Seminar ``Rationale Homotopie''

Leitung: Tammo tom Dieck und Thomas Schick

Zeit: Montags, 16:15 (vorläufig)
Ort: HS 5

Weitere Interssenten sind willkommen

Thema	Quelle	Zeit	Name
Rationale de Rham Theorie von Simplizialkomplexen	GM VIII (konkret), FHT 10 (simpl. Mengen, abstrakt)	21.10.	Hendrik Schrobsdorff
Verbindung zur glatten de Rham Theorie	GM VIII FHT 11	28.10.	Hendrik Schrobsdorff
Differential-Graduierte Algebren, minimale Modelle)	GM IX,( FHT 3)	4.11.	Dagmar Meyer
Minimale Modelle und Homotopie von DGAs	GM X, FHT 12	11.11.	Dagmar Meyer
Postnikov Systeme und Rationale Räume	GM VII, FHT 9 (nur rat. R.)	18.11.	Bernd Grave
Minimale Modelle und rationale Homotopiegruppen I	GM XI, FHT 13,15	25.11.	Bernd Grave
Minimale Modelle und rationale Homotopiegruppen II	GM XI, FHT 13,15	2.12.	Bernd Grave
Beispiele für rationale Homotopieberechnungen	GM XIII FHT 12 d, 15 d	9.12.
Funktorialität in der rationalen Homotopieberechnung	GM XIV	16.12.	Andreas Röscheisen;
Rationale Homotopie von Faserungen und Schleifenräumen, mehr Beispiele I	FHT 14, 15, starker Überlapp mit GM, aber andere Sprache (keine SpektrSeq)	6.1.	Paul Mitchener
Rationale Homotopie von Faserungen und Schleifenräumen, mehr Beispiele II	FHT 14, 15, starker Überlapp mit GM, aber andere Sprache (keine SpektrSeq)	13.1.	Paul Mitchener
Schleifenräume und geschlossene Geodätische I	FHT 16, VS, V, GMe	20.1.	Sven Porst
Schleifenräume und geschlossene Geodätische II	FHT 16, VS, V, GMe	27.1.	Sven Porst
Elliptische Räume	FHT 32	3.2.
Wachstum rationaler Homotopiegruppen	FHT 33	10.2.

Wichtige Invarianten eines topologischen Raums X sind seine Homotopiegruppen..

Diese Homotopiegruppen enthalten sehr viel Information über den Raum X. Leider sind sie aber, trotz einer einfachen Definition, sehr schwer auszurechnen (selbst für einen so einen einfachen Raum wie die 2-Sphäare sind bis heute nur endlich viele Homotopiegruppen berechnet).

Ein Ausweg ist, die rationalen Homotopiegruppen (d.h. die Homotopiegruppen tensoriert mit Q) zu betrachten. Damit verliert man natürlich sehr viel Information, diese Gruppen haben allerdings den Vorteil, bemerkenswert gut berechenbar zu sein (zumindest wenn der Raum einfach zusammenhängend ist). (Im Fall der 2-Sphäre erhält man Null für n größer 2.)

Der technische Hintergrund dieser Berechenbarkeit ist eine algebraisches Konstruktion, sogenannte minimale Modelle, welche topologischen Räumen zugeordnet werden (und welche in der Regel handhabbar sind), aus denen dann die rationale Homotopie berechnet werden kann. Damit dies funktioniert, wird als Zwischenschritt eine ``Rationalisierung auf Raumniveau'' eingeführt, d.h. einem Raum X wird ein Raum XQ zugeordnet, dessen Homotopiegruppen die rationalen Homotopiegruppen von X sind.

Die hierbei entwickelte algebraische Theorie hat wichtige Anwendungen auch auf rein algebraische Fragen (z.B. in lokaler kommutativer Algebra).

Rationale Homotopietheorie liefert einige überraschende Anwendungen, z.B.:

Falls M eine einfach zusammenhängende kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, so dass der rationale Kohomologiering nicht von nur einem Element (als Ring) erzeugt wird, dann hat M unendlich viele verschiedene geschlossene Geodäten.

Falls X ein kompakter einfach zusammenhängender CW-Komplex der Dimension n ist, gilt entweder die rationalen Homotopiegruppen sind Null für k größer 2n, oder die Ränge wachsen exponentiell mit k.

Literatur:

(DGMS) Deligne, Griffiths, Morgan, Sullivan: Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inv. Math. 29, 245-274
(GMe) Gromoll, Meyer: Periodic geodesics ..., J. Diff. Geom. 3, 493-510
(GM) Phillip Griffiths, John Morgan: Rational homotopy theory and differntial forms, Birkhäuser
(FHT) Yves Felix, Stephen Halperin, Claude Thomas: Rational homotopy theory, Springer Verlag
(VS) Vigue, Sullivan: The homoogy theory of the closed geodesic problem, J. Diff. Geom. 11, 633-644
(V) Vigue: Homotopie rationelle et nombre de geodisiques fermees, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 17, 413-431