eine Lie-Algebra bildet (unendlich-dimensional).

• Endlich-dimensionaler Prototyp sind die Matrizen M(n×n), wobei wieder die Klammer durch den Kommutator gegeben ist.

13.17 Lemma. Sei U eine Untermannigfaltigkeit von M. Dann ist Γ(T U) eine Unter-Liealgebra von Γ(T M), d.h. genauer, falls X, Y ∈ Γ(T M) mit X_{p}, Y_{p} ∈ T_{x}U für jedes x ∈ U, so gilt auch [X, Y]|_{U} = [X|_{U}, Y |_{U}] ∈ Γ(T U) für alle x ∈ U.

Insbesondere ist die Lieklammer von Vektorfeldern verträglich mit Diffeomorphismen.

Beweis. Die Aussage kann lokal geprüft werden, und ist diffeomorphieinvariant. Es genügt also, sie für die Untermannigfaltigkeit ℝ^{k} × {0} ⊂ ℝ^{n} zu beweisen. Weiter ist Γ(T ℝ^{n}) ein freier C^{∞}(ℝ^{n})-Modul mit Basis ∂_{1}, …, ∂_{n}, und f_{1}∂_{1} + ⋯ f_{n}∂_{n} ∈ Γ(T ℝ^{n}) ist tangential zu ℝ^{k} × {0} genau dann, wenn f_{k+1}|_{ℝ^{k}×{0}} ≡ 0 ≡ ⋯ f_{n}|_{ℝ^{k}×{0}}.

Seien nun X = f_{i}∂_{i} und Y = g_{j}∂_{j} tangential zu ℝ^{k}. Dann gilt mit Satz 13.13

[f_{i}∂_{i}, g_{j}∂_{j}]|_{ℝ^{k}} = f_{i}|_{ℝ^{k}}∂_{i}(g_{j})|_{ℝ^{k}}∂_{j} − g_{j}|_{ℝ^{k}}∂_{j}(f_{i})|_{ℝ^{k}}∂_{i} + f_{i}g_{j}[∂_{i}, ∂_{j}]. (13.18)

Wegen des Satzes von Schwarz verschwindet [∂_{i}, ∂_{j}]. Falls i > k, ist X|_{U} = 0 ( ⟺ f_{i}|_{ℝ^{k}} = 0), somit auch [X|_{U}, Y |_{U}] = 0. Entweder ist auch j > k, dann verschwindet auch g_{j}|_{ℝ^{k}}, also der gesamte Ausdruck (13.18). Oder j ≤ k, dann aber ∂_{j}(f_{i}) = ∂_{j}(0) = 0. Falls j > k ergibt sich wegen Antisymmetrie die entsprechende Aussage. Sind i ≤ k und j ≤ k, so führt die Berechnung von [X|_{U}, Y |_{U}] zum identischen Ausdruck (13.18). Beachte, dass nur in diesem Fall ∂_{i} und ∂_{j} als Elemente von Γ(T ℝ^{k} × {0}) aufgefaßt werden können und somit Satz 13.13 angewendet werden kann.

13.19 Korollar. Sei M glatte Mannigfaltigkeit mit Karte ϕ: U → V ⊂ ℝ^{n}. Diese Karte induziert eine lokale Basis von Vektorfeldern aus Γ(T M|_{U}) durch ∂_{i} := Dϕ^{−1}(\frac{∂}{∂x_{i}}).

Es gilt [∂_{i}, ∂_{k}] = 0 für alle i, k.

Beweis. Es reicht, zu beobachten dass [\frac{∂}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{k}}] = \frac{∂}{∂x_{i}} ∘ \frac{∂}{∂x_{k}} − \frac{∂}{∂x_{k}} ∘ \frac{∂}{∂x_{i}} = 0 im ℝ^{n} wegen des Satzes von Schwarz über die Vertauschbarkeit von höheren partiellen Ableitungen.

14 Baby Liegruppen 1

14.1 Definition. Sei G eine Liegruppe und v ∈ T_{1}G. Dann definiert X_{v} mit X_{v}(g) := T_{1}l_{g}(v) ∈ T_{g}G ein glattes Vektorfeld, wobei l_{g}: G → G; h ↦ gh die Linksmultiplikation mit g ∈ G ist (insbesondere ist l_{g}(1) = g, somit T_{1}l_{g}: T_{1}G → T_{g}G). Nach Konstruktion ist dieses Vektorfeld Linksinvariant, d.h. T_{g}X_{v}(h) = X_{v}(gh) (wegen der Kettenregel), und jedes Linksinvariante Vektorfeld entsteht auf diese Weise.

Man hat also eine injektive lineare Abbildung T_{1}G → Γ(T G); v ↦ X_{v}, deren Bild gerade die Linksinvarianten Vektorfelder sind.

Da l_{g} ein Diffeomorphismus ist und die Lie-Klammer von Vektorfeldern diffeomorphieinvariant ist, gilt T l_{g}[X_{v}, X_{w}] = [T l_{g}X_{v}, T l_{g}X_{w}] = [X_{v}, X_{w}], also ist X_{v}, X_{w} wieder linksinvariant. Die Linksinvarianten Vektorfelder bilden also eine Unter-Liealgebra von Γ(T G), die Lie-Algebra Lie(G) von G.

Oft versteht man unter Lie(G) auch den Vektorraum T_{1}G, mit Lie-Klammer induziert über den Isomorphismus v ↦ X_{v} mit den linksinvarianten Vektorfeldern.

14.2 Beispiel. Die Lie-Algebra der Liegruppe ℝ^{n} ist ℝ^{n} mit der trivialen Lieklammer [v, w] = 0 ∀v, w ∈ ℝ^{n}.

Hier sind die Linksinvarianten (also translationsinvarianten) Vektorfelder gerade die ℝ-lineare Hülle der ∂_{k}, k = 1, …, n, und nach Satz von Schwarz kommutieren je zwei von diesen.

Sei G = Gl(n, ℝ). Da Gl(n, ℝ) eine offene Teilmenge von M(n×n, ℝ) = ℝ^{n^{2}} ist, kann man für jedes g ∈ G T_{g}G, insbesondere auch T_{1}G mit M(n × n, ℝ) identifizieren. Die lineare Abbildung l_{g}: M(n×n, ℝ) → M(n×n, ℝ) hat als Differential wiederum (unter dieser Identifikation) die lineare Abbildung l_{g}: M(n× n, ℝ) → M(n × n, ℝ).

Ein Vektorfeld X: Gl(n, ℝ) → M(n × n, ℝ) ist also linksinvariant genau dann, wenn X(g) = gX(1) für jedes g ∈ Gl(n, ℝ). Schreiben wir g für die Inklusionsabbildung Gl(n, ℝ) ↪ M(n × n, ℝ), dann gilt [X_{A}, X_{B}] = [gA, gB] = gA(g)B − gB(g)A + g^{2}[A, B]. Nun sind A und B konstante Vektorfelder auf M(n × n, ℝ) = ℝ^{n^{2}}, also [A, B] = 0. Andererseits gilt A(g) = T id(A) = A (da g eine offene Inklusion ist, ist ihr Differential das der Identität), somit [X_{A}, X_{B}] = g[A, B] = X_{[A,B]}. Die Lieklammer ist also gerade gegeben durch den Kommutator der Matrizen.

Sei H ⊂ Gl(n, ℝ) eine Lie-Untergruppe. Dann ist Lie(H) = T_{1}H ein Unterraum von M(n×n, ℝ). Wegen Lemma 13.17 ist die Lie-Klammer von Lie(H) weiterhin durch den Kommutator der Matrizen gegeben, insbesondere ist Lie(H) abgeschlossen unter Bildung von Kommutatoren.

14.3 Definition. Sei G eine Liegruppe, M eine glatte Mannigfaltigkeit. Eine Operation G×M → M von G auf M heißt glatt, falls die Abbildung G×M → M eine glatte Abbildung ist. Sie heißt proper, falls für jede kompakte Teilmenge K ⊂ M die Menge {g ∈ G | gK ∩ K ≠ ∅} kompakten Abschluss in G hat (dies ist immer erfüllt, wenn G kompakt ist).

Die Operation ist frei, falls es ein x ∈ M mit gx = x nur für g = 1 gibt.

14.4 Satz. Die Liegruppe G operiere glatt, frei und proper auf M. Dann wird auf G\M auf kanonische Weise die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit definiert, so dass die Projektion M ↦ G\M eine Submersion ist.

Beweis. Schwere Übungsaufgabe. Zu x ∈ M betrachte die Abbildung G → M; g ↦ gx (mit 1 · x = x). Dies liefert eine Inklusion T_{1}G ↪ T_{x}M.

15 Überlagerungen 1

15.1 Satz. Sei X wegzusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfachzusammenhängend. Die zweite Eigenschaft heißt, für jedes x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U_{x}, so dass jede Schleife γ: S^{1} → U_{x} in X zu einer konstanten Schleife homotop ist; präziser: in Inklusion induziert auf π_{1}(U_{x}, b) → π_{1}(X, b) für jedes b ∈ U die triviale Abbildung.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Untergruppen U von π_{1}(X, x_{0}) und Isomorphieklassen von zusammenhängenden Überlagerungen p_{U}: (X_{U}, x_{U}) → (X, x_{0}).

Eine Isomorphie ist dabei ein Homöomorphismus f: (X_{U}, x_{U}) → (X′_{U}, x′_{U}) mit p′_{H} ∘ f = p_{H}.

Der Beweis benötigt einige vorbereitende Aussagen.

15.2 Lemma. Sei p: Y → X eine Überlagerung, I ⊂ ℝ ein Intervall, γ: I → X stetig, t_{0} ∈ I und γ̃(t_{0}) ∈ Y ein Lift von γ(t_{0}) (also p(γ̃(t_{0})) = γ(t_{0})).

Dann gibt es eine eindeutige Abbildung γ̃: I → Y mit γ̃(t_{0}) wie vorgegeben, und so dass p ∘ γ̃ = γ.

Man spricht von der eindeutigen Wegeliftungseigenschaft von überlagerungen.

Beweis. Da p lokaler Homöomorphismus ist, existiert lokal ein Lift. Seien γ̃_{1} : I_{1} → Y und γ̃_{2} : I_{2} → Y zwei Lifts, die auf zwei Teilintervallen von I definiert sind (mit t_{0} ∈ I_{1} ∩ I_{2}). Sei t_{1} := sup{t ∈ I_{1} ∩ I_{2} | γ̃_{1}(t) = γ̃_{2}(t)}. Falls t_{1} ∈ I, wähle Umgebung U von γ(t_{1}) mit Überlagerungskarte f: p^{−1}(U) → U × Z mit diskreter Menge Z. Für t < t_{1} genügend nahe bei t_{1} ist γ(t) ∈ U und die Lifts γ̃_{1}(t) = γ̃_{2}(t) existieren. Wegen der lokalen Homöomorphie gälte dann auch γ̃_{1}(t_{0}) = γ̃_{2}(t_{0}) = lim_{t→t_{0}} γ̃_{1}(t). Es ist also entweder t_{1} ∉ I_{1} oder t_{1} ∉ I_{2}, auf dem gemeinsamen Definitionsbereich stimmen γ̃_{1} und γ̃_{2} jedenfalls überein (dasselbe geht natürlich auch links von t_{0}).

Sei nun I_{1} ⊂ I das maximale Definitionsintervall, auf welchem der (eindeutige) Lift γ̃ von γ definiert werden kann. Die obige Überlegung mit den lokalen Diffeomorphismen zeigt, dass I_{1} sowohl offenes als auch abgeschlossenes Teilintervall von I ist. Da I zusammenhängend, also I_{1} = I.

15.3 Lemma. Sei p: Y → X eine Überlagerung und H: [0, 1]×[0, 1] → X eine stetige Abbildung, mit Lift H̃(0) ∈ Y von H(0).

Dann gibt es einen eindeutigen Lift H̃: [0, 1] × [0, 1] → Y mit vorgegebenem Wert H̃(0).

Beweis. Da jeder Punkt in [0, 1] × [0, 1] mit (0, 0) durch einen Pfad verbunden werden kann, und da die Lifts von Pfaden eindeutig sind, kann es höchstens einen stetigen Lift von H geben.

Sei r := sup{t ∈ [0, 1] | H̃|_{[0,t]×[0,1]} stetig}. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es für jedes (r, s) ∈ [0, 1] × [0, 1] eine offene Umgebung, so dass der auf [0, r) × [0, 1] stetige Abbildung H̃ von H (eindeutig) stetig fortgesetzt werden kann. Wäre r < 1, könnte wegen der Kompaktheit von [0, 1] dann der Lift H̃ sogar stetig auf ein [0, r + ϵ] × [0, 1] fortgesetzt werden, mit geeignetem ϵ > 0. Das widerspricht aber der Definition von r, also gilt r = 1, und der stetige Lift H̃ ist auf [0, 1] × [0, 1] definiert.

15.4 Korollar. Sei p: (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) eine Überlagerung. Dann ist p_{∗}: π_{1}(X̃, x̃_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) injektiv.

Beweis. Sei γ: [0, 1] → X̃ eine “Schleife” bei x_{0}, also γ(0) = γ(1) = x̃_{0}, so dass p ∘ γ homotop zur konstanten Schleife ist. Sei H: [0, 1] × [0, 1]toX eine solche Homotopie, also H(0, t) = H(1, t) = H(s, 1) = x_{0}.

Dann hat H eindeutige Liftung zu H̃ mit (wegen der Eindeutigkeit gelifteter Wege) H̃(0, t) = H̃(1, t) = H̃(s, 1) = x̃_{0} für alle s, t ∈ [0, 1]. Damit ist H̃ eine Homotopie zwischen γ und der konstanten Schleife, insbesondere ist jedes Element im Kern von p_{∗} selbst schon trivial.

15.5 Satz. Sei p: X̃ → X eine Überlagerung und f: Y → X stetig. Sei y_{0} ∈ Y und ein Lift f̃(y_{0}) ∈ X̃ von f(y_{0}) vorgegeben und sei Y wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend (d.h. für jedes y ∈ Y und jede offene Menge U ⊂ Y mit y ∈ U gibt es eine offene Umgebung V ⊂ U von y, so dass V wegzusammenhängend).

Falls π_{1}(f)(π_{1}(Y, y_{0})) ⊂ π_{1}(p)(π_{1}(X̃, f̃(y_{0}))) ⊂ π_{1}(X, f(y_{0})), dann gibt es einen eindeutigen stetigen Lift f̃: Y → X̃ von f mit vorgegebenem f̃(y_{0}).

Beweis. Zu y ∈ Y wähle Weg c: [0, 1] → Y von y_{0} nach y, mit eindeutigem Lift ˜(f ∘ c): [0, 1] → X̃ zum Anfangspunkt f̃(y_{0}). Sei c_{2} : [0, 1] → Y ein zweiter Weg von y_{0} nach y. Dann ist die Hintereinanderausführung γ: [0, 1] → Y von c und dem Inversen von c_{2} ein Weg mit Anfangs- und Endpunkt y_{0} (also eine Schleife), also f ∘ γ: [0, 1] → X ein Schleife in X mit Anfangs- und Endpunkt x_{0}. Nach Voraussetzung über die Beziehung der Fundamentalgruppen von X, Y, X̃ gibt es eine Schleife β: [0, 1] → X̃ und eine punktierte Homotopie H: [0, 1]×[0, 1] → X zwischen f ∘ γ und p ∘ β, wobei H(t, 0) = H(t, 1) = x_{0} für alle t ∈ [0, 1] (hier wird benutzt, dass der Kreis S^{1} zum Intervall [0, 1] aufgeschnitten wird, aber natürlich weiterhin der Basispunkt von S^{1} konstant nach x_{0} abgebildet wird).

Die Homotopie H hat nun nach Lemma 15.3 einen eindeutigen Lift H̃: [0, 1]× [0, 1] → X̃, wobei insbesondere H̃(0, t) = H̃(1, t) = f̃(y_{0}) für jedes t ∈ [0, 1]. Beachte, dass wegen der Eindeutigkeit des Lifts insbesondere der Lift von f ∘ c und von f ∘ c_{2} zum Anfangspunkt f̃(y_{0}) identisch, nämlich gleich H̃(1, 1/2) ist.

Wir definieren f̃: Y → X̃ durch f̃(y) := ˜(f ∘c)(1) für einen Weg von y_{0} nach y.

Wir müssen noch beweisen, dass diese Abbildung stetig ist. Sei dazu y ∈ Y und W ⊂ X offene Umgebung von f(y), so dass lokal p^{−1}(W) ≅ W × Z mit diskretem Z.

Wähle wegzusammenhängende Umgebung U ⊂ f^{−1}(W) ⊂ Y von y. Man erhält dann einen Weg c_{z} von y_{0} zu z ∈ U, indem man einen festen Weg c_{0} nach y_{0} mit einem in U verlaufenden Weg e_{z} von y zu z verkettet. Der (eindeutige) Lift von f ∘c_{z} ist dann die Verkettung des Lifts von f ∘c_{0} mit f ∘e_{z}. Letzterer verläuft aber ganz in einem der Blätter von p^{−1}(W). Die Abbildung f̃|_{U} erhält man also, indem man f mit dem inversen des lokalen Homöomorphismus p (eingesschränkt auf das richtige Blatt) verknüpft: als verknüpftung zweier stetiger Abbildungen ist sie stetig.

15.6 Korollar. Seien p_{1} : (X_{1}, x_{1}) → (X, x_{0}) und p_{2} : (X_{2}, x_{2}) → (X, x_{0}) zwei wegzusammenhängende Überlagerungen eines lokal wegzusammenhängenden und wegzusammenhängenden Raums X. Es sei im((p_{1})_{∗}) = im((p_{2})_{∗}) ⊂ π_{1}(X, x_{0}). Dann gibt es einen eindeutigen Homöomorphismus f: (X_{1}, x_{1}) → (X_{2}, x_{2}) mit p_{2} ∘ f = p_{1}.

Beweis. Da X lokal wegzusammenhängend, und da dies eine lokale Eigenschaft ist, sind auch die (lokal zu X homöomorphen) Räume X_{1} und X_{2} lokal wegzusammenhängend. Man kann also auf das Paar von Abbildung (p_{1}, p_{2}) zweimal den Satz 15.5 anwenden, und erhält (eindeutige) Lifts f: (X_{1}, x_{1}) → (X_{2}, x_{2}), g: (X_{2}, x_{2}) → (X_{1}, x_{1}). Wegen der Eindeutigkeit der Lifts gilt insbesondere g ∘ f = id_{X_{1}} (also Lift von p_{1} : X_{1} → X) und f ∘ g = id_{X_{2}}, somit erhält man die gewünschten Homöomorphismen, wir haben bereits gezeigt, dass diese eindeutig sind.

Zum Beweis des Hauptsatzes fehlt jetzt nur noch eine Konstruktion:

15.7 Satz. Sei X wegzusammenhängend und semilokal einfachzusammenhängend mit Basispunkt x_{0}. Sei H Untergruppe von π_{1}(X, x_{0}). Dann gibt es eine zusammenhängend Überlagerung p: X̃ → X mit π_{1}(X̃, x̃) = H.

Beweis. Wir definieren X̃ := {γ: [0, 1] → X | γ(0) = x_{0}}/ ∼ wobei γ_{1} ∼ γ_{2} genau dann, wenn die Verkettung von γ_{1} und γ_{2}^{−1} ein Element aus H repräsentiert.

Nach Definition der Verknüpfung in π_{1}(X, x_{0}) ist dies eine Äquivalenzrelation, da H Untergruppe.

Man hat eine offensichtiche Projektion p: X̃ → X; [γ] ↦ γ(1). Sei [γ] ∈ X̃ mit γ(1) = x. Wähle semilokal-einfachzusammehängende Umgebung U ⊂ X von x. Setze U_{[γ]} als Menge aller (Klassen von) Wegen, die sich als Komposition von γ mit einem Weg in U ergeben. Da U semilokal-einfachzusammenhängend ist p: U_{[γ]} → U eine Bijektion. Wir definieren nun einfach, dass die Mengen U_{[γ]} eine Basis der Topologie von X̃ bilden sollen. Beachte, dass jede Teilmenge einer Menge U_{x} wie aus der Definition von lokalem einfachzusammenhang selbst wieder dieselben Eigenschaften hat, daher ist der Schnitt zweier Mengen U_{[γ]} und V_{[c]} selbst wieder einer dieser Mengen aus der Basis der Topologie von X̃, so dass die Topologie von X̃ selbst nur aus Vereinigungen solcher Mengen besteht, und so dass insbesondere die Abbildungen p|_{U_{[γ]}} : U_{[γ]} → U Homöomorphismen sind.

Fixiere nun y ∈ X, und betrachte Z := p^{−1}(y) ⊂ X̃ mit Umgebungen U_{[γ]} für [γ] ∈ Z. Sei [c] ∈ U_{[γ_{1}]} ∩ U_{[γ_{2}]}, d.h. die Verkettung von γ_{1} mit einem in U verlaufenden Weg c_{1} und von γ_{2} mit einem in U verlaufenden Weg γ_{2} ist homotop (relativ Endpunkt). Nach Voraussetzung an U kann man (durch geeignete Homotopie) annehmen dass c_{1} = c_{2} und weiterhin die Verkettung von γ_{1} und γ_{2} mit c_{1} homotop relativ Endpunkt sind. Dann sind aber auch γ_{1} und γ_{2} homotop relativ Endpunkten. Somit ist p_{−1}(U) homöomorph zu U × Z, also ist p eine Überlagerung.

Es bleibt noch, die Fundamentalgruppe von X̃ zu bestimmen. Sei c: [0, 1] → X Repräsentant einer Schleife in H. Definiere Lift c̃: [0, 1] → X̃ durch c̃(t) := [c|_{[0,t]}]. Nach Definition der Topologie auf X̃ ist diese Abbildung stetig. Es ist eine Schleife, da c̃(1) = [c] ∈ H, also c äquivalent zur konstanten Schleife, also zu c̃(0). Die gleiche Konstruktion zeigt aber auch, dass eine Schleife, die nicht in H liegt, nicht zu einer Schleife in X̃ geliftet werden kann (Lift von Wegen ist eindeutig). Folglich gilt im(π_{1}(X̃, x̃_{0})) = H, wie behauptet.

16 Wiederholung zur (Multi)lineare Algebra

Einige Funnktoren.

Sei V ein (endlichdimensionaler) ℝ-Vektorraum. Der Dualraum ist V^{∗} := Hom(V, ℝ).

16.1 Tensorprodukt

16.1 Definition. und Aufgabe Zu zwei Vektorräumen V, W ist ein Tensorprodukt ein Vektorraum V ⊗ W mit einer bilinearen Abbildung i: V ×W → V ⊗W, welcher durch folgende universlle Eigenschaft charakterisiert ist:

für jeden Vektorraum X und jede bilineare Abbildung α: V × W → X gibt es genau eine lineare Abbildung β: V ⊗ W → X mit β ∘ j = α.

Die Vektoren j(v, w) ∈ V ⊗ W schreibt man als v ⊗ w := j(v, w).

Sei (v_{i})_{i∈I} Basis von V und (w_{j})_{j∈J} Basis von W. Dann ist (v_{i} ⊗w_{j})_{(i,j)∈I×J} Basis von V ⊗ W.

Ein Tensorprodukt V ⊗ W existiert (wähle einfach den Vektorraum mit Basis v_{i} ⊗ w_{j}) und ist eindeutig bis auf kanonische Isomorphie (benutze die universelle Eigenschaft). Wegen dieser Eindeutigkeit spricht man auch von dem Tensorprodukt von V und W.

Falls A: V → V′ und B: W → W′ lineare Abbildungen, so gibt es genau eine lineare Abbildung A ⊗ B: V ⊗ W → V′ ⊗ W′ mit (A ⊗ B) ∘ j = j′ ∘ (A × B). Mit dieser Definition wird das Tensorprodukt ein Funktor von V ekt×V ekt → V ekt.

Das Tensorprodukt ist kommutativ und assoziativ, d.h. es gibt kanonische Isomorphismen

V ⊗ W → W ⊗ V; (v ⊗ w) ↦ w ⊗ v

sowie

(V ⊗ W) ⊗ U → V ⊗ (W ⊗ U); (v ⊗ w) ⊗ u ↦ v ⊗ (v ⊗ u).

Es gibt kanonischen Isomorphismus ℝ ⊗ V → V; (r ⊗ v) ↦ rv.

Beachte, dass es in der Regel Elemente in V ⊗ W gibt, die nicht die Gestalt v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W haben. Jedes Element kann aber also endliche Linearkombination aus solchen sogenannten elementaren Tensoren geschrieben werden. Beachte auch, dass diese Darstellung im allgemeinen nicht eindeutig ist. Vielmehr gilt z.B.

λ(v⊗w) = (λv)⊗w = v⊗(λw); v⊗w+v′⊗w = (v+v′)⊗w; v⊗w+v⊗w′ = v⊗(w+w′) ∀v, v′ ∈ V; w, w′ ∈ W; λ ∈ ℝ.

Die erwähnten kanonischen Isomorphismen und Homomorphismen kommen von glatten Funktoren für die jeweils korrekte Kategorie von Vektorräumen, ergeben also entsprechende Aussagen für Vektorraumbündel.

16.2 Aufgabe. Beweise die gemachten Aussagen, insbesondere auch, dass ein Tensorprodukt existiert, die gewünschte Basis hat, und bis auf kanonische Isomorphie eindeutig ist.

16.3 Bemerkung. Die Theorie der Tensorprodukte kann von ℝ-Vektorräume auf Vektorr”’aume über beliebigen Körpern, sowie noch weiter auf Moduln über kommutativen Ringen verallgemeinert werden (alle Aussagen, die weiterhin Sinn machen, bleiben richtig —aber nicht jeder Modul über jedem Ring hat eine Basis). Wenn man die Formulierungen geeignet modifiziert, auch auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen (dann muss man mit Links/Rechtsmoduln aufpassen).

16.2 Verjüngungen

16.4 Aufgabe. Seien U, V, W endlichdimensionale Vektorräume. Dann gibt es kanonischen Isomorphismus

Hom(U, V^{∗} ⊗ W) → Hom(U ⊗ V, W); Φ ↦ (u ⊗ v ↦ Φ(u)(v)),

wobei man für v ∈ V den Homomorphismus V^{∗} ⊗ W → W definiert durch ϕ ⊗ w ↦ ϕ(v) · w benutzt, welcher wiederum durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts gegeben ist. Beim Beweis muss man verwenden, dass die Vektorr”aume endlichdimensional sind.

Wegen des kanonischen Isomorphismus V = Hom(ℝ, V); v ↦ (λ ↦ λv) ist somit Hom(V, V) ≅ V ⊗ V^{∗}. Ist (v_{i}) Basis von V mit dualer Basis v^{i} von V^{∗} (also v^{i}(v_{j}) = δ_{ij}), so wird id_{V} abgebildet auf ∑_{i} v_{i} ⊗ v^{i}.

Auf V ⊗V^{∗} ist eine kanonische Abbildung (genannt Kontraktion oder Verjüngung) V ⊗ V^{∗} → ℝ; ⊗ϕ ↦ ϕ(v) definiert. Unterdem Isomorphismus V ⊗ V^{∗} ≅ Hom(V, V) entspricht dies gerade der Spur.

Sei g ein Skalarprodukt auf V. Dann induziert g einen Isomorphismus V → V^{∗}; v ↦ (w ↦ g(w, v)). Dieser ergibt sich durch einsetzen von g ∈ Sym_{2}(V) ⊂ Hom(V ⊗ V, ℝ) in den kanonischen Homomorphismus

V ⊗ Hom(V ⊗ V, ℝ) ≅ V ⊗ V^{∗} ⊗ V^{∗} → V,

wobei der Verjüngungshomomorphismus eingesetzt wird. Hiervon gibt es natürlich 2 verschiedene, aber da g symmetrisch ist, ist das Bild von (v ⊗ g) für jeden der beiden und für jedes v ∈ V immer dasselbe. Um zu zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, muss man benutzen, dass g positiv definit ist, und dass die Vektorräume endlich dimensional sind.

17 Kovariante Ableitung und Zusammenhang

17.1 Kovariante Ableitung

17.1 Beispiel. Vektorwertige Funktionen X: ℝ^{n} → ℝ^{n} kann man (komponentenweise) ableiten, insbesondere kann man deren Richtungsableitungen definieren.

Solch ein X kann man auch als Vektorfeld auffassen (da T ℝ^{n} = ℝ^{n} × ℝ^{n} kanonisch trivialisiert ist). Sei dann Y ein anderes Vektorfeld auf ℝ^{n} (also noch eine Funktion Y : ℝ^{n} → ℝ^{n}). Dann hat man D_{Y} X(x) = ∂X/∂Y (x)|_{x}.

Diese Ableitungen von Vektorfeldern entlang von Vektorfelder auf ℝ^{n} haben folgende Eigenschaften:

(1) D_{fY} (X) = fD_{Y} (X)

(2) D_{Y} (fX) = X(f) · Y + fD_{Y} (X)

(3) D_{X}Y − D_{Y} X = [X, Y]

für alle X, Y ∈ Γ(ℝ^{n}) = C^{∞}(ℝ^{n}, ℝ^{n}), f ∈ C^{∞}(ℝ^{n}).

Für allgemeine Mannigfaltigkeiten haben wir keine so kanonische Möglichkeit, Richtungsableitungen von Vektorfeldern, oder gar von Schnitten ganz anderer Vektorbündel, zu definieren. Zum Ersatz machen wir folgende Definition:

17.2 Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit glattem Vektorbündel E → M. Eine kovariante Ableitung oder ein Zusammenhang auf E ist eine Abbildung

∇: Γ(E) × Γ(T M) → Γ(E); (s, X) ↦ ∇_{X}(s)

mit folgenden Eigenschaften:

(1) ∇ ist ℝ-bilinear.

(2) ∇_{fX}(s) = f∇_{X}(s)

(3) ∇_{X}(fs) = X(f) · s + f∇_{X}(s)

für alle s ∈ Γ(E), X ∈ Γ(T M), f ∈ C^{∞}(M).

17.3 Definition. Sei E = T M und ∇ ein Zusammenhang auf T M. Dann heißt

T: Γ(T M) × Γ(T M) → Γ(T M); (X, Y) ↦ ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y]

die Torsion von ∇. Falls T ≡ 0, heißt ∇ torsionsfrei.

17.4 Lemma. Die Torsion eines Zusammenhangs ist ein Tensor, d.h. es gibt einen Schnitt t ∈ Γ(Hom(T M ⊗ T M, T M)), so dass

T (X, Y)(p) = t(p)(X(p) ⊗ Y (p)) ∀X, Y ∈ Γ(T M), p ∈ M.

Beweis. Man muss zunächst beweisen, dass für p ∈ M der Wert T (X, Y)(p) tatsächlich nur von X(p) und Y (p) abhängt. Dazu zeigen wir, dass T tatsächlich C^{∞}(M)-bilinear ist. Seien also X, Y ∈ Γ(T M) und f, g ∈ C^{∞}(M). Dann gilt

T (fX, gY) = ∇_{fX}(gY) − ∇_{gY} (fX) − [fX, gY]

= f∇_{X}(gY) − g∇_{Y} (fX) − fg[X, Y] − fX(g)Y + gY (f)X =

fg∇_{X}(Y)+fX(g)Y −gf∇_{Y} X−gY (f)X−fg[X, Y]−fX(g)Y +gY (f)X = fgT (X, Y).

17.5 Lemma. Seien E, F Vektorbündel über M und A: Γ(E) → Γ(F) eine C^{∞}(M)-lineare Abbildung, also A(fs) = fA(s) für alle f ∈ C^{∞}(M), s ∈ Γ(E).

Dann gibt es a ∈ Γ(Hom(E, F)) so dass A(s)(p) = a(p)s(p) für alle s ∈ Γ(E) und alle p ∈ M.

Beweis. Wir beweisen zunächst, dass As(p) nur von s(p) abhängt. Seien dazu s_{1}, s_{2} ∈ Γ(E) mit s_{1}(p) = s_{2}(p). As(p) hängt auf jeden Fall nur von den Werten von s in beliebigen Umgebungen von p ab (wähle Abschneidefunktionen). Wir können also mittels einer Karte und einer Trivialisierung von E annehmen, dass s_{1}, s_{2} : ℝ^{n} → ℝ^{N} vektorwertige glatte Funktionen auf ℝ^{n} sind, mit (s_{1}−s_{2})(0) =

0. Nach Aufgabe 13.10 gibt es also f_{j}: ℝ^{n} → ℝ mit f_{j}(0) = 0 und vektorwertige Funktionen v_{j}: ℝ^{n} → ℝ^{N}, so dass s_{1} − s_{2} = ∑_{j} f_{j}v_{j}.

Übersetzt auf die Mannigfaltigkeit heisst dies, dass es (auf einer genügend kleinen offenen Umgebung von M) glatte Funktionen f_{j}: M → ℝ mit f_{j}(p) = 0 und Schnitte v_{j} ∈ Γ(E) gibt, so dass s_{1} − s_{2} = ∑_{j} f_{j}v_{j}. Somit

A(s_{1})(p) − A(s_{2})(p) = ∑_{j} f_{j}(p)A(v_{j})(p) = 0.

Sei nun p ∈ M und v ∈ E_{p}. Wir definieren nun einfach a(p)(v) := A(s)(p), wobei s ∈ Γ(E) ein Schnitt mit s(p) = 0 ist. Nach dem, was wir gerade gezeigt haben, ist a(p)(v) wohldefiniert; da A linear ist, folgt dass a(p) ∈ Hom(E_{p}, F_{p}).

Es bleibt noch zu zeigen, dass der so konstruierte Schnitt des Bündels Hom(E, F) wirklich glatt ist. Dazu wähle lokale Basis s_{1}, …, s_{N} von Schnitten von E (also so, dass (s_{1}(q), …, s_{N}(q)) Basis von E_{q} für q ∈ U, U Umgebung von p). Wir müssen zeigen, dass q ↦ a(q)s_{k}(q) für jedes k eine glatte Funktion ist. Es gilt aber a(q)s_{k}(q) = As_{k}(q), und dies ist nach Voraussetzung glatte Funktion von q ∈ M. Damit folgt die Behauptung.

Hilfslemma 17.5 läßt sich insbesondere auf die Torsion T anwenden.

17.6 Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf T M genau einen Zusammenhang ∇, den sogenannten Levi-Civita Zusammenhang, welcher folgende Eigenschaften erfüllt:

(1) ∇ ist Torsionsfrei.

(2) ∇ ist metrisch, d.h. ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M) gilt

X(g(Y, Z)) = g(∇_{X}Y, Z) + g(X, ∇_{Y} Z)  (17.7)

(eine Art Produktregel für das Skalarprodukt g).

Beweis. Sei ein solcher Zusammenhang gegeben. Dann gilt natürlich auch Y (g(X, Z)) = g(∇_{Y} X, Z) + g(Y, ∇_{X}Z) und Z(g(X, Y)) = g(∇_{Z}X, Y) + g(X, ∇_{Z}Y). Subtrahiert man die zweite von der ersten, und addiert noch (17.7), so erhält man

2g(∇_{X}Y, Z) = X(g(Y, Z)) − g(Y, ∇_{X}Z − ∇_{Z}X)

+ Y (g(X, Z)) − g(X, ∇_{Y} Z − ∇_{Z}Y) − g(Z, ∇_{Y} X − ∇_{X}Y) − Z(g(X, Y)) =

X(g(Y, Z)) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y)) + g([X, Y], Z) − g([X, Z], Y) − g([X, Z], Y) − g([Y, Z], X). (17.8)

Damit folgt, dass ∇ eindeutig ist: unser Skalarprodukt ist positiv definit, somit (∇_{X}Y)(p) eindeutig festgelegt durch g_{p}(∇_{X}Y (p), Z(p)) für alle Z ∈ Γ(T M).

Umgekehrt legt für gegebenes X, Y ∈ Γ(T M) die rechte Seite von Gleichung (17.8) eine Abbildung Γ(T M) → C^{∞}(M) fest. Diese ist C^{∞}(M)-linear, also nach Lemma 17.5 gegeben durch einen Schnitt a des Bündels Hom(T M, ℝ) = T^{∗}M. Die Riemannsche Metrik erlaubt jedoch, a zu übersetzen in ein Vektorfeld ∇_{X}Y, nämlich genau durch die Regel g_{p}(∇_{X}Y (p), Z(p)) = a(p)(Z(p)).

17.9 Bemerkung. und Aufgabe Sei M eine Mannigfaltigkeit. Definiere die Vektorbündel T^{∗}M := Hom(T M, ℝ),

und T^{p,q}M := \underbrace{T M ⊗ ⋯ T M}_{p Faktoren} ⊗ \underbrace{T^{∗}M ⊗ ⋯ T^{∗}M}_{q Faktoren}.

Falls p, q ≥ 1, kann man für i ∈ {1, …, p}, j ∈ {1, …, q} den i-ten Faktor der T M-Faktoren in den j-ten der T^{∗}M-Faktoren einsetzen. Auf diese Weise erhält man einen Vektorbündelhomomorphismus

ϵ_{ij}: T^{p,q}M → T^{p−1,q−1}M; (v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{p} ⊗ ω_{1} ⊗ … ⊗ ω_{q}) ↦ ω_{j}(v_{i}) · v_{1} ⊗ ⋯ v̂_{i} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n} ⊗ ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω̂_{j} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{q}; (17.10)

der Hut heißt, dass der entsprechende Faktor weggelassen wird. Dieser Homomorphismus wird Verjüngungshomomorphismus genannt.

Sei g eine Riemannsche Metrik auf M so induziert diese einen Isomorphismus τ_{g}: T M → T^{∗}M. Entsprechend erhält man (für jeden möglichen Faktor) Isomorphismen T^{p,q}M → T^{p−1,q+1}M, T^{p,q}M → T^{p+1,q−1}M (es darf natürlich keiner der Indizes negativ werden). Diese Isomorphismen werden indexhebend oder indexsenkend genannt (raising or lowering the index).

Grund dafür ist, dass in einer Orthonormalbasis v_{1}, v_{n} von T_{p}M mit dualer Basis v^{1}, …, v^{n} der Isomorphismus gegeben ist durch v_{k} ↦ v^{k}. Handelt es sich bei w_{1}, …, w_{n} um eine beliebige Basis von T_{p}M mit dualer Basis w^{1}, …, w^{n}, und mit Gramscher Matrix g_{ij} = g_{p}(w_{i}, w_{j}), und inverser Matrix (g^{ij})_{i,j} von (g_{ij})_{ij}, so gilt τ_{g}(w_{i}) = ∑_{j} g_{ij}w^{j}, τ_{g}^{−1}(w^{i}) = ∑_{j} g^{ij}w_{j}.

17.11 Beispiel. Auf ℝ^{n} mit der kanonischen Metrik ist der Levi-Civita Zusammenhang der Zusammenhang D aus Beispiel 17.1.

17.12 Lemma. Der Levi-Civita Zusammenhang wird in lokalen Koordinaten durch die Christoffel-Symbole beschrieben. Sei ϕ: U → V eine Karte von M. Die Christoffel-Symbole Γ_{jk}^{i}: U → ℝ sind definiert durch

∇_{∂_{j}}(∂_{k}) = ∑_{k} Γ_{ji}^{i}∂_{k},  (17.13)

wobei partial_{i} := (Dϕ)^{−1}(\frac{∂}{∂x_{i}}) die durch die Karte ϕ induzierte lokale Basis von T M ist (deshalb ist Γ_{jk}^{i} durch die Formel (17.13) auch eindeutig bestimmt).

Falls g_{ij} der Riemannsche Tensor in der Koordinate ϕ ist, mit Inversem g^{ij}, so gilt

Γ_{jk}^{i} = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{n} g^{il} (∂_{j}g_{kl} + ∂_{k}g_{lj} − ∂_{l}g_{jk}) .  (17.14)

Außerdem gilt Γ_{jk}^{i} = Γ_{kj}^{i}

Beweis. Es gilt ∇_{∂_{j}}∂_{k} − ∇_{∂_{k}}∂_{j} = [∂_{k}, ∂_{j}] = 0 wegen des Satzes von Schwarz (Korollar 13.19), somit auch Γ_{jk}^{i} = Γ_{kj}^{i}. Nach Gleichung (17.8) gilt

2g(∇_{∂_{j}}∂_{k}, ∂_{l}) = ∂_{j}g_{kl} + ∂_{k}g_{lj} − ∂_{l}g_{jk}.  (17.15)

Nimmt man in Gleichung (17.13) das g-Skalarprodukt mit ∂_{l} und benutzt, dass g(∂_{i}, ∂_{l}) = g_{il}, erhält man genau dann Gleichung (17.15), wenn Γ_{jk}^{i} die Formel (17.14) erfüllt (da (g^{ji}) invers zu (g_{jk})).

Da die ∂_{i} eine Basis bilden, und das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, können die Γ_{jk}^{i} dann nicht anders aussehen.

17.16 Aufgabe. Bestimme ∇_{X}Y in lokalen Koordinaten ϕ: U → V in der Basis (∂_{i}) mittels der Christoffelsymbole, falls X = ∑_{i} f^{i}∂_{i} und Y = ∑ g^{i}∂_{i}.

Viele unserer Beispiel von Riemannschen Mannigfaltigkeiten kommen daher, dass wir Untermannigfaltigkeiten bekannter Riemannscher Mannigfaltigkeiten, z.B. des flachen ℝ^{n} betrachtet haben.

17.17 Lemma. Sei (N, g|_{N}) ⊂ (M, g) eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M. Dann ist der Levi-Civita Zusammenhang von N die orthogonale Projektion des Levi-Civita Zusammenhangs auf M.

Genauer: Seien X̃, Ỹ ∈ Γ(T M) Vektorfelder, so dass X := X̃|_{N}, Y := Ỹ |_{N} ∈ Γ(T N) (wobei wir T N als Unterbündel von T M|_{N} auffassen); für alle x ∈ N liegt also X(p) ∈ T_{p}N ⊂ T_{p}M etc. Dann gilt

∇_{X}Y (p) = pr_{p}(∇X̃ Ỹ (p)),  (17.18)

wobei pr_{p}: T_{p}M → T_{p}N die orthogonale Projektion (unter Benutzung des Skalarprodukts g_{p}).

Beweis. Wir müssen nur zeigen, dass nach g_{p}-Skalarprodukt nehmen mit jedem Z(p) ∈ T_{p}N die Gleichung (17.18) korrekt ist.Dann kann man aber Gleichung (17.8) anwenden, und die Skalarprodukte mit Hilfe der Metrik und der Lie-Klammer ausdrücken.

Da nach Lemma 13.17 [X, Y]_{p} = [X̃, Ỹ]_{p} (der eine Kommutator in Γ(T N) genommen, der andere in Γ(T M)), liefert Gleichung (17.8) die Gleichung g_{N}(∇_{X}Y, Z) = g_{M}(∇X̃ Ỹ , Z̃) für jedes Z ∈ Γ(T N) mit Fortsetzung Z̃ auf Γ(T M), also die Behauptung.

Dass die kovariante Ableitung auch “Zusammenhang” genannt wird, liegt daran, dass man mit ihrer Hilfe Tangentialvektoren ‘entlang von Kurven ‘parallel verschieben” kann. Um dies sinnvoll tun zu können, muss man sich mit Vektorfeldern und Kurven beschäftigen.

17.19 Definition. Sei c: (a, b) → M eine (stetige) Kurve in einer glatten Mannigfaltigkeit M. Ein Vektorfeld X entlang c ist eine glatte Abbildung X: (a, b) → T M mit X(t) ∈ T_{c(t)}M. Die Vektoren sind insbesondere nicht tangential an die Kurve.

Beachte: c muss nicht injektiv sein; falls c(t_{1}) = c(t_{2}), ist nicht gefordert, dass X(t_{1}) = X(t_{2}).

17.20 Beispiel. Sei c: (a, b) → M glatte Kurve. Dann ist c′: (a, b) → T M ein Vektorfeld entlang c.

17.21 Satz. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, c: (a, b) → M eine stetig differenzierbare Kurve. Dann gibt es genau einen ℝ-lineare Abbildung \frac{D}{dt} von der Menge der glatten Vektorfelder entlang c nach sich selbst, welche folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

(1) \frac{D}{dt}(fX) = f \frac{D}{dt}X + f′X für f ∈ C^{∗}∞((a, b), ℝ)

(2) Falls X Einschränkung eines auf ganz M definierten glatten Vektorfelds X̃ ist, dann gilt

\frac{D}{dt}X(t) = (∇_{c′(t)}X̃)(t) ∀t ∈ (a, b).

\frac{D}{dt} heißt kovariante Ableitung entlang der Kurve c.

Beweis. Leider kann man nicht jedes Vektorfeld X entlang c auf ganz M ausdehnen, da c nicht injektiv ist (und selbst wenn, könnte das Bild noch eine dichte Teilmenge von M sein).

Aber: für jeden Punkt c(t_{0}) ∈ M gibt es eine offene Kartenumgebung U, so dass die “Standard-Kartenvektorfelder ∂_{1}, …, ∂_{n} eine lokale Basis von T M|_{U} bilden. Folglich gibt es (auf einer Umgebung (e, d) ⊂ (a, b) von t_{0}, so dass c(e, d) ⊂ U) eindeutig bestimmte glatte Funktionen f_{1}, …, f_{n}: (e, d) → ℝ, so dass X(s) = ∑_{i} f_{i}(s)∂_{i}.

Unter Benutzung von Abschneidefunktion und Teilung der Eins kann man also X als lokal-endliche Linearkombination ∑_{j∈J} g_{j}Y_{j} schreiben, wobei die Y_{j} sich auf ganz M ausdehnen.

Damit ist \frac{D}{dt}X durch die beiden Regeln eindeutig festgelegt: es kann also höchsten eine Funktion \frac{D}{dt} mit den gewünschten Eigenschaften geben.

Umgekehrt kann man mit Hilfe der Zerlegung X = ∑_{j∈J} g_{j}Y_{j} und der beiden Regeln die Abbildung \frac{D}{dt}X definieren.

Man rechnet ohne Probleme nach, dass dies wohldefiniert ist (schreibe lokal jedes Vektorfeld Y_{j} eindeutig als Linearkombination von ∂_{k}, und benutze Produktregel für ∇_{c′}). Danach ist es dann auch leicht, die beiden Eigenschaften nachzuweisen. Beachte, dass dies noch durchgeführt werden muss und nicht automatisch ist: wir haben die Regeln zwar benutzt, um die Formel herzuleiten, das heißt aber nicht automatisch, dass mit der gefundenen Formel alle Regeln erfüllt werden.

17.22 Aufgabe. Sei N ⊂ M eine glatte Untermannigfaltigkeit, c: (a, b) → N eine glatte Kurve und X: c → T N ein Vektorfeld entlang c, aufgefasst als Kurve in N. Sei \overline{X} das selbe Vektorfeld, aber nun aufgefasst als Vektorfeld entlang der Kurve in M, benutze dazu die Inklusion T N ⊂ T M. Berechne dann \frac{D}{dt}c (die kovariante Ableitung in N) in Termen von \frac{\overline{D}}{dt} \overline{X} (die kovariante Ableitung in M).

Zeige: \frac{D}{dt}X(t) = pr_{T_{c(t)}N}(\frac{\overline{D}}{dt} \overline{X}(t)), wobei pr_{T_{p}N}: T_{p}M → T_{p}N die orthogonale Projektion ist.

17.23 Aufgabe. Berechne die kovariante Ableitung entlang von c′ entlang der Kurven

(1) c(t) = v cos(t) + w sin(t) auf S^{n}, wobei w, v ∈ S^{n} mit w ⊥ v (es handelt sich um einen Großkreis)

(2) c(t) = v cos(t) + w sin(t) auf ℝ^{n+1}, wobei v, w ∈ S^{n}.

(3) c(t) = v + tw auf ℝ^{n}, v, w ∈ ℝ^{n}.

17.2 Paralleltransport

17.24 Definition. Ein Vektorfeld X entlang einer Kurve c heißt parallel, falls \frac{D}{dt}X ≡ 0.

17.25 Beispiel. Sei c: (a, b) → ℝ^{n} beliebige C^{1}-Kurve. Ein Vektorfeld X: (a, b) → ℝ^{n} = T_{c(t)}ℝ^{n} entlang c ist parallel (bezüglich der Standardmetrik) genau dann, wenn X konstant ist.

Wir verallgemeinern also den üblichen Begriff von Parallelität auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Beweis. Schreibe X(t) = ∑_{i} X^{i}(t)\frac{∂}{∂x_{i}}, dann gilt \frac{D}{dt}X(t) = ∑_{i} X^{i}(t)′ \frac{∂}{∂x_{i}} + X^{i}(t)∇_{c′(t)} \frac{∂}{∂x_{i}}. Im ℝ^{n} ist die kovariante Ableitung die übliche Ableitung, die Vektorfelder \frac{∂}{∂x_{i}} sind konstant, also ∇_{c′(t)} \frac{∂}{∂x_{i}} = 0, also \frac{D}{dt}X(t) = ∑ X^{i}(t)′ \frac{∂}{∂x_{i}}. Dies ist genau dann = 0, wenn alle X^{i}(t)′ = 0, also die X^{i} konstant.

17.26 Satz. Sei c: (a, b) → (M, g) stetig differenzierbare Kurve, t_{0} ∈ (a, b) und v ∈ T_{c(t_{0})}M. Dann gibt es genau ein Vektorfeld X entlang c welches parallel ist und so dass X(t_{0}) = v.

Beweis. Es genügt, dies für alle kompakten Teilintervalle [e, d] ⊂ (a, b) zu beweisen. Ein solches kann man in endlich viele Teile e = t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b zerlegen, so dass c([t_{k}, t_{k+1}]) in einer Kartenumgebung U enthalten ist. Eingeschränkt auf so ein Teilintervall, lässt sich nun jedes X eindeutig schreiben als X = ∑ f_{i}∂_{i} mit der lokalen Basis von Vektorfeldern ∂_{i}, sowie c′(t) = ∑ α_{i}(t)∂_{i}.

Man erhält so das System linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung für Parallelität

\begin{matrix}0 = & \frac{D}{dt}X(t) = ∑_{i} f′_{i}(t)∂_{i} + f_{i}(∇_{∑_{k} α_{k}(t)∂_{k}}∂_{i}) \\ = & ∑_{i}(f′_{i}(t) + ∑_{kl} f_{l}α_{k}Γ_{ki}^{i}(c(t)))∂_{i} \end{matrix}  (17.27)

Hauptsatz der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen: für jedenvorgegebenen Anfangswert X(t_{k}) gibt es eine eindeutige Lösung, die auf ganz [t_{k}, t_{k+1}] definiert ist.

Durch Zusammensetzen folgt so sofort die Behauptung, man muss natürlich bei t_{0} starten.

17.28 Bemerkung. Die Aussage von Satz 17.26 verallgemeinert sich sofort in der offensichtlichen Weise auf stückweise stetig diffbare stetige Kurven.

17.29 Definition. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit und c: [a, b] → M stückweise C^{1}-Kurve. Der Paralleltransport entlang c ist die lineare Abbildung P_{t}: T_{c(a)}M → T_{c(t)}M welche dadurch definiert ist, dass es zu v ∈ T_{c(a)}M ein entlang c paralleles Vektorfeld X_{v} gibt mit X_{v}(a) = v und X_{v}(b) = P_{t}(v).

17.30 Bemerkung. Paralleltransport hat die Halbgruppeneigenschaft: P_{t+s} = \overline{P}_{t} ∘ P_{s}, wobei \overline{P} der Paralleltransport entlang c, aber startend an a + s ist. Da man Kurven auch rückwärts laufen kann, ist P_{t} für jedes t ein Isomorphismus.

17.31 Lemma. Da der Levi-Civita Zusammenhang die Metrik erhält, ist der Paralleltransport entlang einer Kurve c: [a, b] → M isometrisch, d.h.

g_{c(a)}(v, w) = g_{c(t)}(P_{t}v, P_{t}w) ∀v, w ∈ T_{c(a)}M, t ∈ [a, b].

Für beliebige Vektorfelder X(t), Y (t) entlang c gilt

\frac{d}{dt}g(X(t), Y (t)) = g(\frac{D}{dt}X(t), Y (t)) + g(X(t), \frac{D}{dt}Y (t)).

Beweis. Die erste Aussage folgt aus der zweiten, und die zweite folgt wie der Beweis von Satz 17.21 aus der entsprechenden Eigenschaft von ∇.

17.32 Aufgabe. Bei der Diskussion von kovarianten Ableitungen entlang von Kurven und beim Paralleltransport wurde nirgends benutzt, dass man Schnitte von T M (statt anderer Vektorbündel E) betrachtet, und dass der Levi-Civita-Zusammenhang torsionsfrei ist.

Entwickle die entsprechende Theorie für beliebige Bündel E, also insbesondere

(1) Schnitte von E entlang einer Kurve c

(2) Kovariante Ableitung entlang solcher Schnitte entlang einer Kurve c

(3) Paralleltransport.

17.33 Bemerkung. Die kovariante Ableitung ∇ liefert den Paralleltransport entlang von Kurven c. Umgekehrt liefert der Paralleltransport aber auch die kovariante Ableitung zurück:

Zur Berechnung von ∇_{X}Y (p) wähle Kurve c: (a, b) → M mit c(0) = p und c′(0) = X(p). Dann gilt

∇_{X}Y (p) = lim_{t→0} \frac{P_{t}^{−1}(Y (c(t))) − Y (p)}{t},

die kovariante Ableitung kann also als Limes von Differenzenquotienten erhalten werden. Man braucht den Paralleltransport, um die Vektoren aus verschiedenen Vektorräumen T_{p}M, T_{q}M vergleichen und ihre Differenz bilden zu können.

17.34 Aufgabe. Beweise die Behauptungen aus Bemerkung 17.33.

18 Geodäten

18.1 Differentialgleichung für Geodäten

Geodäten sind die Kurven, welche (lokal) die kürzestmögliche Verbindung liefern. Wir werden sie aber zunächst mittels einer Differentialgleichung definieren, und erst später diese Eigenschaft beweisen.

18.1 Definition. Eine Kurve c: (a, b) → (M, g) heißt Geodäte, falls \frac{D}{dt}c′ ≡ 0.

18.2 Lemma. Sei c: (a, b) → (M, g) eine Geodäte. Dann ist |c′(t)| konstant.

Beweis. Das Vektorfeld c′ entlang der Kurve c ist parallel, also ist seine Länge nach Lemma 17.31 konstant.

18.3 Satz. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, p ∈ M. Dann gibt es Umgebung U von P, ϵ > 0 so dass für jedes q ∈ U und v ∈ T_{q}M mit |v| < ϵ eine eindeutige Geodäte c_{v}: [−1, 1] → M mit c_{v}(0) = p und c′_{v}(0) = v existiert. Beachte dabei: c_{v} ist auf ganz (−1, 1) definiert.

Außerdem ist die Abbildung {v ∈ T_{q}M | q ∈ U, |v| < ϵ} → M; v ↦ c_{v}(1) glatt.

Beweis.

18.4 Lemma. In lokalen Koordinaten ϕ: U → V ⊂ ℝ^{n} erfüllt eine Kurve c: (a, b) → U genau dann die Geodätengleichung, wenn für γ = ϕ ∘ c gilt

\frac{d^{2}γ_{i}(t)}{dt^{2}} + ∑_{k,l} Γ_{kl}^{i}(γ(t))\frac{dγ_{k}(t)}{dt} \frac{dγ_{l}(t)}{dt} = 0.  (18.5)

Beweis. Hierzu muss man in die lokale Gleichung (17.27) für X(t) eben c′(t) einsetzen, in Koordinaten gilt dann X_{i} = γ′_{i} = α_{i}(t).

Die Differentialgleichung (18.5) ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung für γ (allerdings nicht linear). Da die Γ_{jk}^{i} glatte Funktionen sind, sagt der Existenz-und Eindeutigkeitssatz für Lösungen solcher Differentialgleichungen in der einfachsten Variante, dass es für vorgegebene Anfangswerte γ(0) und γ′(0) ein δ > 0 und gibt, so dass die Gleichung eine eindeutige Lösung γ: (−δ, δ) → V mit diesen Anfangsbedingungen besitzt.

Die nächste, etwas bessere Version des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes beinhaltet glatte Abhängigkeit von den Anfangswerten und sagt das es für jede kompakte Teilmenge K ⊂ U × ℝ^{n} ein δ > 0 gibt, so dass für jedes (x, v) ∈ K die entsprechende eindeutige Lösung γ_{x,v} auf (−δ, δ) definiert ist, und so dass K × (−δ, δ) → V; (x, v, t) ↦ γ_{x,v}(t) glatt ist.

Um unser Ergebnis zu beweisen, ist zum Schluss noch eine Besonderheit der Geodätengleichung zu beachten: falls γ: (−δ, δ) → V eine Lösung ist, so ist t ↦ γ(ct): (−δ/c, δ/c) → V ebenfalls eine Lösung (für c ≠ 0), mit γ′(ct) = cγ′(t).

Zu gegebenen K ⊂ V × ℝ^{n} wie oben kann man also K_{δ} := {(x, δv) | (x, v) ∈ K} betrachten, dann gibt es eine eindeutige Lösung mit Anfangswerten aus K_{δ} auf (−δ/δ, δ/δ) = (−1, 1).

Wählt man nun also ursprüngliches K = V′ × B_{1}(0), mit 0 ∈ ∫ (V′), so erhält man die Behauptung des Satzes mit U = ϕ^{−1}(∫ (V′)), und ϵ = δ.

18.6 Beispiel. (1) Im euklidischen Raum sind die Geodäten genau die linear parametrisierten Geraden t ↦ at + b.

(2) Die Bilder solcher Geraden unter der Quotientenabbildung ℝ^{n} → ℝ^{n}/ℤ^{n} sind genau die Geodäten des flachen Standard-Torus. Betrachte speziell den Fall n = 2. Manche der Geodäten sind periodisch (falls der Steigungswinkel rational ist), es gilt also γ(t + C) = γ(t) für ein C > 0. Die anderen haben dichtes Bild.

(3) Auf S^{n} sind die Geodäten gerade die Großkreise, auch sie sind auf ganz ℝ definiert und sie sind alle periodisch.

18.7 Aufgabe. Berechne die Geodäten für den (2-dimensionalen) Hyperbolischen Raum. Lösung im Halbebenenmodell: Geraden senkrecht zur x-Achse, Kreise, welche die x-Achse orthogonal schneiden (natürlich mit angepasster Parametrisierung).

18.8 Aufgabe. Die Kleinsche Flasche ist der Quotient des Standardtorus unter der Involution (Operation der Gruppe ℤ/2ℤ) (x, y) ∈ ℝ^{2}/ℤ/2 ↦ (x + 1/2, −y).

Zeige zunächst, dass dies eine freie Operation von ℤ/2 liefert. Bestimme alle Geodäten. Bestimme die Länge der 2 kürzesten geschlossenen (d.h. periodischen) Geodäten und den Paralleltransport entlang dieser Geodäten, insbesondere die induzierte Selbstabbildung P_{C}: T_{p}K → T_{p}K (wobei c die (minimale) Periode ist —beachte, dass mit c auch nc für jedes n ∈ ℕ Periode ist).

18.9 Definition. Zu gegebenen v ∈ T M sei c_{v} die Geodäte mit Anfangsbedingungen v und mit maximal möglichem Definitionsintervall. Sei Ω ⊂ T M die (offene) Teilmenge aller v, so dass c_{v}(1) definiert ist.

Wir definieren die Exponentialabbildung exp: Ω → M; v ↦ c_{v}, nach Satz 18.3 ist dies eine glatte Abbildung.

18.10 Satz. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Dann gibt es eine offene Umgebung W von (p, 0) ∈ T M, so dass F: W → M × M; v ↦ (π(v), exp(v)) Diffeomorphismus von W auf eine offene Umgebung von (p, p) ist.

Beweis. Diesen Satz beweisen wir mit Hilfe des Satzes von der Inversen Abbildung, wir müssen also das Differential von F an der Stelle (p, 0) berechnen und zeigen, dass es invertierbar ist.

Nun gibt es kanonischen Isomorphismus T_{(p,0)}T M = T_{p}M ⊕ T_{p}M (der erste Summand entspreche Wegen, die sich nur im Nullschnitt M ⊂ T M bewegen, der zweite (linearen) Wegen in T_{p}M) und T_{(}p, p)(M × M) = T_{p}M ⊕ T_{p}M. Da F (q, 0) = (q, q) für q ∈ M, und F (p, tv) = (p, exp_{p,tv}(1)) = (p, exp_{p,v}(t)) folgt, unter obiger Identifikation

T_{(p,0)}F = (\begin{matrix}id_{T_{p}M} & 0 \\ id_{T_{p}M} & id_{T_{p}M} \end{matrix}) ,

also invertierbar.

18.11 Korollar. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Es gibt eine offene Umgebung W der Diagonalen in M × M, so dass für jedes Paar (p, q) ∈ W die Punkte p und q durch eine (bis auf die Durchlaufgeschwindigkeit eindeutig bestimmten) Geodäte verbunden werden können.

18.2 Geodäten und Metrik

Wir wissen schon, dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ein metrischer Raum wird, mit d(x, y) = inf{l(γ) | γ stückweise glatter Weg von x nach y}.

Wir wollen nun zeigen, dass Geodäten Abstandsminimierende Kurven sind.

18.12 Satz. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, p ∈ M. Dann gibt es Umgebung U von p und ϵ > 0, so dass für je zwei Punkte x, y ∈ U eine eindeutige Geodäte γ_{x,y} von x nach y mit Länge kleiner ϵ existiert. Ausserdem gilt

d(x, y) = L(γ_{xy}), d(x, y) < L(α)

für jede andere Kurve von x nach y (welche nicht eine Umparametrisierung von γ_{xy} ist), und γ verläuft ganz in U (U ist also konvex).

Beweis. Wir können die Menge W aus Satz 18.10 so verkleinern, dass sie für eine geeignete Umgebung von p nur Tangentialvektoren der Länge < ϵ für geeignetes ϵ > 0 enthält. Deren Bild enthält dann eine offene Umgebung von (p, p) der Gestalt U × U für offenes U ⊂ M. Mit anderen Worten: für je zwei Punkte x, y ∈ U gibt es v ∈ T_{p}M mit |v| < ϵ so dass exp(v) = q, also γ_{v}: [0, 1] → M Geodäte mit γ(0) = x, γ(1) = y und γ′(0) = v. Dann gilt L(γ) = ∫_{0}^{1} |γ′(t)| dt = ∫_{0}^{1} |γ′(0)| dt = ϵ, da für Geodäten |γ′| konstant ist. Außerdem ist γ_{v}(t) = γ_{tv}(1) = exp(tv) ∈ U. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass es keine Kurve von x nach y mit kleinerer Länge gibt.

Wir benutzen die Exponentialfunktion, um eine “Karte” von M um x zu erhalten: nach Satz 18.10 ist V := {v ∈ T_{x}M | |v| < ϵ} offene Umgebung von Null in T_{x}M, so dass exp: V → M ein Diffeomorphismus aufs Bild ist. Sei S_{1} := {v ∈ T_{p}M | |v| = 1}. Dann liefert exp einen Diffeomorphismus

F: (0, ϵ) × S_{1} → U′ ⊂ M; (r, v) ↦ exp(rv).

Beachte, dass nach Konstruktion von exp für jedes v ∈ S_{1} die Kurve γ_{v}: t ↦ F (t, v) eine Geodäte ist.

Wir wollen nun in den “Koordinaten” (0, ϵ) × S_{1} die Länge von beliebigen Kurven bestimmen. Dazu müssen wir die Metrik in diesen Koordinaten kennen. Dies ist durch das Gauss-Lemma gegeben:

18.13 Lemma. Die Kurven γ_{v} sind senkrecht auf allen Hyperflächen f({r} × S_{1}) ⊂ M, d.h. die Metrik g ist gegeben durch

g = dr^{2} + h_{r,v},

wobei h_{r,v} positiv definites Skalarprodukt auf T_{f(r,v)}f({r} × S_{1}) ⊂ T_{f(r,v)}M ist, welches durch Einschränken von g_{f(r,v)} entsteht.

Beweis. Sei X ∈ Γ(T S_{1}) Vektorfeld, welches konstant in r-Richtung zu X_{1} ∈ Γ(T ((0, r)×S_{1})) fortgesetzt wird, setze X̃ := rX_{1}, und Y ∈ Γ(T U′) das Bild von X̃ unter dem Diffeomorphismus F. Sei ∂_{r} ∈ Γ(T U′) entsprechend das Bild von \frac{∂}{∂r}. Wir müssen zeigen, dass Y und ∂_{r} überall orthogonal zueinander stehen.

Berechne dazu (da γ′_{v} = ∂_{r})

\begin{matrix}\frac{d}{dr} g(Y, γ′_{v}(r)) & = g(∇_{γ′_{v}}Y, γ′_{v}) + g(Y, ∇_{γ′_{v}}γ′_{v}) \\ = & g(∇_{Y} γ′_{v}, γ′_{v}) + g([∂_{r}, Y], γ′_{v}) \\ = & g(f_{∗}[\frac{∂}{∂r} , rX_{1}], ∂_{r}) + \frac{1}{2}Y.g(γ′_{v}, γ′_{v}) \\ = & \frac{1}{r}g(rf_{∗}X_{1}, ∂_{r}) \end{matrix}

Die Funktion α(r) = g(Y, γ′_{v}(r)) erfüllt also α′(r) = \frac{1}{r}α(r) für r > 0. Diese Dgl hat genau die Lösungen α(r) = Ce^{r}. Andererseits gilt α(r) = rg(f_{∗}X_{1}, γ′_{v}(r)), also ist α sogar stetig diffbar an 0 mit α(0) = 0. Mit obiger Überlegung also α ≡ 0, somit überall Y orthogonal zu ∂_{r}. Da Y beliebig, folgt die Behauptung des Gauss-Lemmas.

Um den Satz zu beweisen, müssen wir also nur noch zeigen, dass für eine beliebige stückweise C^{1}-Kurve α: [0, C] → M von x nach y L(α) > L(γ_{xy}), dem radialen Weg in unserem “Koordinatensystem”. Der Punkt y habe die Koordinaten (δ, v) ∈ (0, ϵ) × S_{1}.

Wir nehmen zunächst an, dass α den Bereich des Koordinatensystems nicht verläßt, und schreiben α(t) = (α_{r}(t), α_{ϕ}(t)) ∈ [0, epsilon)×S_{1}. Der Weg β(t) := (α_{r}(t), v) ist ein zweiter Weg von x nach y, der ebenfalls radial verläuft. Dann gilt wegen des Gauss-Lemmas und nach Satz von Pythagoras

L(α) = ∫_{0}^{C} |α′(t)| dt = ∫_{0}^{C} \sqrt{α′_{r}(t)^{2} + h_{α(t)}(α′_{ϕ}(t), α′_{ϕ}(t))} dt

≥ ∫_{0}^{C} |α′_{r}(t)| ≥ ∫_{0}^{C} α′_{r}(t) dt = α_{r}(C) − α_{r}(0) = δ = L(γ_{xy}).

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn α_{ϕ}(s) konstant ist, und α′_{r}(s) ≥ 0 für alle s. Das heißt aber, dass α eine Umparametrisierung von γ_{xy} ist.

Falls α aber den Bereich des Koordinatensystems verläßt, gibt es s ∈ (0, C] so dass α([0, s]) ⊂ F ((0, ϵ)×S_{1}) und so dass die Länge der radialen Geodäten von x nach α(s) > δ. Nach dem gerade bewiesenen ist dann δ ≤ L(α|_{[0,s]}) < L(α).

18.14 Korollar. Sei (M, g) Riemannschen Mannigfaltigkeit. Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve stückweise C^{1}-Kurve α: (a, b) → M ist genau dann eine Geodäte, wenn sie lokal abstandsminimierend ist, also für jeden Punkt p = α(s) einen Umgebung U existiert, so dass d(α(s), α(t)) = |t − s| falls α(t) ∈ U.

Insbesondere sind solche Kurven immer glatt.

Beweis. Falls α Geodäte, so ist α nach Satz 18.12 lokal abstandsminimierend.

Ist umgekehrt α lokal abstandsminierend, so ist für α(s) und α(t) genügend nahe bei α(s) α gleich der Geodäten von α(s) nach α(t), da die Geodäte dann nach Satz 18.12 die einzige abstandsminimierende Kurve ist welche nach Bogenlänge parametrisiert ist. Da die Geodäteneigenschaft eine lokale Eigenschaft ist (Lösung einer Differentialgleichung) ist α also Geodäte.

18.3 Der Satz von Hopf-Rinov

18.15 Definition. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt (geodätisch) vollständig, falls jede Geodäte von M zu einer auf ganz ℝ definierten Geodäte ausgedehnt werden kann, also der Definitionsbereich der Exponentialabbildung ganz T M ist.

18.16 Beispiel. Ist (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit positiver Dimension, x ∈ M, so ist M \ {x} nicht geodätisch vollständig.

18.17 Satz. Satz von Hopf-Rinov

(1) Sei (M, g) geodätisch vollständig. Dann gilt für jeden Punkt p ∈ M, dass exp_{p} auf ganz T_{p}M definiert und surjektiv ist.

(2) Sei p ∈ M und exp_{p} auf ganz T_{p}M definiert. Dann gibt es für alle x ∈ M eine Geodäte minimaler Länge von p nach x (im allgemeinen nicht eindeutig).

Beweis. Die erste Aussage ist gerade die Definition von geodätischer Vollst”’andigkeit, da die Exponentialabbildung mit Hilfe von Geodäten definiert ist.

Sei also x, p ∈ M und exp_{p}: T_{p}M → M auf ganz T_{p}M definiert. Wähle 0 < ϵ < d(p, x) so, dass S := {y ∈ M | d(p, y) = ϵ} = exp_{p}(S_{ϵ}(0) ⊂ T_{p}M) (dies geht nach Satz 18.12). Die entsprechende Menge ist also insbesondere kompakt. Wähle dann p_{0} ∈ S mit d(p_{0}, x) = d(S, x). Dann gilt d(p, x) = d(p, p_{0})+d(p_{0}, x) (da der Abstand durch Länge von Kurven gegeben ist, und jede Kurve von p nach x durch S laufen muss).

Sei v ∈ T_{p}M mit |v| = 1 und exp(ϵv) = p_{0}. Definiere die Geodäte γ: ℝ → M durch γ(t) = exp_{p}(tv) (nach Voraussetzung auf ganz ℝ definiert). Wir beweisen nun, dass γ(d(p, x)) = x, damit folgt die Behauptung.

Wähle nämlich T ≤ d(p, x) maximal, so dass T +d(γ(T), x) = d(p, x) (d.h. T maximal, so dass man sich auf dem richtigen Weg befindet). Wähle dann p_{1} auf δ-Sphäre um γ(T) als Punkt in Richtung von x wie eben, und Geodäte c von γ(T) nach p_{1}. Dann ist d(p, p_{1}) = l(γ|_{[0,T]}) + l(γ). Da lokal minimierende Kurven aber Geodäten sind, ist die Hintereinanderschaltung von c und γ|_{[0,T]} eine Geodäte. Da Geodäten lokal eindeutig sind, ist c die Verlängerung von γ. Da T maximal war so dass γ genau in Richtung x zeigte, geht dies nur von T = d(p, x) und γ(T) = x.

18.18 Korollar. Sei (M, g) zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) (M, g) ist geodätisch vollständig.

(2) Für jedes x ∈ M ist exp_{x} auf ganz T_{x}M definiert.

(3) Es gibt x ∈ M, so dass exp_{x} auf ganz T_{x}M definiert ist.

(4) jede abgeschlossene beschränkte Teilmenge von M ist kompakt

(5) (M, d) ist als metrischer Raum vollständig.

Beweis. Übungsaufgabe.

18.19 Korollar. Jede kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist vollständig, und exp_{p} ist auf ganz T_{p}M definiert.

18.4 Geodäten und Energie

18.20 Definition. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit c: [a, b] → M eine C^{1}-Kurve. Ihre Energie ist definiert als

E(c) := \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} |c′(t)|^{2} dt.

18.21 Aufgabe. Zeige, dass die Energie einer Kurve im allgemeinen von der Parametrisierung abhängt.

18.22 Satz. Eine Kurve γ: [a, b] → (M, g) ist genau dann eine minimale Geodäte, wenn E(γ) ≤ E(c) für jede andere Kurve c von γ(a) nach γ(b).

γ ist eine Geodäte genau dann (nicht notwendig mimimal), wenn γ eine kritischer Punkt für das Energiefunktional ist, d.h. falls Φ: [a, b] × (−ϵ, ϵ) eine C^{2}-Variation von γ mit festen Endpunkten ist (Φ_{0}(t) := Φ(t, 0) = γ(t) und Φ(a, x) = γ(a), Φ(b, s) = γ(b) für alle relevanten s, t), so gilt

\frac{d}{dϵ}E(Φ_{ϵ}) = 0

Beweis. Übungsaufgabe mit Anleitung (wird aus Zeitgründen weggelassen).

19 Krümmung

19.1 Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, E ein Vektorfeld über M mit Zusammenhang ∇. Definiere die Krümmungsoperator R folgendermaßen. Seien X, Y ∈ Γ(T M) Vektorfelder, s ∈ Γ(E). Dann definiere

R(X, Y)(s) := ∇_{X}(∇_{Y} (s)) − ∇_{Y} (∇_{X}(s)) − ∇_{[X,Y]}(s).

19.2 Lemma. (1) Die Krümmung ist schiefsymmetrisch in X und Y, d.h.

R(X, Y)(s) = −R(Y, X)(s)

und ist linear in s.

(2) Sei lokal der Zusammenhang gegeben durch ∇ = d + ω mit der 1-Form ω mit Werten in End(E) (also ω ein Schnitt von T^{∗}M ⊗ End(E)). Dann gilt R = dω + ω ∧ ω.

(3) Die Krümmung ist tensoriell in allen Einträgen, d.h. R(X, Y)(s)(p) hängt nur von X(p), Y (p) und s(p) ab. Mit anderen Worten: die Krümmung ist ein Schnitt des Vektorbündels Alt^{2}(T M) ⊗ End(E) (eine alternierende 2-Form mit Werten in End(E): wenn man 2 Tangentialvektoren aus T_{p}M einsetzt, erhält man einen Endomorphismus von E_{p}).

Beweis. Die erste Aussage erhält man sofort durch Einsetzen (da [X, Y] = −[Y, X]). Für die zweite müssen wir, wie schon des öfteren benutzt, zeigen, dass R C^{∞}(M)-linear in allen 3 Einträgen ist. Sei also f ∈ C^{∞}(M), X, Y ∈ Γ(T M) und s ∈ Γ(E). Dann gilt

R(fX, Y)(s) =∇_{fX}(∇_{Y} (x)) − ∇_{Y} (∇_{fX}(s)) − ∇_{[fX,Y]}(s)
=f∇_{X}(∇_{Y} (s)) − Y (f)∇_{X}(s) − f∇_{Y} (∇_{X}(s)) − f∇_{[X,Y]}(s)
+ Y (f)∇_{X}(s) = fR(X, Y)(s)

Außerdem gilt

R(X, Y)(fs) =∇_{X}(∇_{Y} (fs)) − ∇_{Y} (∇_{X}(fs)) − ∇_{[X,Y]}(fs)
=∇_{X}(Y (f)s + f∇_{Y} (s)) − ∇_{Y} (X(f)s + f∇_{X}(s)) − [X, Y](f)s − f∇_{[X,Y]}(s)
=XY (f)s + Y (f)∇_{X}(s) + X(f)∇_{Y} (s) + ∇_{X}(∇_{Y} (s))
− Y X(f)s − X(f)∇_{Y} (s) − Y (f)∇_{X}(s) − f∇_{Y} (∇_{X}(s))
− XY (f)s + Y X(f)s − f∇_{[X,Y]}(s)
=fR(X, Y)(s).

19.3 Lemma. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit und ∇ der Levi-Civita Zusammenhang auf T M. Definiere durch Indexsenken den (0, 4)-Tensor R_{m} mit R_{m}(X, Y, Z, W) = g(R_{X,Y} (Z), W) für X, Y, Z, W ∈ T_{m}M. Dann gilt

(1) R_{m} ist antisymmetrisch in den ersten beiden und in den letzten beiden Argumenten.

(2) erste Bianci-Identität: R(X, Y, Z, W)+R(Y, Z, X, W)+R(Z, X, Y, W) = 0

(3) R(X, Y, Z, W) = R(Z, W, X, Y).

Beweis. Die zweite Gleichung folgt, weil der Levi-Civita-Zusammenhang torsionsfrei ist aus der Jakobi-Identität und expliziten (durch Einsetzen) Berechungen

R(X, Y)(Z)+R(Y, Z)(X)+R(Z, X)(Y) = −([[X, Y], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y]).

Die Antisymmetrie in den ersten beiden Argumenten gilt allgemein und wurde bereits gezeigt. Für die zweite leite man g(Z, W) ab und benutze, dass g symmetrisch ist.

Die dritte Identität ist eine (komplizierte, aber elementar erhältliche) Konsequenz aus der ersten und der zweiten.

Rest ist Übungsaufgabe.

19.4 Definition. Anstelle des Krümmungstensors ist die Schnittkrümmung eine sehr beliebte Invariante. Definiere dazu das Graßmannbündel der Tangentialebenen G_{2}M := ⋃_{x∈M}{E ⊂ T_{x}M | dim(E) = 2} (auch daraus kann man wieder eine Mannigfaltigkeit machen, ein lokal triviales Bündel über M, dessen Faser isomorph zur Menge der 2-dimensionalen Ebenen in ℝ^{dim M} ist, das soll hier aber nicht durchgeführt werden).

Die Schnittkrümmung ist die Funktion

K: G_{2}M → ℝ; E =< v, w >↦ \frac{R_{m}(v, w, v, w)}{g(v, v)g(w, w) − g(v, w)^{2}} .  (19.5)

19.6 Aufgabe. Zeige, dass Gleichung (19.5) tatsächlich nicht von der Basis {v, w} der Ebene E ⊂ T_{x}M abhängt, sondern nur von E. Sinnvollerweise wählt man eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}} von E, dann gilt K(E) = R(e_{1}, e_{2}, e_{1}, e_{2}).

19.7 Satz. Die Schnittkrümmungsfunktion (und die Metrik) bestimmt bereits den gesamten Krümmungstensor.

Beweis. Unter Benutzung der Symmetrien aus Lemma 19.3 rechnet man nach, dass

6R(x, y, z, w) = \frac{∂^{2}}{∂s∂t} (R(x + sz, y + tw, x + sz, y + tw) − R(x + sw, y + tz, x + sw, y + tz)) |_{s=t=0}.

19.8 Aufgabe. Beweise Satz 19.7.

19.9 Beispiel. Für den euklidischen Raum ist die Krümmung konstant 0.

19.10 Beispiel. Die Schnittkrümmung von S^{n} und von ℍ^{n} ist konstant.

Beweis. Beobachtung 1: die Gruppe SO(n+1) operiert auf S^{n} durch Isometrien, und diese Operation ist transitiv. Da die Schnittkrümmung isometrieinvariant ist, genügt es also, die Schnittkrümmungen an einem Punkt auszurechnen.

Die Untergruppe der SO(n + 1), welche den Nordpol p = (1, 0, …, 0) ∈ S^{n} festhält ist isomorph zu SO(n). Diese Untergruppe operiert auf T_{p}S^{n} = {0} × ℝ^{n}. Die Operation ist die übliche von SO(n) auf ℝ^{n} und ist insbesondere transitiv auf der Menge der 2-dimensionalen Ebenen in T_{p}S^{n}. Wegen der isometrieinvarianz ist die Schnittkrümmung also auch auf jeder dieser Ebenen die gleiche.

Es bleibt jetzt nur noch, diese konstante zu berechnen (wir werden später sehen, dass man den Wert 1 erhält).

Ganz entsprechend operiert auf ℍ^{n} (im Hyperboliodmodell) die Gruppe SO_{0}(n, 1) transitiv, mit derselben Standgruppe SO(n) des Punktes p = (1, 0, …, 0), welche wieder transitiv auf den 2-dimensionalen Ebenen in T_{p}ℍ^{n} operiert. Wieder folgt, dass die Schnittkrümmung konstant ist, hier ergibt sich (was wir später zeigen werden) −1 für die Konstante.

19.11 Lemma. Sei (M_{1} × M_{2}, g_{1} × g_{2}) ein Riemannsches Produkt. Für jeden Punkt (p_{1}, p_{2}) ∈ M_{1} × M_{2} gilt T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1} × M_{2}) = T_{p_{1}}M_{1} ⊕ T_{p_{2}}M_{2}. Zerlegt man bezüglich dieser direkten Summenzerlegung X, Y, Z, W ∈ T_{(p_{1},p_{2})}M_{1} × M_{2} als X = (X_{1}, X_{2}), …, so gilt für die Krümmung

R(p_{1}, p_{2})(X, Y, Z, W) = R_{p_{1}}(X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, W_{1}) + R_{p_{2}}(X_{2}, Y_{2}, Z_{2}, W_{2}).

Es folgt, dass es für jedes T_{(p_{1},p_{2})}M_{1} ×M_{2} Ebenen E gibt, so dass K(E) = 0.

Beweis. Übungsaufgabe.

19.12 Bemerkung. Insbesondere hat die Standard-Produktmetrik auf S^{2} ×S^{2} keine positive Schnittkrümmung, sondern es gilt nur K ≥ 0.

Die Hopf-Vermutung besagt, dass es keine Riemannsche Metrik auf S^{2} × S^{2} gibt, so dass K > 0. Diese ist seit 50 Jahren offen, und es gibt auch heute noch keine Ansätze, sie zu beweisen.

Eins der Forschungsgebiete der Riemannschen Geometrie beschäftigt sich damit, festzustellen, welche Arten von Krümmung man auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit realisieren/nicht realisieren kann.

19.13 Definition. Neben dem Krümmungstensor und der Schnittkrümmung sind noch weitere (aus diesen gewonnene und einfachere) Krümmungsgrößen von Bedeutung. Insbesondere die Ricci-Krümmung aus symmetrischen (0, 2)-Tensor (also Schnitt von Sym_{2}(T M)) mit

T_{x}M ⊕ T_{x}M ∋ (v, w) ↦ Ric(v, w) := Spur(z ↦ R_{x}(v, z)w).

Dabei erinnere man sich daran, dass man die Spur berechnen kann, indem man eine Orthonormalbasis (e_{1}, …, e_{n}) von T_{x}M wählt, dann gilt

Ric(v, w) = ∑_{i=1}^{n} g(R_{x}(v, e_{i})w, e_{i}) = ∑_{i=1}^{n} R(v, e_{i}, w, e_{i}),

hieraus wird die Symmetrie von Ric deutlich, wenn man Lemma 19.2 benutzt.

Beachte, dass Ric hier algebraisch dasselbe Objekt wie der Krümmungstensor selbst ist. Für eine Konstante c defineren wir insbesondere

Ric ≥ cg ⟺ Ric(v, w) ≥ cg(v, w) ∀v, w ∈ T_{x}M ∀x ∈ M.

Mit Hilfe der Metrik g kann Ric auch als (1, 1)-Tensor aufgefaßt werden, genauer gesagt als Schnitt des B”undels Hom(T M, T M), wobei man sogar im Unterbündel der selbstadjungierten Endomorphismen landet.

Diese neue Form der Ricci-Krümmung ist dann definiert durch

g(R̃ic(v), w) = Ric(v, w).

In der Notation wird häufig nicht unterschieden, man muss dann aus dem Kontext erkennen, was gemeint ist.

Die Skalarkrümmung ist die glatte Funktion scal: M → ℝ definiert durch

scal(x) = Spur(R̃ic_{x}) = ∑_{i=1}^{n} Ric(e_{i}, e_{i}) = ∑_{i,j=1}^{n} R(e_{i}, e_{j}, e_{i}, e_{j}).

19.14 Definition. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt Einstein-Mannigfaltigkeit, falls eine Konstante c existiert, so Ric = cg.

19.15 Bemerkung. Diese Mannigfaltigkeiten stehen in engem Zusammenhang zu den Lösungen der Einsteingleichung der allgemeinen Relativitätstheorie in Materiefreien Bereichen (z.B. der Aussenraum eines Sterns). Die Zahl c steht in Beziehung zur Existenz und zum Vorzeichen der “kosmologischen Konstante”.

19.1 Krümmung und Topologie

Die folgenden Sätze werden wir erst später beweisen können. Sie sollen hier aber schon einmal aufgelistet werden.

19.16 Satz. Satz von Synge Sei (M, g) eine orientierte zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit strikt positiver Schnittkrümmung K > 0. Dann ist ihre Fundamentalgruppe trivial.

19.17 Satz. Satz von Myers Sei (M, g) eine zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension m mit

Ric ≥ r^{−2}(m − 1)g; r > 0.

Dann ist diam(M) ≤ diam(rS^{m}), wobei rS^{m} die Sphäre im ℝ^{m+1} vom Radius r ist.

Insbesondere ist M kompakt mit endlicher Fundamentalgruppe.

19.18 Satz. Satz von Cartan-Hadamard Sei (M, g) vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K ≤ 0.

Dann ist für jeden Punkt p ∈ M die Exponentialabbildung exp_{p}: T_{p}M → M eine Überlagerungsabbildung. Falls M zusätzlich einfachzusammenhängend ist, ist also exp_{p}: T_{p}M → M ein Diffeomorphismus und damit M diffeomorph zu ℝ^{m}.

20 Variation von Bogenlänge und Jakobifelder

20.1 Variation von Bogenlänge und Energie

Wir haben uns bisher schon Kurven und Vektorfelder entlang von Kurven angeschaut, und damit z.B. Geodäten mit ihren Eigenschaften erhalten. Man kann viele weitere Eigenschaften von Kurven erhalten, indem man nicht eine Kurve anschaut, sondern eine ganze “Schar” von Kurven.

20.1 Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Eine Variation von Kurven ist eine glatte Abbildung H: [a, b] × (−ϵ, ϵ) → M. Wir schreiben c_{t}(s) := H(t, s) und fassen die einzelnen c_{t}: [a, b] → M als Kurven in M auf, die glatt vom Parameter t ∈ (−ϵ, ϵ) abhängen (ϵ > 0). (Natürlich kann man statt glatter auch geringere Regularität anschauen, z.B. C^{2}.)

Wir müssen auch den Begriff des Vektorfelds entlang einer Kurve verallgemeinern.

20.2 Definition. Ein Vektorfeld entlang einer Variation H (wie in Definition 20.1), oder allgemeiner ein Vektorfeld entlang einer glatten Abbildung H: N → M für irgendeinen Raum N ist eine Abbildung X: N → T M so dass X(p) ∈ T_{H(x)}M für alle x ∈ N. In der Regel wird N eine Mannigfaltigkeit sein, und wir werden verlangen, dass X eine glatte Abbildung ist.

20.3 Beispiel. Sei H: [a, b] × (−ϵ, ϵ) eine Variation von Kurven und X ∈ Γ(T ([a, b] × (−ϵ, ϵ))) ein Vektorfeld an die Quelle, z.B. X = \frac{∂}{∂t} oder X = \frac{∂}{∂s}, wobei wir die Koordinaten (s, t) ∈ [a, b] × (−ϵ, ϵ) verwenden.

Dann ist \overline{X} := T H(X) ein Vektorfeld entlang von H, wobei natürlich \overline{X}(s, t) = T_{(x,t)}H(X) ∈ T_{H(s,t)}M, wie gefordert.

20.4 Definition. Sei H: N → M eine Abbildung, X ∈ Γ(T N). Dann definiert man das Vektorfeld \overline{X} entlang von H wie in Beispiel 20.3.

Ebenso, wie wir Vektorfelder entlang von Kurven ableiten wollten, werden wir das auch mit Vektorfeldern entlang von Variationen machen müssen. Dazu dient folgender Satz:

20.5 Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita Zusammenhang ∇. Sei H: N → M glatte Abbildung. Es gibt genau eine bilineare Abbildung \overline{∇}, die kovariante Ableitung entlang von H, die einem Vektorfeld X ∈ Γ(T N) und einem Vektorfeld W entlang von H ein Vektorfeld \overline{∇}_{X}W entlang von H zuordnet, und so dass gilt

(1) \overline{∇}fXW = f\overline{∇}_{X}W, \overline{∇}_{X}(fW) = ff\overline{∇}_{X}W + X(f) · W.

(2) Falls es Vektorfeld W̃ ∈ Γ(T M) gibt, so dass W̃ (H(y)) = W (y) für alle

y ∈ N, so gilt

\overline{∇}_{X}W (y) = ∇_{T_{y}H(X)}W̃ .

(Beachte, dass ∇_{U}V tensoriell in U ist, also hier nur der Wert U(H(y)) an einem festen Punkt H(y) gebraucht wird, um (∇_{U}V)(H(y)) zu bestimmen.

Anwenden werden wir dies insbesondere auf Variationen, also N = [a, b] × (−ϵ, ϵ).

Beweis. Der Satz folgt genauso wie bei der kovarianten Ableitung entlang von Kurven.

Es ergeben sich direkt Eigenschaften ganz entsprechend denen des Levi-Civita Zusammenhangs ∇, indem man einfach die Regeln aus Satz 20.5 anwendet.

20.6 Definition. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, und c: [a, b] → M glatte Kurve. Wir definieren die Energie von c als

E(c) := \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} |c′(s)|^{2} ds;

die Länge war

L(c) = ∫_{a}^{b} |c′(s)| ds.

20.7 Satz. Erste Variantionsformel. Sei H: [0, 1]×(−ϵ, ϵ); (s, t) ↦ H(s, t) =: c_{t}(s) eine Variation der Kurve c_{0}. Dann gilt

\frac{d}{dt}E(c_{t})) = [g(\overline{\frac{∂}{∂t}}(0, s), c′(s))]_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} g(\overline{\frac{∂}{∂t}}(0, s), \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂s}) ds.  (20.8)

Es gilt: die kritischen Punkte des Energiefunktionals, d.h. die Kurven c_{0} mit \frac{d}{dt}E(c_{t})|_{t=0} = 0 für jede Variation H: [0, 1] × (−ϵ, ϵ) von c_{0} mit festen Endpunkten, d.h. mit H(0, t) = c_{0}(0) und H(1, t) = c_{0}(1) für jedes t, sind genau die Geodäten.

Falls c_{0} nach Bogenlänge parametrisiert ist, so gilt für jede Variation H von c_{0}

\frac{d}{dt}E(c_{t})|_{t=0} = \frac{d}{dt}L(c_{t})|_{t=0}.

Eine Kurve c_{0} ist kritischer Punkt für L (entsprechend definiert wie für E) genau dann, wenn eine Umparametrisierung von c_{0} eine Geodäte ist.

Beweis. Zum Beweis wird folgendes Lemma benutzt:

20.9 Lemma. Sie Y ein Vektorfeld entlang einer Kurve c_{0} : [a, b] → M. Dann gibt es eine Variation H: [a, b] × (−ϵ, ϵ) → M von c_{0}, so dass Y (s) = \overline{\frac{∂}{∂t}}(s, 0) für alle s ∈ [a, b]. Falls Y (a) = Y (b) = 0, kann man die Variation so wählen, dass sie konstante Endpunkte hat.

Beweis. Man konstruiere H(s, t) := exp_{c_{0}(s)}(tY (s)); für genügend kleine ϵ > 0 liefert diese Definition das gewünschte.

Man beweist nun Gleichung (20.8) durch Ableiten von E(c_{t}). Durch Einsetzen sieht man, dass für Variationen von Geodäten mit konstanten Endpunkten diese Ableitung verschwindet.

Sei umgekehrt c_{0} eine Kurve und f: [0, 1] → ℝ eine glatte Funktion mit f(s) > 0 für x ∈ (0, 1) und f(0) = f(1) = 0. Dann gibt es zu dem Vektorfeld Z(s) := f(s)\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂s} entlang von c_{0} eine Variation H: [0, 1] × (−ϵ, ϵ) mit festen Endpunkten und mit \overline{∂/∂t}(s, 0) = Z(s). Ist c_{0} kritisch für E, so gilt also

0 = ∫_{0}^{1} f(s)g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂s}, \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂s}) ds.

Da f fast überall positiv und g(v, v) ≥ 0 ist, folgt dass der Integrand identisch verschwindet, also c_{0} genau die Geodätengleichung erfüllt.

Damit haben wir die Geodäten auch als Lösung eines recht einfachen Variationsproblems erkannt. Dies erlaubt es nun, die Krümmung mit den Eigenschaften von Geodäten in Verbindung zu bringen. Dazu dient

20.10 Satz. Zweite Variationsformel: Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei c_{0} : [0, L] → M eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte (insbesondere L(c_{0}) = L). Sei H: [0, L] × (−ϵ, ϵ); (s, t) ↦ M ein Variation von c_{0}. Dann gilt

\begin{aligned}\frac{d^{2}}{dt^{2}} E(c_{t})|_{t0} = & [g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}(s, 0), c′_{0}(s))]_{0}^{L} \\ & + ∫_{0}^{L} |\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}(s, 0)|^{2} − R(\overline{∂/∂t}, c′_{0}, \overline{partial/∂t}, c′_{0}) ds. \end{aligned}

Für die Länge gilt entsprechend

\begin{aligned}\frac{d^{2}}{dt^{2}} L(c_{t})|_{t0} = & [g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}(s, 0), c′_{0}(s))]_{0}^{L} \\ & + ∫_{0}^{L} |\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}(s, 0)|^{2} − R(\overline{∂/∂t}, c′_{0}, \overline{partial/∂t}, c′_{0}) − g(c′_{0}, \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}(s, 0)) ds. \end{aligned}

Hierbei ist R der Riemannsche (0, 4)-Krümmungstensor.

Beweis. Es gilt

\frac{∂}{∂t}g(\overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂s}) = 2g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}, ∂/∂s).

Nochmaliges Ableiten liefert

\frac{∂^{2}}{∂t^{2}} g(\overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂s}) = 2g(\overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}, ∂/∂s) + 2g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}, \overline{∇}_{∂/∂t}∂/∂s).

Da der Kommutator von ∂/∂s und ∂/∂t verschwindet, gilt

\overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t} = \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∂/∂t} − R(\overline{∂/∂t}, \overline{∂/∂s})\overline{∂/∂t}.

Einsetzen liefert

\frac{∂^{2}}{2∂t^{2}} g(\overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂s}) = g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∂/∂t}, \overline{∂}/∂s)−R(\overline{∂/∂t}, \overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂t}, \overline{∂/∂s})+|\overline{∂}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t}|^{2} .

Da c_{0} Geodäte ist für t = 0 auch \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂s} = 0. Somit, nochmals benutzend, dass der Zusammenhang mit g verträglich ist, folgt durch Integration die Behauptung.

20.11 Satz. Sei M kompakte Mannigfaltigkeit. Sei γ: S^{1} → M eine glatte Abbildung welche nicht homotop zur konstanten Abbildung ist. Dann gibt es eine Geodäte c: S^{1} → M welche homotop zu γ ist, und so dass L(c) das Minimum aller Längen von zu γ homotopen Schleifen realisiert.

Hierbei ist S^{1} = {z ∈ ℂ | |z| = 1}. c: S^{1} → M heißt Geodäte, falls c ∘ exp Geodäte, wobei exp: ℝ → S^{1}; t ↦ exp(2πit), und L(c) := L(c ∘ exp |_{[0,1]}).

Beweis. Sei L das Infimum der relevanten Längen und sei c_{i} eine Folge von Schleifen homotop zu c, so dass L(c_{i}) ⟶^{i→∞} L.

Indem wir die c_{i} ggf. noch verkürzen, können wir sie zu auf vorgegebenen Intervallen [t_{i−1}, t_{i}] stückweise Geodäten umformen. Nach übergang zu einer Teilfolge können wir mit Arzela-Ascoli annehmen, dass c_{i} gleichmäßig gegen eine Schleife c konvergiert, so dass die Ableitungen der Einschränkungen auf die [t_{i−1}, t_{i}] ebenfalls gleichmäßig konvergieren. Die Limeskurve ist also wieder stückweise C^{1} und hat Länge L. Wegen der lokalen Kontrahierbarkeit von M ist sie homotop zu den c_{i}. Da L(c) = L minimal ist, kann man die Länge nicht lokal verkleinern. Also ist c eine Geodäte.

20.12 Satz. Satz von Synge. Sei (M, g) kompakt, zusammenhängend, von gerader Dimension, orientierbar mit strikt positiver Schnittkrümmung. Dann ist M einfach zusammenhängend.

Falls M nicht orientierbar ist, gilt π_{1}(M) ≅, ℤ/2.

Beweis. Wir machen folgende (vorläufige) Definition: M heißt orientierbar, wenn der Paralleltransport entlang jeder Schleife c: S^{1} → M eine Abbildung aus SO(T_{c(1)}M) induziert.

Eine Mannigfaltigkeit ist einfach-zusammenhängend, wenn jede Schleife homotop zu einer konstanten Schleife ist.

Zum Beweis des Satzes nehmen wir nun das Gegenteil an. Sei also, mit Satz 20.11 c_{0} : S^{1} → M eine geodätische Schleife minimaler Länge in ihrer Homotopieklasse. Damit hat sie auch minimale Energie.

Der Paralleltransport P: T_{c_{0}}(1)M → T_{c_{0}}(1)M entlang von c ist orientierungserhaltend und läßt außerdem sowohl c′_{0}(1) als auch dessen orthogonales Komplement E ⊂ T_{c_{0}(1)}M invariant. Nun ist E von ungerader Dimension. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass dann auch ein (zweier) Vektor 0 ≠ v ∈ E existiert mit P v = v. Sei nun Y ein paralleles Vektorfeld entlang von c_{0} mit Y (1) = v und H: S^{1} × (−ϵ, ϵ); (s, t) ↦ H(s, t) = c_{t}(s) eine entsprechende Variation mit \overline{partial/∂t} = Y.

Dann ist dL(c_{t})/dt = 0 bei t = 0 und da c Schleife und Y parallel

\frac{d^{2}}{dt^{2}} L(c_{t})|_{t=0} = − ∫_{0}^{L} R(Y, c′, Y, c′) ds < 0.

Nach der Taylorformel wäre dann aber für genügend kleine t ≠ 0 L(c_{t}) < L(c_{0}), im Widerspruch zur Wahl von c_{0}.

Der Satz über die nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten wird so bewiesen: die entweder 2-blättrige Orientierungsüberlagerung \overline{M} von M ist orientierbar und hat dieselben lokalen metrischen Eigenschaften, also nach dem gerade bewiesenen ist sie einfachzusammenhängend, und somit hat M selbst eine Fundamentalgruppe der Ordnung 2.

20.2 Jakobifelder

Wir haben bisher Variationen von Kurven angeschaut, bei denen vielleicht eine Kurve (c_{0}) eine Geodäte war. Nun wollen wir die Besonderheiten studieren, die sich ergeben, wenn man eine ganze Variation durch Geodäten durchführt.

20.13 Satz. Sei H: [0, C] × (−ϵ, ϵ) → (M, g); (s, t) ↦ H(s, t) =: c_{t}(s) eine Variation einer Geodäten c_{0}(t), so dass alle Kurven c_{t} Geodäten sind. Dann erfüllt X(s) := \overline{∂/∂t}|_{(s,0)} die Differentialgleichung

\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s}X = R(X, c′_{0})c′_{0}.  (20.14)

Umgekehrt ergibt sich jedes Vektorfeld X(s) entlang von c_{0}(s), welches die Differentialgleichung (20.14) erfüllt, auf genau diese Weise aus einer Variation von Geodäten.

20.15 Definition. Ein Vektorfeld X(t) entlang einer Geodäten c, welches die Differentialgleichung (20.14) erfüllt, heißt Jakobi-Vektorfelder, oder kurz Jakobifeld.

Beweis. Beweis von Satz 20.13. Sei H(s, t) = c_{t}(s) eine Variation von Geodäten c_{t}. Wir berechnen einfach mit X = \overline{∂/∂t}, benutzend dass ∂/∂t und ∂/∂s kommutieren

\begin{matrix}\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s} \overline{\frac{∂}{∂t}} = & \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂t} \overline{\frac{∂}{∂s}} \\ = & \overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∇}_{∂/∂s} \overline{\frac{∂}{∂s}} + R(\overline{∂/∂t}, \overline{∂/∂s})\overline{∂/∂t} = R(\overline{∂/∂t}, \overline{∂/∂s})\overline{∂/∂t} \end{matrix}

da alle c_{t} Geodäten sind und damit ∇_{∂/∂s}\overline{∂/∂s} überall verschwindet.

Um zu gegebenem S die Existenz zu beweisen, benötigen wir ein weiteres fundamental Resultat über Jakobifelder:

20.16 Satz. Sei c: [0, L] → M eine Geodäte in (M, g) und X_{0}, Y_{0} ∈ T_{c(0)}M zwei Vektoren. Dann existiert ein eindeutiges Jakobifeld X entlang von c mit X(0) = X_{0} und (\overline{∇}_{∂/∂s}X)(0) = Y_{0}.

Beweis. Die Jakobifeld-Gleichung (20.14) ist eine lineare gewöhnliche homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine vektorwertige Funktion von t (benutze den Paralleltransport, um in eine ℝ^{n}-wertige Funktion zu übersetzen). Zu vorgegebenem Anfangswert und Anfangsableitung hat sie daher genau eine Lösung.

Nun sei ein Jakobifeld X entlang der Geodäten c_{0} : [0, L] → M gegeben. Wir betrachten die eindeutige Geodäte h: (−ϵ, ϵ) → M mit h(0) = c_{0}(0) und h′(0) = X(0), und transportieren c′_{0}(0) parallel entlang von h zu einem Vektorfeld Y und \overline{∇}_{∂/∂s}X(0) parallel entlang von h zu einem Vektorfeld Z entlang von h. Definiere dann

H(s, t) := exp_{h(t)}(s(Y (t) + tZ(t))).

Da H(s, 0) für s ∈ [0, L] definiert ist, gibt es kleines ϵ > 0, so dass auch H(s, t) für (s, t) ∈ (−ϵ, ϵ)×[0, L] definiert ist. Nach konstruktion ist jedes c_{t}(s) = H(s, t) eine Geodäte. Also ist das zugehörige \overline{∂/∂t} ein Jakobifeld. Für s = 0 hat es nach Konstruktion den Wert X(0), und für s = t = 0

\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t} = \overline{∇}_{∂/∂t}\overline{∂/∂s} = \overline{∇}_{∂/∂t}(Y (t) + tZ(t)) = Z(0) = \overline{∇}_{∂/∂s}X(0).

Da Jakobifelder mit vorgegebenem Anfangswert und Ableitung nach Satz 20.16 eindeutig sind, stimmt X mit \overline{∂/∂t} überein, wie verlangt.

20.17 Beispiel. Seien v, w ∈ S^{n}. v ⊥ w Die Kurve c(s) = cos(s)v + sin(s)w ist dann ein Großkreis, also eine Geodäte, mit c′(s) = −sin(s)v+cos(s)w ∈ T_{c(s)}S^{n}. Sei nun auch u ∈ S^{n} mit u ⊥ v und u ⊥ w, also insbesondere n ≥ 2. Dann erhält man eine Variation H(s, t) := sin(s)v + cos(s)(sin(t)u + cos(t)w). Hier gilt nun \overline{∂/∂t} = cos(s)(cos(t)u − sin(t)w) ∈ T_{H(s,t)}S^{n}.

Somit

\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t} = −\overline{∂/∂t} = −R(∂/∂s, ∂/∂t)\overline{\frac{∂}{∂s}}.

wobei die letzte Gleichung einfach die Jakobi-Gleichung ist. Man bilde nun das

Skalarprodukt mit |\overline{∂/∂t}|^{−2} (für cos(s) ≠ 0) und erhält so die Schnittkrümmung.

Da \overline{∂/∂s} und \overline{∂/∂t} ein Orthogonalbasis bildet (solange sin(s) ≠ 0), und jede Ebene in jedem T_{p}S^{n} auf diese Weise aufgespannt werden kann (durch geeignete Wahl von u, v, w), ist die Schnittkrümmung von S^{n} konstant +1.

20.18 Bemerkung. Unter Benutzung des Hyperboloidmodells von ℍ^{n} berechnet man auf identische Weise dass die Schnittkrümmung von ℍ^{n} konstant −1 ist.

20.3 Cut Locus

20.19 Definition. Sei (M, g) vollstänsdige Riemannsche Mannigfaltigkeit, p ∈ M.

Sei q ∈ M. q heißt konjugiert zu p, falls es eine (abstandsminimierende) Geodäte c: [0, L] → M von p nach q und ein nicht-verschwindendes Jakobi-Feld Y entlang c mit Y (0) = 0 = Y (L) gibt.

Der cut locus von p in M ist die Teilmenge cut_{p} := {q ∈ M | entweder q konjugiert zu p oder es gibt zwei verschiedene Geodäten von p nach q, deren Länge den Abstand realisiert}.

20.20 Satz. Sei (M, g) vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit, p ∈ M.

Es gilt M = cut_{p} ⨿ M_{reg}(p). Hierbei ist M_{reg}(p) diffeomorph zur offenen Scheibe (D^{∘})^{dim M} und definiert als M_{reg}(p) := exp_{p}({v ∈ T_{p}M | [0, 1] → M; t ↦ exp_{p}(tv) ist global abstandsminimierende Geodäte}).

20.4 Myers Theorem

20.21 Satz. Sei (M, g) vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ric ≥ λg für ein λ > 0. Dann ist der Durchmesser von M durch π\sqrt{(n − 1)/λ} nach oben beschränkt.

Außerdem ist M kompakt und hat endliche Fundamentalgruppe.

Beweis. Per Definition gilt diam(M) = sup{d(p, q) | pq, ∈ M}. Seien p, q ∈ M mit d(p, q) = L und sei (da M vollständig) c: [0, L] → M eine nach bogenlänge parametrisierte Geodäte von p nach q. Sei Y_{1}, …, Y_{n} eine Basis von parallelen Vektorfeldern entlang von c (erhält man durch paralleltransport), mit Y_{1} = c′.

Setze X_{i}(s) := sin(πs/ρ)Y_{i}(s). Dies sind Vektorfelder entlang c, welche an den Endpunkten verschwinden. Seien H_{i}: [0, L] × (−ϵ, ϵ) dazu gehörige Variationen der Geodäten c, d.h. \overline{partial/∂t_{i}} = X_{i}.

Wir benutzen nun die zweite Variationsformel. Diese besagt (mit L = ρ)

\frac{∂^{2}}{∂t_{i}^{2}} E(t_{i}) = [g(\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t_{i}}, \overline{∂/∂s})]_{s=0}^{s=L}+∫_{0}^{L} |\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t_{i}}|^{2}−R(\overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂t_{i}}, \overline{∂/∂s}, \overline{∂/∂t_{i}}).

Hier ist nun nach Konstruktion \overline{∂/∂t_{i}}(s) = X_{i}(s) = sin(πs/ρ)Y_{i}(s) mit Y_{i}(s) parallel. Damit gilt \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∂/∂t_{i}} = π/ρ cos(πs/ρ)Y_{i}(s) und ist insbesondere überall orthogonal zu \overline{∂/∂s} = c′(s). Somit verschwindet hier der Randterm. Nochmaliges Ableiten liefert

\overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s}X_{i}(s) = −π^{2}/ρ^{2}X_{i}(s).

Weiterhin beachte, dass

\frac{∂}{∂s}g(X_{i}(s), \overline{∇}_{∂/∂s}X_{i}(s)) = |\overline{∇}_{∂/∂s}X_{i}(s)|^{2} + g(X_{i}(s), \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s}X_{i}(s).

Man integriere nun diese Gleichung und benutze X_{i}(0) = 0 = X_{i}(L), um zu erhalten

\frac{∂^{2}}{∂t_{i}^{2}} E(t_{i}) = − ∫_{0}^{L} g(X_{i}(s), \overline{∇}_{∂/∂s}\overline{∇}_{∂/∂s}X_{i}(s)+R(X_{i}(s), \overline{∂/∂s}, X_{i}(s), \overline{∂/∂s})) ds

= − ∫_{0}^{ρ} sin^{2}(πs/ρ) (π^{2}/ρ^{2} − R(c′, X_{i}, c′, X_{i})) .

wobei am Ende Y_{i}(s) = sin(πs/ρ)X_{i}(s) eingesetzt wurde, und die Tatsache dass die X_{i} eine Orthonormalbasis bilden.

Nun ist c eine global Abstandsminimierende Geodäte. Entsprechend ist sie ein echtes (lokales) Minimum für das Energiefunktional. Die erste Ableitung der Energie verschwindet, und die zweite Ableitung muss ≥ 0 sein, sonst wäre nach Satz von Tayler diese Eigenschaft nicht gew”’ahrleistet, also \frac{∂^{2}}{∂t_{i}^{2}} E(t_{i}) ≥ 0. Wir bilden nun die Summe dieser Ungleichungen für i = 2, …, n und erhalten, nach definition der Ricci-Krümmung

0 ≤ ∫_{0}^{ρ} sin^{2}(πs/ρ) (n − 1)π^{2}/ρ^{2} − Ric(c′, c′)) ds

Da nach Voraussetzung Ric(c′, c′) ≥ λ, kann dies nur gelten wenn ρ < π\sqrt{(n − 1)/λ}, wie behauptet.

Nach dem Satz von Hopf-Rinow ist M, als abgeschlossene und beschr”’ankte Teilmenge von M also kompakt.

Die universelle Überlagerung von M hat aber jetzt die gleichen metrischen Eigenscharten, ist insbesondere ebenfalls kompakt. Somit muss die Überlagerung eine endliche Überlagerung und damit die Fundamentalgruppe endlich sein.

21 Riemannsche Untermannigfaltigkeiten

Sei (M̃, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei M ⊂ M̃ eine Untermannigfaltigkeit mit der induzierten Riemannschen Metrik, i: M → M̃ die Inklusion. Als Beispiel haben wir schon eingebettete Flächen im ℝ^{3} kennen gelernt.

Unser Ziel ist nun, die (metrischen) Eigenschaften von M̃, M und der Einbettung i in Beziehung zu setzen.

21.1 Definition. Die zweite Fundamentalform der Einbettung i ist der Tensor II ∈ Γ(Sym^{2}(T M) ⊗ i^{∗}T M̃) definiert durch

II_{p}(u, v) := ˜∇_{U}V − ∇_{U}V,

wobei p ∈ M, u, v ∈ T_{p}M, U, V ∈ Γ(T M̃) mit U(p) = u, V (p) = v und so dass U|_{M}, V |_{M} ∈ Γ(T M). ∇ ist der Levi-Civita Zusammenhang auf M und ˜∇ derjenige auf M̃.

II mißt also den Unterschied der beiden Zusammenhänge.

21.2 Bemerkung. Es ist leicht zu zeigen, dass II tensoriell (i.e. C^{∞}(M)- linear) ist, und insbesondere nicht von den Fortsetzungen U und V abhängt, und dass II symmetrisch ist (man benutzte, dass der Kommutator auf M und M̃ übereinstimmt).

Zur Namensgebung: als erste Fundamentalform wird die Riemannsche Metrik aufgefaßt.

21.3 Lemma. In der Situation von Definition 21.1 gilt

II(u, v) = ( ˜∇_{U}V)^{⊥},

wobei X^{⊥} der Anteil von X orthogonal zu T_{p}M ⊂ T_{p}M̃ ist.

Beweis. Diese Eigenschaft der kovarianten Ableitung wurde bereits in Aufgabe 17.22 nachgeprüft.

21.4 Definition. Sei M ⊂ M̃ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer m-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit.

Dann kann man T M̃ auf M einschränken und erhält so ein m-dimensionales Vektorbündel T M̃|_{M}. Dieses enthält als Unterbündel T M. Das orthogonale Komplement (faserweise gebildet) von T M in T M̃|_{M} wird das Normalenbündel ν genannt.

Die entsprechende Konstruktion kann man immer durchführen, wenn ein Unterbündel E_{1} eines euklidischen Vektorbündels E vorliegt.

Hat man keine euklidische Metrik auf E zur Verfügung, wird das Normalenbündel definiert als das (faserweise) Quotientenbündel E/E_{1}.

Beachte, dass das Normalenbündel 1-dimensional ist, falls dim(M) = dim(M̃)− 21.5 Aufgabe. Zeige, dass die in Definition 21.4 konstruierten Objekte wirklich (auf kanonische Weise) Vektrorraumbündel sind.

21.6 Definition. Die Weingarten Abbildung einer Untermannigfaltigkeit M ⊂ M̃ mit dim(M) = n und dim(M̃) = n + 1 mit (lokalem) Einheitsnormalenfeld ν ∈ Γ(T M̃|_{M}) ist definiert als ) S: T_{p}M → T_{p}M; S(u) := ˜∇_{u}ν (wobei eine Fortsetzung von ν auf M̃ benutzt wird).

Wir definieren außerdem die reellwertige zweite Fundamentalform l(u, v) durch l(u, v) · ν = −II(u, v).

21.7 Lemma. l(u, v) = g(S(u), v)

Beweis. g(S(u), v) = g( ˜∇_{u}ν, v) = −g(ν, ˜∇_{u}v) = l(u, v).

21.8 Definition. Gauss-Krümmung

\overline{K}(u, v) := \frac{l(u, u)l(v, v) − l(u, v)^{2}}{g(u, u)g(v, v) − g(u, v)^{2}} ,

unabhängig vom vorzeichen von ν und damit für die Einbettung M ↪ M̃ von Kodimension 1 wohldefiniert.

21.9 Satz. ( Gauss Theorema Egregium) Es gilt für x, y, u, v ∈ T_{p}M ⊂ T_{p}M̃

R(x, y, u, v) = R̃(x, y, u, v) + l(x, u)l(y, v) − l(x, v)l(y, u)

Für die Schnittkrümmung folgt

K(x, y) = K̃(x, y) + \overline{K}(x, y).

Beweis. ∇_{x}Y = ˜∇_{x}Y − ( ˜∇_{x}Y)^{⊥} = ˜∇_{x}Y − l(x, y)ν. Somit

˜∇_{x} ˜∇_{Y} U = ˜∇_{x}(∇_{Y} U−l(y, u)ν) = ∇_{X}∇_{Y} U−l(X, ∇_{Y} U)ν−l(Y, U) ˜∇_{X}ν−(X.l(y, u))ν.

Somit, nach Skalarprodukt mit v

g( ˜∇_{X} ˜∇_{Y} U, v) − g(∇_{X}∇_{Y} U, v) = l(Y, U) \underbrace{g( ˜∇_{X}ν, V)}_{=l(x,v)}

Damit ergibt sich die erste Gleichung aus der Definition der Krümmung, die zweite folgt durch Spezialisierung.

21.10 Beispiel. Sei als Spezialfall M̃ = ℝ^{n+1} mit der flachen Standardmetrik. Dann sieht man, dass die Gaußkrümmung eine intrinsische Größe ist, die nicht von der Einbettung abhängt (und zwar gleich der Schnittkrümmung der Untermanngifaltigkeit).

Dies kann man insbesondere auf den Fall von Flächen in ℝ^{3} spezialisieren. Dort ist die Weingarten Abbildung (wie früher definiert) identisch mit unserer oben definierten Weingarten Abbildung (da in ℝ^{n} ˜∇ die gewöhnliche Ableitung ist). Wir sehen insbesodnere, dass sie symmetrisch ist.

Beachte, dass die früher definierte Gaußkrümmung det(W) in diesem Fall gerade die oben definierte Gaußkrümmung ist.

22 Riemannsche Submersionen

Das “Gegenteil” von Einbettungen sind Submersionen, also Abbildungen p: M̃ → M mit T_{x}p: T_{x}M̃ → T_{p(x)}M surjektiv für jedes x ∈ M̃.

22.1 Beispiel. Sei G eine Liegruppe, welche glatt auf einer Mannigfaltigkeit M operiere. Die Operation sei frei und proper. Letzteres heißt, dass für jede Kompakte Teilmenge K ⊂ M die Menge {g ∈ G | gK ∩ K ≠ ∅} kompakten Abschluss in G hat.

Dann hat die Quotientenmenge M/G auf kanonische Weise die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit, und die Projektion M → M/G ist eine Submersion. Diese hat lokale Schnitte U ⊂ M → tildeM.

Sie insbesondere H eine (abgeschlossene) Lie-Untergruppe einer Liegruppe G. H operiert auf G durch Linksmultikation. Diese Operation ist frei und proper, folglich erhält man eine Quotientenmannigfaltigkeit G/H (diese wird homogener Raum genannt), mit Submersion G → G/H.

Beweis. Durch die freie Operation erhält man ein Unterbündel U = im(T_{e}G) ⊂ T M, wobei die Abbildung GtoM; x ↦ gx in einer Umgebung der 1 verwendet wird. Sie V ein in einer Umgebung von x definiertes komplementäres Bündel. Wähle Riemannsche Metrik auf M bezüglich der U und V orthogonal werden. Dann wird exp_{x} |: V → M → M/G eine (inverse) Karte von M/G (hier braucht man, dass G proper operiert), und mit dieser Struktur ist außerdem offenbar M → M/G eine Submersion.

22.2 Definition. (Bi)invariante Riemannsche Metrik auf G (biinvariant falls G kompakt).

22.3 Definition. Riemannsche Submersion: Submersion p: (M̃, g̃) → (M, g) so dass T_{x}p: H_{x} → T_{x}M isometrie, wobei H_{x} := ker(T_{x}p)^{⊥}.

22.4 Satz. Falls (M̃, g̃) Riemannsche Mannigfaltigkeit mit properer freier G-Operation, so gibt es eindeutige Metrik auf M = M̃/G, so dass p eine Riemannsche Submersion wird.

Beweis. Definiere die Metrik durch liften; dies ist wohldefiniert, da G isometrsich operiert.

22.5 Beispiel. Auf S^{2n+1} ⊂ ℂ^{n} operiert S^{1} ⊂ ℂ isometrisch, frei und proper; der Quotient ist ℂP^{n}, erhält also eine kanonische Sumersionsmetrik, die Fubini-Study Metrik.

22.6 Satz. Sei p: M̃ → M Submersion. Dann gilt

(1) p verkleinert Abstände.

(2) Falls c̃ Geodäte in M̃ mit c̃′(0) horizontal, dann ist c̃′(t) immer horizontal, und das Bild ist ebenfalls eine Geodäte.

(3) Umgekehrt sind horizontale Lifts von Geodäten in M Geodäten in M̃.

Beweis. Kurven werden beim Projezieren nicht länger, dies beweist i. Falls c Geodäte in M, lifte c′ zu horizontalem Vektorfeld in M̃ (genauer in der Umf p^{−1}(im(c)), und lifte lokal zu Integralkurve c̃, welche nicht länger ist als c, also wegen erster Ugl lokal minimierend.

Für ii), vergleiche Geodäte γ̃ mit der gelifteten zum Bildvektor T p(γ̃′(0)). Beide haben gleichen Anfangspunkt und Anfangsgeschwindigkeit, stimmen also überein.

22.7 Lemma. Sei p: M̃ → M Riemannsche Submersion.

Für Vektorfelder X ∈ Γ(T M) gibt es horizontale Lifts X̃. V ∈ Γ(T M̃) ist vertikal, falls T p(V) = 0.

22.8 Lemma. [X̃, Ỹ] − ˜ [X, Y] ist vertikal, genause [X̃, U] für jedes vertikale Vektorfeld U.

Beweis. Benutze Kriterium: U horizontal genau wenn U(f ∘ p) = 0 für jedes f ∈ C^{∞}(M).

22.9 Satz. ˜∇X̃ Ỹ = { \atop ∇_{X}Y} + \frac{1}{2}[X̃, Ỹ]^{v}.

22.10 Theorem. X, Y orthonormal. Dann K(X, Y) = K̃(X̃, Ỹ) = \frac{3}{4} |[X̃, Ỹ]^{v}|^{2}.

23 Struktur von allgemeinen topologishcen Räumen und Mannigfaltigkeiten —ein Ausbilck

Im allgemeinen ist es sehr schwierig, die Struktur eines topologischen Raumes zu verstehen. Ein Ansatz zur Beschreibung topologischer Räume besteht darin, sie in “einfach Stücke zu zerlegen. Dann kann man hoffen, durch reine Kombinatorik herauszubekommen, wie sich diese Stücke zum topologischen Raum zusammensetzen.

23.1 Beispiel. In den ℝ^{3} eingebettete 2-dimensionale geometrische Simplizialkomplexe; hier werden 2-dimensionale Dreiecke entlang gemeinsamer Kanten und Ecken zusammengeklebt.

Ein Beispiel ist (der Rand) eines Tetraeders.

23.2 Definition. Ein topologischer Raum U heißt zusammenziehbar, falls es ein x_{0} ∈ U und eine stetige Abbildung H: U × [0, 1] → U gibt mit H(x, 0) = x und H(x, 1) = x_{0} für alle x ∈ U.

Man nennt H eine Kontraktion, und man schreibt U ≃ {∗}.

23.3 Beispiel. Die die abgeschlossene Scheibe D^{n} ⊂ ℝ^{n} ist zusammenziehbar, genauso ℝ^{n}.

23.4 Definition. Sei X topologischer Raum, {U_{i}}_{i∈I} eine offene Überdeckung von X. Die Überdeckung heißt gut, falls für jedes endliche Teilmenge {i_{1}, …, i_{k}} ⊂ I gilt

U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} \begin{cases}≃ \{∗\}; & U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} ≠ ∅ \\ = ∅ : & sonst. \end{cases}

23.5 Beispiel. Die übliche Zerlegung von S^{1} in 2 offene Intervalle ist nicht gut, da die Schnittmenge aus 2 Komponenten besteht.

Die feinere Zerlegung von S^{1} in 3 ist eine gute Überdeckung (sogar eine endliche).

23.6 Bemerkung. Ist eine gute Überdeckung {U_{i}}_{i∈I} eines topologischen Raums X gegeben, so kann man (im Prinzip) jede Homologiegruppe von X alleine aus der Kenntnis, welche der Schnittmengen U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} leer sind und welche nicht, bestimmen.

23.7 Lemma. Sei U ⊂ ℝ^{n} konvex und offen. Dann ist U homöomorph zu (D^{n})^{∘}, der offenen Scheibe.

Beweis. Sei x_{0} ∈ U und S_{1}^{n−1} ⊂ T_{x_{0}}U die Sphäre vom Radius 1 (dazu benutze man, dass T_{x_{0}}U kanonisch zu ℝ^{n} isomorph ist, dann muss man noch nicht einmal ein Skalarprodukt wählen).

Setze α: S_{1}^{n−1} → ℝ_{>0}; v ↦ sup{λ ∈ ℝ_{>0} | x_{0} + λv ∈ U}. Dann liefert

h: U → (D^{n})^{∘}; p = x_{0} + λv ↦ \frac{λ}{α(v)}v

einen Homöomorphismus, weil U konvex ist.

23.8 Bemerkung. Wenn U, V ⊂ ℝ^{n} konvex sind, dann auch U ∩ V. Somit ist eine Überdeckung {U_{i}}_{i∈I} von M ⊂ ℝ^{n} eine gute Überdeckung, falls jede der Mengen U_{i} konvex ist.

23.9 Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n. Dann existiert eine gute Überdeckung {U_{i}}_{i∈I}, sogar so, dass für jede endliche Teilmenge

\{i_{1}, …, i_{k}\} ⊂ I gilt: U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} \begin{cases}≈ (D^{n})^{∗}; & U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} ≠ ∅ \\ = ∅; & sonst. \end{cases}.

Beweis. Ziel ist, dasselbe Konvexitätsprinzip wie in Bemerkung 23.8 zu verwenden. Dazu muss zunächst einmal sinnvoll definiert werden, was eine konvexe Menge auf einer Mannigfaltigkeit eigentlich sein soll. Dies hängt von zusätzlichen Wahlen ab: wähle eine Riemannsche Metrik g auf M.

Dann existiert (nach dem Satz über Existenz und Eindeutigkeit von Geodäten) eine offene Teilmenge U ⊂ M × M, welche die Diagonale {(m, m) ∈ M × M | m ∈ M} enthält, und so dass für je zwei Element (x, y_{1}), (x, y_{2}) ∈ U eine eindeutige Geod”’ate γ: [0, 1] → M von y_{1} nach y_{2} existiert, Diese erfüllt außerdem (x, γ(t)) ∈ U für alle t ∈ [0, 1].

Da also die offenen Mengen U_{x} := {y ∈ M | (x, y) ∈ Y } geodätisch konvex sind, ist U_{x} homöomorph zu (D^{n})^{∘}. Dies sieht man genauso wie in Lemma 23.7, man muss nur den Ausdruck x_{0} + λv ersetzen durch exp_{x_{0}}(λv).

Wähle also eine offene Überdeckung durch solche U_{x}. Dann ist jede Schnittmenge U_{x_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{x_{k}} ebenfalls geodätisch konvex. Hierbei muss man die Eindeutigkeit verwenden: falls γ Geodäte von y_{1} nach y_{2} in U_{x_{1}} und y_{1}, y_{2} ∈ U_{x_{2}}, so ist γ auch die in U_{x_{2}} verlaufende Geodäte von y_{1} nach y_{2}, liegt also sogar in U_{x_{1}} ∩ U_{x_{2}}.

Damit ist die Aussage bewiesen.

23.10 Satz. Sei M̃ eine glatte Mannigfaltigkeit, M ⊂ M̃ eine glatte Untermannigfaltigkeit und g̃ eine Riemannsche Metrik auf M̃. Definiere

ν := {v ∈ T_{x}M̃ | x ∈ M, v ⊥ T_{x}M ⊂ T_{x}M̃}.

Dies ist ein glattes Vektorbündel über M, das sogenannte Normalenbündel der Einbettung M ↪ M̃.

Aussage: Es gibt eine offene Umgebung U ⊂ M̃ von M und einen Diffeomorphismus ϕ: ν → U, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

ν ⟶^{ϕ} U
Nullschnitt↑  ↑^{Inklusion}
M ⟶^{id|} M

Beweis. Betrachte die Abbildung ϕ̂: ν → M̃; v ∈ T_{x}M ↦ expM̃ ; x(v). Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

(1) ϕ̂|_{M} = id_{M}.

(2) ϕ̂ ist gar nicht auf ganz ν, sondern auf einer offenen Teilmenge des Nullschnitts M ⊂ ν definiert.

(3) Die Berechnung des Differentials der Exponentialabbildung zeigt, dass D_{(x,0)}ϕ̂ invertierbar ist für jedes x ∈ M. Nach dem Satz über die Inverse Abbildung ist also ϕ̂ nach Einschränkung auf eine geeignete offene Umgebung von (x, 0) ∈ ν ein Diffeomorphismus auf seine Bildmenge (welche offen in M̃ ist).

(4) Wähle eine lokal endliche Familie {U_{i}}_{i∈I} offener Teilmengen von ν, welche M ⊂ ν überdeckt, und so dass ϕ̂|_{U_{i}}: U_{i} → ϕ̂(U_{i}) ein Diffeomorphismus ist. Setze U := ⋃_{i∈I} U_{i}. Durch verkleinern von U wir ϕ̂|_{U} injektiv: Sei nämlich A ⊂ U definiert durch A := {x ∈ U | x ∈ U_{i} ∩ U_{j} ⟹ (ϕ̂|_{U_{i}})^{−1}(x) = (ϕ̂|_{U_{j}})^{−1}(x)}.

Entscheidend ist dann, zu zeigen, dass A offen ist (Übungsaufgabe).

Man hat nun einen Diffeomorphismus ϕ̂: A → V mit M ⊂ A ⊂ ν und M ⊂ V ⊂ M̃ konstruiert, wobei A und V offen und ϕ̂|_{M} = id_{M}.

Falls M kompakt, wähle nun ϵ > 0, so dass {v ∈ ν | |v| < ϵ} ⊂ A. Indem man in jeder Faser den üblichen Diffeomorphismus (D^{n})^{∘} ≅ ℝ^{n} anwendet, erhält man einen Diffeomorphismus ν → {v ∈ ν | |v| < ϵ}. Komponiert mit ϕ̂ erhält man die gewünschte Abbildung.

Ist M nicht kompakt, wird es eine solche Konstante ϵ > 0 im allgemeinen nicht geben.

Statt dessen kann man eine glatte Funktion ϵ: M → (0, ∞) finden, so dass {v ∈ ν | |v| ≤ ϵ(p(v))} die Rolle der Menge der Vektoren von Länge kleiner der Konstanten ϵ spielt. Hier ist p: ν → M die Bündelprojektion. Details sind Übungsaufgabe.

23.11 Satz. Seien M, N kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten, f: M → N stetig und ϵ > 0. Dann gilt

(1) Es gibt eine glatte Funktion g: M → N so dass d(g(x), f(x)) ≤ ϵ für alle x ∈ M.

(2) Falls ϵ > 0 hinreichend klein ist, so ist sogar f ≃ g, d.h. es existiert eine Abbildung (genannt Homotopie) H: M × [0, 1] → N mit H(x, 0) = f(x) und H(x, 1) = g(x) für alle x ∈ M.

23.12 Bemerkung. Die erste Aussage aus Satz 23.11 gilt auch, wenn M und N nicht kompakt sind.

Die zweite verallgemeinert sich, wenn man wie im Beweis von Satz 23.10 anstelle von Konstanten auch Funktionen ϵ: M → (0, ∞) zuläßt; man muss dann voraussetzen, dass die Funktion genügend klein ist.

von Satz 23.11. Beweis von (2): Falls ϵ > 0 hinreichend klein, existiert für jedes x ∈ M eine eindeutige Geodäte γ_{x}: [0, 1] → N von f(x) nach g(x). Diese h”’angt stetig von den Endpunkten ab, also auch von x. Man setzt dann H(x, t) := γ_{x}(t).

Beweis von (1): Falls N = ℝ^{n}, wähle man eine lokal endliche offene Überdeckung (U_{i})_{i∈I} von M mit untergeordneter glatte Teilung der Eins (ϕ_{i})_{i∈I} und wähle für jedes i ein x_{i} ∈ U_{i}. Definiere dann g(p) := ∑_{i∈I} ϕ_{i}(p)f(x_{i}). Indem man den Durchmesser der U_{i} genügend klein wählt, wird g die gewünschte Eigenschaft erhalten.

Für beliebiges N wähle eine Einbettung i: N → ℝ^{k}, mit Tubenumgebung U ⊂ ℝ^{k} und Diffeomorphismus ϕ: U → ν, wobei p: ν → N das Normalenbündel. Zu f: M → N ⟶^{i} ℝ^{k} erhält man dann g mittels folgenden kommutativen Diagramms

M ⟶^{ĝ} U ⊂ ℝ^{k} ⟶^{ϕ} ν
↓^{id}_{M}  ↓^{p}
M  ⟶^{g}  N

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