Seminar “Rationale Homotopie”

Vorbesprechung: Mi, 3.Juli 2002, 11:15, HS 2.

Leitung: Tammo tom Dieck und Thomas Schick

Wichtige Invarianten eines topologischen Raums X sind seine Homotopiegruppen π_{n}(X) (n = 0, 1, 2, …).

Diese Homotopiegruppen enthalten sehr viel Information über den Raum X. Leider sind sie aber, trotz einer einfachen Definition, sehr schwer auszurechnen (selbst für einen so einfachen Raum wie X = S^{2} sind bis heute nur endlich viele Homotopiegruppen berechnet).

Ein Ausweg ist, die rationalen Homotopiegruppen π_{n}(X) ⊗ ℚ zu betrachten. Damit verliert man natürlich sehr viel Information, diese Gruppen haben allerdings den Vorteil, bemerkenswert gut berechenbar zu sein (zumindest wenn π_{1}(X) = 0). (Im Fall von S^{2} gilt z.B. π_{n}(X) ⊗ ℚ = 0, falls n > 3).

Der technische Hintergrund dieser Berechenbarkeit ist eine algebraisches Konstruktion, sogenannte minimale Modelle, welche topologischen Räumen zugeordnet werden (und welche in der Regel handhabbar sind), aus denen dann die rationale Homotopie berechnet werden kann. Damit dies funktioniert, wird als Zwischenschritt eine “Rationalisierung auf Raumniveau” eingeführt, d.h. einem Raum X wird ein Raum X_{ℚ} zugeordnet, mit π_{n}(X_{ℚ}) = π_{n}(X) ⊗ ℚ.

Die hierbei entwickelte algebraische Theorie hat wichtige Anwendungen auch auf rein algebraische Fragen (z.B. in lokaler kommutativer Algebra).

Rationale Homotopietheorie liefert einige überraschende Anwendungen, z.B.:

Falls M eine einfach zusammenhängende kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, so dass der rationale Kohomologiering nicht von nur einem Element (als Ring) erzeugt wird, dann hat M unendlich viele verschiedene geschlossene Geodäten.

Falls X ein kompakter einfach zusammenhängender CW-Komplex der Dimension n ist, gilt entweder π_{k}(X)⊗ℚ = 0 für k ≥ 2n, oder dim(π_{k}(X)⊗ℚ) wächst exponentiell mit k.

Seminar Rationale Homotopietheorie Leitung: Tammo tom Dieck und Thomas Schick

Weitere Interssenten sind willkommen

Thema  Quelle  Zeit Name

Rationale de Rham Theorie von Simplizialkomplexen GM VIII (konkret), FHT 10 (simpl. Mengen, abstrakt)

21.10.

Hendrik Schrobsdorff

Verbindung zur glatten de Rham Theorie GM VIII FHT 11 28.10.

Hendrik Schrobsdorff

Differential-Graduierte Algebren, minimale Modelle)

GM IX,( FHT 3)

4.11. Dagmar Meyer

Minimale Modelle und Homotopie von DGAs GM X, FHT 12

11.11. Dagmar Meyer

Postnikov Systeme und Rationale Räume GM VII, FHT 9 (nur rat. R.)

18.11.

Bernd Grave

Minimale Modelle und rationale Homotopiegruppen I GM XI, FHT 13,15 25.11.

Bernd Grave

Minimale Modelle und rationale Homotopiegruppen II GM XI, FHT 13,15 2.12.

Bernd Grave

Beispiele für rationale Homotopieberechnungen GM XIII FHT 12 d, 15 d

9.12.

Funktorialität in der rationalen Homotopieberechnung GM XIV

16.12.

Rationale Homotopie von Faserungen und Schleifenräumen, mehr Beispiele I FHT 14, 15, starker Überlapp mit GM, aber andere Sprache (keine SpektrSeq)

6.1. Paul Mitchener

Rationale Homotopie von Faserungen und Schleifenräumen, mehr Beispiele II FHT 14, 15, starker Überlapp mit GM, aber andere Sprache (keine SpektrSeq)

13.1. Paul Mitchener

Schleifenräume und geschlossene Geodätische I FHT 16, VS, V, GMe 20.1.

Sven Porst

Schleifenräume und geschlossene Geodätische II FHT 16, VS, V, GMe 27.1.

Sven Porst

Elliptische Räume FHT 32

3.2.

Wachstum rationaler Homotopiegruppen FHT 33

10.2.

Zeit: Montags, 16:15 (vorläufig) Ort: HS 5

Literatur:

(DGMS) Deligne, Griffiths, Morgan, Sullivan: Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inv. Math. 29, 245–274 (GMe) Gromoll, Meyer: Periodic geodesics ..., J. Diff. Geom. 3, 493–510 (GM) Phillip Griffiths, John Morgan: Rational homotopy theory and differntial forms, Birkhäuser (FHT) Yves Felix, Stephen Halperin, Claude Thomas: Rational homotopy theory, Springer Verlag (VS) Vigue, Sullivan: The homoogy theory of the closed geodesic problem, J. Diff. Geom. 11, 633-644 (V) Vigue: Homotopie rationelle et nombre de geodisiques fermees, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 17, 413–431