Prof. Dr. Ina Kersten

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

L^{A}TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis  10
1 Einige Beispiele  12
1.1 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Betrag einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Der n-dimensionale Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Geraden in der reellen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten . . . . . . . . . . 16
1.6 Ebenen im 3-dimensionalen reellen Raum . . . . . . . . . . 18
1.7 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Übungsaufgaben 1 – 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Vektorräume  20
2.1 Definition eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Definition einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements . . . . . 21
2.4 Definition eines K -Vektorraumes . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Rechenregeln in Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Geometrische Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Beispiele und Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10 Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum . . . . . . 28
2.11 Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.12 Summe von Teilräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.13 Direkte Summen von Teilräumen . . . . . . . . . . . . . . 32
2.14 Direkte Summen von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . 32
2.15 Übungsaufgaben 5 – 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Basis und Dimension  35
3.1 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Kriterium für lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Definition einer Basis und Beispiele . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Charakterisierung einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Basen in Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 Basisergänzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.10 Der Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11 Folgerung aus dem Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . 44
3.12 Dimension eines K -Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.13 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz . . . . . . . . 45
3.14 Dimension eines Untervektorraums . . . . . . . . . . . . . 45
3.15 Dimensionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.16 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.18 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen . 48
3.19 Eigenschaften von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . 48
3.20 Isomorphismen von K -Vektorräumen . . . . . . . . . . . . 49
3.21 Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume . 50
3.22 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.23 Folgerung aus der Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . 52
3.24 Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume . . . . . 53
3.25 Übungsaufgaben 12 – 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Lineare Abbildungen und Matrizen  56
4.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Produkt von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Die Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Die Dimension von Hom(V,W ) . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Die Einheitsmatrix als Darstellungsmatrix . . . . . . . . . 61
4.7 Darstellungsmatrix einer Komposition . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Rechenregeln für lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . 63
4.9 Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.10 Koordinatenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Die zu einer Matrix gehörende Standardabbildung . . . . . 64
4.12 Faktorisierung einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . 66
4.13 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.14 Basiswechsel in V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.15 Basiswechsel und Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . 68
4.16 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.17 Beispiel zu 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.18 Eine geschickte Basiswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.19 Matrizentheoretische Formulierung . . . . . . . . . . . . . 70
4.20 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.21 Rang und Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.22 Die allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.23 Die Transponierte einer invertierbaren Matrix . . . . . . . 73

4.24 Der Zeilenrang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.25 Übungsaufgaben 22 – 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Lineare Gleichungssysteme  76
5.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Lösbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3 Die Menge der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Elementare Umformungen einer Matrix . . . . . . . . . . . 80
5.5 Elementare Umformungen und die Lösungsmenge . . . . . 80
5.6 Gaußscher Algorithmus (m = n = rang A) . . . . . . . . . 81
5.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix . . . . . . . . . . . . 82
5.8 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.9 Übungsaufgaben 31 – 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Die Determinante einer Matrix  85
6.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Beweis der Eindeutigkeitsaussage in 6.1 . . . . . . . . . . . 88
6.4 Die Matrix A_{ij} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix . . . . . . . 91
6.7 Kriterium für invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . 92
6.8 Determinante der transponierten Matrix . . . . . . . . . . 92
6.9 Multiplikationssatz für Determinanten . . . . . . . . . . . . 93
6.10 Methode zur Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . 95
6.11 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.12 Orientierung in reellen Vektorräumen . . . . . . . . . . . . 97
6.13 Die Determinante eines Endomorphismus . . . . . . . . . . 98
6.14 Orientierungserhaltende Automorphismen . . . . . . . . . . 99
6.15 Orientierung im n-dimensionalen reellen Vektorraum …. 100
6.16 Die Determinante als Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.17 Flächeninhalt eines Parallelogramms . . . . . . . . . . . . 100
6.18 Die spezielle lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.19 Übungsaufgaben 36 – 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Metrische Vektorräume  104
7.1 Involution auf K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Metrik auf V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Die zu einer Metrik s gehörende Matrix . . . . . . . . . . . 108
7.5 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.7 Euklidische und unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . 112
7.8 Das Standardskalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 113
7.10 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.11 Orthogonale Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.12 Das Radikal eines metrischen Vektorraumes . . . . . . . . 117
7.13 Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung . . . . . . . . . 118
7.14 Folgerung für symmetrische und schiefsymmetr. Matrizen . 120
7.15 Dualitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.16 Hyperbolische Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.17 Symplektische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.18 Normalform schiefsymmetrischer Matrizen . . . . . . . . . 124
7.19 Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.20 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.21 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.22 Trägheitssatz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.23 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.24 Übungsaufgaben 43 – 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Metrische Abbildungen  135
8.1 Metrische Abbildung und Isometrie . . . . . . . . . . . . . 135
8.2 Metrische Abbildung eines regulären Raumes . . . . . . . . 135
8.3 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 Die Matrix einer Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5 Lineare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.6 Klassifikation regulärer symplektischer Räume . . . . . . . 139
8.7 Klassifikation orthogonaler Räume . . . . . . . . . . . . . . 139
8.8 Beispiele für reguläre orthogonale Vektorräume . . . . . . . 140
8.9 Orthogonale Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.10 Bestimmung aller orthogonaler 2 × 2-Matrizen . . . . . . . 141
8.11 Orthogonale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.12 Geometrische Bedeutung in Dimension 2 . . . . . . . . . . 143
8.13 Übungsaufgaben 53 – 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.14 Klausur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9 Eigenwerte  146
9.1 Äquivalente Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 Diagonalisierbare Endomorphismen und Matrizen . . . . . 148
9.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.5 Kriterium für Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 148
9.6 Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig? . . . . . . . . 149
9.7 Eigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.8 Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus …. 150
9.9 Charakteristisches Polynom einer Matrix . . . . . . . . . . 150
9.10 Nullstellen des charakteristischen Polynoms . . . . . . . . . 151
9.11 Dimension eines Eigenraums . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.12 Hauptsatz über Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 152
9.13 Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.14 Selbstadjungierte Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . 156
9.15 Spektralsatz (”Hauptachsentransformation“) . . . . . . . . 157
9.16 Hermitesche und symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . 157
9.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.18 Tabelle mit Normalformen von Matrizen . . . . . . . . . . 162
9.19 Übungsaufgaben 55 – 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10 Einige Grundbegriffe der Algebra  164
10.1 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.2 Quotientenvektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.3 Die kanonische Abbildung von V auf V/U . . . . . . . . . 166
10.4 Beispiele für Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6 Homomorphismus von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.7 Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen . . . . . . . . 172
10.8 Isomorphismus von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.9 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.10 Abzählformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.11 Die Ordnung von Gruppenelementen . . . . . . . . . . . . 175
10.12 Die von einem Element erzeugte Untergruppe . . . . . . . 175
10.13 Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.14 Gruppen von Primzahlordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.15 Erzeugung von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.16 Klassifikation der zyklischen Gruppen . . . . . . . . . . . . 177
10.17 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.18 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.19 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.20 Der Begriff des Ringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.21 Der Begriff einer K -Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.22 Operationen von Gruppen auf Mengen . . . . . . . . . . . 181
10.23 Affiner Raum (additives Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . 181
10.24 Bahn und Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

10.25 Bahnformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.26 Übungsaufgaben 62 – 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11 Euklidische Räume und Bewegungen  185
11.1 Lemma über orthogonale Abbildungen . . . . . . . . . . . 185
11.2 Bewegungen von V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.3 Bewegungen, die den Nullvektor festlassen . . . . . . . . . 186
11.4 Wie sieht eine Bewegung aus? . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.5 Bewegungsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.6 Reelle orthogonale Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.7 Fixpunkte orthogonaler Abbildungen . . . . . . . . . . . . 188
11.8 Drehungen der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.9 Drehungen des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.10 Orientierung und Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.11 Die Bewegungsgruppe der affinen Ebene . . . . . . . . . . 192
11.12 Die Bewegungsgruppe der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.13 Zum Beweis von 11.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.14 Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.15 Endliche Untergruppen der orthogonalen Gruppe O(2) . . 196
11.16 Endliche Untergruppen der ebenen Bewegungsgruppe … 197
11.17 Endliche Untergruppen der räumlichen Drehgruppe …. 198
11.18 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.19 Übungsaufgaben 69 – 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12 Quadratische Formen und Quadriken  205
12.1 Der Begriff einer quadratischen Form . . . . . . . . . . . . 206
12.2 Basiswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.3 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.4 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.5 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.6 Beispiel zur Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.7 Übungsaufgaben 81 – 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13 Die Jordansche Normalform  213
13.1 Teilbarkeitseigenschaft des charakteristischen Polynoms . . 216
13.2 Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.3 Verallgemeinerte Eigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.4 Normalform nilpotenter Endomorphismen . . . . . . . . . . 220
13.5 Übungsaufgabe 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

14 Affine Räume und affine Abbildungen  222
14.1 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.2 Beispiele für affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.3 Affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.4 Beispiele für affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.5 Parallelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.6 Affine Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.7 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.8 Affine Unterräume und Schwerpunkte . . . . . . . . . . . . 226
14.9 Bemerkung zum Hauptsatz der affinen Geometrie . . . . . 227
15 Projektive Räume und Projektivitäten  227
15.1 Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
15.2 Homogene Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.3 Beispiele zur Homogenisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.4 Projektive Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
15.5 Projektive Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.6 Dimensionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.7 Schnittpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
15.8 Projektiver Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
15.9 Projektivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.10 Kollineationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.11 Weitere Beispiele zur Homogenisierung . . . . . . . . . . . 233
15.12 Übergang vom Projektiven ins Affine . . . . . . . . . . . . 234
15.13 Explizite Beschreibung von Projektivitäten . . . . . . . . . 235
15.14 Projektive Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.15 Das Doppelverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.16 Zentralprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
15.17 Sigma-lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.18 Zum Hauptsatz der projektiven Geometrie . . . . . . . . . 239
15.19 Satz von Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.20 Satz von Pappos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.21 Synthetischer Aufbau der projektiven Geometrie . . . . . . 240
15.22 Übungsaufgaben 90 – 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
15.23 Klausur II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16 Multilineare Algebra  243
16.1 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.2 Geometrische Eigenschaften des Vektorprodukts . . . . . . 244
16.3 Äußere Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
16.4 Die äußere Algebra eines K -Vektorraums . . . . . . . . . . 246

16.5 Zwei Regeln für die äußere Multiplikation von Vektoren . . 246
16.6 Ein neues Kriterium für lineare Abhängigkeit . . . . . . . . 247
16.7 Ein Kriterium für Untervektorräume . . . . . . . . . . . . 248
16.8 Die äußere Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.9 Fortsetzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.10 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17 Literaturverzeichnis  251
18 Index  252

Abbildungsverzeichnis

1 ℝ = ℝ^{1} (1-dimensionaler Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Die Ebene ℝ^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Die Zahl |z| ist der Abstand von Nullpunkt . . . . . . . . . . 15
4 Schnittpunkt der beiden Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Zwei Geraden in ℝ^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Beispiele für λv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Diagonale des von v und w aufgespannten Parallelogramms . 25
8 ”linear unabhängig“ und ”linear abhängig“ . . . . . . . . . . 25
9 Kein Untervektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10 U_{1} ∪ U_{2} ist kein Untervektorraum . . . . . . . . . . . . . . . 30
11 linear unabhängige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12 Zwei Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
13 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14 x′ = λx mit det λ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
15 Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
16 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17 Spiegelung an der y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
18 Länge des Vektors v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
19 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
20 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
21 orthogonale Projektion von w auf Kv . . . . . . . . . . . . . 137
22 Gleichseitiges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
23 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
24 Untervektorraum U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
25 Spiegel- und Drehsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
26 v = \overrightarrow{pq} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
27 Gerade durch 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
28 Drei parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
29 Zentralprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
30 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

\underline{11}

Vorwort

Das vorliegende Skript ist eine TEX-Bearbeitung der Vorlesungen Analytische Geometrie und Lineare Algebra I, II, die ich im akademischen Jahr 1999/2000 am Mathematischen Institut der Georg-August-Universität in Göttingen gehalten habe. Bis auf einige Modifikationen enthält das Skript genau den Text, der auch tatsächlich in der Vorlesung vorgetragen wurde.

Die Kapitel 1–9 wurden im Wintersemester 1999/2000 und die Kapitel 10–16 im Sommersemester 2000 behandelt. Die Übungsaufgaben zur Vorlesung stehen jeweils am Ende eines Kapitels, und auch die beiden Klausuren sind hier mitaufgenommen.

Ganz herzlich möchte ich mich bei den Studierenden bedanken, die mit Interesse, vielen Fragen und Diskussionsbeiträgen an diesem AGLA-Kurs teilgenommen haben, sowie bei der Assistentin Charlotte Wahl, die diesen Kurs mit Initiative und Tatkraft begleitet hat. Insbesondere stammt Kapitel 13 über die Jordansche Normalform vor ihr; den Stoff hat sie in einer Vorlesungsstunde behandelt, als sie mich vertreten hat.

Mein besonderer Dank gilt dem Doktoranden Stefan Wiedmann für die schöne TEX-Bearbeitung des handgeschriebenen Textes sowie für etliche Anregungen und Verbesserungsvorschläge.

Juli 2000 Ina Kersten

Einige abkürzende Schreibweisen

∃  es gibt
∀  für alle
⟹ es folgt
⟺ genau dann, wenn
\  ohne
□  Ende des Beweises
|M| Anzahl der Elemente einer Menge M

Griechische Buchstaben

α alpha, β beta, χ chi, δ delta, Δ Delta, ε epsilon, η eta, γ gamma, Γ Gamma, ι jota, κ kappa, λ lambda, Λ Lambda, μ mü, ν nü, ω omega, Ω Omega, φ phi, Φ Phi, π pi, Π Pi, ψ psi, Ψ Psi, ϱ rho, σ sigma, Σ Sigma, τ tau, ϑ theta, Θ Theta, ξ xi, Ξ Xi, ζ zeta

1 Einige Beispiele

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die wohlunterschiedenen Objekte heissen Elemente der Menge. 1895 Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der Mengenlehre

Für ein Element m einer Menge M schreiben wir m ∈ M, zum Beispiel \sqrt{2} ∈ ℝ, wobei ℝ die Menge der reellen Zahlen bezeichnet und \sqrt{2} diejenige positive reelle Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Die reellen Zahlen werden in dieser Vorlesung als bekannt vorausgesetzt. Geometrisch gesehen sind die reellen Zahlen genau die Punkte der Zahlengeraden.

Abbildung 1: ℝ = ℝ^{1} (1-dimensionaler Raum)

Man kann in ℝ addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch jede Zahl ≠ 0 dividieren. ℝ wird dadurch zu einem ”Körper“ (vgl. Kapitel 2).

Beispiele für verschiedene Schreibweisen von Mengen

• {1, 2, 3, 4, 5, …} = ℕ, Menge der natürlichen Zahlen

• {x^{2} | x ∈ ℕ} = {1, 4, 9, 16, 25, …}, Menge der Quadratzahlen in ℕ

• {n ∈ ℕ | n ist einstellige Primzahl} = {2, 3, 5, 7}

• {x ∈ ℝ | x^{2} + 1 = 0} = ∅, leere Menge, da die Gleichung x^{2} + 1 = 0 keine Lösung in ℝ hat (vgl. Abschnitt 1.1).

Wir suchen nun nach einem Bereich, in dem die Gleichung x^{2} + 1 = 0 lösbar ist. Da die Zahlengerade durch die reellen Zahlen besetzt ist, weichen wir in die Ebene aus. Wir betrachten geordnete Paare (x, y) von reellen Zahlen x, y ∈ ℝ. Hierbei bedeutet ”geordnet“, dass (x, y) = (x′, y′) genau dann gilt, wenn x = x′ und y = y′. Diese Paare bilden den 2-dimensionalen reellen Raum

ℝ^{2} := {(x, y) | x, y ∈ ℝ}

und können veranschaulicht werden als Punkte in der Ebene:

Abbildung 2: Die Ebene ℝ^{2}

Allgemein definieren wir das kartesische Produkt zweier Mengen A und B als

A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

wiederum mit (a, b) = (a′, b′) genau dann, falls a = a′ und b = b′. Es ist also ℝ^{2} = ℝ × ℝ.

1.1 Die komplexen Zahlen

Wir definieren eine Addition und eine Multiplikation in ℝ^{2} wie folgt:

(x, y) + (x′, y′) := (x + x′, y + y′)
(∗)  (x, y) · (x′, y′) := (xx′ − yy′, xy′ + x′y)

Insbesondere gilt:

(x, 0) + (x′, 0) = (x + x′, 0)
(x, 0) · (x′, 0) = (xx′, 0)

Man kann also die reellen Zahlen ℝ unter Erhalt von Addition und Multiplikation mit ℝ × {0} = {(x, 0) | x ∈ ℝ} ⊆ ℝ^{2} identifizierten. Setze:

i := (0, 1) ⟹ i^{2} = (−1, 0) = −1

Die Gleichung X^{2}+1 = 0 hat also in ℝ^{2} eine Lösung, wenn man ℝ^{2} mit obiger Addition und Multiplikation versieht und ℝ mit ℝ × {0} identifiziert. Man schreibt dann ℂ statt ℝ^{2} und nennt ℂ den Körper der komplexen Zahlen. Anstatt (x, y) ∈ ℂ schreiben wir auch z ∈ ℂ. Die komplexe Zahl i heisst imaginäre Einheit.

Eigenschaften der komplexen Zahlen

1. Es ist (x, y) · (1, 0) = (x, y), also ist (1, 0) = 1 ”neutrales Element“ der Multiplikation.

2. Es ist (x, y) · (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} , \frac{−y}{x^{2}+y^{2}} ) = (1, 0), falls (x, y) ≠ (0, 0), d.h. jedes Element 0 ≠ z ∈ ℂ besitzt bezüglich der Multiplikation (∗) ein inverses Element z^{−1} ∈ ℂ.

3. Jedes Element z ∈ ℂ lässt sich eindeutig schreiben als

z = x + yi mit x, y ∈ ℝ

denn z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) = x + yi. Man sagt hierfür: ”ℂ ist ein 2-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Basis {1, i}“.

Addition und Multiplikation zweier komplexer Zahlen lassen sich nun auch schreiben als (beachte i^{2} = −1)

z + z′ = (x + yi) + (x′ + y′i) = x + x′ + (y + y′)i
zz′ = (x + yi) · (x′ + y′i) = xx′ − yy′ + (xy′ + x′y)i

Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich die folgenden Eigenschaften einfach nachrechnen:

4. zz′ = z′z (Kommutativität)

5. z(z′z′′) = (zz′)z′′ (Assoziativität)

6. z(z′ + z′′) = zz′ + zz′′ (Distributivität)

Beispiel. Man stelle z = \frac{2+3i}{1−2i} in der Form z = x + yi mit x, y ∈ ℝ dar. Benutze dabei die Gleichungen (a − b)(a + b) = a^{2} − b^{2} und i^{2} = −1. Dann ist

z = \frac{2 + 3i}{1 − 2i} · \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{2 + 7i − 6}{1 + 4} = −\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i

1.2 Betrag einer komplexen Zahl

Ist z = x + yi mit x, y ∈ ℝ, so nennen wir z̄ := x − yi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Es gilt:

zz̄ = (x + yi)(x − yi) = x^{2} + y^{2}

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Dies ist genau das Quadrat des ”euklidischen Abstands“ des Punktes (x, y) zum Ursprung. Wir definieren deshalb den Betrag einer komplexen Zahl

|z| := \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{zz̄}

Abbildung 3: Die Zahl |z| ist der Abstand von Nullpunkt

Mit Hilfe des Betrages lässt sich nun das Inverse einer komplexen Zahl z ≠ 0 einfach bestimmen: z · \frac{z̄}{|z|^{2}} = 1, also z^{−1} = \frac{z̄}{|z|^{2}} . Ist z = x + yi mit x, y ∈ ℝ, so heisst ℜ(z) := x Realteil und ℑ(z) := y Imaginärteil von z.

1.3 Der n-dimensionale Raum

Der n-dimensionale Raum besteht aus der Gesamtheit von n-Tupeln reeller Zahlen

ℝ^{n} := {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{k} ∈ ℝ für k = 1, …, n}

mit (x_{1}, …, x_{n}) = (x′_{1}, …, x′_{n}) genau dann wenn, x_{1} = x′_{1}, …, x_{n} = x′_{n}. Die Elemente des ℝ^{n} lassen sich addieren und mit einem Skalar λ ∈ ℝ multiplizieren:

(x_{1}, …, x_{n}) + (x′_{1}, …, x′_{n}) := (x_{1} + x′_{1}, …, x_{n} + x′_{n})
λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λx_{1}, …, λx_{n})

Man kann zeigen, dass es für n > 2 keine zu (∗) in 1.1 analoge Multiplikation (x_{1}, …, x_{n}) · (x′_{1}, …, x′_{n}) gibt, die alle Axiome eines ”Körpers“ erfüllt (vgl. 2.1 für den Begriff des Körpers). Es ist ℝ^{n} ein ”n-dimensionaler ℝ-Vektorraum“. Die ”Standardbasis“ ist: (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1).

1.4 Geraden in der reellen Ebene

Eine Gerade in ℝ^{2} ist gegeben als Lösungsmenge einer ”linearen Gleichung in zwei Unbekannten“. Genauer definieren wir:

Definition. Eine Teilmenge L von ℝ^{2} heißt Gerade, wenn es a, b, c ∈ ℝ mit (a, b) ≠ (0, 0) gibt so, dass L = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | ax + by = c}.

Beispiel. Gegeben seien zwei Geraden durch 4x − y = 3 und x + y = 2. Wie berechnet man den Schnittpunkt?

Abbildung 4: Schnittpunkt der beiden Geraden

Man hat das Gleichungssystem

4x − y = 3
x + y = 2

zu lösen. Als gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen ergibt sich x = 1, y = 1, d.h. der Schnittpunkt ist (1, 1).

1.5 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten

Wir betrachten zwei Geraden in ℝ^{2}

L_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | ax + by = e} und L_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | cx + dy = f}

Abbildung 5: Zwei Geraden in ℝ^{2}

Wie im Beispiel ist das Gleichungssystem

(1)  ax + by = e
(2)  cx + dy = f

wobei (a, b) ≠ (0, 0) und (c, d) ≠ (0, 0) sind, zu lösen. Multiplizieren wir (1) mit d und (2) mit −b sowie (1) mit −c und (2) mit a, so erhalten wir:

\begin{aligned}adx + bdy & = de \\ −bcx − bdy & = −bf \end{aligned} sowie \begin{aligned}−acx − bcy & = −ce \\ acx + ady & = af \end{aligned}

Addition ergibt

(ad − bc)x = de − bf sowie (ad − bc)y = af − ce

Wir betrachten nun die zu dem Gleichungssystem (1), (2) gehörende ”Determinante“

D := det ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) := ad − bc

und unterscheiden zwischen den folgenden drei Fällen

Fall I) D ≠ 0.

Dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung:

x = \frac{de − bf}{D} , y = \frac{af − ce}{D}

Fall II) D = 0 und af − ce ≠ 0 oder de − bf ≠ 0.

Dann hat das Gleichungssystem keine Lösung, und die beiden Geraden L_{1}, L_{2} sind parallel, wobei L_{1} ≠ L_{2}.

Fall III) D = 0 und af − ce = de − bf = 0.

Ist a ≠ 0, so ist c ≠ 0, denn wäre c = 0, so wäre wegen D = ad−bc = 0 auch d = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung (c, d) ≠ (0, 0). Durch Multiplikation mit \frac{c}{a} geht die Gleichung (1) über in

\frac{c}{a}ax + \frac{c}{a}by = \frac{c}{a}e,

und das ist Gleichung (1), da ad − bc = 0 und af − ce = 0 gilt. Es ist also L_{1} = L_{2}. Ist b ≠ 0, so ist d ≠ 0, denn wäre d = 0 , so wäre wegen D = ad−bc = 0 auch c = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung (c, d) ≠ (0, 0). Durch Multiplikation mit \frac{b}{d} geht die Gleichung (2) in die Gleichung (1) über. Es ist also wiederum L_{1} = L_{2}.

1.6 Ebenen im ℝ^{3}

Eine Teilmenge E von ℝ^{3} heißt Ebene, wenn es a_{1}, a_{2}, a_{3}, b ∈ ℝ gibt mit (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ≠ (0, 0, 0) derart, dass

E = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b}

Allgemein definiert man Hyperebenen im ℝ^{n} durch

E = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n} = b}

mit (a_{1}, …, a_{n}) ≠ (0, … 0). Eine Hyperebene im ℝ^{1} ist dann ein Punkt und im ℝ^{2} eine Gerade!!

1.7 Lineare Gleichungssysteme

Allgemein betrachten wir in der Linearen Algebra lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten der Form

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

sowie die sogenannte Matrix

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )

Beispiel einer Matrix (A. Dürer 1514, Kupferstich ”Melancholia“):

( \begin{matrix}16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \end{matrix} )

Zeilen-, Spalten-, Diagonal- und weitere Summen ergeben jeweils 34.

1.8 Übungsaufgaben 1 – 4

Aufgabe 1. Man stelle die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + yi mit x, y ∈ ℝ dar:

\frac{2 + i}{4 − 5i} ,  \frac{i − 1}{i + 1} ,  (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i )^{3} ,  \frac{1}{i}

Aufgabe 2. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} als Punkte der Ebene

z_{1} = 1 − \sqrt{3} i , z_{2} = i + i^{2} + i^{3} + i^{4} + i^{5} , z_{3} = \frac{3 + i\sqrt{7}}{4} , z_{4} = −2 − \frac{3}{2}i

und berechnen Sie ihre Beträge.

Aufgabe 3. Man untersuche das Schnittverhalten der beiden Geraden L_{1} und L_{2} , falls

a) L_{1} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | 6x + 3y = 10 }, L_{2} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | 7x − 2y = −1 }

b) L_{1} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | 4x + 6y = 8 \}, L_{2} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | 5x + \frac{15}{2}y = 10 \}

c) L_{1} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | \sqrt{3} x−3y = 0 \}, L_{2} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | x−\sqrt{3} y = 1 \}.

Aufgabe 4. Man löse das lineare Gleichungssystem (3 + 5i)z_{1} + (4 − 7i)z_{2} = 22 + 9i (2 − 6i)z_{1} + (5 − 3i)z_{2} = 33 + 7i. (Gesucht sind zwei komplexe Zahlen z_{1} = x_{1} + y_{1} i und z_{2} = x_{2} + y_{2} i mit x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} ∈ ℝ, welche die beiden Gleichungen erfüllen.)

2 Vektorräume

Eine Abbildung einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift f, die jedem Element m ∈ M genau ein Element f(m) ∈ N zuordnet. Schreibweise:

f : M ^{}N, m ^{}f(m)

2.1 Definition eines Körpers

Ein Körper K ist eine Menge, auf der eine Addition

+ : K × K ^{}K, (a, b) ^{}a + b

und eine Multiplikation

· : K × K ^{}K, (a, b) ^{}ab

gegeben sind derart, dass folgende Regeln gelten: (A1) (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativgesetz) (A2) Es gibt ein Element 0 ∈ K so, dass 0 + a = a für alle a ∈ K gilt (A3) Zu jedem a ∈ K gibt es ein Element −a ∈ K mit (−a) + a = 0 (A4) a + b = b + a für alle a, b ∈ K (Kommutativgesetz) (M1) (ab)c = a(bc) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativgesetz) (M2) Es gibt ein Element 1 ∈ K mit 1a = a für alle a ∈ K und 1 ≠ 0 (M3) Zu jedem a ∈ K, a ≠ 0, gibt es ein Element a^{−1} ∈ K mit a^{−1}a = 1 (M4) ab = ba für alle a, b ∈ K (Kommutativgesetz) (D) (a + b)c = ac + bc für alle a, b, c ∈ K (Distributivgesetz) Beispiele.

• ℚ, ℝ, ℂ sind Körper

• Sei K = {0, 1}. Setze

0 + 0 = 0  0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 1 · 0 = 0 · 1 = 0 · 0 = 0 1 · 1 = 1

Dann ist K ein Körper.

• Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist kein Körper, da (M3) nicht gilt, zum Beispiel ist \frac{1}{5} = 5^{−1} ∉ ℤ. Die Axiome (A1) — (A4) sind in ℤ alle erfüllt, ℤ ist bezüglich der Addition eine ”Gruppe“.

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

2.2 Definition einer Gruppe

Eine Menge G heißt Gruppe, falls auf G eine Verknüpfung

∘ : G × G ^{}G, (a, b) ^{}a ∘ b

definiert ist derart, dass die folgenden Regeln gelten:

(G1) (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) für alle a, b, c ∈ G (Assoziativgesetz)

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G so, dass e ∘ a = a für alle a ∈ G gilt. Man nennt e auch linksneutral.

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein inverses Element a^{−1} ∈ G so, dass a^{−1} ∘ a = e gilt. Man nennt a^{−1} auch Linksinverses zu a.

Gilt in einer Gruppe zusätzlich a ∘ b = b ∘ a für alle a, b ∈ G, so heißt G abelsch oder kommutativ.

Beispiel. Sei K ein Körper. Dann ist K bezüglich Addition eine abelsche Gruppe, und

K^{⋆} := K \ {0} = {x ∈ K | x ≠ 0}

ist bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe.

2.3 Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements

Wir zeigen hier, dass in einer Gruppe auch ein rechtsneutrales Element sowie zu jedem a ∈ G ein rechtsinverses Element existiert. Daraus ergibt sich dann die Eindeutigkeitsaussage in der Überschrift.

Satz. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Dann gelten:

1. a ∘ a^{−1} = e und a ∘ e = a für alle a ∈ G

2. Es gibt genau ein e ∈ G mit e ∘ a = a ∀a ∈ G, und zu jedem a ∈ G gibt es genau ein a^{−1} mit a^{−1} ∘ a = e

Beweis. 1. Sei nach (G3) (a^{−1})^{−1} ein Inverses von a^{−1}. Es folgt einerseits

\underbrace{(a^{−1})^{−1} ∘ a^{−1}}_{(G3)} ∘a ∘ a^{−1} = \underbrace{e ∘ a}_{(G2)} ∘a^{−1}
= a ∘ a^{−1}

andererseits

(a^{−1})^{−1} ∘ \underbrace{a^{−1} ∘ a}_{(G3)} ∘a^{−1} = (a^{−1})^{−1} ∘ \underbrace{e ∘ a^{−1}}_{(G2)}

= \underbrace{(a^{−1})^{−1} ∘ a^{−1}}_{(G3)} = e

und dies zeigt a ∘ a^{−1} = e. Hieraus folgt

a ∘ e = a ∘ (a^{−1} ∘ a) = (a ∘ a^{−1}) ∘ a = e ∘ a = a

und damit Teil 1.

2. Angenommen es gebe e, e′ ∈ G mit e ∘ a = a = e′ ∘ a ∀a ∈ G, dann gilt

e′ =_{(G2)} e ∘ e′ =_{1.} e

Ist a^{−1} ∘ a = a′ ∘ a = e, dann folgt

a′ =_{(G2)} e ∘ a′ =_{(G3)} (a^{−1} ∘ a) ∘ a′ =_{(G1)} a^{−1} ∘ (a ∘ a′) =_{1.} a^{−1}

2.4 Definition eines K -Vektorraumes

Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum V ist eine abelsche Gruppe bezüglich einer Addition

+ : V × V ^{}V, (v, w) ^{}v + w ,

und zusätzlich ist eine Skalarmultiplikation

K × V ^{}V, (λ, v) ^{}λv

gegeben derart, dass die folgenden Regeln gelten: (SM1) (λμ)v = λ(μv) für alle λ, μ ∈ K, v ∈ V (SM2) 1v = v für alle v ∈ V (D1) λ(v + w) = λv + λw für alle λ ∈ K, v, w ∈ V (D2) (λ + μ)v = λv + μv für alle λ, μ ∈ K, v ∈ V Die Elemente eines K-Vektorraumes nennen wir auch Vektoren. Statt K-Vektorraum sagen wir auch Vektorraum über K.

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2.5 Beispiele

• {0} mit 0 + 0 = 0 und λ0 = 0 ∀ λ ∈ K ist ein K-Vektorraum.

• ℝ^{n} ist ein ℝ-Vektorraum (vgl. 1.3)

• Analog ist K^{n} ein K-Vektorraum mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Insbesondere ist K = K^{1} ein K-Vektorraum.

• Sei X eine nicht leere Menge, und sei V := {f : X ^{}K} die Menge aller Abbildungen von X mit Werten in K. Definiere für f, g ∈ V und λ ∈ K

(Addition)  f + g : X ^{}K, x ^{}f(x) + g(x)
(Skalarmultiplikation) λf : X ^{}K, x ^{}λf(x)

Dann wird V dadurch zu einem K-Vektorraum.

Das neutrale Element der Addition ist die Nullabbildung, die jedes Element aus X auf 0 abbildet

X ^{}K, x ^{}0

Die zu f ∈ V inverse Abbildung ist

−f : X ^{}K, x ^{}− f(x)

Dass V ein K-Vektorraum ist, zeigt man durch Rückführung auf die entsprechenden Vektorraumeigenschaften von K.

Wir nennen V = {f : X ^{}K} einen Funktionenraum mit Werten in K und bezeichnen diesen Vektorraum auch als

Abb(X, K) = {f : X ^{}K}

• Ist allgemeiner W ein K-Vektorraum und V = {f : X ^{}W }, so ist V analog wie oben ein K-Vektorraum. Speziell nennen wir für X = ℝ^{n} und W = ℝ^{m} den Vektorraum V = {f : ℝ^{n} ^{}ℝ^{m}} den Raum der vektorwertigen Funktionen in n Veränderlichen.

• ℝ ist ein ℚ-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von ℝ folgt. Ebenso ist ℂ ein ℝ-Vektorraum und ein ℚ-Vektorraum.

Allgemein gilt: Ist L ein Körper, der K als ”Teilkörper“ enthält, so ist L ein K-Vektorraum.

2.6 Rechenregeln in Vektorräumen

Sei V ein K-Vektorraum. Das neutrale Element der Addition in V bezeichnen wir mit 0 und nennen diesen Vektor den Nullvektor. Wir schreiben −v für das Inverse von v. Nach (G3) in Definition 2.2 folgt

−v + v = 0

und also nach Satz 2.3 auch

v + (−v) = 0

für alle v ∈ V. Ferner ist

0 + v = v = v + 0 ∀ v ∈ V

nach 2.2 und Satz 2.3. Weiterhin gelten die Regeln:

1. Für das neutrale Element der Addition 0 ∈ K ist 0v = 0 ∀v ∈ V

2. λ0 = 0 ∀λ ∈ K

3. (−1)v = −v ∀v ∈ V Beweis. 1. Es ist 0v = (0+0)v = 0v+0v. Addition von −0v ergibt 0 = 0v.

2. Es ist λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0. Addition von −λ0 ergibt 0 = λ0.

3. Es ist 0 = 0v = (−1 + 1)v = (−1)v + 1v = (−1)v + v, also −v = (−1)v.

2.7 Geometrische Anschauung

Sei V = ℝ^{n} und v = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}. Für λ ∈ ℝ ist λv = (λx_{1}, …, λx_{n})

Abbildung 6: Beispiele für λv

2.7. Geometrische Anschauung  25

Es ist

0 = 0v = (0, …, 0)
und  −v = (−1)v = (−x_{1}, …, −x_{n})

Sei w = (x′_{1}, …, x′_{n}). Dann ist

v − w = v + (−w) = (x_{1} − x′_{1}, …, x_{n} − x′_{n})

Beispiel in ℝ^{2}: v = (2, 1), w = (1, 2)

⟹ v + w = (3, 3) und v − w = (1, −1)

Abbildung 7: Diagonale des von v und w aufgespannten Parallelogramms Ist w = λv, so sind v und w ”linear abhängig“

Abbildung 8: ”linear unabhängig“ und ”linear abhängig“

Ist λv + μw = 0 nur für λ = μ = 0 möglich, so sind v und w ”linear unabhängig“.

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2.8 Untervektorräume

Definition. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U von V heißt Teilraum oder Untervektorraum von V, wenn folgendes gilt:

(UV1) U ≠ ∅ U enthält mindestens ein Element

(UV2) u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U U ist abgeschlossen gegenüber der Addition

(UV3) u ∈ U und λ ∈ K ⟹ λu ∈ U U ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

Bemerkung. Ein Teilraum U von V ist selbst ein K-Vektorraum

Beweis. Wir müssen nur prüfen, dass 0 ∈ U und dass mit u ∈ U auch −u ∈ U ist. Alle anderen Vektorraumaxiome sind dann erfüllt, da sie in V gelten. Nach (UV1) gibt es ein u ∈ U und es folgt:

0 = 0u ∈_{(UV 3)} U

Ist u ∈ U beliebig, dann gilt:

−u = (−1)u ∈_{(UV 3)} U

2.9 Beispiele und Gegenbeispiele

1. • {0} ist ein Teilraum von V, da 0 + 0 = 0 und λ0 = 0 ∀ λ ∈ K • V ist Teilraum von V

2. • Sind U_{1}, U_{2} Untervektorräume von V, dann ist auch

U_{1} ∩ U_{2} := {v ∈ V | v ∈ U_{1} und v ∈ U_{2}}

ein Untervektorraum von V.

• Allgemein gilt: Ist J eine beliebige Indexmenge und sind U_{j}, j ∈ J Untervektorräume von V, so ist auch

U := ⋂_{j∈J} U_{j} := {v ∈ V | v ∈ U_{j} ∀j ∈ J}

ein Untervektorraum von V.

Beweis. Liegen u, v in allen U_{j}, so auch u + v und λu, da die U_{j} Untervektorräume sind.

3. Seien a, b ∈ ℝ und (a, b) ≠ (0, 0). Dann ist

U := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | ax + by = 0}

ein Untervektorraum.

Beweis. (UV1) Es ist 0 = (0, 0) ∈ U, da a0 + b0 = 0. Insbesondere ist U ≠ ∅.

(UV2) Seien (x, y), (x′, y′) ∈ U, dann gilt

ax + by = 0
ax′ + by′ = 0

Addition ergibt: a(x + x′) + b(y + y′) = 0 und damit ist

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) ∈ U

(UV3) Seien (x, y) ∈ U und λ ∈ K, dann gilt

ax + by = 0
⟹  λax + λby = 0

und damit ist

λ(x, y) = (λx, λy) ∈ U

4. Behauptung: U := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{4} = 0} ist ein Untervektorraum von ℝ^{2}.

Beweis. Für x, y ∈ ℝ \ 0 ist stets x^{2} > 0 und y^{4} > 0, also wird die ”nicht lineare“ Gleichung x^{2} + y^{4} = 0 in ℝ^{2} nur von 0 = (0, 0) erfüllt. Es folgt U = {0} und somit ist U ein Untervektorraum von ℝ^{2}.

5. Seien U_{1}, U_{2} Untervektorräume von V, dann ist

U_{1} ∪ U_{2} := {v ∈ V | v ∈ U_{1} oder v ∈ U_{2}}

im Allgemeinen kein Untervektorraum von V:

Sei V = ℝ^{2}, U_{1} = {(x, y) | 2x + 3y = 0}, U_{2} = {(x, y) | 5x + 3y = 0}. U_{1}, U_{2} sind Untervektorräume nach 3.), aber U_{1} ∪ U_{2} nicht:

Sei (x, y) = (3, −2) und (x′, y′) = (−3, 5), dann ist (x, y) ∈ U_{1} und (x′, y′) ∈ U_{2}. Es ist (x, y) + (x′, y′) = (0, 3), aber (0, 3) ∉ U_{1} und (0, 3) ∉ U_{2} also ist (0, 3) ∉ U_{1} ∪ U_{2}. Axiom (UV2) gilt nicht, und damit ist U_{1} ∪ U_{2} kein Untervektorraum.

6. S := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} ≤ 1} ist kein Untervektorraum von ℝ^{2}.

Abbildung 9: Kein Untervektorraum

Beweis. Es ist u = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ∈ S, da (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} ≤ 1, aber 2u = (1, 1) ∉ S, da 1^{2} + 1^{2} = 2 > 1. Die Regel (UV3) gilt also nicht.

2.10 Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum

Sei V ein K-Vektorraum und S ⊂ V eine beliebige Teilmenge von V. Dann ist

Span(S) := ⋂_{U Teilraum von V mit S⊂U} U = {Durchschnitt aller Teilräume, die S enthalten

ein Untervektorraum von V nach 2.9. Wir nennen Span(S) den von S erzeugten oder den von S aufgespannten Untervektorraum von V. Es ist Span(S) der kleinste Unterraum von V, der S enthält (”kleinste“ bezüglich ”⊂“).

Definition.

a) Seien v_{1}, …, v_{n} Vektoren aus V. Dann heißt ein Vektor v ∈ V Linearkombination von v_{1}, …, v_{n}, wenn es Elemente λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K gibt so, dass

v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}

gilt. b) Sei S ⊂ V eine beliebige Teilmenge. Ein Vektor v ∈ V heißt Line-

arkombination von Vektoren aus S, falls es endlich viele Elemente v_{1}, …, v_{n} ∈ S gibt so, dass v Linearkombination von v_{1}, …, v_{n} ist.

Satz. Seien V ein K-Vektorraum, S ⊂ V und Span(S) der von S erzeugte Untervektorraum von V. Dann besteht Span(S) aus allen v ∈ V, die Linearkombinationen von Vektoren aus S sind:

Span(S) = {v ∈ V | v = ∑_{s∈S} λ_{s}s mit λ_{s} = 0 für fast alle s ∈ S}

Beweis. Sei U := {v ∈ V | v ist Linearkombination von Vektoren aus S}. Zu zeigen: U = Span(S)

⊆ Sei v ∈ U

v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{1}, … λ_{n} ∈ K, v_{1}, … v_{n} ∈ S ⟹

⟹ v liegt in jedem Teilraum von V, der v_{1}, … v_{n} enthält v ∈ Span(S) ⟹

⊇ Da U selbst ein Untervektorraum von V ist, der S enthält, folgt U ⊇ Span(S).

2.11 Erzeugendensysteme

Sei V ein K-Vektorraum und S ⊂ V. Ist Span(S) = V, so heißt S ein Erzeugendensystem von V. Ist also S ein Erzeugendensystem, dann gibt es zu jedem v ∈ V ein m ∈ ℕ sowie Elemente v_{1}, …, v_{m} ∈ S, λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K, mit v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m}v_{m} Wenn V eine endliche Teilmenge S = {v_{1}, …, v_{n}} als Erzeugendensystem besitzt, so heißt V endlich erzeugt. Es ist dann

V = {λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} | λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K}

Zum Beispiel

ℝ^{2} = {λ_{1}(1, 0) + λ_{2}(0, 1) | λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ}

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Beispiele.

• Seien V = ℝ^{2}, U_{1} = {0} × ℝ und U_{2} = ℝ × {0}. U_{1} und U_{2} sind Teilräume von ℝ^{2}, aber U_{1} ∪ U_{2} ist kein Vektorraum, denn (1, 0) ∈ U_{1}, (0, 1) ∈ U_{2} aber (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ≠ U_{1} ∪ U_{2}.

Abbildung 10: U_{1} ∪ U_{2} ist kein Untervektorraum

Der von S = U_{1} ∪ U_{2} aufgespannte Teilraum von ℝ^{2} ist die Summe

U_{1} + U_{2} := {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}

Hier gilt zusätzlich noch U_{1} + U_{2} = ℝ^{2}.

• Sei a, b ∈ ℝ mit a ≠ 0, b ≠ 0, dann bilden v_{1} = (a, 0), v_{2} = (0, b) und v_{3} = (3, 5) ein Erzeugendensystem von ℝ^{2}.

Beweis. Sei v ∈ ℝ^{2} beliebig. Nach 1.3 ist v = (x, y) mit x, y ∈ ℝ. Es folgt

v = (x, y) = \frac{x}{a}(a, 0) + \frac{y}{b} (0, b) + 0(3, 5)
= λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + λ_{3}v_{3}

mit λ_{1} = \frac{x}{a}, λ_{2} = \frac{y}{b} und λ_{3} = 0.

Man sieht insbesondere, dass v_{3} = (3, 5) entbehrlich ist.

• Bilden v_{1} = (1, 1), v_{2} = (1, −1) ein Erzeugendensystem von ℝ^{2} ? Ansatz:

(x, y) =^{!} λ_{1}(1, 1) + λ_{2}(1, −1) = (λ_{1}, λ_{1}) + (λ_{2}, −λ_{2})

= (λ_{1} + λ_{2}, λ_{1} − λ_{2}) also

\begin{matrix}λ_{1} + λ_{2} & = x \\ λ_{1} − λ_{2} & = y \end{matrix}\} ⟹ λ_{1} = \frac{x + y}{2} und λ_{2} = \frac{x − y}{2}

Die Vektoren (1, 1) und (1, −1) bilden also ein Erzeugendensystem, da

(x, y) = λ_{1}(1, 1) + λ_{2}(1, −1)

mit λ_{1} = \frac{x+y}{2}, λ_{2} = \frac{x−y}{2} ∀ (x, y) ∈ ℝ^{2} gilt.

• Bilden v_{1} = (−3, 3), v_{2} = (1, −1) ein Erzeugendensystem von ℝ^{2} ? Ansatz:

(x, y) =^{!} λ_{1}(−3, 3) + λ_{2}(1, −1) = (−3λ_{1}, 3λ_{1}) + (λ_{2}, −λ_{2})
= (−3λ_{1} + λ_{2}, 3λ_{1} − λ_{2})

also

−3λ_{1} + λ_{2} = x
3λ_{1} − λ_{2} = y

Dieses Gleichungssystem ist aber nicht für alle (x, y) ∈ ℝ^{2} lösbar, denn setze z.B. (x, y) = (0, 1), dann ist das System

\begin{aligned}−3λ_{1} + λ_{2} & = 0 \\ 3λ_{1} − λ_{2} & = 1 \end{aligned} ⟺ \begin{aligned}3λ_{1} − λ_{2} & = 0 \\ 3λ_{1} − λ_{2} & = 1 \end{aligned}

nicht lösbar. Insbesondere ist v = (0, 1) keine Linearkombination von v_{1} und v_{2} .

2.12 Summe von Teilräumen

Sind U_{j}, j ∈ J (Indexmenge) Teilräume eines K-Vektorraumes V, so heißt der von der Vereinigung S = ⋃_{j∈J} U_{j} erzeugte Teilraum von V die Summe der U_{j}. Wir schreiben

∑_{j∈J} U_{j}

Mit Hilfe von 2.11 folgt:

∑_{j∈J} U_{j} = {∑_{j∈J} u_{j} | u_{j} ∈ U_{j}, u_{j} = 0 für fast alle j ∈ J}

Speziell: Sind U_{1}, U_{2} Teilräume von V, so ist

U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}

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2.13 Direkte Summen von Teilräumen

Satz. Seien U_{1}, U_{2} zwei Teilräume eines K-Vektorraumes V, und sei U = U_{1} +U_{2} . Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist u_{1} + u_{2} = 0 für u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, dann ist u_{1} = u_{2} = 0

2. Für jedes u ∈ U ist die Darstellung u = u_{1} + u_{2} eindeutig

3. U_{1} ∩ U_{2} = {0}

Beweis. 1 ⟹ 2 Seien u = u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2} mit u_{1}, u′_{1} ∈ U_{1}, u_{2}, u′_{2} ∈ U_{2} zwei Darstellungen von u. Zu zeigen: u_{1} = u′_{1} und u_{2} = u′_{2}. Da

u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2}

\underbrace{u_{1} − u′_{1}}_{∈U_{1}} + \underbrace{u_{2} − u′_{2}}_{∈U_{2}} = 0 ⟹

⟹^{1.}  u_{1} − u′_{1} = 0 und u_{2} − u′_{2} = 0

u_{1} = u′_{1} und u_{2} = u′_{2} ⟹

2 ⟹ 3 Sei u ∈ U_{1} ∩ U_{2}. Zu zeigen: u = 0

Es ist u = u + 0 = 0 + u ⟹^{nach 2.} u = 0

3 ⟹ 1 Sei u_{1} + u_{2} = 0. Zu zeigen u_{1} = u_{2} = 0

Da u_{1} + u_{2} = 0 ⟹ u_{1} = −u_{2} ∈ U_{2} ⟹ u_{1} ∈ U_{1} ∩ U_{2}

⟹ u_{1} = 0 ⟹ u_{2} = 0

2.14 Direkte Summen von Vektorräumen

Definition.

• Seien U_{1}, U_{2} Teilräume eines K-Vektorraumes. Dann heißt die Summe U_{1} + U_{2} die (innere) direkte Summe von U_{1} und U_{2}, falls eine der Bedingungen (und damit alle) aus Satz 2.13 erfüllt sind. Wir schreiben dann:

U_{1} ⊕ U_{2}

• Seinen V_{1}, V_{2} beliebige K-Vektorräume. Wir definieren die (äussere) direkte Summe als

V_{1} ⊕ V_{2} := {(v_{1}, v_{2}) | v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2}}

mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.

Bemerkung. In Aufgabe 11 wird Satz 2.13 auf endlich viele Teilräume U_{1}, …, U_{n} von V verallgemeinert.

Beispiel. Sei V = ℝ^{2} und U_{1} = {0} × ℝ und U_{2} = ℝ × {0}. Dann ist ℝ^{2} = U_{1} ⊕ U_{2} die innere direkte Summe, da U_{1} ∩ U_{2} = {0}. Sei V_{1} = ℝ und V_{2} = ℝ. Dann ist ℝ^{2} = ℝ ⊕ ℝ die äussere direkte Summe. Analog ist ℝ^{n} = \underbrace{ℝ ⊕ ⋯ ⊕ ℝ}_{n-Stück} eine äussere direkte Summe.

2.15 Übungsaufgaben 5 – 11

Aufgabe 5. Man zeige, dass die Menge G := ℝ \ {−1} bezüglich der durch

a ∘ b := a + b + ab

für a, b ∈ G definierten Verknüpfung eine Gruppe ist. Man löse in G die Gleichung

5 ∘ x ∘ 6 = 17

Hinweis. Um zu zeigen, dass G eine Gruppe ist, verifiziere man die vier Bedingungen:

(G0) Sind a, b ∈ G, so ist auch a ∘ b ∈ G. (G1) Es ist (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) für alle a, b, c ∈ G. (G2) Es gibt ein Element e ∈ G so, dass e ∘ a = a für alle a ∈ G gilt. (G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein Element a^{−1} ∈ G so, dass a^{−1} ∘ a = e gilt.

Aufgabe 6. Es sei G eine nicht leere Menge mit einer Verknüpfung ∘ : G × G → G, (a, b) ↦ a ∘ b , die das Assoziativgesetz (G1) erfüllt. Man zeige, dass G genau dann eine Gruppe ist, wenn die Gleichungen b∘x = a und y ∘d = c Lösungen in G besitzen, wobei a, b, c, d beliebige Elemente aus G sind.

Aufgabe 7. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Man zeige:

a) Wenn für λ ∈ K und v ∈ V die Gleichung λv = 0 gilt, dann ist λ = 0 oder v = 0 .

b) Wenn für zwei Untervektorräume U_{1} , U_{2} von V auch deren Vereinigung U_{1} ∪ U_{2} ein Untervektorraum ist, dann gilt U_{1} ⊆ U_{2} oder U_{2} ⊆ U_{1} .

Aufgabe 8.

a) Man untersuche, für welche c ∈ ℝ die Menge

U_{c} := { (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = c }

ein Untervektorraum von ℝ^{3} ist.

b) Sei V := { f : ℝ → ℝ } der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ in ℝ. Dabei seien f + g und λf für f, g ∈ V, λ ∈ ℝ gegeben durch

f + g : ℝ → ℝ , x ↦ f(x) + g(x) , und λf : ℝ → ℝ , x ↦ λ f(x) .

Man prüfe, ob U := { f ∈ V | f(x) = f(−x) ∀ x ∈ ℝ } ein Untervektorraum von V ist.

Aufgabe 9. Man untersuche, welche der folgenden vier Mengen Untervektorräume von ℝ^{2} sind: U_{1} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | y = x^{2} } U_{2} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≤ y } U_{3} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | y = 2x } U_{4} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | xy ≥ 0 }

Aufgabe 10. Man stelle den Vektor w ∈ ℝ^{3} jeweils als Linearkombination der Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} dar:

a) w = (3, 2, 1) , v_{1} = (1, 0, 1) , v_{2} = (7, 3, 1) , v_{3} = (4, 3, −1)

b) w = (−8, 17, −14) , v_{1} = (2, 1, 0) , v_{2} = (3, 0, 5) , v_{3} = (−1, 4, −1) .

Aufgabe 11. Seien U_{1}, …, U_{n} Untervektorräume eines K-Vektorraums V. Dann ist auch

U := U_{1} + ⋯ + U_{n} := { u_{1} + ⋯ + u_{n} | u_{j} ∈ U_{j} für alle j = 1, …, n }

ein Untervektorraum von V. Man beweise, dass folgende drei Bedingungen äquivalent sind:

(1) Ist u_{1} + ⋯ + u_{n} = 0 in U, so folgt u_{j} = 0 für jedes j ∈ {1, …, n}.

(2) Für jedes u ∈ U ist die Darstellung u = u_{1} + ⋯ + u_{n} mit u_{j} ∈ U_{j} eindeutig.

(3) Es ist U_{i} ∩ (U_{i+1} + ⋯ + U_{n}) = {0} für jedes i ∈ {1, …, n − 1}.

Man zeige dann anhand eines Gegenbeispiels, dass die obigen Bedingungen für n > 2 im allgemeinen nicht äquivalent sind zu U_{1} ∩ ⋯ ∩ U_{n} = {0} .

3 Basis und Dimension

3.1 Lineare Unabhängigkeit

Definition. Sei V ein K-Vektorraum. Dann heissen v_{1}, …, v_{m} ∈ V linear unabhängig, wenn aus

λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m}v_{m} = 0, λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K

stets folgt λ_{1} = … = λ_{m} = 0. Andernfalls heissen v_{1}, …, v_{m} linear abhängig. Eine Teilmenge S ⊂ V heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von S aus linear unabhängigen Vektoren besteht.

Beispiele.

• 0 ist linear abhängig, da 1 · 0 = 0 . Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

• Die beiden Vektoren v_{1} = (−3, 3), v_{2} = (1, −1) sind linear abhängig in ℝ^{2}, denn v_{1} + 3v_{2} = 0 .

• v ∈ V, v ≠ 0 , ist linear unabhängig, da nach Aufgabe 7a aus λv = 0 folgt, λ = 0

• Im Gegensatz dazu ist v linear abhängig von v, da 1v + (−1)v = 0

• ∅ ist linear unabhängig • In K^{n} sind die Vektoren

e_{1} := (1, 0, 0, …, 0)
e_{2} := (0, 1, 0, …, 0)
⋮
e_{n} := (0, 0, …, 0, 1)

linear unabhängig.

Abbildung 11: linear unabhängige Vektoren

3.2 Kriterium für lineare Abhängigkeit

Satz. Sei m ∈ ℕ, m > 1. Dann ist sind für v_{1}, …, v_{m} ∈ V die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

1. v_{1}, …, v_{m} sind linear abhängig

2. Es gibt (mindestens) ein j, 1 ≤ j ≤ m so, dass v_{j} Linearkombination der übrigen ist.

Beweis. 1 ⟹ 2 Seien v_{1}, …, v_{m} linear abhängig. Dann gibt es λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K so, dass λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m}v_{m} = 0 gilt und λ_{j} ≠ 0 für mindestens ein j. Es folgt

v_{j} = −\frac{λ_{1}}{λ_{j}} v_{1} − ⋯ − \frac{λ_{j−1}}{λ_{j}} v_{j−1} − \frac{λ_{j+1}}{λ_{j}} v_{j+1} − ⋯ − \frac{λ_{m}}{λ_{j}} v_{m}

2 ⟹ 1 Da die Definition 3.1 der linearen Unabhängigkeit nicht von der Reihenfolge der Vektoren abhängt, sei ohne Einschränkung j = 1. Es folgt

v_{1} = λ_{2}v_{2} + ⋯ + λ_{m}v_{m}

λ_{1}v_{1} − λ_{2}v_{2} − ⋯ − λ_{m}v_{m} = 0 mit λ_{1} = 1 ≠ 0 ⟹

3.3 Definition einer Basis und Beispiele

Definition. Eine Teilmenge B ⊂ V heißt Basis eines K-Vektorraumes V, falls gelten:

(B1) B ist linear unabhängig

(B2) B ist ein Erzeugendensystem von V

Beispiel.

• ∅ ist eine Basis von {0}

• Es ist {e_{1}, …, e_{n}} mit

e_{1} = (1, 0, …, 0) , e_{2} = (0, 1, 0, …, 0) , …, e_{n} = (0, 0, …, 0, 1)

eine Basis von K^{n} und heißt die Standardbasis des K^{n}.

• B = {(1, 1), (1, −1)} ist eine Basis von ℝ^{2}, denn wie bereits in 2.11 gezeigt, ist B ein Erzeugendensystem von ℝ^{2}. Zu zeigen bleibt die lineare Unabhängigkeit. Sei also λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ mit

(0, 0) = λ_{1}(1, 1) + λ_{2}(1, −1)
= (λ_{1} + λ_{2}, λ_{1} − λ_{2})

Es folgt

\begin{matrix}λ_{1} + λ_{2} & = 0 \\ λ_{1} − λ_{2} & = 0 \end{matrix}\} ⟹ 2λ_{2} = 0 ⟹ λ_{2} = 0 ⟹ λ_{1} = 0

Diese Rechnung hätten wir uns eigentlich sparen können, denn ein Erzeugendensystem mit 2 Elementen von ℝ^{2} ist stets eine Basis, wie wir in 3.13.3 sehen werden.

• Aus dem Beispiel in 2.11 wissen wir, dass B = {(−3, 3), (1, −1)} kein Erzeugendensystem und damit auch keine Basis des ℝ^{2} ist. Die Vektoren v_{1} und v_{2} sind wegen v_{1} + 3v_{2} = 0 linear abhängig. Das muss auch so sein, denn in 3.13.4 werden wir sehen, dass zwei linear unabhängige Vektoren in ℝ^{2} stets eine Basis von ℝ^{2} bilden.

3.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung

Satz. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, der eine Basis (v_{1}, …, v_{n}) besitzt. Dann lässt sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig schreiben als Linearkombination

(∗) v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

Beweis. Da v_{1}, …, v_{n} ein Erzeugendensystem von V bilden, gibt es Elemente λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}. Sei v = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n} mit μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K eine weitere Darstellung von v. Es folgt

0 = v − v = (λ_{1} − μ_{1})v_{1} + ⋯ + (λ_{n} − μ_{n})v_{n}

Da v_{1}, …, v_{n} auch linear unabhängig sind, folgt

λ_{j} − μ_{j} = 0 ∀j = 1, …, n

also λ_{j} = μ_{j} ∀j = 1, …, n.

Besitzt ein Vektorraum V eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}), dann können wir also jeden Vektor v ∈ V eindeutig schreiben als Linearkombination (∗). Insbesondere gibt es also zu jedem v ∈ V genau einen Vektor (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ K^{n} mit v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}. Wir nennen (λ_{1}, …, λ_{n}) den Koordinatenvektor von v bezüglich B. Die Reihenfolge der Vektoren v_{1}, …, v_{n} ist dabei fest gewählt. Wir sprechen dann auch von einer geordneten Basis und schreiben (v_{1}, …, v_{n}) statt {v_{1}, …, v_{n}}.

Beispiel. Sei V = ℝ^{2}. Dann schreiben wir v ∈ ℝ^{2} als v = (x, y), also als Koordinatenvektor zur Standardbasis (e_{1}, e_{2}), denn (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

3.5 Charakterisierung einer Basis

Definition. Sei V ein K-Vektorraum und B ⊂ V eine Teilmenge.

• B heißt minimales Erzeugendensystem , falls B ein Erzeugendensystem von V ist, aber jede echte Teilmenge A ⊊ B kein Erzeugendensystem von V mehr ist.

• B heißt maximale linear unabhängige Teilmenge, falls B linear unabhängig ist, aber jede echte Obermenge C ⊋ B in V nicht mehr linear unabhängig ist.

Satz. Für eine Teilmenge B ⊂ V sind äquivalent

1. B ist eine Basis

2. B ist ein minimales Erzeugendensystem

3. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge

Beweis. 1 ⟹ 2 Sei A ⊊ B und v ∈ B \ A. Da B linear unabhängig ist, gibt es nach Satz 3.2 keine Linearkombination von v mit Elementen aus (B \ {v}) ⊃ A. Insbesondere ist A kein Erzeugendensystem von V

2 ⟹ 3 Angenommen, B wäre nicht linear unabhängig, dann gäbe es nach Satz 3.2 ein v ∈ B derart, dass v Linearkombination von Vektoren aus B \ {v} wäre und also B \ {v} ein Erzeugendensystem wäre im Widerspruch zur Voraussetzung 2. Also ist B linear unabhängig. Nach Satz 3.2 ist B auch maximal, da B Erzeugendensystem ist und sich damit jedes v ∉ B als Linearkombination von Elementen aus B darstellen lässt.

3 ⟹ 1 Sei B eine maximale linear unabhängige Teilmenge. Zu zeigen: B ist ein Erzeugendensystem. Ist v ∈ B, dann ist v = 1v eine Linearkombination. Sei also v ∉ B. Dann ist B ∪ {v} nicht linear unabhängig nach Voraussetzung. Es gibt also v_{1}, …, v_{m} ∈ B und λ, λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K, nicht alle gleich Null, mit

λv + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m}v_{m} = 0

Es ist dabei λ ≠ 0, da sonst v_{1}, …, v_{m} und damit auch B nicht linear unabhängig wären. Es folgt

v = −\frac{λ_{1}}{λ} v_{1} − ⋯ − \frac{λ_{m}}{λ} v_{m}

und damit ist v eine Linearkombination von Elementen aus B.

3.6 Polynome

Es sei V := Abb(K, K) der K-Vektorraum aller Abbildungen f : K ^{}K. Dann sind Addition f + g und Skalarmultiplikation λf für f, g ∈ V und λ ∈ K nach 2.5 gegeben durch

(f + g)(a) := f(a) + g(a) ∀a ∈ K
(λf)(a) := λf(a) ∀a ∈ K

Wir betrachten nun die Menge M = {1, t, t^{2}, …} ⊂ V mit

t^{n} : K ^{}K a ^{}a^{n}

für n ∈ ℕ und

1 = t^{0} : K ^{}K a ^{}1

Ist K = ℝ, so erhalten wir für f = t^{2} und g = −\frac{1}{2}t^{2} das folgende Bild.

Abbildung 12: Zwei Parabeln

Satz. Besitzt K unendlich viele Elemente, so ist M = {1, t, t^{2}, …} linear unabhängig in V.

Beweis. Nach Definition 3.1 genügt es zu zeigen, dass die Abbildungen

1, t, t^{2}, …, t^{n}

für jedes n > 0 linear unabhängig sind. Für n = 0 ist dies sicher richtig. Wir nehmen an, dass es eine Linearkombination f := λ_{0} + λ_{1}t + ⋯ + λ_{n}t^{n} mit n > 0 und λ_{n} ≠ 0 gibt, die f(a) = 0 für alle a ∈ K erfüllt. Um diese Annahme zum Widerspruch zu führen, wählen wir n paarweise verschiedene Elemente b_{1}, …, b_{n} ∈ K und zeigen, dass f(a) = (a − b_{1}) ⋯ (a − b_{n}) · λ_{n} für alle a ∈ K \ {b_{1}, …, b_{n}} gilt. Besitzt K unendlich viele Elemente, so folgt der Widerspruch λ_{n} = 0. Da f(b_{1}) = 0 = f(a) gilt, lässt sich f(a) schreiben als f(a) = (a − b_{1})g(a) mit g(a) = (λ_{1} + λ_{2}b_{1} + ⋯ + λ_{n}b_{1}^{n−1}) + ⋯ + (λ_{n−1} + λ_{n}b_{1})a^{n−2} + λ_{n}a^{n−1} und g(a) = 0 für alle a ∈ K \ {b_{1}}.

(Für n = 1 ist zum Beispiel (a − b_{1})g(a) = (a − b_{1})λ_{1} = aλ_{1} − b_{1} λ_{1} = f(a), da λ_{0} = −b_{1}λ_{1} wegen 0 = f(b_{1}) = λ_{0} + λ_{1}b_{1} gilt.) Analog ist g(a) = (a − b_{2})g′(a), wobei g′(a) die Form g′(a) = μ_{0} + ⋯ + μ_{n−3} a^{n−3} + λ_{n}a^{n−2} hat und g′(a) = 0 für alle a ∈ K \ {b_{1}, b_{2}} gilt. So fortfahrend erhält man f(a) = (a − b_{1}) · · · · · (a − b_{n}) · λ_{n}.

Bemerkung. Besitzt K nur endlich viele Elemente, so braucht die Menge M nicht mehr linear unabhängig zu sein. Ist zum Beispiel K = {0, 1} der in 2.1 definierte Körper mit zwei Elementen, so ist t+t^{2} die Nullabbildung, und also sind t, t^{2} linear abhängig.

Besitzt K unendlich viele Elemente, so nennen wir f := λ_{0} + λ_{1}t + ⋯ + λ_{n}t^{n} mit λ_{n} ≠ 0 ein Polynom vom Grad n und können t auch als eine Unbestimmte auffassen, in die man beliebig Elemente a aus K einsetzen kann. Allgemein wird der Polynomring in der Algebra-Vorlesung [11] eingeführt, (vgl. dort 6.12 für eine Unbestimmte sowie 21.3 und 21.6 für beliebig viele Unbestimmte).

3.7 Basen in Vektorräumen

Satz. Sei V ein K-Vektorraum und sei M ⊂ S ⊂ V, wobei M linear unabhängig und S ein Erzeugendensystem sei. Dann gibt es eine Basis B von V mit M ⊂ B ⊂ S.

Beweis. Wir suchen unter allen Teilmengen X von V mit M ⊂ X ⊂ S eine maximal linear unabhängige. Diese ist nach 3.5 eine Basis. Wenn S endlich ist, gibt es also sicher eine Basis B von V mit M ⊂ B ⊂ V. Hat S unendlich viele Elemente, so ist nicht klar, ob es unter den obigen Mengen X eine maximale gibt. Die Schwierigkeiten werden durch ein Axiom der Mengenlehre behoben, das sogenannte Lemma von Zorn, (vgl. z. B. Algebra-Vorlesung [11, 7.5]). Dies garantiert die Existenz einer Basis B mit M ⊂ B ⊂ S.

3.8 Existenzsatz

Satz. Jeder Vektorraum hat eine Basis.

Beweis. Wähle in M = ∅ und S = V in 3.7.

3.9 Basisergänzungssatz

Satz. Sei V ein K-Vektorraum, M eine linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V. Dann lässt sich M durch Elemente aus E zu einer Basis von V ergänzen.

Beweis. Wende 3.7 auf M und S = M ∪ E an.

Beispiel. Man finde eine Basis für den von

v_{1} = (1, 0, 1),  v_{2} = (2, 1, 0),  v_{3} = (1, −1, 3)

erzeugten Untervektorraum von ℝ^{3} und ergänze diese zu einer Basis von ℝ^{3}. Zunächst wird nachgeprüft, ob die drei Vektoren v_{1} , v_{2} , v_{3} linear unabhängig sind: Der Ansatz (0, 0, 0) =^{!} λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + λ_{3}v_{3} = (λ_{1}, 0, λ_{1}) + (2λ_{2}, λ_{2}, 0) + (λ_{3}, −λ_{3}, 3λ_{3}) = (λ_{1} + 2λ_{2} + λ_{3}, λ_{2} − λ_{3}, λ_{1} + 3λ_{3}) führt zu den Gleichungen λ_{2} = λ_{3} und λ_{1} = −3λ_{3}. Setzt man zum Beispiel λ_{3} = 1 ein, so folgt −3v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0 , also sind v_{1} , v_{2} , v_{3} linear abhängig.

Wir machen den Ansatz (0, 0, 0) =^{!} μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2} = (μ_{1}, 0, μ_{1}) + (2μ_{2}, μ_{2}, 0) = (μ_{1}+2μ_{2}, μ_{2}, μ_{1}) und erhalten μ_{1} = 0 = μ_{2}. Also sind v_{1}, v_{2} linear unabhängig und bilden daher eine Basis des von v_{1}, v_{2}, v_{3} erzeugten Untervektorraum von ℝ^{3}. Nun muss {v_{1}, v_{2}} zu einer Basis von ℝ^{3} ergänzt werden. Ein Kandidat für einen weiteren Basisvektor ist e_{3} = (0, 0, 1). Sei (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} beliebig.

Der Ansatz (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =^{!} λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + λ_{3}e_{3} = (λ_{1} + 2λ_{2}, λ_{2}, λ_{1} + λ_{3}) führt zu

λ_{2} = x_{2} , λ_{1} = x_{1} − 2x_{2} und λ_{3} = x_{3} − x_{1} + 2x_{2}. Es ist also B := {v_{1}, v_{2}, e_{3}} ein Erzeugendensystem von ℝ^{3}. Speziell für x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0 folgt λ_{2} = 0 = λ_{1} = λ_{3}, also ist B auch linear unabhängig und damit eine Basis von R^{3}. (In 3.13 werden wir feststellen, dass jedes Erzeugendensystem mit drei Elementen eine Basis von ℝ^{3} bildet.)

3.10 Der Austauschsatz

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Nach 3.8 besitzt V dann eine endliche Basis B = {v_{1}, …, v_{n}}. Dann gibt es eine konstruktive Methode um eine Basis B zu finden. Wir wählen einen Vektor v ≠ 0 aus einem endlichen Erzeugendensystem S von V. Wir fügen solange Vektoren aus S zu B hinzu, bis die Aufnahme eines jeden weiteren Vektors aus S zu linearer Abhängigkeit führt. Offensichtlich hängt B dann aber von der konkreten Wahl der Vektoren ab. Ist aber wenigstens die Anzahl der Elemente in verschiedenen Basen immer gleich? Auf diese Frage wollen wir im folgenden eine Antwort finden.

Satz. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v_{1}, …, v_{n}}. Ist v ∈ V, v ≠ 0, dann gibt es ein j ∈ {1, …, n} so, dass auch die Vektoren

{v_{1}, …, v_{j−1}, v, v_{j+1}, …, v_{n}}

eine Basis von V bilden. Dabei kann man als j jeden Index wählen, für den λ_{j} ≠ 0 ist in der Basisdarstellung v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K.

Beweis. Da v ≠ 0 gibt es (mindestens) ein j mit λ_{j} ≠ 0. Ohne Einschränkung sei j = 1, ansonsten vertauschen wir einfach v_{1} und v_{j}. Zu zeigen ist nun, dass v, v_{2}, …, v_{n} eine Basis von V bilden.

Unabhängigkeit. Sei μ_{1}v + μ_{2}v_{2} + ⋯ + μ_{n}v_{n} = 0 mit μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K. Setzen wir hierin die obige Basisdarstellung für v ein, so folgt

μ_{1}λ_{1}v_{1} + (μ_{1}λ_{2} + μ_{2})v_{2} + ⋯ + (μ_{1}λ_{n} + μ_{n})v_{n} = 0

Da v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, folgt

μ_{1}λ_{1} = 0 und μ_{1}λ_{i} + μ_{i} = 0 für i = 2, …, n
⟹ μ_{1} = 0, da λ_{1} ≠ 0
⟹ μ_{2} = ⋯ = μ_{n} = 0 .

Also sind v, v_{2}, …, v_{n} linear unabhängig.

Erzeugendensystem. Da v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} und λ_{1} ≠ 0 gilt, folgt

(∗) v_{1} = \frac{1}{λ_{1}} (v − λ_{2}v_{2} − ⋯ − λ_{n}v_{n})

Ist w ∈ V beliebig, so ist w = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n} mit μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K, da v_{1}, …, v_{n} eine Basis bilden. Einsetzen von (∗) ergibt

w = μ_{1} (\frac{1}{λ_{1}} (v − λ_{2}v_{2} − ⋯ − λ_{n}v_{n})) + μ_{2}v_{2} + ⋯ + μ_{n}v_{n}

= \frac{μ_{1}}{λ_{1}} v + (μ_{2} − \frac{μ_{1}λ_{2}}{λ_{1}} ) v_{2} + ⋯ + (μ_{n} − \frac{μ_{1}λ_{n}}{λ_{1}} ) v_{n}

Damit ist w eine Linearkombination von v, v_{2}, …, v_{n}.

3.11 Folgerung aus dem Austauschsatz

Korollar. Besitzt V eine Basis, die aus n Vektoren besteht, dann sind je m Vektoren aus V mit m > n linear abhängig. Insbesondere gilt: In einem endlich erzeugten K-Vektorraum V haben je zwei Basen dieselbe Anzahl von Elementen.

Beweis. Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V. Der Beweis wird indirekt geführt. Annahme: w_{1}, …, w_{m} ∈ V mit m > n sind linear unabhängig. Wendet man 3.10 mit v = w_{1} an, erhält man eine neue Basis

{v_{1}, …, v_{j−1}, w_{1}, v_{j+1}, …, v_{n}}

Man kann dann w_{2} schreiben als w_{2} = λ_{1}v_{1}+⋯+λ_{j−1}v_{j−1}+μ_{1}w_{1}+λ_{j+1}v_{j+1}+ ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{i}, μ_{1} ∈ K. Dabei gibt es einen Index k, für den λ_{k} ≠ 0 gilt (denn sonst wäre w_{2} − μ_{1}w_{1} = 0 im Widerspruch zur Annahme). Wendet man 3.10 auf die neue Basis mit v = w_{2} und j = k an, so bekommt man eine Basis von V, die w_{1}, w_{2} und nur noch n − 2 Vektoren aus B enthält. So fortfahrend erhält man eine Basis B′ = {w_{1}, …, w_{n}} von V, in der alle n Vektoren der Basis B ausgetauscht sind gegen Elemente von {w_{1}, …, w_{n}, …, w_{m}}. Da m > n ist, kann man w_{m} als Linearkombination der Elemente von B′ schreiben und erhält einen Widerspruch zur Annahme. Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus der ersten.

3.12 Dimension eines K -Vektorraums

Definition. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Dann heißt die Anzahl der Elemente einer Basis von V die Dimension von V. Wir schreiben für die Dimension dim_{K} V und nennen V einen endlich dimensionalen Vektorraum. In diesem Fall schreiben wir auch dim_{K} V < ∞. Ist V nicht endlich erzeugt, dann schreiben wir dim_{K} V = ∞.

Beispiele.

• dim_{K} K^{n} = n (vgl. 3.3)

• dim_{K}{0} = 0 (eine Basis des Nullvektorraums {0} hat 0 Elemente)

• dim_{K} Abb(K, K) = ∞ (vgl. Satz 3.5 und Satz 3.6)

• dim_{ℝ} ℂ = 2, denn {1, i} ist eine Basis

• dim_{ℚ} ℝ = ∞ und dim_{ℚ} ℂ = ∞

3.13 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Dann gelten:

1. Weniger als n Vektoren können kein Erzeugendensystem bilden (nach Satz 3.5)

2. Mehr als n Vektoren sind linear abhängig (nach 3.11)

3. Jedes Erzeugendensystem mit n Vektoren ist linear unabhängig und damit eine Basis (nach 1. und 3.2)

4. Jede linear unabhängige Teilmenge mit n Vektoren ist auch ein Erzeugendensystem und damit ebenfalls eine Basis (nach 3.9 und 3.11)

Haben wir zum Beispiel im ℝ^{3} drei linear unabhängige Vektoren gefunden, so wissen wir, dass diese eine Basis bilden. Die zweite Basiseigenschaft brauchen wir dann nicht mehr nachzuweisen.

3.14 Dimension eines Untervektorraums

Abbildung 13: Geraden und Ebenen

Satz. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und sei U ⊂ V ein Untervektorraum von V. Dann ist auch U endlich erzeugt und es gilt dim_{K} U ≤ dim_{K} V. Ist dim_{K} U = dim_{K} V, dann ist U = V.

Beweis. Sei M eine Basis von U. Dann besteht M aus linear unabhängigen Elementen von V. Diese kann man nach 3.9 zu einer Basis B von V ergänzen. Da M ⊂ B und B eine endliche Menge ist, ist auch M endlich und also dim_{K} U ≤ dim_{K} V.

Ist U ⊊ V und v ∈ V \U. Dann ist v keine Linearkombination von Elementen aus M, also M∪{v} linear unabhängig nach 3.2. Es folgt dim_{K} U < dim_{K} V.

3.15 Dimensionssatz

Satz. Sind U_{1}, U_{2} Teilräume eines endlich dimensionalen K-Vektorraumes V, so gilt

dim_{K}(U_{1} + U_{2}) = dim_{K} U_{1} + dim_{K} U_{2} − dim_{K}(U_{1} ∩ U_{2})

Beweis. Wähle Basis {u_{1}, …, u_{r}} von U_{1} ∩ U_{2}. Ergänze diese mit Elementen aus U_{1} zu {u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{s}}, einer Basis von U_{1} und durch Elemente aus U_{2} zu {u_{1}, …, u_{r}, w_{1}, …, w_{t}}, einer Basis von U_{2} (vgl. 3.9). Wir zeigen, dass B := {u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{s}, w_{1}, …, w_{t}} eine Basis von U_{1} + U_{2} ist. Da B offensichtlich ein Erzeugendensystem von U_{1} + U_{2} bildet, müssen wir noch die lineare Unabhängigkeit prüfen. Sei also

λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} + μ_{1}v_{1} + … + μ_{s}v_{s} + μ′_{1}w_{1} + ⋯ + μ′_{t}w_{t} = 0 (∗)

Es folgt

ũ := \underbrace{λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} + μ_{1}v_{1} + … + μ_{s}v_{s}}_{∈U_{1}} = \underbrace{−μ′_{1}w_{1} − ⋯ − μ′_{t}w_{t}}_{∈U_{2}}

also ũ ∈ U_{1}∩U_{2}. Insbesondere gibt es α_{1}, …, α_{r} ∈ K mit ũ = α_{1}u_{1}+…+α_{r}u_{r} Es folgt

ũ = α_{1}u_{1} + … + α_{r}u_{r} + 0v_{1} + … + 0v_{s} = λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} + μ_{1}v_{1} + … + μ_{s}v_{s}

Da {u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{s}} eine Basis von U_{1} bildet, ist die Darstellung von ũ eindeutig, und Koeffizientenvergleich ergibt μ_{i} = 0 für 1 ≤ i ≤ s. Eingesetzt in (∗) folgt dann

λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} + μ′_{1}w_{1} + ⋯ + μ′_{t}w_{t} = 0

Da {u_{1}, …, u_{r}, w_{1}, …, w_{t}} eine Basis von U_{2} bilden folgt λ_{i} = 0 für 1 ≤ i ≤ r und μ′_{j} = 0 für 1 ≤ j ≤ t. Damit ist B linear unabhängig und bildet eine Basis von U_{1} + U_{2}. Es folgt

dim_{K}(U_{1} + U_{2}) = r + s + t = (r + s) + (r + t) − r
= dim_{K} U_{1} + dim_{K} U_{2} − dim_{K}(U_{1} ∩ U_{2})

3.16 Lineare Abbildungen

Seien V, W zwei K-Vektorräume, und sei f : V ^{}W eine Abbildung. Dann heißt f eine K-lineare Abbildung oder ein Vektorraumhomomorphismus, falls gelten:

(L1) f(v + w) = f(v) + f(w) für alle v, w ∈ V

(L2) f(λv) = λf(v) für alle λ ∈ K und alle v ∈ V

Eine K-lineare Abbildung f : V ^{}V nennen wir auch einen Endomorphismus von V .

3.17 Beispiele

1. Die Nullabbildung V ^{}W, v ^{}0, ist K-linear

2. Die komplexe Konjugation f : ℂ ^{}ℂ, z ^{}z̄, ist ℝ-linear, aber nicht ℂ-linear

Beweis. Ist z = x + yi, z′ = x′ + y′i ∈ ℂ mit x, x′, y, y′ ∈ ℝ, dann ist f(z) = x − yi und damit

f(z + z′) = (x + x′) − (y + y′)i = x − yi + x′ − y′i = f(z) + f(z′)
f(λz) = λx − λyi = λ(x − yi) = λf(z) ∀λ ∈ ℝ

Damit ist f eine ℝ-lineare Abbildung. Aber f ist nicht ℂ-linear, da

f(ii) = f(i^{2}) = f(−1) = −1 aber
if(i) = i(−i) = −(ii) = 1 ≠ −1

3. Sei I = [a, b] := {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} ein Intervall in ℝ, und seien

C^{0}(I) := {g : I ^{}ℝ | g stetig}
C^{1}(I) := {g : I ^{}ℝ | g stetig differenzierbar}

Teilräume von Abb(I, ℝ). Die beiden Abbildungen

D : C^{1}(I) ^{}C^{0}(I) g ^{}g′ ”Ableitung“
I : C^{0}(I) ^{}C^{1}(I) g ^{}∫_{a}^{x} g(t) dt ”Stammfunktion“

sind ℝ-lineare Abbildungen.

4. Sei X eine Menge und K ein Körper, dann ist für jedes x_{0} ∈ X die Abbildung F : Abb(X, K) ^{}K, f ^{}f(x_{0}) eine K-lineare Abbildung. Sie heißt Auswertungsabbildung.

3.18 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen

Satz. Seien V, W zwei K-Vektorräume, und sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Dann gibt es zu beliebig vorgegebenen Vektoren w_{1}, …, w_{n} ∈ W genau eine K-lineare Abbildung f : V ^{}W mit f(v_{i}) = w_{i} für 1 ≤ i ≤ n.

Beweis. Da (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V ist, gibt es zu jedem v ∈ V eindeutig betimmte Elemente λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}, vgl. 3.4.

Eindeutigkeit Ist f eine K-lineare Abbildung wie oben, so folgt

f(v) = f(λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n})

=_{(L1),(L2)} λ_{1}f(v_{1}) + ⋯ + λ_{n}f(v_{n})

= λ_{1}w_{1} + ⋯ + λ_{n}w_{n}

Damit ist aber das Bild von v eindeutig festgelegt.

Existenz Setzen wir f(v) := λ_{1}w_{1} + ⋯ + λ_{n}w_{n}, so erhalten wir eine Klineare Abbildung f : V ^{}W mit f(v_{i}) = w_{i} für 1 ≤ i ≤ n.

3.19 Eigenschaften von linearen Abbildungen

Seien V, W zwei K-Vektorräume, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung. Dann gelten

1. f(0) = 0, da f(0) = f(00) = 0f(0) = 0 nach 2.6

2. f(−v) = −f(v), da f(−v) = f(−1v) = (−1)f(v) = −f(v)

3. Ist U ein Teilraum von V, dann ist f(U) := {f(u) | u ∈ U} ein Teilraum von W, denn

UV1 Aus U ≠ ∅ folgt auch f(U) ≠ ∅ nach 1.

UV2 Sei w_{1}, w_{2} ∈ f(U). Dann gibt es u_{1}, u_{2} ∈ U mit f(u_{1}) = w_{1} und f(u_{2}) = w_{2}. Dann ist w_{1}+w_{2} = f(u_{1})+f(u_{2}) = f(u_{1}+u_{2}) ∈ f(U).

UV3 Sei w ∈ f(U), λ ∈ K und w = f(u) für ein u ∈ U. Dann ist

λw = λf(u) = f(λu) ∈ f(U).

Insbesondere ist

bild(f) := f(V) = {w ∈ W | ∃v ∈ V mit f(v) = w}

ein Teilraum von W und heißt das Bild von f .

4. Sei kern(f) := {v ∈ V | f(v) = 0} der Kern von f . Dann ist kern(f) ein Teilraum von V, denn

UV1 0 ∈ kern(f) nach 1.

UV2 Sind u, v ∈ kern f, dann ist f(u + v) = f(u) + f(v) = 0 + 0 = 0 und damit ist auch u + v ∈ kern(f)

UV3 Ist u ∈ kern(f) und λ ∈ K, dann ist f(λu) = λf(u) = λ0 = 0 und deshalb ist mit u auch λu ∈ kern(f).

Satz. Seien V, W zwei K-Vektorräume, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung, dann gilt:

f : V ^{}W ist injektiv genau dann, wenn kern(f) = 0

Beweis. ⟹ Sei v ∈ kern(f) beliebig, dann folgt

f(v) = 0 = f(0) ⟹ v = 0

⟸ Seien v, v′ ∈ V mit f(v) = f(v′). Zu zeigen ist v = v′.

Aus f(v) = f(v′) folgt:

0 = f(v) − f(v′) = f(v − v′) ⟹ v − v′ ∈ kern(f)

Da kern(f) = 0 nach Voraussetzung ist, folgt v − v′ = 0 und damit v = v′.

Trivialerweise gilt: f : V ^{}W ist surjektiv genau dann, wenn bild(f) = W.

3.20 Isomorphismen von K -Vektorräumen

Definition. Seien V, W zwei K-Vektorräume und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung. Ist f bijektiv (injektiv und surjektiv) dann nennen wir f einen Isomorphismus.

Ist f : V ^{}W bijektiv, so gibt es eine Umkehrabbildung g : W ^{}V mit

g(f(v)) = v ∀v ∈ V
f(g(w)) = w ∀w ∈ W

Oft wird dafür auch g = f^{−1} geschrieben.

Bemerkung. Wenn f : V ^{}W ein Isomorphismus ist, dann ist die Umkehrabbildung g : W ^{}V K-linear und damit ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis. Für w, w′ ∈ W gilt

g(w + w′) = g(f(g(w)) + f(g(w′))) nach (4)
= g(f(g(w) + g(w′))) da f K-linear
= g(w) + g(w′) nach (3)

Analog gilt für w ∈ W, λ ∈ K

g(λw) = g(λf(g(w))) nach (4)
= g(f(λg(w))) da f K-linear
= λg(w) nach (3)

Seien V, W zwei K-Vektorräume. Wir nennen V isomorph zu W und schreiben dafür V ≃ W, falls es (mindestens) einen Isomorphismus f : V ^{}W gibt. Ist V isomorph zu W, dann ist nach obiger Bemerkung auch W isomorph zu V.

3.21 Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume

Satz. Seien V, W endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt

dim_{K} V = dim_{K} W ⟺ V ≃ W

Insbesondere ist jeder n-dimensionale K-Vektorraum isomorph zu K^{n}.

Beweis. Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V.

⟹ Sei C = (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W. Nach 3.18 gibt es eine Klineare Abbildung f : V ^{}W mit f(v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, n. Da C ein Erzeugendensystem von W ist, gibt es zu jedem w ∈ W Elemente λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K so, dass w = λ_{1}w_{1} + ⋯ + λ_{n}w_{n} gilt. Es folgt w = f(v) mit v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}, und also ist f surjektiv. Ist w = 0, so folgt λ_{1} = ⋯ = λ_{n} = 0, also v = 0, da C linear unabhängig ist. Nach 3.19 folgt, dass f injektiv ist. Es gilt also V ≃ W.

⟸ Sei f : V ^{}W ein Isomorphismus. Ist w ∈ W, so ist w = f(v) mit einem v ∈ V, da f surjektiv ist. Es gilt v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K, da B ein Erzeugendensystem von V ist. Hieraus folgt w = f(v) = λ_{1}f(v_{1}) + ⋯ + λ_{n}f(v_{n}), und B′ := (f(v_{1}), …, f(v_{n})) ist also ein Erzeugendensystem von W. Ist f(v) = 0, so ist auch v = 0, da f injektiv ist. Da B linear unabhängig ist, muss also auch B′ linear unabhängig sein. Es folgt dim_{K} W = n = dim_{K} V.

3.22 Dimensionsformel

Seien V ein endlich dimensionaler und W ein beliebiger K-Vektorraum. Dann ist für jede K-lineare Abbildung f : V ^{}W der Untervektorraum bild(f) endlich dimensional, und es gilt die Dimensionsformel

dim_{K} V = dim_{K} kern(f) + dim_{K} bild(f)

Beweis. Sei M eine Basis von V, dann wird bild(f) von {f(b) | b ∈ M} erzeugt. Damit ist nach 3.5 bild(f) ein endlich dimensionaler Untervektorraum, und die Behauptung ergibt sich aus dem folgenden Lemma.

Lemma. Sei {u_{1}, …, u_{r}} eine Basis von kern(f). Wähle v_{1}, …, v_{s} ∈ V so, dass f(v_{1}), …, f(v_{s}) eine Basis von bild(f) bilden. Dann ist

B := {u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{s}}

eine Basis von V.

Beweis. Unabhängigkeit Sei

0 = λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} + μ_{1}v_{1} + ⋯ μ_{s}v_{s}, mit λ_{i}, μ_{j} ∈ K ∀i, j
⟹^{f} 0 = f(0) = μ_{1}f(v_{1}) + ⋯ + μ_{s}f(v_{s}), da u_{1}, …, u_{r} ∈ kern(f),

⟹ μ_{1} = ⋯ = μ_{s} = 0, da f(v_{1}), … f(v_{s}) linear unabhängig sind ⟹ λ_{1} = ⋯ = λ_{r} = 0, da u_{1}, …, u_{r} linear unabhängig sind

B ist also linear unabhängig.

Erzeugendensystem Sei v ∈ V, dann gibt es μ_{1}, …, μ_{s} ∈ K mit

f(v) = μ_{1}f(v_{1}) + ⋯ + μ_{s}f(v_{s}), da f(v_{1}), …, f(v_{s}) Basis von bild(f), ⟹ f(v) = f(μ_{1}v_{1} + ⋯ μ_{s}v_{s}), da f K-linear v − μ_{1}v_{1} − ⋯ − μ_{s}v_{s} ∈ kern(f) ⟹ v − μ_{1}v_{1} − ⋯ − μ_{s}v_{s} = λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K, ⟹

da u_{1}, …, u_{r} Basis von kern(f) ist. Damit ist v Linearkombination der Elemente aus B.

Bemerkung. Ist kern(f) = {0}, dann ist V ≃ bild(f), also dim_{K} V = 0 + dim_{K} bild(f) nach 3.21. Ist bild(f) = {0}, dann ist V = kern(f), also dim_{K} V = dim_{K} kern(f) + 0. Man schreibt oft auch rang(f) statt dim_{K} bild(f) und nennt diese Zahl den Rang der Abbildung f. Die Dimensionsformel lautet dann

dim_{K} V = dim_{K} kern(f) + rang(f)

3.23 Folgerung aus der Dimensionsformel

Korollar. Seien V und W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume, und es gelte dim_{K} V = dim_{K} W. Dann sind für jede K-lineare Abbildung f : V ^{}W äquivalent

1. f ist injektiv (Monomorphismus)

2. f ist surjektiv (Epimorphismus)

3. f ist bijektiv (Isomorphismus)

Beweis. 1 ⟹ 2
f injektiv ⟹ kern(f) = 0 nach Satz 3.19

⟹ dim_{K} bild(f) =_{3.22} dim_{K} V =_{Vor.} dim_{K} W

⟹ bild(f) = W nach 3.14

⟹ f surjektiv 2 ⟹ 1

f surjektiv ⟹ dim_{K} bild(f) = dim_{K} W =_{Vor.} dim_{K} V

⟹ dim_{K} kern(f) = 0 nach 3.22 ⟹ f injektiv nach Satz 3.19

3 ⟺ 1 klar nach Obigem und da “bijektiv = injektiv + surjektiv” gilt.

3.24 Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume

Beispiel. Eine Folge ist eine Abbildung ℕ ^{}K. Jedem n ∈ ℕ ist also ein a_{n} ∈ K zugeordnet, wir schreiben (a_{n})_{n∈ℕ} oder (a_{1}, a_{2}, …). Im Folgenraum V := Abb(ℕ, K) ist U := {(b_{n})_{n∈ℕ} | b_{1} = 0} ein echter Teilraum (U ⊊ V), und dennoch ist V ^{}U, (a_{1}, a_{2}, …) ^{}(0, a_{1}, a_{2}, …), ein Isomorphismus. (Nach 3.14 und 3.21 kann ein endlich dimensionaler K-Vektorraum niemals zu einem echten Teilraum isomorph sein, denn ist dim_{K} V < ∞ und U ⊊ V, dann ist dim_{K} U < dim_{K} V und damit V ≄ U.)

Beispiel. Sei K = ℝ, [a, b] ⊂ ℝ ein Intervall. Sei V := C^{0}([a, b]) und U := {F ∈ C^{1}([a, b]) | F (a) = 0} ⊊ V (vgl. 3.17.3). Dann besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Die Abbildung

I : V ^{}U, f ^{}F, mit F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt

ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung

D : U ^{}V, F ^{}F′

Beispiel. Auch Korollar 3.23 gilt nicht für unendlich dimensionale Vektorräume, das zeigen die folgenden Abbildungen:

• f_{1} : Abb(ℕ, K) ^{}Abb(ℕ, K), (a_{1}, a_{2}, …) ^{}(0, a_{1}, a_{2}, …) ist injektiv, aber nicht surjektiv

• f_{2} : Abb(ℕ, K) ^{}Abb(ℕ, K), (a_{1}, a_{2}, …) ^{}(a_{2}, a_{3}, …) ist surjektiv, aber nicht injektiv

• D : C^{1}([a, b]) ^{}C^{0}([a, b]) ist surjektiv, aber nicht injektiv

• I : C^{0}([a, b]) ^{}C^{1}([a, b]) ist injektiv, aber nicht surjektiv

3.25 Übungsaufgaben 12 – 21

Aufgabe 12.

a) Man prüfe, ob die Vektoren v_{1} = (4, 4, 4), v_{2} = (2, 4, 6) und v_{3} = (3, 4, 5) ein Erzeugendensystem von ℝ^{3} bilden.

b) Man untersuche, für welche t ∈ ℝ die Vektoren

v_{1} = (1, 3, 4) , v_{2} = (3, t, 11) , v_{3} = (−4, −4, 0)

linear abhängig in ℝ^{3} sind.

Aufgabe 13. Man prüfe, ob die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} linear unabhängig in ℝ^{4} sind, wenn

a) v_{1} = (1, 1, −1, 0), v_{2} = (0, 1, 1, −2) und v_{3} = (3, 1, −5, 4) ,

b) v_{1} = (1, 1, −1, 0), v_{2} = (0, 1, 1, −2) und v_{3} = (3, −1, −5, 4) .

Aufgabe 14. Man konstruiere eine Basis für den von

v_{1} = (1, −2, 0, 1) , v_{2} = (0, 0, 2, 5) , v_{3} = (−2, 4, 2, 3)

erzeugten Untervektorraum von ℝ^{4} und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von ℝ^{4} .

Aufgabe 15. Es sei {v_{1}, v_{2}} eine Basis eines 2-dimensionalen ℝ-Vektorraums V. Man untersuche, für welche Zahlen r, s ∈ ℝ auch die beiden Vektoren w_{1} = rv_{1} + v_{2} und w_{2} = v_{1} + sv_{2} eine Basis von V bilden.

Aufgabe 16. Man konstruiere für die folgenden ℝ-Vektorräume jeweils eine Basis:

U_{1} = { (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} + x_{2} − x_{3} = 0 },

U_{2} = { (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 0 , x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 } .

Aufgabe 17. Es sei t ∈ ℝ. Man bestimme die Dimension des von den Vektoren

v_{1} = (1, 2, t + 2), v_{2} = (−1, t + 1, t), v_{3} = (0, t, 1)

erzeugten Untervektorraums U_{t} von ℝ^{3} .

Aufgabe 18. Sei {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis eines K-Vektorraums V, und sei f : V → W eine K-lineare Abbildung von V in einen K-Vektorraum W. Dann ist f eindeutig bestimmt durch die n Vektoren w_{1} = f(v_{1}), …, w_{n} = f(v_{n}) aus W. Man beweise die folgenden beiden Aussagen:

(a) f ist injektiv ⟺ w_{1}, …, w_{n} sind linear unabhängig in W.

(b) f ist surjektiv ⟺ w_{1}, …, w_{n} bilden ein Erzeugendensystem von W.

Aufgabe 19. Ist für Teilräume U_{1}, …, U_{n} eines K-Vektorraums V eine der Bedingungen aus Aufgabe 11 erfüllt, so nennt man den Teilraum U_{1} + ⋯ + U_{n} eine direkte Summe von Teilräumen und schreibt dafür U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{n}.

Man nennt zwei Teilräume U_{1} und U_{2} eines K-Vektorraums V komplementäre Teilräume, wenn U_{1} + U_{2} = V und U_{1} ∩ U_{2} = {0} gelten (d. h. wenn V = U_{1} ⊕ U_{2} gilt).

Man beweise für einen n-dimensionalen K-Vektorraum V die folgenden beiden Aussagen:

a) Ist U_{1} ein p-dimensionaler Teilraum von V, dann gibt es einen zu U_{1} komplementären Teilraum U_{2} , und jeder solche Teilraum U_{2} hat die Dimension n − p.

b) Es ist V eine direkte Summe von 1-dimensionalen Teilräumen: V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{n} mit dim_{K}U_{i} = 1 für i = 1, …, n.

Aufgabe 20. Sei U_{1} der von den Vektoren

v_{1} = (1, 0, 0, 1), v_{2} = (−2, −1, 1, 1), v_{3} = (−3, −2, 2, 3)

und U_{2} der von den Vektoren

v_{4} = (2, 1, 0, 3), v_{5} = (−1, −1, 0, −2), v_{6} = (7, 4, 0, 11)

erzeugte Teilraum von ℝ^{4}. Man berechne die Dimensionen dim_{ℝ} U_{1} , dim_{ℝ} U_{2} , dim_{ℝ} (U_{1} + U_{2}) und dim_{ℝ} (U_{1} ∩ U_{2}).

Aufgabe 21. Die ℝ-lineare Abbildung f : ℝ^{3} → ℝ^{3} sei definiert durch

f(1, 0, 0) = (−1, 1, 3), f(0, 1, 0) = (0, 6, 3), f(0, 0, 1) = (2, 4, −3) .

Man konstruiere jeweils eine Basis von kern(f) und bild(f).

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Sei e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) die Standardbasis von ℝ^{2}, und sei f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} eine ℝ-lineare Abbildung. Dann ist f durch Angabe von f(e_{1}) und f(e_{2}) eindeutig bestimmt (vgl. Satz 3.18). Es ist

f(e_{1}) = a_{11}e_{1} + a_{21}e_{2} = (a_{11}, a_{21})
f(e_{2}) = a_{12}e_{1} + a_{22}e_{2} = (a_{12}, a_{22})

mit a_{ij} ∈ ℝ für 1 ≤ i, j ≤ 2. Benutzen wir die ”Spaltenschreibweise“

e_{1} = \binom{1}{0}, e_{2} = \binom{0}{1} ⟹ f(e_{1}) = \binom{a_{11}}{a_{21}} und f(e_{2}) = \binom{a_{12}}{a_{22}}

Dann wird f bezüglich der Standardbasis beschrieben durch ein rechteckiges

Schema (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}). Dies nennen wir eine 2 × 2-Matrix.

4.1 Matrizen

Sei K ein Körper. Eine m × n-Matrix über K ist eine Anordnung von mn Elementen aus K nach folgendem Schema

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix})

Wir schreiben auch einfach

(a_{ij})\begin{matrix}i=1,...,m \\ j=1,...,n \end{matrix} oder (a_{ij})

und nennen die waagrecht geschriebenen n-Tupel (a_{i1} … a_{in}) die Zeilen

und die senkrecht geschriebenen m-Tupel ( a_{1j} ; ⋮ ; a_{mj}) die Spalten der Matrix. Es

ist dann m die Anzahl der Zeilen und n ist die Anzahl der Spalten. Mit M_{m×n}(K) bezeichnen wir die Menge aller m × n-Matrizen über K. Zum Beispiel

M_{2×3}(K) = \{(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix}) | a_{ij} ∈ K für \begin{matrix}i=1,2 \\ j=1,2,3 \end{matrix}\}

M_{3×2}(K) = \{(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}) | a_{ij} ∈ K für \begin{matrix}i=1,2,3 \\ j=1,2 \end{matrix}\}

Es ist M_{m×n}(K) ein mn-dimensionaler K-Vektorraum bezüglich komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation

(a_{ij}) + (b_{ij}) := (a_{ij} + b_{ij}) λ(a_{ij}) := (λa_{ij})

Eine Basis bilden die Matrizen e⃗_{ij}, die am Kreuzungspunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte eine 1 haben und sonst nur aus Nullen bestehen. Zum Beispiel für m = n = 2 bilden

e⃗_{11} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , e⃗_{12} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , e⃗_{21} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , e⃗_{22} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

eine Basis von M_{2×2}(K).

4.2 Produkt von Matrizen

Das Produkt A · B zweier Matrizen A, B ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist.

Definition.

Sei A = (a_{ik})\begin{matrix}i=1,...,m \\ k=1,...,n \end{matrix} eine m×n-Matrix und B = (b_{kj})\begin{matrix}k=1,...,n \\ j=1,...ℓ \end{matrix} eine n×ℓ-Matrix.

Dann heißt die Matrix C = (c_{ij})\begin{matrix}i=1,...,m \\ j=1,...,ℓ \end{matrix} mit

\begin{aligned}c_{ij} & := a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ⋯ + a_{in}b_{nj} \\ & = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \end{aligned}

das Produkt von A ∈ M_{m×n}(K) und B ∈ M_{n×ℓ}(K). Es ist C ∈ M_{m×ℓ}(K). Wir schreiben C = A · B oder einfach C = AB.

Bemerkung (Merkregel). Es ist (bezüglich des noch zu definierenden Standardskalarprodukts, vgl. 7.8)

c_{ij} = (a_{i1}, …, a_{in}) · (b_{1j} ; ⋮ ; b_{nj}) für \begin{matrix}i=1,...,m \\ j=1,...,ℓ \end{matrix}

= \underbrace{(i-te Zeile von A)}_{∈M_{1×n}(K)} · \underbrace{(\begin{matrix}j-te \\ Spalte \\ von B \end{matrix})}_{∈M_{n×1}(K)}

Beispiele.

1.

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix})_{3 Spalten}(\begin{matrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})_{3 Zeilen} = (\begin{matrix}1. Zeile mal 1. Spalte, 1. Zeile mal 2. Spalte \\ 2. Zeile mal 1. Spalte, 2. Zeile mal 2. Spalte \end{matrix})

= (\begin{matrix}3 + 5 + 7, & 4 + 6 + 8 \\ 6 + 10 + 14, & 8 + 12 + 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}15 & 18 \\ 30 & 36 \end{matrix})

2.

(\begin{matrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})_{2 Spalten}(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix})_{2 Zeilen} = (\begin{matrix}3 + 8, & 3 + 8, & 3 + 8 \\ 5 + 12, & 5 + 12, & 5 + 12 \\ 7 + 16, & 7 + 16, & 7 + 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}11 & 11 & 11 \\ 17 & 17 & 17 \\ 23 & 23 & 23 \end{matrix})

3.

(\begin{matrix}3 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{matrix})_{3 Spalten}(\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix})_{3 Zeilen} = (\begin{matrix}3 + 5 + 7, & 6 + 10 + 14 \\ 4 + 6 + 8, & 8 + 12 + 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}15 & 30 \\ 18 & 36 \end{matrix})

4.

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{11} · 1 + a_{12} · 0 \\ a_{12} · 1 + a_{22} · 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \end{matrix}) (= 1. Spalte)

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{11} · 0 + a_{12} · 1 \\ a_{12} · 0 + a_{22} · 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \end{matrix}) (= 2. Spalte)

Hierdurch wird eine K-lineare Abbildung f : K^{2} ^{}K^{2} definiert (vgl. 3.18).

5. Produkt von Diagonalmatrizen ∈ M_{n×n}(K). Eine Matrix der Form

(\begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & a_{2} & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & a_{n} \end{matrix}) ∈ M_{n×n}(K)

heißt Diagonalmatrix. Die Multiplikation zweier Diagonalmatrizen ist besonders einfach

(\begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & a_{2} & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & a_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix}b_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & b_{2} & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{1}b_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & a_{2}b_{2} & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & a_{n}b_{n} \end{matrix})

4.3 Transponierte Matrix

Ist A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n}(K), so heißt

tA := (a_{ji}) ∈ M_{n×m}(K)

die zu A transponierte Matrix. Es gelten die Regeln:

1. (A + B)^{t} = ^{t}A +^{t}B für A, B ∈ M_{m×n}(K)

2. (λA)^{t} = λ(^{t}A) für λ ∈ K

3. (^{t}A)^{t} = A für A ∈ M_{m×n}(K)

4. (AB)^{t} = ^{t}B^{t}A für A ∈ M_{m×n}(K), B ∈ M_{n×ℓ}(K) (vgl. Beispiele 4.2 1. und 3.).

Wir erhalten ^{t}A, indem wir die Zeilen von A als Spalten schreiben. Ist speziell m = n, so entsteht ^{t}A durch Spiegelung an der Diagonalen

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) ⟹ ^{t}A = (\begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix})

4.4 Die Matrix M_{B}^{C}(f) einer linearen Abbildung

Seien V, W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume und sei

Hom_{K}(V, W) := {f : V ^{}W | f ist K-linear}

Dann ist Hom_{K}(V, W) ein Teilraum von Abb(V, W), also insbesondere selbst ein K-Vektorraum. Sei dim_{K} V = n und dim_{K} W = m. Wir wählen eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und eine Basis C = (w_{1}, …, w_{m}) von W. Dann ordnen wir jedem f ∈ Hom_{K}(V, W) eine von B und C abhängige Matrix M_{B}^{C}(f) ∈ M_{m×n}(K), genannt Darstellungsmatrix, wie folgt zu: Sei für j = 1, …, n

f(v_{j}) = a_{1j}w_{1} + a_{2j}w_{2} + ⋯ + a_{mj}w_{m}

die gemäß 3.4 eindeutige Basisdarstellung von f(v_{j}) ∈ W. Die Koeffizienten a_{1j}, …, a_{mj} ∈ K schreiben wir nun als j-te Spalte (j = 1, …, n) der Matrix

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix})

Satz. Die Abbildung

M_{B}^{C} : Hom_{K}(V, W) ^{}M_{m×n}(K), f ^{}M_{B}^{C}(f)

ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen.

Beweis. K-Linearität Seien f, g ∈ Hom_{K}(V, W) zwei K-lineare Abbildungen und seien für j = 1, … n

f(v_{j}) = a_{1j}w_{1} + a_{2j}w_{2} + ⋯ + a_{mj}w_{m}
g(v_{j}) = b_{1j}w_{1} + b_{2j}w_{2} + ⋯ + b_{mj}w_{m}

die Basisdarstellungen von f(v_{j}) und g(v_{j}). Es folgt

M_{B}^{C}(f + g) = (a_{ij} + b_{ij}) = (a_{ij}) + (b_{ij}) = M_{B}^{C}(f) + M_{B}^{C}(g)
M_{B}^{C}(λf) = (λa_{ij}) = λ(a_{ij}) = λM_{B}^{C}(f) ∀λ ∈ K

und M_{B}^{C} ist damit K-linear.

Bijektivität Sei A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n}(K). Dann gibt es nach 3.18 genau eine K-lineare Abbildung

f : V ^{}W, mit f(v_{j}) = a_{1j}w_{1} + a_{2j}w_{2} + ⋯ + a_{mj}w_{m}

für j = 1, …, n, also mit A = M_{B}^{C}(f). Dies zeigt, dass M_{B}^{C} bijektiv ist.

Beispiele. Sei

f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2}, (x, y) ^{}(3x − 2y, x + y)

1. Sei B = C = \{(1, 0), (0, 1)\}, dann ist M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}3 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix}), denn

f(1, 0) = (3, 1) und f(0, 1) = (−2, 1).

2. Ist B = \{(1, 0), (0, 1)\} und C = \{(3, 1), (−2, 1)\}, so ist M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

denn f(1, 0) = 1(3, 1) + 0(−2, 1) und f(0, 1) = 0(3, 1) + 1(−2, 1).

4.5 Die Dimension von Hom_{K}(V, W)

Satz. Sind V, W endlich dimensionale Vektorräume, so ist auch Hom_{K}(V, W) endlich dimensional, und es gilt

dim_{K} Hom_{K}(V, W) = (dim_{K} V) · (dim_{K} W)

Beweis. Sei dim_{K} V = n und sei dim_{K} W = m. Dann gibt es nach Satz 4.4 einen Isomorphismus Hom_{K}(V, W) ≃ M_{m×n}(K). Aus Satz 3.21 folgt dann die Behauptung, da dim_{K} M_{m×n}(K) = mn nach 4.1 gilt.

Definition. Sei V ein K-Vektorraum, dann heißt

V^{∗} := Hom_{K}(V, K)

der Dualraum von V.

Ist V endlich dimensional, dann ist auch V^{∗} ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, und für W = K folgt aus Satz 4.5

dim_{K} V^{∗} = dim_{K} Hom_{K}(V, K) = (dim_{K} V) \underbrace{(dim_{K} K)}_{=1} = dim_{K} V

4.6 Die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(id)

Sei V ein K-Vektorraum und B = {v_{1}, …, v_{n}} Basis von V. Dann gehört zur Identität

id : V ^{}V, v ^{}v

die Matrix

M_{B}^{B}(id) = (\begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix}) =: E_{n} ∈ M_{n×n}(K),

denn id(v_{j}) = v_{j} = 1v_{j} für j = 1, …, n. Wir nennen E_{n} auch Einheitsmatrix in M_{n×n}(K).

4.7 Die Darstellungsmatrix M_{A}^{C}(f ∘ g)

Seien U, V, W endlich dimensionale K-Vektorräume,

A = (u_{1}, …, u_{ℓ}) eine Basis von U
B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V
C = (w_{1}, …, w_{m}) eine Basis von W

Sind g : U ^{}V und f : V ^{}W K-linear, so ist auch

f ∘ g : U ^{}W, u ^{}f(g(u))

K-linear, und es gilt:

M_{A}^{C}(f ∘ g) = M_{B}^{C}(f) · M_{A}^{B}(g)

Die Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht der Multiplikation von Matrizen.

Beweis. Es ist

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix}) , M_{A}^{B}(g) = (\begin{matrix}b_{11} & ⋯ & b_{1ℓ} \\ ⋮ & & ⋮ \\ b_{n1} & ⋯ & b_{nℓ} \end{matrix})

M_{A}^{C}(f ∘ g) = (\begin{matrix}c_{11} & ⋯ & c_{1ℓ} \\ ⋮ & & ⋮ \\ c_{m1} & ⋯ & c_{mℓ} \end{matrix})

wobei

(1)  f(v_{k}) = a_{1k}w_{1} + ⋯ + a_{mk}w_{m} für k = 1, …, n
(2)  g(u_{j}) = b_{1j}v_{1} + ⋯ + b_{nj}v_{n} für j = 1, …, ℓ
(3)  (f ∘ g)(u_{j}) = c_{1j}w_{1} + ⋯ + c_{mj}w_{m} für j = 1, …, ℓ

Für j = 1, …, ℓ gilt ferner:

(f ∘ g)(u_{j}) = f(g(u_{j})) =_{(2)} f(b_{1j}v_{1} + ⋯ + b_{nj}v_{n})

= b_{1j}f(v_{1}) + ⋯ + b_{nj}f(v_{n}), da f K-linear

=_{(1)} b_{1j}(a_{11}w_{1} + ⋯ + a_{m1}w_{m}) + ⋯ + b_{nj}(a_{1n}w_{1} + ⋯ + a_{mn}w_{m})

= \underbrace{(a_{11}b_{1j} + ⋯ + a_{1n}b_{nj})}_{c_{1j}} w_{1} + ⋯ + \underbrace{(a_{m1}b_{1j} + ⋯ + a_{mn}b_{nj})}_{c_{mj}} w_{m}

Koeffizientenvergleich mit (3) ergibt:

c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + ⋯ + a_{in}b_{nj} für i = 1, …, m

Nach Definition 4.2 der Matrizenmultiplikation folgt die Behauptung.

4.8 Rechenregeln für lineare Abbildungen

Satz. Sind U, V, W drei K-Vektorräume, so ist die Verknüpfung

Hom_{K}(U, V) × Hom_{K}(V, W) ^{}Hom_{K}(U, W), (g, f) ^{}f ∘ g

assoziativ und bilinear. Letzteres heißt, dass für f, f_{1}, f_{2} ∈ Hom_{K}(V, W), g, g_{1}, g_{2} ∈ Hom_{K}(U, V) und λ ∈ K gilt

f ∘ (g_{1} + g_{2}) = f ∘ g_{1} + f ∘ g_{2}  f ∘ λg = λ(f ∘ g)
(f_{1} + f_{2}) ∘ g = f_{1} ∘ g + f_{2} ∘ g  λf ∘ g = λ(f ∘ g)

Beweis. Assoziativität ist trivial. Für u ∈ U ist

(f ∘ (g_{1} + g_{2}))(u) = f((g_{1} + g_{2})(u)) = f(g_{1}(u) + g_{2}(u))
= f(g_{1}(u)) + f(g_{2}(u))
= (f ∘ g_{1})(u) + (f ∘ g_{2})(u) = (f ∘ g_{1} + f ∘ g_{2})(u)

Die anderen Eigenschaften folgen analog.

Die Rechenregeln für lineare Abbildungen übertragen sich nach 4.4 und 4.7 auf Matrizen.

4.9 Rechenregeln für Matrizen

Sind A, A′ ∈ M_{m×n}(K), B, B′ ∈ M_{n×r}(K), C ∈ M_{r×s}(K) und λ ∈ K, so gelten:

1. (AB)C = A(BC) (Assoziativität)

2. A(B + B′) = AB + AB′ und (A + A′)B = AB + A′B

3. A(λB) = (λA)B = λ(AB)

4. E_{m}A = AE_{n} = A (Neutralität der Einheitsmatrix) (vgl. 4.6)

4.10 Koordinatenabbildung

Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v_{1}, …, v_{n}). Nach 3.4 besitzt jeder Vektor v ∈ V eine eindeutige Darstellung

v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

Wir erhalten hierdurch einen Isomorphismus

k_{B} : V ^{}K^{n}, v ^{}(λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n})

und nennen diesen Koordinatenabbildung von V bezüglich B. (k_{B} ist bijektiv nach Aufgabe 18, weil

k_{B}(v_{1}) = (1 0 ⋮ 0) , …, k_{B}(v_{n}) = (0 ⋮ 0 1)

eine Basis von K^{n} bilden.) Der Wahl einer Basis von V entspricht also der Wahl eines Isomorphismus V ^{∼}^{}K^{n}.

4.11 Die zu einer Matrix gehörende Standardabbildung

Sei A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n}(K). Dann erhalten wir eine K-lineare Abbildung

g : K^{n} ^{}K^{m}, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}A · (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

genannt Standardabbildung zur Matrix A. Dabei ist

A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix}) (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

=_{4.2} (\begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} \end{matrix}) ∈ M_{m×1}(K)

Insbesondere gilt für den j-ten Standardbasisvektor von K^{n}

e_{j} = (0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0) ^{}j-te Zeile

dass

Ae_{j} = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj}) = j-te Spalte von A für j = 1, …, n

Regel: Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standardbasisvektoren.

Bemerkung. Es ist A = M_{B}^{C}(g), wobei B die Standardbasis von K^{n} und C die Standardbasis von K^{m} ist.

Beispiel.

Sei f : K^{3} ^{}K^{2} gegeben durch die Matrix (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) bezüglich den

Standardbasen von K^{2} und K^{3}. Dann ist (in Spaltenschreibweise)

f (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ 4 \end{matrix}) , f (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix}) , f (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 \\ 6 \end{matrix})

Insbesondere wird bild(f) von \{\binom{1}{4}, \binom{2}{5}, \binom{3}{6}\} erzeugt.

4.12 Faktorisierung einer linearen Abbildung

Satz. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = {v_{1}, …, v_{n}}, W ein K-Vektorraum mit Basis C = {w_{1}, …, w_{m}} und f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung. Ist g die Standardabbildung zur Matrix M_{B}^{C}(f), so ist das Diagramm

[figure: V; f; W; K^{n}; k_{B} ≃; g; K^{m}; ≃ k_{C}]

kommutativ d.h. es ist

g ∘ k_{B} = k_{C} ∘ f

Beweis. Für j = 1, …, n ist

(g ∘ k_{B})(v_{j}) = g(k_{B}(v_{j}))  nach Def. von ∘
= g(e_{j})  nach 4.10
= j-te Spalte von M_{B}^{C}(f)  nach 4.11

Ist

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix}) mit f(v_{j}) = a_{1j}w_{1} + ⋯ + a_{mj}w_{m} (vgl. 4.4)

dann folgt für j = 1, …, n

(k_{C} ∘ f)(v_{j}) = k_{C}(f(v_{j}))  nach Def. von ∘
= k_{C}(a_{1j}w_{1} + ⋯ + a_{mj}w_{m})  nach 4.4
= a_{1j}k_{C}(w_{1}) + ⋯ + a_{mj}k_{C}(w_{m})  da k_{C} K-linear
= a_{1j}e_{1} + ⋯ + a_{mj}e_{m}  nach 4.10
= j-te Spalte von M_{B}^{C}(f)

Hierbei ist

e_{1} = (1 0 ⋮ 0) , …, e_{m} = (0 ⋮ 0 1)

die Standardbasis des K^{m}.

4.13 Invertierbare Matrizen

Eine Matrix A ∈ M_{n×n}(K) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ M_{n×n}(K) gibt mit

BA = E_{n}

Lemma. Ist A ∈ M_{n×n}(K) invertierbar, so ist die Standardabbildung K^{n} ^{}K^{n}, x⃗ ^{}Ax⃗, bijektiv.

(Dabei wird der Vektor x⃗ = (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) mit x_{1}, …, x_{n} ∈ K als Spalte geschrieben.)

Beweis. Ist Ax⃗ = 0, so folgt x⃗ = E_{n}x⃗ = BAx⃗ = 0. Die Standardabbildung K^{n} ^{}K^{n} ist also injektiv und daher nach 3.23 bijektiv.

Satz. Ist A ∈ M_{n×n}(K) invertierbar und BA = E_{n}, so ist AB = E_{n}, und B ist eindeutig bestimmt.

Beweis. Nach dem Lemma ist die Standardabbildung

K^{n} ^{}K^{n} x⃗ ^{}Ax⃗

surjektiv. Also gibt es zu jedem y⃗ ∈ K^{n} ein x⃗ ∈ K^{n} mit

y⃗ = Ax⃗ = A(BA)x⃗ = (AB)Ax⃗ = ABy⃗

wobei das zweite Gleichheitszeichen nach Voraussetzung gilt. Die Standardabbildung zur Matrix AB ist also die Identität id, und hieraus folgt für die Standardbasis B von K^{n}, dass AB = M_{B}^{B}(id) = E_{n} nach 4.11 und 4.6 gilt. Ist C ∈ M_{n×n}(K) eine weitere Matrix mit CA = E_{n}, so folgt (CA)B = E_{n}B = B, also C = B, da AB = E_{n} gilt.

Bemerkung. Nach dem Satz gibt es zu jeder invertierbaren Matrix A ∈ M_{n×n}(K) genau eine Matrix A^{−1} ∈ M_{n×n}(K) mit A^{−1}A = E_{n} = AA^{−1}. Wir nennen A^{−1} die zu A inverse Matrix.

Die Matrix

T = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) ist invertierbar mit T^{−1} = \frac{1}{13} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −8 & 5 \end{matrix})

denn es ist

\frac{1}{13} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −8 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E_{2}

Regel: Ist T = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) und det(T) := ad − bc ≠ 0, dann folgt

T^{−1} = \frac{1}{det(T)} (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix})

Ist det(T) = 0, dann gibt es keine inverse Matrix (vgl. 6.7 unten).

4.14 Basiswechsel in V

Beispiel. Sei V = ℝ^{2} und B = {(1, 0), (0, 1)}. Der Wechsel von B zur Basis B′ = {(5, 8), (−1, 1)} wird beschrieben durch die Matrix

T := M_{B′}^{B}(id) = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix})

denn

(5, 8) = 5(1, 0) + 8(0, 1)
(−1, 1) = −1(1, 0) + 1(0, 1) (vgl. 4.4)

Es ist

T^{−1} = \frac{1}{13} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −8 & 5 \end{matrix}) = M_{B}^{B′}(id)

Satz. Sei V ein K-Vektorraum, und seien B = {v_{1}, …, v_{n}} und B′ = {v′_{1}, …, v′_{n}} zwei Basen von V. Dann ist T := M_{B′}^{B}(id) ∈ M_{n×n}(K) invertierbar, und es ist T^{−1} = M_{B}^{B′}(id).

Beweis. Es ist

M_{B}^{B′}(id) · M_{B′}^{B}(id) =_{4.7} M_{B′}^{B′}(id) =_{4.6} E_{n}

Wir nennen T = M_{B′}^{B}(id) die Matrix des Basiswechsels von B nach B′ .

4.15 Basiswechsel und Darstellungsmatrix

Seien V, W endlich dimensionale K-Vektorräume, B, B′ zwei Basen von V und C, C′ zwei Basen von W. Ist T := M_{B′}^{B}(id_{V}) und S := M_{C′}^{C}(id_{W}), so gilt

M_{B′}^{C′}(f) = S^{−1} M_{B}^{C}(f) T

für jede K-lineare Abbildung f : V ^{}W.

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Beweis. Nach 4.14 ist S^{−1} = M_{C}^{C′}(id_{W}). Es folgt

S^{−1} M_{B}^{C}(f) T = (M_{C}^{C′}(id_{W}) M_{B}^{C}(f))M_{B′}^{B}(id_{V})

=_{4.7} M_{B}^{C′}(f) M_{B′}^{B}(id_{V})

=_{4.7} M_{B′}^{C′}(f)

4.16 Spezialfall

Folgerung. Ist speziell V = W, dann folgt aus 4.15 für B = C und B′ = C′

M_{B′}^{B′}(f) = T^{−1} M_{B}^{B}(f) T

4.17 Beispiel zu 4.15

Sei

f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} (x, y) ^{}(3x − 2y, x + y)

und B = C die Standardbasis, B′ = {(5, 8), (−1, 1)}, C′ = {(0, 1), (1, 1)}. Damit ist

\begin{aligned}f(5, 8) & = & (−1, 13) & = & 14(0, 1) + (−1)(1, 1) \\ f(−1, 1) & = & (−5, 0) & = & 5(0, 1) + (−5)(1, 1) \end{aligned}

also

M_{B′}^{C′}(f) = (\begin{matrix}14 & 5 \\ −1 & −5 \end{matrix}) = S^{−1}M_{B}^{C}(f) T

mit

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}3 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix})  T = M_{B′}^{B}(id) = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix})
S = M_{C′}^{C}(id) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})  S^{−1} = M_{C}^{C′}(id) = (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Probe

S^{−1}M_{B}^{C}(f) T = (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix}−2 & 3 \\ 3 & −2 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}14 & 5 \\ −1 & −5 \end{matrix}) = M_{B′}^{C′}(f)

4.18 Eine geschickte Basiswahl

Satz. Seien V, W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung. Dann gibt es Basen B von V und C von W so, dass gilt

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}E_{r} & ⋮ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & ⋮ & 0 \end{matrix}) mit r = dim_{K} bild f

Hierbei ist M_{B}^{C}(f) in Blöcken dargestellt. Es ist E_{r} die (r×r)-Einheitsmatrix, und 0 jeweils die Nullmatrix mit passendem Format.

Beweis. Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V so gewählt, dass f(v_{1}) = w_{1}, …, f(v_{r}) = w_{r} eine Basis von bild f bilden. Ergänze diese Basis zu einer Basis C = (w_{1}, …, w_{m}) von W. Sei (u_{1}, …, u_{s}) eine Basis von kern f. Nach Lemma 3.22 bildet B = (v_{1}, …, v_{r}, u_{1}, …, u_{s}) eine Basis von V und M_{B}^{C}(f) hat die angegebene Gestalt.

4.19 Matrizentheoretische Formulierung

Folgerung. Sei A ∈ M_{m×n}(K) und r die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A. Dann gibt es invertierbare Matrizen S ∈ M_{m×m}(K) und T ∈ M_{n×n}(K) so, dass gilt

S^{−1}AT = (\begin{matrix}E_{r} & ⋮ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & ⋮ & 0 \end{matrix})

Beweis. Sei B eine Basis von K^{n} und C eine Basis von K^{m}. Nach 4.4 gibt es eine K-lineare Abbildung f : K^{n} ^{}K^{m} so, dass A = M_{B}^{C}(f). Nach 4.18 gibt es Basen B′ von K^{n} und C′ von K^{m} so, dass gilt

M_{B′}^{C′}(f) = (\begin{matrix}E_{r} & ⋮ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & ⋮ & 0 \end{matrix})

Mit T := M_{B′}^{B}(id_{K^{n}}) und S := M_{C′}^{C}(id_{K^{m}}) folgt S^{−1}AT = M_{B′}^{C′}(f) nach 4.14 und 4.15.

4.20 Rang einer Matrix

Definition. Der Rang einer Matrix A ∈ M_{m×n}(K) (auch Spaltenrang genannt) ist die Dimension des von den Spalten von A erzeugten Teilraumes von K^{m}.

Bemerkung. Für die Matrix M_{B}^{C}(f) einer K-linearen Abbildung f : V ^{}W gilt

rang M_{B}^{C}(f) = dim_{K} bild(f)

Beweis. Nach 4.12 gilt f = k_{C}^{−1} ∘ g ∘ k_{B}, wobei k_{C} und k_{B} Isomorphismen sind und g : K^{n} ^{}K^{m} die zu M_{B}^{C}(f) gehörige Standardabbildung ist. Es gilt also dim_{K} bild(f) = dim_{K} bild(g). Nach 4.11 wird aber bild(g) von den Spalten von M_{B}^{C}(f) erzeugt.

Wie in Bemerkung 3.22 definieren wir: rang(f) := dim_{K} bild(f)

4.21 Rang und Invertierbarkeit

Korollar. Sei A ∈ M_{n×n}(K). Dann gilt

A ist invertierbar ⟺ rang A = n

Beweis. ⟹ Sei A invertierbar, dann ist die Standardabbildung

g : K^{n} ^{}K^{n}, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

nach Lemma 4.13 bijektiv. Also ist rang A = n, da nach 4.11 bild(g) von den Spalten von A erzeugt wird.

⟸ Sei rang A = n. Dann gibt es nach 4.19 invertierbare Matrizen S, T ∈ M_{n×n}(K) mit S^{−1}AT = E_{n}. Sei B := T S^{−1}, dann folgt

BA = T S^{−1}A = T S^{−1}AT T^{−1} = T E_{n}T^{−1} = T T^{−1} = E_{n}

Also ist A invertierbar.

4.22 Die allgemeine lineare Gruppe

Satz.

1. Die Menge der invertierbaren Matrizen

GL_{n}(K) := {A ∈ M_{n×n}(K) | A ist invertierbar}

ist eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation.

2. Ist V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, so ist

GL(V) := {f : V ^{}V | f ist ein Isomorphismus}

eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen.

3. Ist B eine Basis von V, dann ist die Abbildung

M_{B}^{B} : GL(V) ^{}GL_{n}(K), f ^{}M_{B}^{B}(f)

ein Isomorphismus von Gruppen. Beweis. 1. Sind A, B ∈ GL_{n}(K), dann ist auch AB ∈ GL_{n}(K), denn

B^{−1}A^{−1} ist ein inverses Element

(B^{−1}A^{−1})AB = B^{−1}(A^{−1}A)B = B^{−1}B = E_{n}

Insbesondere gilt (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}. Die Matrizenmultiplikation liefert damit eine Verknüpfung

GL_{n}(K) × GL_{n}(K) ^{}GL_{n}(K)

Zu zeigen bleibt die Gültigkeit der Gruppenaxiome (vgl. 2.2). • Es ist (AB)C = A(BC) nach 4.9.

• E_{n} ist neutrales Element, da E_{n}A = A ∀A ∈ GL_{n}(K).

• Zu jedem A ∈ GL_{n}(K) gibt es ein Inverses A^{−1} mit A^{−1}A = E_{n}

nach Definition von GL_{n}(K).

2. Sind f, g ∈ GL(V), dann ist auch f ∘ g ∈ GL(V).

• (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) gilt, da die Hintereinanderausführung von Abbildungen assoziativ ist.

• Neutrales Element ist die Identität.

• Die Existenz eines Inversen ergibt sich aus Bemerkung 3.20.

3. Seien f, g ∈ GL(V), dann gilt nach 4.7

M_{B}^{B}(f ∘ g) = M_{B}^{B}(f) M_{B}^{B}(g)

d.h., M_{B}^{B} ist ein Gruppenhomomorphismus. Nach Satz 4.4 gibt es zu jeder Matrix A ∈ GL_{n}(K) genau eine Abbildung f ∈ Hom_{K}(V, V) mit M_{B}^{B}(f) = A. Es ist aber dann f ∈ GL(V), denn die Umkehrabbildung f^{−1} ergibt sich als Urbild von A^{−1}, da E_{n} =_{4.6} M_{B}^{B}(id) gilt. Daher ist M_{B}^{B} auch bijektiv und damit ein Gruppenisomorphismus.

4.23 Die Transponierte einer invertierbaren Matrix

Bemerkung. Sei A ∈ GL_{n}(K). Dann ist auch die transponierte Matrix ^{t}A in GL_{n}(K) und es gilt

(^{t}A)^{−1} = ^{t}(A^{−1})

Beweis. Es ist

t(A^{−1}) ^{t}A =_{4.3} ^{t}(AA^{−1}) = E_{n}^{t} = E_{n}

4.24 Der Zeilenrang von Matrizen

Definition. Sei A ∈ M_{m×n}(K). Der Zeilenrang von A ist die Dimension des von den Zeilen erzeugten Teilraumes von K^{n}.

Satz. Sei A ∈ M_{m×n}(K). Dann gilt

Spaltenrang von A = Zeilenrang von A

Beweis. Nach 4.19 gibt es invertierbare Matrizen R ∈ M_{m×m}(K) und T ∈ M_{n×n}(K) so, dass

RAT = (\begin{matrix}E_{r} & ⋮ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & ⋮ & 0 \end{matrix})

Wir zeigen zunächst, dass Spaltenrang von A = Spaltenrang von RAT gilt. Bezeichnet g_{B} die zur Matrix B gehörige Standardabbildung, so gilt

rang B = dim_{K} bild(g_{B}) =: rang(g_{B})

nach 4.11 und 4.20. Es sind g_{T} : K^{n}  ^{}K^{n} und g_{R} : K^{m}  ^{}K^{m}

Isomorphismen nach Lemma 4.13, und g_{R} vermittelt eine injektive K-lineare Abbildung bild(g_{A}) ^{}K^{m}. Es folgt rang(g_{R} ∘ g_{A} ∘ g_{T}) = rang(g_{A}) und daher rang(RAT) = rang A nach 4.11 und 4.7. Nun folgt

Spaltenrang von A = Spaltenrang von RAT (eben gezeigt)

= Spaltenrang von ^{t}(RAT) (offensichtlich) = Spaltenrang von ^{t}T ^{t}A ^{t}R (nach 4.3) = Spaltenrang von ^{t}A (eben gezeigt) = Zeilenrang von A (nach Definition von ^{t}A in 4.3 )

4.25 Übungsaufgaben 22 – 30

Aufgabe 22. Es sei V der Vektorraum aller 3 × 3-Matrizen über einem Körper K. Man zeige, dass die Abbildung

f : V → K, (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) ↦ a_{11} + a_{22} + a_{33} ,

K-linear ist, und konstruiere eine Basis von kern(f).

Aufgabe 23.

(a) Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume, B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und C = (w_{1}, …, w_{m}) eine Basis von W und f : V → W eine K-lineare Abbildung. Man zeige, dass der von den Spalten von M_{B}^{C}(f) erzeugte Teilraum von K^{m} isomorph zu bild(f) ist.

(b) Sei f : K^{3} → K^{2} die Standardabbildung zur Matrix (\begin{matrix}3 & 2 & −1 \\ 7 & 5 & 6 \end{matrix}). Man

bestimme jeweils eine Basis von bild(f) und kern(f).

Aufgabe 24. Für die ℝ-lineare Abbildung

f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ (x_{1} − x_{2} + x_{3}, −6x_{2} + 12x_{3}, −2x_{1} + 2x_{2} − 2x_{3})

berechne man die Matrix M_{B}^{C}(f), falls

(a) B = C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

(b) B = C = {(−1, 0, 1), (−1, 2, 1), (−2, 0, 4)}.

Aufgabe 25. Eine K-lineare Abbildung f : V → V heißt Projektion, falls f ∘ f = f gilt. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine Projektion, für die (1, 2) ∈ kern(f) und (1, −1) ∈ bild(f) gelte. Man berechne die Matrix M_{B}^{C}(f), falls

(a) B = C = {(1, 0), (0, 1)}

(b) B = C = {(1, 2), (1, −1)}.

Aufgabe 26. Sei V^{∗} = Hom_{K}(V, K) der Dualraum von V. Für j = 1, …, n sei v_{j}^{∗} ∈ V^{∗} definiert durch

v_{j}^{∗}(v_{k}) = \begin{cases}1, & falls k = j \\ 0, & falls k ≠ j \end{cases} für k = 1, …, n. Man zeige:

(a) B^{∗} = (v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}) ist eine Basis von V^{∗}.

(b) Ist f : V → W eine K-lineare Abbildung, so ist die Abbildung

tf : W^{∗} → V^{∗}, α ↦ α ∘ f ,

ebenfalls K-linear.

(c) Ist A = M_{B}^{C}(f), so gilt ^{t}A = M_{C^{∗}}^{B^{∗}}(^{t}f) für die transponierte Matrix ^{t}A.

Aufgabe 27. Gegeben seien die Basen B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} und

B′ = {(3, −1, 0), (−1, −1, 1), (−3, 2, −1)}

von ℝ^{3} sowie die ℝ-lineare Abbildung f : ℝ^{3} → ℝ^{3},

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ (−5x_{1} − 18x_{2} − 24x_{3}, 4x_{1} + 13x_{2} + 16x_{3}, −2x_{1} − 6x_{2} − 7x_{3}).

(a) Man berechne die Matrizen M_{B}^{B}(f) und M_{B′}^{B′}(f) .

(b) Man berechne die Matrizen M_{B′}^{B}(id) und M_{B}^{B′}(id) .

(c) Man verifiziere die Gleichung M_{B′}^{B′}(f) = M_{B}^{B′}(id) · M_{B}^{B}(f) · M_{B′}^{B}(id) .

Aufgabe 28. Gegeben seien die Basen

B = {(17, −25, 1), (0, 1, 0), (16, 0, 1)} und B′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (16, 2, 1)}

von ℝ^{3} sowie die Basen C = {(1, 0), (0, 1)} und C′ = {(3, 7), (2, 5)} von ℝ^{2}.

Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{2} eine R-lineare Abbildung mit der Matrix

M_{B}^{C}(f) = (\begin{matrix}3 & 2 & −1 \\ 7 & 5 & 6 \end{matrix}) .

(a) Man berechne die Matrizen S := M_{C′}^{C}(id_{ℝ^{2}}) , T := M_{B′}^{B}(id_{ℝ^{3}}) und M_{B′}^{C′}(f) .

(b) Man verifiziere die Gleichung M_{B′}^{C′}(f) = S^{−1} · M_{B}^{C}(f) · T .

Aufgabe 29. Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{3} eine R-lineare Abbildung mit der Matrix M_{B}^{B}(f) =

(\begin{matrix}0 & 2 & −1 \\ −3 & −2 & 4 \\ −2 & 0 & 2 \end{matrix}) bezüglich der Standardbasis B = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}

von ℝ^{3}. Man berechne die Matrix M_{B′}^{B′}(f) für die Basis

B′ = {(2, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 3)} .

Aufgabe 30.

(a) Sei f : V → V eine K-lineare Abbildung, und seien B , B′ zwei Basen von V. Man zeige:

M_{B}^{B′}(f) ∈ GL_{n}(K) ⟺ f ist ein Isomorphismus.

(b) Man zeige: Die Abbildung M_{B}^{B} : GL(V) → GL_{n}(K), f ↦ M_{B}^{B}(f), ist ein Isomorphismus von Gruppen.

5 Lineare Gleichungssysteme

Sei A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n}(K) und b⃗ = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m}) ∈ K^{m}. Gesucht sind alle Vektoren

x⃗ = (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ∈ K^{n}, für die gilt

Ax⃗ = b⃗

oder ausführlich (gemäß Definition 4.2 der Matrizenmultiplikation für Ax⃗)

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Wir nennen Ax⃗ = b⃗ ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten x_{1}, …, x_{n}.

5.1 Beispiele

1. Das System Ax⃗ = 0 heißt homogenes lineares Gleichungssystem. Die

Menge der Lösungen ist der Kern der Standardabbildung

K^{n} ^{}K^{m}, x⃗ ^{}Ax⃗

Insbesondere ist Ax⃗ = 0 lösbar, da 0 ∈ K^{n} stets eine Lösung ist.

2. Sei K = ℝ. Das System

\begin{aligned}\sqrt{3}x_{1} & − & 3x_{2} & = & 0 \\ x_{1} & − & \sqrt{3}x_{2} & = & 1 \end{aligned}

besitzt keine Lösung (vgl. Aufgabe 3c).

5.2 Lösbarkeitskriterien

Seien A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n}(K) und f : K^{n} ^{}K^{m}, x⃗ ^{}Ax⃗ , die zugehörige Standardabbildung. Dann gelten

1. Äquivalent sind (a) Das System Ax⃗ = b⃗ ist lösbar, d.h. hat mindestens eine Lösung (b) b⃗ ∈ bild f

(c) rang (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix}) = rang ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

”Rang von A = Rang der um b⃗ erweiterten Matrix (A|b⃗).“

2. Äquivalent sind (a) Ax⃗ = b⃗ ist universell lösbar, d.h. für jedes b⃗ ∈ K^{m} lösbar.

(b) f ist surjektiv

(c) rang A = m

3. Äquivalent sind (a) Ax⃗ = b⃗ ist eindeutig lösbar, d.h. hat genau eine Lösung

(b) rang A = n = rang (A|b⃗)

4. Falls m = n (n Gleichungen und n Unbekannte), dann sind äquivalent

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(a) Ax⃗ = b⃗ ist eindeutig lösbar

(b) rang A = n

In diesem Fall ist x⃗ = A^{−1}b⃗ die Lösung.

5. Ist m < n (weniger Gleichungen als Unbekannte), so hat das homogene System Ax⃗ = 0 stets eine Lösung ≠ 0 (nicht triviale Lösung).

Beweis. zu 1., 2. 1. und 2. gelten, weil bild(f) von den Spalten von A erzeugt wird (vgl. 4.11) und also

dim_{K} bild(f) = rang A

ist (vgl. 4.20).

zu 3. Wenn das System Ax⃗ = b⃗ lösbar ist, so gilt

Ax⃗ = b⃗ ist eindeutig lösbar ⟺ kern(f) = {0}

”⟹“ z⃗ ∈ kern(f) ⟹ A(x⃗ + z⃗) = Ax⃗ + Az⃗ = b⃗ +0. Damit ist z⃗ = 0,

da wir sonst zwei verschiedene Lösungen hätten. ”⟸“ kern(f) = {0} ⟹_{Satz 3.19} f injektiv ⟹ Eindeutigkeit

3. folgt nun aus 1. und der Formel

n =_{3.22} dim_{K} kern(f) + rang A

zu 4. Da m = n ist gilt

rang A = n ⟺_{4.21} A invertierbar

zu 5.

m < n ⟹ dim_{K} bild(f) < n

⟹ dim_{K} kern f > 0, da n =_{3.22} dim_{K} kern(f) + dim_{K} bild(f) ⟹ Behauptung folgt nach 5.1 1.

5.3 Die Menge der Lösungen

Sei A ∈ M_{m×n}(K) und f : K^{n} ^{}K^{m}, x⃗ ^{}Ax⃗. Das System Ax⃗ = b⃗ sei lösbar. Wenn x⃗_{0} ∈ K^{n} irgendeine Lösung ist, so ist

x⃗_{0} + kern f := {x⃗_{0} + x⃗ | x⃗ ∈ kern f}

die Menge aller Lösungen des Systems; sie ist im allgemeinen kein Teilraum von K^{n}, aber ein sogenannter ”affiner Unterraum“. Insbesondere ist ein lösbares Gleichungssystem Ax⃗ = b⃗ genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System Ax⃗ = 0 nur die triviale Lösung x⃗ = 0 hat (und in diesem Fall gilt: Anzahl der Gleichungen ≥ Anzahl der Unbekannten nach 5.2 5.).

Beweis. Ist x⃗_{1} ∈ K^{n} eine Lösung, dann folgt

A(x⃗_{1} − x⃗_{0}) = Ax⃗_{1} − Ax⃗_{0} = b⃗ − b⃗ = 0
⟹ x⃗_{1} − x⃗_{0} ∈ kern f ⟹ x⃗_{1} ∈ x⃗_{0} + kern f

Ist umgekehrt x⃗_{1} ∈ x⃗_{0} + kern f, also x⃗_{1} = x⃗_{0} + x⃗ mit x⃗ ∈ kern f, dann gilt

Ax⃗_{1} = A(x⃗_{0} + x⃗) = Ax⃗_{0} + Ax⃗ = b⃗ + 0 = b⃗

Beispiel. Zu lösen ist das System

−x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = −2
3x_{1} + −8x_{2} + −2x_{3} = 4
x_{1} +  + 4x_{3} = −2

Methode: Es ist

(A|b⃗) = ( \begin{matrix}−1 & 2 & 1 & −2 \\ 3 & −8 & −2 & 4 \\ 1 & 0 & 4 & −2 \end{matrix} ) Addiere das 3-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile Addiere die 1. Zeile zur 3. Zeile

M_{1} := ( \begin{matrix}−1 & 2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 1 & −2 \\ 0 & 2 & 5 & −4 \end{matrix} ) Addiere die 2. Zeile zur 3. Zeile

M_{2} := ( \begin{matrix}−1 & 2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 6 & −6 \end{matrix} )

Es folgt

6x_{3} = −6 ⟹ x_{3} = −1
⟹  −2x_{2} − 1 = −2 ⟹ x_{2} = 1/2
⟹  −x_{1} + 2\frac{1}{2} + 1(−1) = −2 ⟹ x_{1} = 2

5.4 Elementare Umformungen einer Matrix

Sei A ∈ M_{m×n}(K). Eine elementare Zeilenumformung von A ist einer der folgenden Vorgänge:

I) Vertauschung zweier Zeilen

II) Multiplikation einer Zeile mit einem λ ∈ K^{⋆} = K \ {0}

III) Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, λ ∈ K

Entsprechend ist eine elementare Spaltenumformung definiert.

Bemerkung. Elementare Umformungen ändern den Rang einer Matrix nicht (vgl. Aufgabe 32a).

5.5 Elementare Umformungen und die Lösungsmenge

Bemerkung. Sei A ∈ M_{m×n}(K) und b⃗ ∈ K^{m}. Geht die Matrix (A|b⃗) durch elementare Zeilentransformationen in die Matrix (A′|b⃗′) über, so haben die linearen Gleichungssysteme Ax⃗ = b⃗ und A′x⃗ = b⃗′ dieselbe Lösungsmenge.

Beweis. Elementare Zeilenumformungen von (A|b⃗) bewirken, dass zwei Gleichungen vertauscht werden (I), eine Gleichung mit λ ≠ 0 multipliziert wird (II) oder ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addiert wird (III). Die Lösungen von Ax⃗ = b⃗ sind also auch Lösungen von A′x⃗ = b⃗′. Da man die genannten Vorgänge auch durch ebensolche wieder rückgängig machen kann, sind die Lösungen von A′x⃗ = b⃗′ auch die Lösungen des Systems Ax⃗ = b⃗.

Elementare Spaltenumformungen verändern die Lösungsmenge. Spaltenvertauschungen kann man zur Lösung benutzen, muss aber dann die Unbekannten entsprechend umnummerieren.

5.6 Gaußscher Algorithmus (m = n = rang A)

Sei A ∈ M_{n×n}(K) und rang A = n. In diesem Fall ist das lineare Gleichungssystem Ax⃗ = b⃗ eindeutig lösbar (vgl. 5.2 4.), und in jeder Spalte von A gibt es ein Element ungleich Null.

1. Schritt Wir starten mit der Matrix (A|b⃗) und erreichen durch Zeilenvertauschungen (falls nötig) dass a_{11} ≠ 0 ist. Addiere das −\frac{a_{i1}}{a_{11}} -fache der ersten Zeile zur i-ten Zeile für i = 2, …, n. Wir erhalten eine Matrix der Form

( \begin{matrix}a_{11}^{∗} & a′_{12} & ⋯ & a′_{1n} & b′_{1} \\ 0 & a′_{22} & ⋯ & a′_{2n} & b′_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a′_{n1} & ⋯ & a′_{nn} & b′_{n} \end{matrix} )

2. Schritt Durch eventuelle Zeilenvertauschung mit einer Zeile, die ungleich der 1. Zeile ist (beachte: rang A = n), stellen wir sicher, dass a′_{22} ≠ 0 ist. Addieren wir nun das −\frac{a′_{i2}}{a′_{22}} -fache der 2. Zeile zur i-ten Zeile für jedes i ≠ 2, dann ergibt sich eine Matrix der Form

( \begin{matrix}a_{11}^{∗} & 0 & a′′_{13} & ⋯ & a′′_{1n} & b′′_{1} \\ 0 & a_{22}^{∗} & a′′_{23} & ⋯ & a′′_{2n} & b′′_{2} \\ 0 & 0 & a′′_{33} & ⋯ & a′′_{3n} & b′′_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & a′′_{n3} & ⋯ & a′′_{nn} & b′′_{n} \end{matrix} )

Wir iterieren nun dieses Verfahren. Da rang A = n ist, können wir im k-ten Schritt stets durch eventuelle Zeilenvertauschung unter den Zeilen k, …, n erreichen, dass das Element an der Stelle (k, k) ungleich Null ist. Schließlich ergibt sich eine Matrix der Form

( \begin{matrix}a_{11}^{∗} & 0 & ⋯ & 0 & b_{1}^{∗} \\ 0 & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{nn}^{∗} & b_{n}^{∗} \end{matrix} )

Nach 5.5 ist die Lösung von Ax⃗ = b⃗ gegeben durch

x_{i} = \frac{b_{i}^{∗}}{a_{ii}^{∗}} ∀i = 1, …, n

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

5.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix

Sei A ∈ GL_{n}(K). Dann ist rang A = n (vgl. 4.21). Wenden wir die Umformungen aus 5.6 auf A an und multiplizieren am Schluss die i-te Zeile mit 1/a_{ii}^{∗}, so erhalten wir die Einheitsmatrix E_{n}

(\begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix})

Wir erhalten nun A^{−1}, indem wir alle elementaren Umformungen, die A in E_{n} überführt haben, in derselben Reihenfolge auf E_{n} anwenden.

Beispiel.

A = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) ^{Z_{2}− \frac{8}{5} Z_{1}}^{}(\begin{matrix}5 & −1 \\ 0 & \frac{13}{5} \end{matrix}) ^{Z_{1}+ \frac{5}{13} Z_{2}}^{}(\begin{matrix}5 & 0 \\ 0 & \frac{13}{5} \end{matrix}) \begin{matrix}\frac{1}{5} Z_{1} \\ \frac{5}{13} Z_{2} \end{matrix}^{}(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E_{2}

E_{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ^{Z_{2}− \frac{8}{5} Z_{1}}^{}(\begin{matrix}1 & 0 \\ −\frac{8}{5} & 1 \end{matrix}) ^{Z_{1}+ \frac{5}{13} Z_{2}}^{}(−\frac{8}{5} 1^{\frac{5}{13} \frac{5}{13}}) \begin{matrix}\frac{1}{5} Z_{1} \\ \frac{5}{13} Z_{2} \end{matrix}^{}(−\frac{8}{13} \frac{5}{13}^{\frac{1}{13} \frac{1}{13}}) = A^{−1}

(vgl. 4.13)

5.8 Gaußscher Algorithmus

Sei A ∈ M_{m×n}(K). Um das System Ax⃗ = b⃗ zu lösen, führen wir solange elementare Zeilenumformungen der Matrix (A|b⃗) durch, bis die Gestalt

( \begin{matrix}a′_{11} & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & b′_{1} \\ 0 & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ & ⋮ & & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & a′_{ℓℓ} & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ∗ & ⋯ & ∗ & ⋮ \\ ⋮ & & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ∗ & ⋯ & ∗ & b′_{m} \end{matrix} ) mit a′_{ii} ≠ 0 für i = 1, …, ℓ

erreicht ist. Durch Vertauschung der Spalten ℓ + 1, …, n können wir das Verfahren fortsetzen, müssen dann aber die Unbekannten entsprechend umnummerieren. Schließlich erhalten wir eine Matrix der Form

( \begin{matrix}a′′_{11} & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & b′′_{1} \\ 0 & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ & ⋮ & & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & a′′_{kk} & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & b′′_{k} \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & b′′_{k+1} \\ ⋮ & & & ⋮ & ⋮ & & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & b′′_{m} \end{matrix} ) mit a′′_{ii} ≠ 0 für i = 1, …, k

Der Rang von A und die Lösbarkeit des Systems lassen sich nun einfach ablesen: rang A = k, und Ax⃗ = b⃗ ist lösbar genau dann, wenn b′′_{k+1} = ⋯ = b′′_{m} = 0 (vgl. 5.2 1.).

Beispiel. Sei

A = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}) und b⃗ = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Es folgt

(A|b⃗) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{matrix} ) ^{Z_{1}↔Z_{3}}^{}( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) ^{Z_{2}−Z_{1}}^{}( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

[figure: S_{2}↔S_{3}; ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ); Z_{3}+Z_{2}; ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )]

Es folgt, dass rang A = 2 und rang(A|b⃗) = 3 ist. Das System ist deshalb nach 5.2 1. nicht lösbar.

5.9 Übungsaufgaben 31 – 35

Sofern nicht anders vermerkt, beziehen sich die folgenden Aufgaben auf den Körper ℝ.

Aufgabe 31. Problem aus einem Altchinesischen Mathematikbuch: Wieviele Hähne, Hennen und Küken kann man für 100 Münzen kaufen, wenn man insgesamt 100 Vögel haben will, und ein Hahn 5 Münzen, eine Henne 3 Münzen und drei Küken 1 Münze kosten? Die 100 Münzen sollen hierbei vollständig verbraucht werden.

Man stelle ein passendes lineares Gleichungssystem auf und gebe eine Lösung dieses Systems an, die auch das Problem löst. Man ermittle dann die Menge aller Lösungen des Systems.

Aufgabe 32. Sei K ein beliebiger Körper. Man zeige:

a) Geht eine Matrix B ∈ M_{m×n}(K) durch elementare Umformungen aus einer Matrix A ∈ M_{m×n}(K) hervor, so gilt rang(B) = rang(A).

b) Jede m × n-Matrix kann durch elementare Umformungen in eine m × n-Matrix der Form

C = (\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & … & c_{1r} & … & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & … & c_{2r} & … & c_{2n} \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & c_{rr} & … & c_{rn} \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix})

gebracht werden mit c_{ii} ≠ 0 für i = 1, …, r.

c) Es ist rang(C) = r.

Bemerkung. Aufgabe 32 liefert ein Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix. Man bringt die Matrix durch elementare Umformungen auf eine Matrix der Gestalt C und kann dann den Rang direkt ablesen.

Aufgabe 33.

Es seien A = (\begin{matrix}5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ −1 & 1 & 1 & −1 & −1 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2 \end{matrix}) sowie b⃗ = (\begin{matrix}−2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) und c⃗ = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}).

a) Man bestimme rang(A), rang(A|b⃗) und rang(A|c⃗) .

b) Man bestimme die Dimension des Lösungsraumes

U := {x⃗ ∈ ℝ^{6} | Ax⃗ = 0 }

und löse das homogene Gleichungssystem Ax⃗ = 0 .

c) Man ermittle jeweils die Lösungsmenge der Gleichungssysteme Ax⃗ = b⃗ und Ax⃗ = c⃗ .

Aufgabe 34. In Abhängigkeit von t ∈ ℝ bestimme man die Lösungsmenge des Gleichungssystems tx_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + tx_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + x_{2} + tx_{3} = 1 .

Aufgabe 35.

(a) Für zwei Matrizen A, B ∈ M_{n×n}(K) zeige man:

rang(A · B) ≤ rang(A) und rang(A · B) ≤ rang(B) .

(b) Man zeige: Sind R ∈ GL_{m}(K), T ∈ GL_{n}(K) und A ∈ M_{m×n}(K) , so ist

rang(R · A · T) = rang(A) .

6 Die Determinante einer n × n-Matrix

Beispiele.

1. A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(K) ⟹ det A := a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} ∈ K

2. Sarrussche Regel:

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) ∈ M_{3×3}(K)

⟹ det A = \begin{matrix}a_{11}a_{22}a_{33} & + & a_{12}a_{23}a_{31} & + & a_{21}a_{32}a_{13} \\ −a_{13}a_{22}a_{31} & − & a_{12}a_{21}a_{33} & − & a_{23}a_{32}a_{11} \end{matrix} ∈ K

3.

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{matrix}) ⟹ det A = 30 + 42 − 48 − 24 = 0

6.1 Definition der Determinante

Die Determinante einer n×n-Matrix wird durch den folgenden Satz definiert.

Satz. Es gibt genau eine Abbildung

det : M_{n×n}(K) ^{}K, A ^{}det A

mit den Eigenschaften:

1. det ist linear in jeder Zeile

2. Ist rang A < n, so ist det A = 0

3. det E_{n} = 1

Wir nennen det A die Determinante von A ∈ M_{n×n}(K) und det die Determinante. Der Beweis des Satzes erfolgt in 6.3 und 6.5 unten.

Bedeutung von 1. Seien z_{1}, …, z_{n} die Zeilen von A ∈ M_{n×n}(K). Dann lässt sich A schreiben als

A = (z_{1} ; ⋮ ; z_{n})

und 1. bedeutet:

det ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} + z′_{i} ; ⋮ ; z_{n}) = det (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) + det (z_{1} ; ⋮ ; z′_{i} ; ⋮ ; z_{n}) und det ( z_{1} ; ⋮ ; λz_{i} ; ⋮ ; z_{n}) = λ det (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n})

für i = 1, …, n und λ ∈ K. An den mit Punkten versehenen Stellen sind dabei die Zeilen von A unverändert übernommen.

6.2 Eigenschaften der Determinante

Lemma. Sei det : M_{n×n}(K) ^{}K eine Abbildung mit den Eigenschaften 1., 2., 3. aus 6.1, und seien A, B ∈ M_{n×n}(K). Dann gelten

a) Geht B aus A durch Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen

hervor, dann gilt

det B = det A

b) Geht B aus A durch Multiplikation einer Zeile mit λ ∈ K hervor, dann

gilt

det B = λ det A

c) Geht B aus A durch Vertauschung zweier Zeilen hervor, dann gilt

det B = − det A

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6.2. Eigenschaften der Determinante  87

Beweis. zu a) Ist

A = (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{j} ; ⋮ ; z_{n}) und B = ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{j} + λz_{i} ; ⋮ ; z_{n})

dann folgt

det B =_{6.1 1.} det A+λ det (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) =_{6.1 2.} det A, da rang (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) < n (vgl. 4.24)

zu b) Die Behauptung folgt direkt aus 6.1 1. zu c) Ist

A = (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{j} ; ⋮ ; z_{n}) B = (z_{1} ; ⋮ ; z_{j} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) A_{1} = ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{i} + z_{j} ; ⋮ ; z_{n}) B_{1} = ( z_{1} ; ⋮ ; z_{j} ; ⋮ ; z_{i} + z_{j} ; ⋮ ; z_{n}) C = ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} + z_{j} ; ⋮ ; z_{i} + z_{j} ; ⋮ ; z_{n})

dann folgt det A =_{6.2.a} det A_{1} , det B =_{6.2.a} det B_{1} und

det A_{1} + det B_{1} =_{6.1.1} det C =_{6.1.2} 0

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6.3 Beweis der Eindeutigkeitsaussage in 6.1

Seien det, det′ : M_{n×n}(K) ^{}K zwei Abbildungen mit den Eigenschaften 1., 2., 3. aus 6.1, dann ist det A = det′ A für jede Matrix A ∈ M_{n×n}(K).

Beweis. Ist rang A < n, dann ist nach 6.1.2 det A = det′ A = 0. Sei rang A = n. Nach 5.6 und 5.7 können wir A durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix E_{n} verwandeln. Da det E_{n} = 1 = det′ E_{n} nach 6.1.3 gilt und wir die elementare Zeilenumformungen wieder rückgängig machen können, folgt mit den Rechenregeln aus 6.2 det A = det′ A.

6.4 Die (n − 1) × (n − 1)-Matrix A_{ij}

Definition. Für A ∈ M_{n×n}(K) bezeichne A_{ij} die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entstehende (n − 1) × (n − 1)-Matrix.

Beispiel.

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

dann folgt

A_{11} = (\begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}) A_{21} = (\begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}) A_{31} = (\begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix})

⟹ det A = a_{11} det A_{11} − a_{21} det A_{21} + a_{31} det A_{31}
= a_{11}a_{22}a_{33} − a_{11}a_{32}a_{23}
− a_{21}a_{12}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} − a_{31}a_{22}a_{13}

6.5 Laplacescher Entwicklungssatz

Satz. Es gibt genau eine Abbildung det : M_{n×n}(K) ^{}K mit den Eigenschaften 1, 2, 3 aus 6.1. Man kann det A induktiv durch Entwicklung der j-ten Spalte berechnen, d.h. es gilt die Formel

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (∗)

für jedes j = 1, …, n. Ausgeschrieben bedeutet die Formel

det A = (−1)^{1+j}a_{1j} det A_{1j} + ⋯ + (−1)^{n+j}a_{nj} det A_{nj} für j = 1, …, n Beweis durch Induktion nach n.

n = 1 Setze det a := a ∀a ∈ K

n > 1 Wir nehmen an, dass es für (n − 1) × (n − 1)-Matrizen eine Determinante gibt. Wir wählen ein j ∈ {1, …, n} aus und definieren det A durch (∗) für jedes A ∈ M_{n×n}(K). Zu zeigen: Die so gewonnene Abbildung det hat die Eigenschaften 1, 2, 3 aus 6.1.

zu 1.) det ist linear in jeder Zeile, weil dies für jeden Summanden in der Entwicklungsformel (∗) gilt.

zu 2.) Sei A ∈ M_{n×n}(K) und rang A < n. Zu zeigen det A = 0. Ist rang A < n dann folgt aus 4.24, dass Zeilenrang A < n ist. Nach 3.2 gibt es dann eine Zeile z_{i} von A, die Linearkombination der anderen Zeilen ist, also z_{i} = λ_{1}z_{1} +⋯+λ_{i−1}z_{i−1} +λ_{i+1}z_{i+1} +⋯+ λ_{n}z_{n} mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K. Es folgt:

det A = det (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) ← i-te Zeile

= det ( z_{1} ; ⋮ ; λ_{1}z_{1} + ⋯ + λ_{i−1}z_{i−1} + λ_{i+1}z_{i+1} + ⋯ + λ_{n}z_{n} ; ⋮ ; z_{n})

= λ_{1} det (z_{1} ; ⋮ ; z_{1} ; ⋮ ; z_{n}) + ⋯ + λ_{i−1} det ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i−1} ; ⋮ ; z_{n}) ← i-te Zeile

+ λ_{i+1} det ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i+1} ; ⋮ ; z_{n}) + ⋯ + λ_{n} det (z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ; ⋮ ; z_{n}) ← i-te Zeile

Die Behauptung ergibt sich nun aus der folgenden Eigenschaft 2′.

Lemma. Es gilt 2’: Sind in einer Matrix B ∈ M_{n×n}(K) zwei Zeilen gleich, so ist det B = 0.

Beweis. In B = (b_{ij}) seien die k-te und die ℓ-te Zeile gleich, und es sei ohne Einschränkung k < ℓ. Mit Ausnahme von det B_{kj} und det B_{ℓj} sind dann nach Induktionsvoraussetzung alle Determinanten det B_{ij} = 0 (weil die Matrix B_{ij} für i ≠ k, ℓ zwei gleiche Zeilen hat und also rang B_{ij} < n − 1 gilt). Es folgt

det B = (−1)^{k+j}b_{kj} det B_{kj} + (−1)^{ℓ+j}b_{ℓj} det B_{ℓj}

=_{(b_{kj}=b_{ℓj})} (−1)^{j}b_{kj}((−1)^{k} det B_{kj} + (−1)^{ℓ} det B_{ℓj})

Ist ℓ = k +1, so annulieren sich die Summanden in den Klammern, und es ist det B = 0.

Vergleichen wir nun die beiden Matrizen

B_{kj} = ( z′_{1} ; ⋮ ; z′_{k−1} ; z′_{k+1} ; ⋮ ; z′_{ℓ} ; ⋮ ; z′_{n}) und B_{ℓj} = ( z′_{1} ; ⋮ ; z′_{k} ; ⋮ ; z′_{ℓ−1} ; z′_{ℓ+1} ; ⋮ ; z′_{n}) mit z′_{ℓ} = z′_{k}

dann können wir B_{kj} durch ℓ − k − 1 Zeilenvertauschungen in B_{ℓj} verwandeln. Nach Induktionsvoraussetzung und 6.2 bewirkt dies ℓ − k − 1 Vorzeichenwechsel. Es folgt

(−1)^{k} det B_{kj} + (−1)^{ℓ} det B_{ℓj} = (−1)^{k}(−1)^{ℓ−k−1} det B_{ℓj} + (−1)^{ℓ} det B_{ℓj}
= (−1)^{k+ℓ−k−1} det B_{ℓj} + (−1)^{ℓ} det B_{ℓj}
= ((−1)^{ℓ−1} + (−1)^{ℓ}) det B_{ℓj} = 0

und damit det B = 0.

zu 3.) Für die Einheitsmatrix E_{n} berechnen wir (∗). Es ergibt sich

det E_{n} = \underbrace{(−1)^{j+j}}_{=1} 1 det E_{jj} =_{Ind. Vor.} 1

6.6 Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix

Folgerung (aus 6.5). Ist A ∈ M_{n×n}(K) eine obere Dreiecksmatrix, das heißt

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & a_{n−1,n} \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{nn} \end{matrix})

so ist det A das Produkt der Diagonalelemente

det A = a_{11} ⋯ a_{nn}

Dies gilt insbesondere auch für Diagonalmatrizen. Beweis. Der Beweis ergibt sich durch Induktion nach n und Entwicklung nach der ersten Spalte. Beispiel.

•

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \\ 4 & 9 & 6 \end{matrix}) \begin{matrix}z_{2}−2z_{1} \\ z_{3}−4z_{1} \end{matrix}^{}(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & −5 \\ 0 & 1 & −6 \end{matrix}) _{z_{3}−z_{2}}^{}(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & −5 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix})

Nach 6.2 und 6.6 folgt det A = 1 · 1 · (−1) = −1.

• Berechnung von det A durch Entwicklung nach der ersten Spalte

det A = 1 det (\begin{matrix}5 & 1 \\ 9 & 6 \end{matrix}) − 2 det A (\begin{matrix}2 & 3 \\ 9 & 6 \end{matrix}) + 4 det A (\begin{matrix}2 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix})
= 21 − 2 · (−15) + 4 · (−13) = −1

• Weitere Möglichkeit der Berechnung von det A. Es ist

det A =_{6.2} det (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & −5 \\ 0 & 1 & −6 \end{matrix})

=_{6.5} 1 · det (\begin{matrix}1 & −5 \\ 1 & −6 \end{matrix}) = −1

6.7 Kriterium für invertierbare Matrizen

Sei A ∈ M_{n×n}(K). Dann sind äquivalent:

i) A ist invertierbar

ii) rang A = n

iii) det A ≠ 0

Beweis. i) ⟺ ii) vgl. 4.21

ii) ⟹ iii) Ist rang A = n, so kann A wie in 5.6 durch elementare Zeilenumformungen in eine Diagonalmatrix überführt werden mit lauter Diagonalelementen ungleich Null. Nach 6.2 und 6.6 ist damit det A ≠ 0.

iii) ⟹ ii) Dies folgt aus 6.1 2.

6.8 Determinante der transponierten Matrix

Satz. Ist A ∈ M_{n×n}(K), so ist

det A = det^{t}A

Insbesondere können wir det A auch durch Entwicklung nach der i-ten Zeile berechnen. Es gilt

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}

für jedes i = 1, …, n. Ausgeschrieben bedeutet dies

det A = (−1)^{i+1}a_{i1} det A_{i1} + ⋯ + (−1)^{i+n}a_{in} det A_{in}

für jedes i = 1, …, n.

Beweis. Definieren wir Linearität in einer Spalte analog wie in 6.1, dann ist die durch (∗) in 6.5 gegebene Abbildung

det : M_{n×n}(K) ^{}K, A ^{}det A

auch linear in der j-ten Spalte für j = 1, …, n, denn in der Spaltenentwicklungsformel 6.5 hängen die Matrizen A_{j1}, …, A_{jn} nicht von der j-ten Spalte ab, da diese gestrichen wurde.

Da die Spalten von A die Zeilen von ^{t}A sind folgt, dass die Abbildung

M_{n×n}(K) ^{}K, A ^{}det^{t}A

linear in jeder Zeile ist und damit 1. aus 6.1 erfüllt. Sie erfüllt auch 2., denn nach 4.24 ist rang A = rang^{t}A. Auch 3. ist erfüllt, da E_{n}^{t} = E_{n}. Da det nach 6.3 durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt ist, folgt det^{t}A = det A für alle A ∈ M_{n×n}(K).

6.9 Multiplikationssatz für Determinanten

Satz. Sind A, B ∈ M_{n×n}(K) dann gilt

det(AB) = (det A) · (det B)

Insbesondere gilt: Ist A invertierbar, so ist

(det A)^{−1} = det A^{−1}

Beweis. Ist rang B < n, dann ist det B = 0 nach 6.7, und es ist auch rang(AB) < n, (denn andernfalls wäre AB invertierbar nach 4.21 und daher auch B, was rang B = n nach 4.21 zur Folge hätte). Es folgt 0 =_{6.7} det(AB) = det A · \underbrace{det B}_{=0} .

Sei B fest gewählt mit rang B = n. Dann ist nach 6.7 det B ≠ 0. Wir zeigen nun, dass die Abbildung

f : M_{n×n}(K) ^{}K, A ^{}(det B)^{−1} det(AB)

die Eigenschaften 1., 2., 3. aus 6.1 erfüllt. Mit der Eindeutigkeitsaussage aus 6.3 folgt dann det A = f(A) = (det B)^{−1} det AB und also die Behauptung.

zu 1.) Für

C := ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} + z′_{i} ; ⋮ ; z_{n})

folgt

CB =_{4.2} ( z_{1}B ; ⋮ ; (z_{i} + z′_{i})B ; ⋮ ; z_{n}B) = ( z_{1}B ; ⋮ ; z_{i}B + z′_{i}B ; ⋮ ; z_{n}B)

also

det(CB) =_{6.1} det (z_{1}B ; ⋮ ; z_{i}B ; ⋮ ; z_{n}B) + det (z_{1}B ; ⋮ ; z′_{i}B ; ⋮ ; z_{n}B)

=_{4.2} det ((z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) B) + det ((z_{1} ; ⋮ ; z′_{i} ; ⋮ ; z_{n}) B)

Durch Division mit (det B)^{−1} folgt hieraus

f ( z_{1} ; ⋮ ; z_{i} + z′_{i} ; ⋮ ; z_{n}) = f (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n}) + f (z_{1} ; ⋮ ; z′_{i} ; ⋮ ; z_{n})

Analog ergibt sich

f ( z_{1} ; ⋮ ; λz_{i} ; ⋮ ; z_{n}) = λf (z_{1} ; ⋮ ; z_{i} ; ⋮ ; z_{n})

zu 2.) Ist rang A < n, dann ist nach 4.21 auch rang AB < n und damit det AB = 0 nach 6.7, insbesondere f(A) = 0.

zu 3.)

f(E_{n}) = (det B)^{−1} det(E_{n}B) nach Def. von f
= (det B)^{−1} det B = 1

6.10 Methode zur Berechnung der inversen Matrix

Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ M_{n×n}(K) und det A ≠ 0 dann gilt

A^{−1} = \frac{1}{det A}B

wobei B = (b_{ij}) ∈ M_{n×n}(K) mit

b_{ij} = (−1)^{i+j} det A_{ji}

Beweis. Wir zeigen AB = det A · E_{n}. Es ist AB = (c_{ij}) mit

c_{ij} =_{4.2} ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}(−1)^{k+j} det A_{jk} (nach Definition von B)

= det A′ (Entwicklung nach der j-ten Zeile 6.8)

wobei A′ aus A entsteht, indem die j-te durch die i-te Zeile ersetzt wird, also

c_{ij} = \begin{cases}det A & für i = j \\ 0 & für i ≠ j, da in A′ zwei Zeilen gleich sind \end{cases}

Beispiel.

A = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) ⟹ det A = 13

Damit ergibt sich für A^{−1}

A^{−1} = \frac{1}{13} (\begin{matrix}det A_{11} & − det A_{21} \\ − det A_{12} & det A_{22} \end{matrix}) = \frac{1}{13} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −8 & 5 \end{matrix}) vgl. 4.13 und 5.7

6.11 Cramersche Regel

Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ GL_{n}(K). Dann ist das lineare Gleichungsystem Ax⃗ = b⃗ für jedes b⃗ ∈ K^{n} eindeutig lösbar (vgl. 5.2 und 6.7), und die Lösung ist gegeben

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durch

x_{1} = \frac{1}{det A} det (\begin{matrix}b_{1} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ b_{n} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

x_{2} = \frac{1}{det A} det (\begin{matrix}a_{11} & b_{1} & a_{13} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & b_{n} & a_{n3} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

⋮
x_{n} = \frac{1}{det A} det (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n−1} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn−1} & b_{n} \end{matrix})

Beweis. Sei x⃗ = (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) die Lösung des Systems

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮  ⋮
a_{n1}x_{1} + ⋯ + a_{nn}x_{n} = b_{n}

Sind

s⃗_{1} = (a_{11} ; ⋮ ; a_{n1}) , ⋯, s⃗_{n} = (a_{1n} ; ⋮ ; a_{nn})

die Spalten von A, dann folgt

x_{1}s⃗_{1} + ⋯ + x_{n}s⃗_{n} = b⃗

und also

x_{1}s⃗_{1} + ⋯ + x_{i}s⃗_{i} − b⃗ + ⋯ + x_{n}s⃗_{n} = 0

Insbesondere sind also die Vektoren s⃗_{1}, …, x_{i}s⃗_{i} − b⃗, …, s⃗_{n} linear abhängig für i = 1, …, n, und damit sind auch die Spalten der Matrix

B_{i} := (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & x_{i}a_{1i} − b_{1} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & x_{i}a_{ni} − b_{n} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

linear abhängig für i = 1, …, n. Nach 6.7 folgt det B_{i} = 0 für i = 1, …, n. Für i = 1, …, n erhalten wir

0 = det B_{i} = det (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & x_{i}a_{1i} − b_{1} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & x_{i}a_{ni} − b_{n} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

=_{6.8} x_{i} det A − det (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1i−1} & b_{1} & a_{1i+1} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{ni−1} & b_{n} & a_{ni+1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

da det linear in der i-ten Spalte ist, und es folgt die Behauptung.

6.12 Orientierung in reellen Vektorräumen

In ℝ^{1}

Abbildung 14: x′ = λx mit det λ > 0

Dann heißen x und x′ gleich orientiert. Es sind y, y′ gleich orientiert, da y′ = λy mit det λ > 0 gilt, und y, x sind nicht gleich orientiert, da y = λx mit det λ < 0, λ ∈ ℝ.

Definition. Sei V ein ℝ-Vektorraum mit dim_{ℝ} V = n. Dann heißen zwei Basen B und B′ von V gleich orientiert, wenn für die Matrix des Basiswechsels gilt

det M_{B′}^{B}(id) > 0

Wir schreiben dann B ∼ B′.

Behauptung ”∼“ ist eine Äquivalenzrelation, d.h.

1. B ∼ B

2. B ∼ B′ ⟹ B′ ∼ B

3. B ∼ B′ und B′ ∼ B′′ ⟹ B ∼ B′′

Beweis. zu 1.) Es ist M_{B}^{B}(id) = E_{n} nach 4.6 und det E_{n} = 1 > 0 nach 6.1 zu 2.) Sei T := M_{B′}^{B}(id). Dann ist M_{B}^{B′}(id) = T^{−1} nach 4.14. Ist det T > 0,

so folgt det T^{−1} =_{6.9} \frac{1}{det T} > 0.

zu 3.) Es ist M_{B′}^{B}(id) M_{B′′}^{B′}(id) =_{4.7} M_{B′′}^{B}(id) und damit

det M_{B′′}^{B}(id) = \underbrace{det M_{B′}^{B}(id)}_{>0} \underbrace{det M_{B′′}^{B′}(id)}_{>0} > 0

Eine Äquivalenzklasse von Basen heißt Orientierung von V.

Definition. V heißt orientierter ℝ-Vektorraum, wenn eine (geordnete) Basis B von V als positiv orientiert ausgezeichnet ist. Alle Basen, die zu B gleichorientiert sind (also in der selben Äquivalenzklasse liegen) heißen dann positiv orientiert und die anderen negativ orientiert. Im ℝ^{n} sei stets die Standardbasis als positiv orientiert ausgezeichnet.

6.13 Die Determinante eines Endomorphismus

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei f : V ^{}V eine Klineare Abbildung, das heißt ein Endomorphismus von V. Wähle eine Basis B von V und setze

det f := det M_{B}^{B}(f)

Bemerkung. det f ist unabhängig von der Wahl der Basis B.

Beweis. Sei B′ eine weitere Basis von V. Dann gilt nach 4.16

M_{B′}^{B′}(f) = T^{−1} M_{B}^{B}(f) T mit T = M_{B′}^{B}(id)

Es folgt

det M_{B′}^{B′}(f) = det(T^{−1} M_{B}^{B}(f) T) =_{6.9} det T^{−1} · det M_{B}^{B}(f) · det T
= det M_{B}^{B}(f)

Die Definition von det f ist also unabhängig von der Wahl der Basis.

Bemerkung. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei f : V ^{}V eine K-lineare Abbildung dann gilt

f ist ein Isomorphismus ⟺ det f ≠ 0

Beweis. Es gilt:

f ist ein Isomorphismus

⟺ M_{B}^{B}(f) ist invertierbar (nach 4.22.3)
⟺ det f = det M_{B}^{B}(f) ≠ 0 (nach 6.7)

Einen Isomorphismus f : V ^{}V nennen wir einen Automorphismus.

6.14 Orientierungserhaltende Automorphismen

Sei V ein endlich n-dimensionaler orientierter ℝ-Vektorraum. Dann heißt ein Automorphismus f : V ^{∼}^{}V orientierungserhaltend, wenn f jede Basis von V in eine gleichorientierte Basis überführt.

Bemerkung. Es gilt

f ist orientierungserhaltend ⟺ det f > 0

Beweis. Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und sei B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) mit f(v_{j}) = v′_{j} für j = 1, …, n, dann ist auch B′ eine Basis von V nach Aufgabe 18, da f bijektiv ist. Nach 4.4 gilt

M_{B}^{B}(f) = M_{B′}^{B}(id)

also

det f = det M_{B}^{B}(f) > 0 ⟺ det M_{B′}^{B}(id) > 0 ⟺ B ∼ B′

Insbesondere ist f orientierungserhaltend wenn f eine Basis von V in eine gleichorientierte Basis überführt.

6.15 Orientierung im ℝ^{n}

Sei v_{1} = (a_{11}, a_{21}, …, a_{n1}), …, v_{n} = (a_{1n}, a_{2n}, …, a_{nn}) eine Basis von ℝ^{n}. Tragen wir v_{j} als j-te Spalte ein, so erhalten wir eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M_{n×n}(ℝ) mit det A ≠ 0 nach 6.7. Es gilt dann

B = (v_{1}, …, v_{n}) ∼ Standardbasis ⟺ det A > 0

Beweis. Sei

f_{A} : ℝ^{n} ^{}ℝ^{n}, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

die zu A gehörende Standardabbildung. Sie bildet gerade den j-ten Standardbasisvektor auf die j-te Spalte ab (vgl. 4.11), und es ist det A = det f_{A}. Die Behauptung folgt nun aus 6.14.

6.16 Die Determinante als Volumen

Sei V = ℝ^{n}, und seien v_{1}, …, v_{n} Vektoren in V. Dann heißt die Menge

P (v_{1}, …, v_{n}) := {λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} | 0 ≤ λ_{i} ≤ 1 für i = 1, …, n}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop im ℝ^{n}. Wir definieren das Volumen von P (v_{1}, …, v_{n}) als den Absolutbetrag

| det(v_{1}, …, v_{n})|

(hierbei wird v_{j} wie in 6.15 als j-te Spalte einer n × n-Matrix aufgefasst).

Beispiel. Sei e_{1}, …, e_{n} die Standardbasis in ℝ^{n}. Dann ist | det E_{n}| = |1| = 1 das Volumen des n-dimensionalen ”Einheitswürfels“ P (e_{1}, …, e_{n}).

6.17 Flächeninhalt eines Parallelogramms

Sei V = ℝ^{2}. Wir berechnen den Flächeninhalt des Parallelogramms

P (v_{1}, v_{2}) = {λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} | 0 ≤ λ_{1}, λ_{2} ≤ 1}

Abbildung 15: Parallelogramm

Es ist

v_{1} = λv′_{1} = λ(cos α, sin α)
v_{2} = μv′_{2} = μ(cos β, sin β)

Für 0 ≤ β − α ≤ π folgt

F′ = 1 · h′ = 1 · sin(β − α) = det (\begin{matrix}cos α & sin α \\ cos β & sin β \end{matrix}) ≥ 0

mit Hilfe des Additionstheorems sin(β − α) = cos α sin β − sin α cos β. Es folgt mit h = μh′

F = λμF′ = det (\begin{matrix}λ cos α & λ sin α \\ μ cos β & μ sin β \end{matrix})

Berechnen wir F mit 6.16, dann ergibt sich mit v_{1} = (a_{1}, a_{2}) und v_{2} = (b_{1}, b_{2})

F = |det (\begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix})| =_{6.8} |det (\begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix})|

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6.18 Die spezielle lineare Gruppe

Bemerkung. Die spezielle lineare Gruppe

SL_{n}(K) := {A ∈ GL_{n} | det A = 1}

ist eine Untergruppe von GL_{n}(K).

Beweis. • Sind A, B ∈ SL_{n}(K), dann sind auch AB und A^{−1} ∈ SL_{n}(K). Dies folgt aus 6.9.

• Ferner ist SL_{n}(K) ≠ ∅, da E_{n} ∈ SL_{n}(K)

6.19 Übungsaufgaben 36 – 42

Aufgabe 36. Man prüfe, ob die folgenden Matrizen über ℝ invertierbar sind, und bestimme gegebenenfalls die inverse Matrix:

A = (\begin{matrix}1 & −3 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}) und C = (\begin{matrix}1 & 2 & −5 & 4 \\ 2 & 1 & −1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & −1 & 4 & −4 \end{matrix}).

Aufgabe 37.

(a) Man berechne die Determinante der Matrix

A = (\begin{matrix}3 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 0 \end{matrix}) ∈ M_{4×4}(ℝ) .

(b) Man zeige mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes, dass für x, y ∈ ℝ gilt:

det (\begin{matrix}x & y & 0 & 1 \\ −y & x & −1 & 0 \\ 0 & 1 & x & −y \\ −1 & 0 & y & x \end{matrix}) = (x^{2} + y^{2} + 1)^{2} .

Aufgabe 38.

Gegeben seien über ℝ die Matrix A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & −1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix}) und der Vektor b⃗ = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}).

Zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax⃗ = b⃗ benutze man

(a) die Cramersche Regel und

(b) den Gaußschen Algorithmus.

(c) Man bestimme die inverse Matrix A^{−1} und verifiziere die Gleichung A^{−1} b⃗ = x⃗ für die unter (a) und (b) gewonnene Lösung x⃗.

Aufgabe 39. Man untersuche, ob die Matrizen

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}−1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix})

eine Basis des ℝ-Vektorraums M_{2×2}(ℝ) bilden.

Aufgabe 40. In Abhängigkeit von t ∈ ℝ bestimme man die Lösungsmenge des Gleichungssystems

x_{1} − x_{2} + x_{3} + (1 − t)x_{4} = 1 t x_{1} − (t + 1)x_{2} − t^{2} x_{4} = t x_{1} + x_{2} + (2t + 1)x_{3} + (1 + t)x_{4} = t^{2} .

Aufgabe 41.

(a) Man bestimme alle 2 × 2-Matrizen über ℝ, die zu sich selbst invers sind.

(b) Sei A ∈ M_{2×2}(K), und sei A^{2} die Nullmatrix. Man zeige, dass für jedes λ ∈ K gilt:

det(λE_{2} − A) = λ^{2} .

Aufgabe 42.

(a) Seien (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) und (x_{3}, y_{3}) drei Eckpunkte eines Parallelogramms P in ℝ^{2}. Man zeige: Der Flächeninhalt von P ist gleich dem Betrag der Determinante

det (\begin{matrix}1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix}).

(b) Man bestimme den Flächeninhalt F_{i} eines Parallelogramms P_{i} in ℝ^{2}, das die folgenden Eckpunkte besitzt: (−3, 2), (1, 4), (−2, −7) für P_{1} , (1, 1), (2, −1), (4, 6) für P_{2} , (2, 5), (−1, 4), (1, 2) für P_{3} und (1, 1), (1, 0), (2, 3) für P_{4} .

7 Metrische Vektorräume

Sei K ein Körper.

7.1 Involution auf K

Es sei K mit einer Involution versehen, d. h. es sei eine Bijektion

¯ : K ^{}K, α ^{}\overline{α}

gegeben derart, dass für alle α, β, γ ∈ K gilt 1. \overline{\overline{α}} = α (“involutorisch”)

2. \overline{α + β} = \overline{α} + \overline{β} (“additiv”)

3. \overline{αβγ} = \overline{α}\overline{β}\overline{γ} (Es werden hier drei statt zwei Faktoren genommen, weil (−1)^{3} = −1 ist und also dann das Vorzeichen erhalten bleibt)

Bemerkung.

• Es ist \overline{0} = 0, denn \overline{α} = \overline{α + 0} = \overline{α} + \overline{0}. Insbesondere ist \overline{α} ≠ 0 für α ≠ 0 • Es ist \overline{1} = 1 oder −1, denn

\overline{1} = \overline{1 · 1 · 1} = \overline{1}^{2} · \overline{1} ⟹ \overline{1}^{2} = 1 ⟹ \overline{1} = ±1

• Ist \overline{1} = 1, dann ist \overline{αβ} = \overline{α}\overline{β}, und ist \overline{1} = −1 dann ist \overline{αβ} = −\overline{α}\overline{β}

(wegen \overline{αβ} = \overline{1αβ} = \overline{1}\overline{α}\overline{β}). Beispiele

1. Sei K = ℂ = {x + yi | x, y ∈ ℝ} mit i^{2} = −1 , und

ℂ ^{}ℂ, x + yi ^{}x − yi

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die komplexe Konjugation. Sie ist eine Involution mit \overline{1} = 1.

Abbildung 16: Komplexe Konjugation

1a. Die Identität id : K ^{}K, α ^{}α ist eine Involution, bei der \overline{α} = α für alle α ∈ K gilt.

2. Sei K = ℂ. Die Abbildung ℂ ^{}ℂ, x + yi ^{}− x + yi ist eine Involution mit \overline{1} = −1 .

Abbildung 17: Spiegelung an der y-Achse

2a. Die Abbildung K ^{}K, α ^{}− α ist eine Involution mit \overline{α} = −α ∀α ∈ K.

7.2 Metrik auf V

Sei K mit einer Involution versehen. Eine Abbildung

s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

heißt Metrik, falls gilt

1. \begin{matrix}⟨u + v, w⟩ & = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩ \\ ⟨λv, w⟩ & = λ⟨v, w⟩ \end{matrix}\} linear im ersten Argument

2. \overline{⟨v, w⟩} = ⟨w, v⟩ Symmetrieeigenschaft

für alle u, v, w ∈ V und λ ∈ K. Ein K-Vektorraum V mit einer Metrik s heißt metrischer Vektorraum. Mit Hilfe einer Metrik werden wir später den ”Winkel“ zwischen Vektoren definieren. Die Benutzung der spitzen Klammern deutet dies schon an.

Hinweis. Die in dieser Vorlesung definierten metrischen Vektorräume sind nicht zu verwechseln mit den metrischen Räumen, die in der Analysis eingeführt werden.

Bemerkung. Ist V mit einer solchen Metrik versehen, so gilt für alle u, v, w ∈ V und μ ∈ K

1.′ \begin{matrix}⟨u, v + w⟩ & = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ \\ ⟨v, μw⟩ & = \overline{1}\overline{μ}⟨v, w⟩ \end{matrix}\} semilinear im zweiten Argument

Beweis. Es ist

⟨u, v + w⟩ =_{2.} \overline{⟨v + w, u⟩} =_{1.} \overline{⟨v, u⟩ + ⟨w, u⟩}

= \overline{⟨v, u⟩} + \overline{⟨w, u⟩} da¯ additiv

=_{2.} ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩

und

⟨v, μw⟩ =_{2.} \overline{⟨μw, v⟩} =_{1.} \overline{μ⟨w, v⟩}

= \overline{1μ⟨w, v⟩} =_{7.1} \overline{1}\overline{μ}\overline{⟨w, v⟩} =_{2.} \overline{1}\overline{μ}⟨v, w⟩

7.3 Spezialfälle

Sei K mit einer Involution versehen, und sei

s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

eine Metrik auf V gemäß 7.2. Wir unterscheiden zwischen den folgenden Fällen:

I) \overline{1} = 1. Dann heißt V ein hermitescher Raum und s eine hermitesche Form auf V.

Ia) \overline{α} = α ∀α ∈ K. Dann ist ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ ∀v, w ∈ V, und wir nennen s eine symmetrische Bilinearform auf V.

II) \overline{1} = −1. Dann heißt V ein schiefhermitescher Raum und s eine schiefhermitesche Form auf V.

IIa) \overline{α} = −α ∀α ∈ K. Dann ist ⟨v, w⟩ = −⟨w, v⟩ ∀v, w ∈ V, und wir nennen s eine schiefsymmetrische oder symplektische Form auf V.

Beispiele.

zu Fall I • K = ℂ und ¯ die komplexe Konjugation. Sei

V := {f : [0, 1] ^{}ℂ | f stetig }

und

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} f(α)\overline{g(α)} dα für f, g ∈ V

(Derartige Funktionenräume kommen insbesondere in der Funktionalanalysis und in der Physik vor)

• K = ℂ und ¯ die komplexe Konjugation. Sei V = ℂ^{2}. Setze

⟨(α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2})⟩ = α_{1}\overline{β}_{1} + α_{2}\overline{β}_{2} für α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} ∈ K

zu Fall Ia K = ℝ,¯ = id und V = ℝ^{2}. Setze

⟨(α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2})⟩ = α_{1}β_{1} − α_{2}β_{2} für α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} ∈ K

zu Fall II K = ℂ,¯ : x + yi ^{}− x + yi und V = ℂ^{2}. Setze

⟨(α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2})⟩ = det (\begin{matrix}α_{1} & α_{2} \\ \overline{β}_{1} & \overline{β}_{2} \end{matrix}) für α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} ∈ K

zu Fall IIa K = ℝ ,¯ = − id und V = ℝ^{2}. Setze

⟨(α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2})⟩ = det (\begin{matrix}α_{1} & α_{2} \\ β_{1} & β_{2} \end{matrix}) für α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} ∈ K

Zum Beispiel ⟨(3, 5), (1, 2)⟩ = 6−5 = 1 und ⟨(1, 2), (3, 5)⟩ = 5−6 = −1

sowie ⟨(3, 5), (3, 5)⟩ = 15 − 15 = 0.

Bemerkung. Zu den vier Fällen I, Ia, II, IIa gehören vier unterschiedliche umfangreiche mathematische Theorien. Die Definition in 7.2 ist so gemacht, dass wir einige Beweise, die man sonst entsprechend der vier Theorien viermal führt, nur einmal machen müssen wie zum Beispiel beim Basiswechsel (7.6) oder bei der Rangaussage (7.13).

7.4 Die zu einer Metrik s gehörende Matrix M_{B}(s)

Sei K mit einer Involution versehen, und sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Dann ordnen wir einer Metrik

s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

folgende Matrix zu

M_{B}(s) := (\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

also M_{B}(s) = (a_{ij}) ∈ M_{n×n}(K) mit a_{ij} = ⟨v_{i}, v_{j}⟩. Nach 7.2.2. gilt

\overline{a_{ij}} = a_{ji} ∀i, j = 1, …, n (2_{M})

Umgekehrt gilt der

Satz. Zu jeder Matrix (a_{ij}) ∈ M_{n×n}(K) mit der Eigenschaft (2_{M}) gibt es genau eine Metrik s mit M_{B}(s) = A.

Beweis. Für

v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} und w = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n}

mit λ_{1}, …, λ_{n}, μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K setzen wir

s(v, w) := ⟨v, w⟩ := (λ_{1}, …, λ_{n}) · A · (μ_{1}^{∗} ; ⋮ ; μ_{n}^{∗}) mit μ_{i}^{∗} = \overline{1}\overline{μ}_{i} ∀i = 1, …, n

Nach Definition 4.2 der Matrizenmultiplikation folgt ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = a_{ij}, da

\underbrace{(0, …, 0, 1, 0, …, 0)}_{e_{i}} ·A · \underbrace{(0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0)}_{e_{j}} = a_{ij}

und 1^{∗} = \overline{1} · \overline{1} = 1 gilt. Also ist M_{B}(s) = A. Offenbar ist s linear im ersten Argument. Und s ist durch ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = a_{ij} eindeutig bestimmt, denn in Summenschreibweise ∑_{j=1}^{n} b_{j} := b_{1} + ⋯ + b_{n} gilt nach 4.11

A · (μ_{1}^{∗} ; ⋮ ; μ_{n}^{∗}) = (∑_{j=1}^{n} a_{1j} μ_{j}^{∗} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{nj} μ_{j}^{∗}) , also (λ_{1}, …, λ_{n}) · A · (μ_{1}^{∗} ; ⋮ ; μ_{n}^{∗}) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}(∑_{j=1}^{n} a_{ij} μ_{j}^{∗})

und das bedeutet ⟨v, w⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} λ_{i} μ_{j}^{∗} a_{ij} . Zu zeigen bleibt \overline{⟨v, w⟩} = ⟨w, v⟩

(vgl. 7.2). Es gilt

\overline{⟨v, w⟩} = ∑_{i,j=1}^{n} \overline{λ}_{i} \overline{μ_{j}^{∗}} \overline{a_{ij}} nach 7.1

= ∑_{i,j=1}^{n} \overline{λ}_{i} \overline{μ_{j}^{∗}} a_{ji}, da \overline{a_{ij}} = a_{ji} nach Vor. (2_{M})

= ∑_{i,j=1}^{n} \overline{λ}_{i} \overline{1}μ_{j} a_{ji}, da \overline{μ_{j}^{∗}} = \overline{\overline{1} · \overline{μ_{j}}} = \overline{1 · \overline{1}\overline{μ_{j}}} =_{7.1} \overline{1} · 1 · μ_{j}

= ∑_{i,j=1}^{n} λ_{i}^{∗} μ_{j} a_{ji}

= (μ_{1}, …, μ_{n}) · A · (λ_{1}^{∗} ; ⋮ ; λ_{n}^{∗}) analog wie oben

= ⟨w, v⟩

7.5 Bezeichnungen

Für A = (a_{ij}) ∈ M_{n×n}(K) sei \overline{A} := (\overline{a_{ij}}). Dann heißt A

hermitesch, falls \overline{A} = ^{t}A und \overline{1} = 1 gilt (Fall I in 7.3)

schiefhermitesch, falls \overline{A} = ^{t}A und \overline{1} = −1 gilt (Fall II in 7.3)

symmetrisch, falls A = ^{t}A gilt, zum Beispiel A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

schiefsymmetrisch, falls −A = ^{t}A gilt, zum Beispiel 7.4, (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})

Sei s : V × V ^{}K eine sesquilineare Abbildung, d.h. 1. und 1′. in 7.2 gelten. Definieren wir A := M_{B}(s) analog wie in 7.4, dann gelten:

A hermitesch ⟺ s hermitesch
A schiefhermitesch ⟺ s schiefhermitesch
A symmetrisch ⟺ s symmetrisch
A schiefsymmetrisch ⟺ s schiefsymmetrisch

7.6 Basiswechsel

Gegeben seien eine Involution¯ : K ^{}K, α ^{}\overline{α}, eine Metrik s : V ^{}V, (v, w) ^{}⟨v, w⟩, sowie zwei Basen B = (v_{1}, …, v_{n}) und B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) von V. Setzen wir

T := M_{B′}^{B}(id)

so gilt

M_{B′}(s) = ^{t}T M_{B}(s) T^{∗} mit T^{∗} := \overline{1} · \overline{T}

Beweis. Seien v, w ∈ V und T = (t_{ij}). Es ist

\begin{aligned}v & = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} \\ & = α_{1}v′_{1} + ⋯ + α_{n}v′_{n} \end{aligned} und \begin{aligned}w & = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n} \\ & = β_{1}v′_{1} + ⋯ + β_{n}v′_{n} \end{aligned}

mit λ_{i}, μ_{i}, α_{i}, β_{i} ∈ K. Nach 4.12, angewandt auf f = id , gilt k_{B}(v) = T ·k_{B′}(v) für alle v ∈ V und also

(λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n}) = T · (α_{1} ; ⋮ ; α_{n}) und (μ_{1} ; ⋮ ; μ_{n}) =_{4.12} T · (β_{1} ; ⋮ ; β_{n}) =_{4.2} (t_{11}β_{1} + ⋯ + t_{1n}β_{n} ; ⋮ ; t_{n1}β_{1} + ⋯ + t_{nn}β_{n})

Hieraus folgt

(μ_{1}^{∗} ; ⋮ ; μ_{n}^{∗}) = \overline{1} (\overline{t_{11}1β_{1}} + ⋯ + \overline{t_{1n}1β_{n}} ; ⋮ ; \overline{t_{n1}1β_{1}} + ⋯ + \overline{t_{nn}1β_{n}}) = ¯1T̄ (β_{1}^{∗} ; ⋮ ; β_{n}^{∗}) = T^{∗} (β_{1}^{∗} ; ⋮ ; β_{n}^{∗})

und damit gilt

s(v, w) =_{7.4} (λ_{1}, …, λ_{n})M_{B}(s) (μ_{1}^{∗} ; ⋮ ; μ_{n}^{∗}) = ^{t}(T (α_{1} ; ⋮ ; α_{n}))M_{B}(s) T^{∗} (β_{1}^{∗} ; ⋮ ; β_{n}^{∗})

=_{4.3} (α_{1}, …, α_{n})^{t}T M_{B}(s) T^{∗} (β_{1}^{∗} ; ⋮ ; β_{n}^{∗})

Andererseits ist

s(v, w) =_{7.4} (α_{1}, …, α_{n})M_{B′}(s) (β_{1}^{∗} ; ⋮ ; β_{n}^{∗})

Da dies insbesondere für die Standardbasisvektoren gilt, folgt die Behauptung.

Beispiel. Sei K = ℝ und¯ = − id. Es seien B = {(1, 0), (0, 1)}, B′ = {(5, 8), (−1, 1)} zwei Basen von V = ℝ^{2} und

s : ℝ^{2} × ℝ^{2} ^{}ℝ, ((α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2})) ^{}det (\begin{matrix}α_{1} & α_{2} \\ β_{1} & β_{2} \end{matrix})

Es liegt also das Beispiel zu Fall IIa in 7.3 vor. Es ist

T = M_{B′}^{B}(id) = (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix})

und nach 7.4

M_{B}(s) = (\begin{matrix}det (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) & det (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) & det (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})

und

M_{B′}(s) = (\begin{matrix}det (\begin{matrix}5 & 8 \\ 5 & 8 \end{matrix}) & det (\begin{matrix}5 & 8 \\ −1 & 1 \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 5 & 8 \end{matrix}) & det (\begin{matrix}−1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 13 \\ −13 & 0 \end{matrix})

Berechnen wir den Basiswechsel nach 7.6, so ergibt sich, da in diesem Fall T^{∗} = ¯1T̄ = (−1)(−T) = T

tT · M_{B}(s) · T^{∗} = (\begin{matrix}5 & 8 \\ −1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix}−8 & 5 \\ −1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & −1 \\ 8 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 13 \\ −13 & 0 \end{matrix})

= M_{B′}(s)

7.7 Euklidische und unitäre Vektorräume

Sei 𝕂 = ℝ und ¯ = id oder sei 𝕂 = ℂ und ¯ die komplexe Konjugation (x + yi ^{}x − yi). Ein Skalarprodukt auf einem 𝕂-Vektorraum V ist eine Abbildung

s : V × V ^{}𝕂, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

derart, dass für alle u, v, w ∈ V und λ ∈ 𝕂 gilt

1. \begin{matrix}⟨u + v, w⟩ & = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩ \\ ⟨λv, w⟩ & = λ⟨v, w⟩ \end{matrix}\} linear im ersten Argument

2. \overline{⟨v, w⟩} = ⟨w, v⟩ Symmetrieeigenschaft

3. ⟨v, v⟩ > 0 für v ≠ 0 positiv definit

Nach 2. ist ⟨v, v⟩ ∈ ℝ, auch wenn 𝕂 = ℂ ist. Ein Skalarprodukt ist also eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf V, falls 𝕂 = ℝ und eine positiv definite hermitesche Form auf V falls 𝕂 = ℂ (vgl. 7.3, I, Ia, also ¯1 = 1). Ein K-Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidisch, falls 𝕂 = ℝ, und unitär, falls 𝕂 = ℂ.

7.8 Das Standardskalarprodukt

Für v = (α_{1}, …, α_{n}), w = (β_{1}, …, β_{n}) aus K^{n} setzen wir

⟨v, w⟩ := α_{1}β̄_{1} + ⋯ + α_{n}β̄_{n}

insbesondere

⟨v, w⟩ := α_{1}β_{1} + ⋯ + α_{n}β_{n}

falls 𝕂 = ℝ. Es ist

⟨v, w⟩ = (α_{1}, …, α_{n}) · (β̄_{1} ; ⋮ ; β̄_{n})

und die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis ist die Einheitsmatrix (vgl. 7.4 für ¯1 = 1).

Beispiel. Sei 𝕂 = ℝ, V = ℝ^{2} und v = (a, b) ∈ ℝ^{2}. Dann ist

⟨v, v⟩ = (a, b) (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}) = a^{2} + b^{2} = c^{2}

Abbildung 18: Länge des Vektors v

Wir nennen deshalb ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} die Länge oder Norm von v. Es ist ∥v∥ der Abstand zwischen (a, b) und (0, 0).

7.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Sei V ein euklidischer oder unitärer 𝕂-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨ , ⟩ wie in 7.7. In Anlehnung an das obige Beispiel definieren wir

∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩}

und nennen ∥v∥ die Länge oder Norm von v. Satz. Für v, w ∈ V und λ ∈ 𝕂 gelten

i) ∥v∥^{2} = ⟨v, v⟩ > 0, falls v ≠ 0 ii) ∥λv∥ = |λ| · ∥v∥ iii) |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥ · ∥w∥ Cauchy-Schwarzsche Ungleichung iv) |⟨v, w⟩| = ∥v∥ · ∥w∥ ⟺ v, w sind linear abhängig

v) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ Dreiecksungleichung Beweis. i) folgt nach Definition der Norm und 7.7.3 ii)

∥λv∥^{2} =_{i)} ⟨λv, λv⟩ =_{7.2} λλ̄⟨v, v⟩

=_{1.2} |λ|^{2}⟨v, v⟩ = |λ|^{2}∥v∥^{2}

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iii) Für w = 0 ist die Behauptung trivial. Sei w ≠ 0. Setze

λ := \frac{⟨v, w⟩}{⟨w, w⟩}

Dabei ist ⟨w, w⟩ = ∥w∥^{2} > 0 in ℝ. Es folgt

0 ≤ ⟨v − λw, v − λw⟩ nach 7.7 3.

=_{7.2} ⟨v, v⟩ − λ̄⟨v, w⟩ − λ⟨w, v⟩ + λλ̄⟨w, w⟩

= ⟨v, v⟩ − λ̄⟨v, w⟩, da ⟨w, v⟩ =_{2.} \overline{⟨v, w⟩} = \overline{λ⟨w, w⟩} = λ̄⟨w, w⟩

= ∥v∥^{2} − \frac{\overline{⟨v, w⟩}}{∥w∥^{2}} · ⟨v, w⟩ nach i) und Definition von λ

Multiplikation der Ungleichung mit ∥w∥^{2} > 0 ergibt

0 ≤ ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − \overline{⟨v, w⟩}⟨v, w⟩

= ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − |⟨v, w⟩|^{2} nach 1.2 falls 𝕂 = ℂ

iv) Für w = 0 ist die Behauptung trivial. Sei w ≠ 0.

”⟹“ Sei |⟨v, w⟩| = ∥v∥ · ∥w∥. Analog wie in iii) berechnen wir

0 ≤ ⟨v − λw, v − λw⟩ = ∥v∥^{2} − \frac{\overline{⟨v, w⟩}}{∥w∥^{2}} · ⟨v, w⟩

= ∥v∥^{2} − \frac{|⟨v, w⟩|^{2}}{∥w∥^{2}}

= 0

Insbesondere ist 0 = ⟨v − λw, v − λw⟩ und damit folgt v − λw = 0 nach 7.7.3.

”⟸“ Ist v = μw mit μ ∈ 𝕂, dann folgt

|⟨v, w⟩| = |⟨μw, w⟩| =_{1.} |μ||⟨w, w⟩| =_{i)} |μ|∥w∥ · ∥w∥

Andererseits gilt

∥v∥ = ∥μw∥ =_{ii)} |μ|∥w∥

Es folgt die Behauptung.

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\underline{7.10. Winkel 115}

v) Mit der Bezeichnung ℜ(z) für den Realteil einer komplexen Zahl z aus 1.2 erhalten wir

∥v + w∥^{2} = ⟨v + w, v + w⟩ nach i)

= ⟨v, v⟩ + ⟨v, w⟩ + ⟨w, v⟩ + ⟨w, w⟩ nach 7.2

=_{i)} ∥v∥^{2} + ⟨v, w⟩ + \overline{⟨v, w⟩} + ∥w∥^{2} nach 7.7

= ∥v∥^{2} + 2ℜ(⟨v, w⟩) + ∥w∥^{2}, da (x + yi) + (x − yi) = 2x ≤ ∥v∥^{2} + 2|⟨v, w⟩| + ∥w∥^{2}, da ℜ(z) ≤ |z|

≤_{iii)} ∥v∥^{2} + 2∥v∥ · ∥w∥ + ∥w∥^{2}

= (∥v∥ + ∥w∥)^{2}

7.10 Winkel

Sei 𝕂 = ℝ und V ein euklidischer Vektorraum. Dann ist der Winkel φ = ∢(v, w) für v, w ≠ 0 definiert durch

cos φ = \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥ · ∥w∥} und 0 ≤ φ ≤ π

Da nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

−1 ≤ \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥ · ∥w∥} ≤ 1

gilt und

cos : [0, π] ^{}[−1, 1]

bijektiv ist, ist φ dadurch wohldefiniert. Es gilt also

⟨v, w⟩ = ∥v∥ · ∥w∥ cos φ

und ⟨v, w⟩ = 0, falls φ = \frac{π}{2}, also falls v und w senkrecht aufeinander stehen. In diesem Fall schreiben wir v⊥w. Zum Beispiel ist für das Standardskalarprodukt

(1, 0) (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

also (1, 0)⊥(0, 1).

Definieren wir allgemein in einem euklidischen oder unitären 𝕂-Vektorraum V, dass v, w ∈ V orthogonal sind oder senkrecht aufeinander stehen, wenn ⟨v, w⟩ = 0 gilt (in Zeichen v⊥w), so erhalten wir aus 7.9 v) ein Analogon zum Satz des Pythagoras

v⊥w ⟹ ∥v + w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2}

Im folgenden lassen wir uns in der Vorstellung, dass auch in einem beliebigen metrischen Vektorraum ⟨v, v⟩ die Länge von v festlegt, und ⟨v, w⟩ den Winkel zwischen v und w definiert. Es gibt dann insbesondere Vektoren der Länge 0, und v und w stehen senkrecht aufeinander, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

7.11 Orthogonale Summen

Sei V ein K-Vektorraum, der mit einer Metrik

V × V ^{}K , (v, w) ^{}⟨v, w⟩

versehen sei wie in 7.2. Wir nennen zwei Vektoren v, w ∈ V orthogonal, wenn

⟨v, w⟩ = 0

gilt, und schreiben v⊥w.

Definition. Seien U_{1}, …, U_{m} Teilräume von V und sei

U := U_{1} + ⋯ + U_{m} := {u_{1} + ⋯ + u_{m} | u_{j} ∈ U_{j} ∀j = 1, …, m}

die Summe der Unterräume U_{1}, …, U_{m}. Dann heißt die Summe eine orthogonale Summe, wenn

1. U = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{m} (vgl. 2.13, 2.14 und Aufgabe 11)

2. u_{i}⊥u_{j} für alle u_{i} ∈ U_{i}, u_{j} ∈ U_{j} und i ≠ j.

Wir schreiben dann

U = U_{1}⊥ ⋯ ⊥U_{m}

Ziel: V als orthogonale Summe zu schreiben mit möglichst einfachen Summanden.

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

7.12 Das Radikal eines metrischen Vektorraumes

Ist U ein Teilraum von V, so ist auch

U^{⊥} := {v ∈ V | v⊥u ∀u ∈ U}

ein Teilraum von V nach Aufgabe 50a.

Definition. Rad V := {v ∈ V | v⊥v′ ∀v′ ∈ V } heißt das Radikal von V, und V heißt regulär oder nicht ausgeartet, falls Rad V = {0} gilt. In dem Fall nennen wir auch die zugehörige Metrik s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩, regulär oder nicht ausgeartet.

Bemerkung. Sei U ein Teilraum von V, dann ist U bezüglich der Einschränkung der Metrik von V auf U ein metrischer Vektorraum, und es ist

Rad U := {u ∈ U | u⊥u′ ∀u′ ∈ U} = U ∩ U^{⊥}

Satz. Sei V′ ein zu Rad V komplementärer Teilraum, also V = V′ ⊕ Rad V (vgl. Aufgabe 19). Dann ist

V = V′⊥ Rad V

wobei die Einschränkung der Metrik s auf den Teilraum V′

s|_{V′×V′} : V′ × V′ ^{}K, (u′, v′) ^{}⟨u′, v′⟩

regulär ist und die Einschränkung der Metrik s auf den Teilraum Rad V trivial ist, d.h. es gilt ⟨v, w⟩ = 0 für alle v, w ∈ Rad V.

Beweis. Die Summe ist orthogonal, und es ist ⟨v, w⟩ = 0 für alle v, w ∈ Rad V nach Definition von Rad V. Noch zu zeigen: Rad V′ = {0}. Sei u′ ∈ Rad V′ ⊂ V′ und sei v ∈ V beliebig. Nach Voraussetzung gibt es eine Zerlegung v = v′ + w mit v′ ∈ V′ und w ∈ Rad V. Es folgt

⟨u′, v⟩ = ⟨u′, v′ + w⟩ = \underbrace{⟨u′, v′⟩}_{=0, da u′∈Rad V′} + \underbrace{⟨u′, w⟩}_{=0, da w∈Rad V}
= 0 ⟹ u′ ∈ Rad V

Insbesondere ist u′ ∈ (Rad V) ∩ V′ =_{2.14} {0}.

7.13 Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung

Es sei dim_{K} V = n und B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Dann ist

M_{B}(s) = (\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

nach 7.4, und wir können mit Hilfe von 7.12 leicht den Rang r von M_{B}(s) bestimmen: Satz.

i) Rad V = {0} ⟺ M_{B}(s) ∈ GL_{n}(K) (⟺^{6.7} rang M_{B}(s) = n )

ii) Es gibt eine Basis B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) von V so, dass mit T := M_{B′}^{B}(id) gilt

tT · M_{B}(s) · T^{∗} =_{7.6} M_{B′}(s) = ( \begin{matrix}& & & 0 & … & 0 \\ & B & & ⋮ & & ⋮ \\ & & & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

wobei B ∈ GL_{r}(K) mit r := rang M_{B}(s) =_{Aufg. 32} rang M_{B′}(s) .

Beweis. zu i) Die Beweisidee ist es zu zeigen, dass M_{B}(s) = M_{B}^{C}(ρ) für eine geeignete K-lineare Abbildung ρ und eine passende Basis C gilt, und dann die folgende Äquivalenz auszunutzen: M_{B}^{C}(ρ) ∈ GL_{n}(K) ⟺ ρ ist ein Isomorphismus. (Diese Äquivalenz ergibt sich so:

M_{B}^{C}(ρ) ∈ GL_{n}(K) ⟺_{4.21} n = rang M_{B}^{C}(ρ) =_{4.20} dim_{K} bild(ρ) ⟺_{3.23} ρ Iso-

morphismus) Nun zum eigentlichen Beweis von i): Sei C = (φ_{1}, …, φ_{n}) die durch

φ_{i}(v_{j}) = \begin{cases}1 für i = j \\ 0 für i ≠ j \end{cases}

definierte Basis von Hom_{K}(V, K). Ferner sei

ρ : \overline{V} ^{}Hom_{K}(V, K), v ^{}\begin{cases}V ^{}K \\ w ^{}⟨w, v⟩ \end{cases}

wobei der K-Vektorraum \overline{V} folgendermaßen definiert ist 1. Als additive Gruppe ist \overline{V} = V

2. Für v ∈ \overline{V} und λ ∈ K ist die Skalarmultiplikation gegeben durch

λ · v := ¯1 λ̄ v

Offensichtlich ist B auch eine Basis von \overline{V}, und ρ ist K-linear nach 7.2.

Schreiben wir

ρ(v_{j}) = a_{1j}φ_{1} + ⋯ + a_{nj}φ_{n} mit a_{ij} ∈ K

dann folgt aus 4.4, dass M_{B}^{C}(ρ) = (a_{ij}) ist. Es ist

⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ρ(v_{j})(v_{i})
= a_{1j}φ_{1}(v_{i}) + ⋯ + a_{nj}φ_{n}(v_{i})
= a_{ij} nach Definition von φ_{i}

Also gilt M_{B}(s) = M_{B}^{C}(ρ). Daraus folgt, wie eingangs gesagt,

M_{B}(s) ∈ GL_{n}(K) ⟺ ρ ist ein Isomorphismus

Es ist

Rad V := {v ∈ V | ⟨w, v⟩ = 0 ∀w ∈ V } = kern ρ

Mit 3.23 folgt: ρ ist ein Isomorphismus ⟺ Rad V = {0}

zu ii) Schreibe V = U⊥ Rad V wie in Satz 7.12 und bestimme eine Basis B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) von V so, dass (v′_{1}, …, v′_{m}) eine Basis von U und (v′_{m+1}, …, v′_{n}) eine Basis von Rad V ist (vgl. Aufgabe 19). Mit 7.4 folgt

M_{B′}(s) = ( \begin{matrix}& & & 0 & … & 0 \\ & B & & ⋮ & & ⋮ \\ & & & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

mit B ∈ M_{m×m}(K) und passenden Nullblöcken. Nach i) ist rang B = m, da die Einschränkung von s auf U nach 7.12 regulär ist. Nach 7.6 ist M_{B′}(s) = ^{t}T · M_{B}(s) · T^{∗}, also folgt m = r, da T invertierbar ist.

7.14 Folgerung für symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen

Sei A ∈ M_{n×n}(K) symmetrisch (^{t}A = A) oder schiefsysmmetrisch (^{t}A = −A), dann gibt es T ∈ GL_{n}(K) so, dass

tT · A · T = ( \begin{matrix}& & & 0 & … & 0 \\ & B & & ⋮ & & ⋮ \\ & & & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

wobei B ∈ GL_{r}(K) und r = rang A ist.

Beweis. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und sei B eine Basis von V. Nach 7.4 gibt es genau eine Metrik s auf V so, dass A = M_{B}(s) gilt. Wähle B′ gemäß 7.13 ii) und setze T := M_{B′}^{B}(id). Dann folgt die Behauptung aus 7.13, da im symmetrischen wie im schiefsymmetrischen Fall T^{∗} = T gilt.

7.15 Dualitätssatz

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, der mit einer Metrik s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩ versehen sei (wie in 7.2), und es sei s regulär (d.h. Rad V = {0}). Dann gelten für jeden Teilraum U von V

1. dim_{K} V = dim_{K} U + dim_{K} U^{⊥}

2. Ist s|_{U×U} : U × U ^{}K regulär, dann ist V = U⊥U^{⊥}, und auch die Einschränkung von s auf U^{⊥} ist regulär.

Lemma. Sei V ein K-Vektorraum und U ein Teilraum von V. Für f ∈ Hom_{K}(V, K) sei f|_{U} : U ^{}K die Einschränkung von f auf den Teilraum U. Dann ist die K-lineare Abbildung

Hom_{K}(V, K) ^{}Hom_{K}(U, K), f ^{}f|_{U}

surjektiv.

Beweis des Lemmas. Sei g ∈ Hom_{K}(U, K) und sei U′ ein zu U komplementärer Teilraum, also V = U ⊕ U′ (vgl. Aufgabe 19), so setzen wir

f : U ⊕ U′  ^{}K, u + u′  ^{}g(u)

und es folgt f|_{U} = g Beweis des Dualitätssatzes. zu 1. Wie im Beweis von 7.13 i) ist

ρ : \overline{V} ^{}Hom_{K}(V, K), v ^{}\begin{cases}V ^{}K \\ w ^{}⟨w, v⟩ \end{cases}

ein Isomorphismus, da Rad V = {0} ist. Sei

ρ′ : \overline{V} ^{ρ}^{}Hom_{K}(V, K) ^{|_{U}}^{}Hom_{K}(U, K)

dann ist ρ′ nach dem Lemma surjektiv (Komposition surjektiver Abbildungen ist wieder surjektiv), also

dim_{K} bild ρ′ = dim_{K} Hom_{K}(U, K) =_{4.5} dim_{K} U

Es ist kern ρ′ = {v ∈ V | ⟨u, v⟩ = 0 ∀u ∈ U} = U^{⊥}. Es folgt

dim_{K} \overline{V} = dim_{K} V =_{3.22} dim_{K} \underbrace{U^{⊥}}_{kern ρ′} + \underbrace{dim_{K} U}_{dim_{K} bild ρ′}

zu 2. Ist s auf U regulär, dann gilt U ∩ U^{⊥} = {0} und mit 2.14 folgt U + U^{⊥} = U ⊕ U^{⊥}. Aus 3.15 ergibt sich

dim_{K}(U ⊕ U^{⊥}) = dim_{K} U + dim_{K} U^{⊥} =_{1.} dim_{K} V

Da U ⊕ U^{⊥} ein Teilraum von V ist, folgt U ⊕ U^{⊥} = V nach 3.14. Die Summe ist orthogonal nach Definition von U^{⊥}. Zu zeigen bleibt Rad U^{⊥} = {0}.

Sei u′ ∈ Rad U^{⊥}. Dann ist u′⊥u′′ für alle u′′ ∈ U^{⊥}. Wegen u′ ∈ U^{⊥} ist aber auch u′⊥u für alle u ∈ U. Da V = U + U^{⊥} ist, lässt sich jedes v ∈ V schreiben als v = u + u′′ mit u ∈ U, u′′ ∈ U^{⊥}. Es folgt

⟨u′, v⟩ = ⟨u′, u⟩ + ⟨u′, u′′⟩ = 0

also u′ ∈ Rad V = {0}.

7.16 Hyperbolische Ebenen

Sei V ein K-Vektorraum, der mit einer Metrik

s : V × V ^{}K , (v, w) ^{}⟨v, w⟩ versehen sei. Ein Vektor v ∈ V heißt isotrop, falls ⟨v, v⟩ = 0 gilt. Sind v, w ∈ V isotrop und gilt ⟨v, w⟩ = 1, so heißt

H := Kv + Kw

eine hyperbolische Ebene bezüglich s. Es sind v und w linear unabhängig, denn wäre v = λw mit λ ∈ K, so wäre

1 = ⟨v, w⟩ = ⟨λw, w⟩ = λ⟨w, w⟩ = 0

Es folgt dim_{K} H = 2. Die Matrix von s|_{H×H} bezüglich B = (v, w) ist

(\begin{matrix}⟨v, v⟩ & ⟨v, w⟩ \\ ⟨w, v⟩ & ⟨w, w⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ ¯1 & 0 \end{matrix})

wobei ¯1 = 1 oder −1 (vgl. 7.2). Insbesondere ist s auf H regulär nach 7.13 i), da

det (\begin{matrix}0 & 1 \\ ¯1 & 0 \end{matrix}) = −¯1 ≠ 0

7.17 Symplektische Räume

Sei 1 + 1 ≠ 0 in K. Sei V ein K-Vektorraum, der mit einer symplektischen Metrik s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩ versehen sei. Es ist dann s schiefsymmetrisch, d.h.

⟨v, w⟩ = −⟨w, v⟩ ∀v, w ∈ V

Insbesondere gilt

⟨v, v⟩ = 0 ∀v ∈ V

Nach 7.2 und 7.3 ist dann s linear in beiden Argumenten, insbesondere

⟨v, μw⟩ = μ⟨v, w⟩ ∀μ ∈ K (Fall IIa)

Satz. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, so ist

V = H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{m}⊥L_{1}⊥ ⋯ ⊥L_{k}

mit hyperbolischen Ebenen H_{i} und isotropen Geraden L_{j}. Es ist

U := H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{m} regulär

und Rad V = L_{1}⊥ ⋯ ⊥L_{k} das Radikal von V Hierbei ist mit einer isotropen Geraden ein 1-dimensionaler Teilraum L = Ku mit ⟨u, u⟩ = 0 gemeint.

Folgerung. Jeder reguläre symplektische Raum V ist orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen, und es ist dim_{K} V = 2m eine gerade Zahl.

Beweis des Satzes. Sei U ≠ {0} ein orthogonal unzerlegbarer Teilraum von V, d.h. U läßt sich nicht darstellen als U = U_{1}⊥U_{2} mit echten Teilräumen U_{1}, U_{2}.

s|_{U×U} = 0 In diesem Fall ist jeder Vektor u ∈ U isotrop und jede Zerlegung von U in eine direkte Summe von Teilräumen trivialerweise orthogonal. Da U aber orthogonal unzerlegbar ist, muss dim_{K} U = 1 gelten.

s|_{U×U} ≠ 0 Dann gibt es Vektoren v′, w ∈ U mit ⟨v′, w⟩ =: λ ≠ 0. Ist v := \frac{v′}{λ}, dann gilt

⟨v, w⟩ = ⟨\frac{v′}{λ} , w⟩ = \frac{1}{λ}⟨v′, w⟩ = 1

Die Vektoren v, w sind isotrop, da s symplektisch ist. Die Metrik s ist regulär auf U, da es sonst eine orthogonale Zerlegung

U = U′⊥ Rad(U)

geben würde (vgl. 7.12), und U unzerlegbar ist.

Sei H = Kv + Kw die von v und w aufgespannte hyperbolische Ebene. Nach 7.16 ist s|_{H×H} regulär, und daher gilt U = H⊥H^{⊥} nach 7.15. Hieraus folgt H^{⊥} = {0}, da U orthogonal unzerlegbar ist. Es folgt U = H ist eine hyperbolische Ebene.

Sei nun V = V′⊥ Rad V ein Zerlegung von V gemäß Satz 7.12. Dann ist s|_{V′×V′} regulär (insbesondere ≠ 0) und wir finden eine hyperbolische Ebene H_{1}, wobei s|_{H_{1}×H_{1}} regulär ist. Nach dem Dualitätssatz 7.15 gilt

V′ = H_{1}⊥ \underbrace{H_{1}^{⊥}}_{:=V′′}

und s|_{V′′×V′′} ist regulär. So fortfahrend erhalten wir eine Zerlegung

V′ = H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{m}

mit hyperbolischen Ebenen H_{i}. Nach Definition ist s|_{Rad V ×Rad V} = 0 und wir spalten eine (unzerlegbare) isotrope Gerade ab

Rad V = L_{1} ⊕ Ṽ

Trivialerweise ist die Zerlegung sogar orthogonal und s|_{Ṽ ×Ṽ} = 0. So fortfahrend erhalten wir eine Zerlegung

Rad V = L_{1}⊥ ⋯ ⊥L_{k}

7.18 Normalform schiefsymmetrischer Matrizen

Korollar. Ist A ∈ GL_{n}(K) und A schiefsymmetrisch (d.h. ^{t}A = −A), so ist n = 2m gerade und es gibt eine Matrix T ∈ GL_{n}(K) so, dass

tT AT = ( \begin{matrix}0 & E_{m} \\ −E_{m} & 0 \end{matrix} ) wobei E_{m} = (\begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{m×m}(K)

Beweis. Es ist A = M_{B}(s) nach 7.4, wobei B Basis eines n-dimensionalen K-Vektorraumes V und s eine symplektische Metrik auf V ist. Nach 7.13 i) ist s regulär. Nach 7.17 folgt

V = H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{m}

mit hyperbolischen Ebenen H_{i} und Basen B_{i} = (v_{i}, w_{i}) mit

⟨v_{i}, v_{i}⟩ = 0 = ⟨w_{i}, w_{i}⟩ und ⟨v_{i}, w_{i}⟩ = 1 für i = 1, …, m

Für B′ := (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{m}) gilt nach 7.4

M_{B′}(s) = ( \begin{matrix}0 & E_{m} \\ −E_{m} & 0 \end{matrix} )

und mit T := M_{B′}^{B}(id) folgt nach 7.6 die Behauptung.

7.19 Orthogonalbasen

Sei 1 + 1 ≠ 0 in K. Es sei nun V mit einer symmetrischen Bilinearform s : V ×V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩ versehen, d. h. es gelte für alle u, v, w ∈ V und λ ∈ K

1. \begin{matrix}⟨u + v, w⟩ & = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩ \\ ⟨λv, w⟩ & = λ⟨v, w⟩ \end{matrix}\} linear im ersten Argument

2. \overline{⟨v, w⟩} = ⟨w, v⟩ symmetrisch (⟹ Linearität im 2. Argument)

Satz.

1. Ist dim_{K} V = n, so besitzt V eine orthogonale Zerlegung

V = L_{1}⊥ ⋯ ⊥L_{n}

in 1-dimensionale Teilräume L_{1}, …, L_{n}.

2. V besitzt eine Orthogonalbasis, das ist eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) mit v_{i}⊥v_{j} für alle i ≠ j (d. h. mit ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = 0 für alle i ≠ j).

3. Es gibt eine Basis B von V so, dass

M_{B}(s) = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{m} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} ) mit a_{j} ≠ 0 ∀j = 1, …, m

und es ist m = n − dim_{K} Rad V.

Beweis. zu 1. Wir zeigen zunächst, dass jeder orthogonal unzerlegbare Teilraum U von V eindimensional ist.

s|_{U×U} = 0 Dann ist wie im Beweis von 7.17 dim_{K} U = 1

s|_{U×U} ≠ 0 Dann ist U regulär, (denn sonst gäbe es eine Zerlegung U = U′⊥ Rad U nach 7.12). Es gibt ein u ∈ U mit ⟨u, u⟩ ≠ 0, denn angenommen ⟨u, u⟩ = 0 für alle u ∈ U, dann folgt

0 = ⟨u + v, u + v⟩ = \underbrace{⟨u, u⟩}_{0} +⟨u, v⟩ + ⟨v, u⟩ + \underbrace{⟨v, v⟩}_{0}
= 2⟨u, v⟩ ∀u, v ∈ U

Dann ist aber ⟨u, v⟩ = 0 ∀u, v ∈ U, also s|_{U×U} = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei also u ∈ U mit ⟨u, u⟩ ≠ 0. Dann ist L := Ku ein regulärer Teilraum und nach 7.15 gilt

U = L⊥L^{⊥} ⟹ L^{⊥} = {0}, da U unzerlegbar ⟹ dim_{K} U = 1 Es ist V =^{7.12} V′⊥ Rad V, wobei V′ regulär ist. Induktiv erhalten wir dann Zerlegungen (analog wie im Beweis von 7.17)

V′ = L_{1}⊥ ⋯ ⊥L_{m} und Rad V = L_{m+1}⊥ ⋯ ⊥L_{n}

zu 2. Sei B = (u_{1}, …, u_{n}) so gewählt, dass L_{i} = Ku_{i} ist, dann gilt

⟨u_{j}, u_{j}⟩ =: a_{j} ≠ 0 für j = 1, …, m

⟨u_{j}, u_{j}⟩ = 0 für j = m + 1, …, n

⟨u_{i}, u_{j}⟩ = 0 für alle i ≠ j

und die Behauptungen 2. und 3. folgen nach Definition 7.4 von M_{B}(s) und da n = dim_{K} V′ + dim_{K} Rad V = m + dim_{K} Rad V nach dem Dimensionssatz 3.15 gilt.

7.20 Orthonormalbasen

Sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ, und sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum wie in 7.7. Ist V endlich dimensional, so besitzt V eine Orthonormalbasis, d.h. eine Basis (u_{1}, …, u_{n}) mit ∥u_{j}∥ = 1 für alle j = 1, …, n und u_{i}⊥u_{j} für alle i ≠ j.

Satz (Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Wähle eine Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V. Setze

u_{1} := \frac{v_{1}}{∥v_{1}∥}

Dann ist ∥u_{1}∥ = 1. Setze

u′_{2} := v_{2} − ⟨v_{2}, u_{1}⟩u_{1} und u_{2} := \frac{u′_{2}}{∥u′_{2}∥}

Setze

u′_{3} := v_{3} − ⟨v_{3}, u_{1}⟩u_{1} − ⟨v_{3}, u_{2}⟩u_{2} und u_{3} := \frac{u′_{3}}{∥u′_{3}∥}

u.s.w. Dann ist (u_{1}, …, u_{n}) eine Orthonormalbasis von V.

Beweis. durch Induktion nach n = dim_{K} V n = 1 klar

n > 1 Sei k < n und U_{k} der von v_{1}, …, v_{k} erzeugte Teilraum von V. Nach Induktionsvoraussetzung hat U_{k} eine Orthonormalbasis (u_{1}, …, u_{k}). Setze

u′_{k+1} = v_{k+1} − ⟨v_{k+1}, u_{1}⟩u_{1} − ⋯ − ⟨v_{k+1}, u_{k}⟩u_{k}

dann ist u′_{k+1} ≠ 0, da v_{k+1} ∉ U_{k}. Setze u_{k+1} = \frac{u′_{k+1}}{∥u′_{k+1}∥}. Es folgt

⟨u_{k+1}, u_{j}⟩ = \frac{1}{∥u′_{k+1}∥}⟨v_{k+1} − ⟨v_{k+1}, u_{1}⟩u_{1} − ⋯ − ⟨v_{k+1}, u_{k}⟩u_{k}, u_{j}⟩

= \frac{1}{∥u′_{k+1}∥}(⟨v_{k+1}, u_{j}⟩ − ⟨v_{k+1}, u_{1}⟩⟨u_{1}, u_{j}⟩ − ⋯ − ⟨v_{k+1}, u_{k}⟩⟨u_{k}, u_{j}⟩)

= \frac{1}{∥u′_{k+1}∥}(⟨v_{k+1}, u_{j}⟩ − ⟨v_{k+1}, u_{j}⟩⟨u_{j}, u_{j}⟩)

= 0 ∀j = 1, …, k

da s linear im ersten Argument ist, u_{1}, …, u_{k} paarweise orthogonal sind und ⟨u_{j}, u_{j}⟩ = 1 ist.

7.21 Beispiele

1. Sei K = ℝ mit Involution id, V = ℝ^{2} und s das Standard-Skalar-produkt, d.h. für v = (x_{1}, x_{2}), w = (y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}

⟨v, w⟩ = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}

Es folgt

⟨v, v⟩ = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0 ∀v ≠ (0, 0)

Insbesondere ist s positiv definit. Setze r := \sqrt{⟨v, v⟩} =: ∥v∥. Ist r > 0 und K_{r} := {v ∈ V | ∥v∥ = r}, dann beschreibt K_{r} einen Kreis.

Abbildung 19: Kreis 2. Sei K = ℝ mit Involution id, V = ℝ^{2} und s eine Metrik gegeben durch

⟨v, w⟩ = x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2} für v = (x_{1}, x_{2}), w = (y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}

Dann ist s eine symmetrische Bilinearform, und es ist

⟨v, v⟩ = x_{1}^{2} − x_{2}^{2}

Hier können drei Fälle auftreten

⟨v, v⟩ = 0 Zum Beispiel für v = e_{1} + e_{2} = (1, 1) oder v = e_{1} − e_{2} = (1, −1) ⟹ ⟨v, v⟩ = 0

⟨v, v⟩ > 0 Zum Beispiel für v = 2e_{1} + e_{2} = (2, 1) ⟹ ⟨v, v⟩ = 3

⟨v, v⟩ < 0 Zum Beispiel für v = e_{1} + 2e_{2} = (1, 2) ⟹ ⟨v, v⟩ = −3

Ist r ∈ ℝ und H_{r} := {v ∈ V | ⟨v, v⟩ = r}, dann beschreibt H_{r} eine Hyperbel (r ≠ 0) bzw. die beiden Winkelhalbierenden (r = 0).

Abbildung 20: Hyperbel

Sei B = {e_{1}, e_{2}} die Standardbasis von V = ℝ^{2}. Dann ist

M_{B}(s) = (\begin{matrix}⟨e_{1}, e_{1}⟩ & ⟨e_{1}, e_{2}⟩ \\ ⟨e_{2}, e_{1}⟩ & ⟨e_{2}, e_{2}⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

Nach 7.13 i) ist s regulär (d.h. Rad(V) = {0}), denn det M_{B}(s) = −1 ≠ 0, also M_{B}(s) ∈ GL_{2}(ℝ).

Sei u_{1} := \frac{1}{2}(e_{1} + e_{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), dann ist ⟨u_{1}, u_{1}⟩ = 0, und also ist u_{1} isotrop. Sei

U := ℝu_{1} := {λu_{1} | λ ∈ ℝ}

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Dann ist s|_{U×U} nicht regulär, denn

Rad U := {u ∈ U | ⟨u, w⟩ = 0 ∀w ∈ U} = U ∩ U^{⊥} = U

wegen ⟨λu_{1}, μu_{1}⟩ = λμ⟨u_{1}, u_{1}⟩ = 0 ∀λ, μ ∈ K. Insbesondere ist U ≠ {0}.

Dieses Beispiel zeigt: Ein Teilraum eines regulären Raumes braucht also nicht regulär zu sein.

Die Aussage 2 des Dualitätssatzes (V = U⊥ U^{⊥}) ist ebenfalls nicht für jeden Teilraum erfüllt, wie die folgende Behauptung zeigt.

Behauptung U^{⊥} := {v ∈ V | ⟨v, u⟩ = 0 ∀ u ∈ U} = U

Beweis. Sei u_{2} := e_{1} − e_{2} = (1, −1). Dann bilden u_{1}, u_{2} eine Basis von V und es ist ⟨u_{2}, u_{2}⟩ = 0 und ⟨u_{1}, u_{2}⟩ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

⊆ Sei v ∈ U^{⊥}. Dann gilt v = λ_{1}u_{1} + λ_{2}u_{2} mit λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ, da {u_{1}, u_{2}} eine Basis von V bildet und

0 = ⟨v, u_{1}⟩ = ⟨λ_{1}u_{1} + λ_{2}u_{2}, u_{1}⟩

= λ_{1} \underbrace{⟨u_{1}, u_{1}⟩}_{=0} +λ_{2} \underbrace{⟨u_{2}, u_{1}⟩}_{=1}

= λ_{2}

also v = λ_{1}u_{1} ∈ U

⊇ Klar, da ⟨λu_{1}, μu_{1}⟩ = λμ⟨u_{1}, u_{1}⟩ = 0

Folgerung dim_{ℝ} U + dim_{ℝ} U^{⊥} = 1 + 1 = dim_{ℝ} V (wie in 7.15.1 allgemein bewiesen für reguläres V). Es gilt aber V ⊋ U + U^{⊥}.

Bemerkung Es ist V = ℝu_{1} + ℝu_{2} mit u_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) und u_{2} = (1, −1) eine hyperbolische Ebene, da ⟨u_{1}, u_{1}⟩ = ⟨u_{2}, u_{2}⟩ = 0 und ⟨u_{1}, u_{2}⟩ = 1 gilt. (vgl. 7.16). Für B′ = {u_{1}, u_{2}} und die Standardbasis B gilt dann

M_{B′}(s) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) und T := M_{B′}^{B}(id) = (\begin{matrix}\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & −1 \end{matrix})

Ferner

tT M_{B}(s) T = (1 −1^{\frac{1}{2}  \frac{1}{2}}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & −1 \end{matrix})

= (\begin{matrix}\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & −1 \end{matrix})

= (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = M_{B′}(s)

in Übereinstimmung mit 7.6.

7.22 Trägheitssatz von Sylvester

Sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum, und sei

s : V × V ^{}ℝ , (v, w) ^{}⟨v, w⟩ ,

eine symmetrische Bilinearform auf V. Wir wählen einen maximal positiv definiten Teilraum U von V, das ist ein Teilraum mit den Eigenschaften

1. ⟨u, u⟩ > 0 für u ∈ U^{+} \ {0}

2. Für alle v ∈ V \ U^{+} ist s|_{(U^{+}+Kv)×(U^{+}+Kv)} ^{}ℝ nicht positiv definit.

Sei U^{−} := (U^{+})^{⊥} = {v ∈ V | ⟨v, u⟩ = 0 ∀u ∈ U^{+}}.

Lemma. Ist s regulär (d.h. Rad V = {0}), so gelten

i) V = U^{+}⊥ U^{−}

ii) s ist auf U^{−} negativ definit (d. h. es ist ⟨v, v⟩ < 0 für v ∈ U^{−} \ {0}).

iii) dim_{ℝ} U^{+} = dim_{ℝ} V^{+} für jeden maximalen positiv definiten Teilraum V^{+} von V

Beweis. zu i) U^{+} ist regulär, da s|_{U^{+}×U^{+}} positiv definit ist. Nach 7.15 folgt

V = U^{+}⊥ (U^{+})^{⊥}

zu ii) Angenommen es gibt v ∈ U^{−} mit ⟨v, v⟩ > 0. Dann ist s ist auf U^{+}⊕ℝv positiv definit im Widerspruch zur Maximalität von U^{+}, denn für alle λ ∈ ℝ, u ∈ U^{+} gilt dann

⟨u + λv, u + λv⟩ = \underbrace{⟨u, u⟩}_{>0} +2λ \underbrace{⟨u, v⟩}_{=0, da v∈(U^{+})^{⊥}} +λ^{2} \underbrace{⟨v, v⟩}_{>0}
> 0

Also ist ⟨v, v⟩ ≤ 0 für alle v ∈ U^{−}. Ist ⟨w, w⟩ = 0 für ein w ∈ U^{−}, so gilt für alle v ∈ U^{−} und alle λ ∈ ℝ, dass

0 ≥ ⟨w + λv, w + λv⟩ = \underbrace{⟨w, w⟩}_{=0} +2λ⟨v, w⟩ + λ^{2} \underbrace{⟨v, v⟩}_{≤0}

Es folgt ⟨v, w⟩ = 0 für alle v ∈ U^{−} (andernfalls erhält man einen Widerspruch, da λ ∈ ℝ beliebig), also ist w ∈ Rad U^{−}. Es folgt w = 0, da s nach 7.15 regulär auf U^{−} ist.

zu iii) Sei V = V^{+}⊥V^{−} eine zweite Zerlegung. Dann ist nach 7.15

dim_{ℝ} V^{−} = n − dim_{ℝ} V^{+}
Angenommen: dim_{ℝ} V^{+} < dim_{ℝ} U^{+}. Dann folgt
n < dim_{ℝ} U^{+} + n − dim_{ℝ} V^{+} = dim_{ℝ} U^{+} + dim_{ℝ} V^{−}

=_{3.15} dim_{ℝ} (U^{+} + V^{−}) + dim_{ℝ} (U^{+} ∩ V^{−})

= dim_{ℝ} (U^{+} + V^{−}), da \underbrace{U^{+}}_{pos. def.} ∩ \underbrace{V^{−}}_{neg. def.} = \{0\}

≤ n Widerspruch

Es folgt dim_{ℝ} V^{+} = dim_{R} U^{+} (denn der Fall dim_{ℝ} U^{+} < dim_{ℝ} V^{+} ist analog).

Satz. Es ist

V = U^{+}⊥U^{−}⊥ Rad V

wobei s auf U^{+} positiv definit, auf U^{−} negativ definit und auf Rad V gleich 0. Ist

V = V^{+}⊥V^{−}⊥ Rad V

eine weitere solche Zerlegung, so ist

r^{+} := dim_{ℝ} U^{+} = dim_{ℝ} V^{+} und r^{−} := dim_{ℝ} U^{−} = dim_{ℝ} V^{−}

Beweis. Der Satz folgt aus 7.12 und dem Lemma, da U^{+}, U^{−}, V^{+}, V^{−} regulär.

Bezeichnungen r^{−} heißt Trägheitsindex (manchmal auch r^{+} − r^{−}) (r^{+}, r^{−}, r_{0} := dim_{ℝ} Rad V) heißt Signatur Min(r^{+}, r^{−}) heißt Isotropieindex von V bezüglich s. Beispiele. Sei V regulär.

1. r^{+} = n ⟹ V euklidisch

2. r^{+} = 3 und r^{−} = 1, dann heißt V Minkowski-Raum. (Hier spielt sich die spezielle Relativitätstheorie ab.)

7.23 Folgerung

Korollar. Ist V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum und

s : V × V ^{}ℝ , (v, w) ^{}⟨v, w⟩ ,

eine reguläre symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und ein r^{+} ∈ ℕ so, dass

⟨v_{i}, v_{j}⟩ = \begin{cases}0 für i ≠ j \\ 1 für i = j ≤ r^{+} \\ −1 für i = j ∈ \{r^{+} + 1, …, n\} \end{cases}

Die Zahl r^{+} ist durch s eindeutig bestimmt. Beweis. Wähle gemäß Satz 7.19.2 eine Orthogonalbasis {u_{1}, …, u_{n}}. Es folgt

⟨u_{i}, u_{j}⟩ = \begin{cases}0 für i ≠ j \\ a_{i} ≠ 0 für i = j da s regulär \end{cases}

Setze v_{i} := \frac{u_{i}}{\sqrt{|a_{i}|}}. Es folgt die Behauptung bei passender Umnummerierung und nach 7.22.

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7.24 Übungsaufgaben 43 – 52

Aufgabe 43.

(a) Für v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), w = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) aus ℝ^{3} sei

⟨v, w⟩ := 3x_{1}y_{2} + 4x_{1}y_{3} − 3x_{2}y_{1} − x_{2}y_{3} − 4x_{3}y_{1} + x_{3}y_{2} .

Hierdurch ist eine schiefsymmetrische Bilinearform

s : ℝ^{3} × ℝ^{3} → ℝ, (v, w) ↦ ⟨v, w⟩ ,

definiert. Man bestimme die Matrizen M_{B}(s) und M_{B′}(s) bezüglich der Basen

B = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} und B′ = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (\frac{1}{4}, 1, −\frac{3}{4})\}.

(b) Für v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}), w = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) aus ℝ^{4} sei

⟨v, w⟩ := 3x_{1}y_{1} + 3x_{1}y_{2} + 3x_{2}y_{1} + 4x_{3}y_{4} + 4x_{4}y_{3} .

Hierdurch ist eine symmetrische Bilinearform s : ℝ^{4} × ℝ^{4} → ℝ, (v, w) ↦ ⟨v, w⟩ , definiert. Man bestimme die Matrizen M_{B}(s) und M_{B′}(s) bezüglich der Basen

B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} und
B′ = \{(1, 0, 0, 0), (−1, 1, 0, 0), (0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (0, 0, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2})\} von ℝ^{4} .

Aufgabe 44. Sei V ein euklidischer ℝ-Vektorraum. Man zeige, dass für u, v, w ∈ V die folgenden drei Aussagen gelten, und fertige zu (c) eine Skizze an:

(a) ∥v − w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} − 2⟨v, w⟩ (“Kosinussatz”)

(b) ∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2 ∥v∥^{2} + 2 ∥w∥^{2} (“Parallelogrammgleichung”)

(c) (u − w) ⊥ (v − w) ⟹ ∥u − w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = ∥u − v∥^{2} .

Aufgabe 45. Es sei ℝ^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es seien

v_{1} =(\frac{1}{\sqrt{3}} , 0 , \frac{−1}{2\sqrt{6}}), v_{2} =(\frac{−1}{2\sqrt{3}} , \frac{1}{2} , \frac{−1}{2\sqrt{6}}), v_{3} =(\frac{−1}{2\sqrt{3}} , −\frac{1}{2} , \frac{−1}{2\sqrt{6}}) ,

und v_{4} =(0, 0, \frac{3}{2\sqrt{6}}) .

Man berechne den Abstand ∥v_{i} − v_{j}∥ für i, j ∈ {1, 2, 3, 4} , i < j . Sodann zeige man, dass v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} ein regelmässiges Tetraeder mit dem Mittelpunkt 0 bilden. Man ermittle, welche Winkel v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} miteinander bilden.

Aufgabe 46. Es sei V := ℝ^{4} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es sei U der von den Vektoren (2, 1, 0, 3), (4, 2, 1, −1), (1, 0, 2, −13) erzeugte Untervektorraum von V. Man bestimme eine Basis des zu U orthogonalen Untervektorraums U^{⊥} := {v ∈ V | v ⊥ u ∀ u ∈ U}.

Aufgabe 47. Sei V ein euklidischer oder unitärer 𝕂-Vektorraum. Für v, w ∈ V, v ≠ 0, zeige man: Es gibt genau einen Vektor u ∈ V und genau ein λ ∈ 𝕂 derart, dass gilt: w = λv + u und u ⊥ v. Hierbei ist λ = \frac{⟨w,v⟩}{⟨v,v⟩} . Man fertige vor der Beweisführung eine Skizze an.

(λv heißt die orthogonale Projektion von w auf die Gerade 𝕂v.)

Aufgabe 48. Es seien ℝ^{3} und ℝ^{4} jeweils mit dem Standard-Skalarprodukt versehen.

(a) Man ergänze u_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}) zu einer Orthonormalbasis von ℝ^{3}.

(b) Man ergänze u_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), u_{2} = (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) zu einer Orthonormalbasis von ℝ^{4}.

Aufgabe 49. Es sei ℝ^{4} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es sei U der von den Vektoren v_{1} = (−3, −3, 3, 3), v_{2} = (−5, −5, 7, 7) und v_{3} = (4, −2, 0, 6) erzeugte Teilraum von ℝ^{4}. Man benutze das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion einer Orthonormalbasis von U.

Aufgabe 50. Sei V ein metrischer K-Vektorraum mit Metrik s : V × V → K, (v, w) ↦ ⟨v, w⟩. Man zeige:

(a) Ist U ein Teilraum von V, so ist U^{⊥} := {v ∈ V | v ⊥ u ∀ u ∈ U} ein Teilraum von V.

(b) Wenn \overline{V} := V als additive Gruppe und eine Skalarmultiplikation für \overline{V} durch λ · v := \overline{1}\overline{λ}v erklärt ist, so wird \overline{V} dadurch zu einem K-Vektorraum.

(c) Für jedes v ∈ V sind ℓ_{v} : \overline{V} → K, w ↦ ⟨v, w⟩, und r_{v} : V → K, w ↦ ⟨w, v⟩, K-linear.

(d) Es sind ℓ : V → Hom_{K}(\overline{V} , K), v ↦ ℓ_{v} , und r : \overline{V} → Hom_{K}(V, K), v ↦ r_{v} , K-linear.

Aufgabe 51. Sei K ein Körper, in dem 1 + 1 ≠ 0 gelte, und sei V ein 2-dimensionaler K-Vektorraum, versehen mit einer regulären symmetrischen Bilinearform s : V × V → K, (v, w) ↦ ⟨v, w⟩.

Man zeige: Wenn es einen isotropen Vektor u ≠ 0 in V gibt, ist V eine hyperbolische Ebene.

Aufgabe 52.

(a) Man zeige: Vektoren v_{1} ≠ 0 , …, v_{n} ≠ 0 in einem euklidischen ℝ-Vektorraum mit der Eigenschaft v_{i}⊥v_{j} ∀ i ≠ j sind linear unabhängig, und für jeden Vektor v aus dem von v_{1}, …, v_{n} erzeugten Teilraum gilt:

v = \frac{⟨v, v_{1}⟩}{⟨v_{1}, v_{1}⟩} v_{1} + ⋯ + \frac{⟨v, v_{n}⟩}{⟨v_{n}, v_{n}⟩} v_{n} .

(b) Es sei ℝ^{3} versehen mit dem Standard-Skalarprodukt. Man konstruiere mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis für den Teilraum U = { (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0 } und bestimme eine Basis von U^{⊥}.

8 Metrische Abbildungen

8.1 Metrische Abbildung und Isometrie

Seien V, W zwei metrische K-Vektorräume bezüglich derselben Involution ¯ : K ^{}K, α ^{}\overline{α}, und seien s_{V} : V ×V ^{}K und s_{W} : W ×W ^{}K Metriken auf V und W (gemäß 7.2).

Definition.

1. Eine K-lineare Abbildung f : V ^{}W heißt metrisch oder Metrik erhaltend, falls gilt:

s_{V} (v, v′) = s_{W} (f(v), f(v′)) ∀v, v′ ∈ V

2. Eine K-lineare Abbildung f : V ^{}W heißt Isometrie, falls f metrisch und bijektiv ist. Wir nennen V und W dann isometrisch.

8.2 Metrische Abbildung eines regulären Raumes

Bemerkung. Ist s_{V} regulär (d.h. Rad V = {0}), so ist jede K-lineare metrische Abbildung f : V ^{}W injektiv.

Beweis. Sei v ≠ 0 in V. Dann gibt es ein v′ ∈ V mit s_{V} (v, v′) ≠ 0 (da sonst v ∈ Rad V wäre). Es folgt s_{W} (f(v), f(v′)) =_{f metrisch} s_{V} (v, v′) ≠ 0 und

insbesondere f(v) ≠ 0. Also ist f injektiv, (vgl. Satz 3.19).

8.3 Spiegelungen

Sei 1 + 1 ≠ 0 in K, und sei s : V × V ^{}K eine reguläre, symmetrische Bilinearform. Sei dim_{K} V = n ≥ 2. Wähle v ∈ V mit ⟨v, v⟩ ≠ 0. Nach 7.15 ist dann V = Kv⊥(Kv)^{⊥}, also dim_{K}(Kv)^{⊥} = n − 1. Wir nennen dann

σ : V ^{}V, w ^{}w − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v

eine Spiegelung an der zu Kv senkrechten Hyperebene U := (Kv)^{⊥}.

Behauptung. σ : V ^{}V ist eine Isometrie mit den Eigenschaften

i) σ(u) = u ∀u ∈ U

ii) σ ∘ σ = id

Beweis. 1. σ ist K-linear, denn:

σ(λw) = λw − 2\frac{⟨λw, v⟩}{⟨v, v⟩}v =_{7.2} λσ(w) ∀λ ∈ K, w ∈ V

und

σ(w + w′) = w + w′ − 2\frac{⟨w + w′, v⟩}{⟨v, v⟩}v

=_{7.2} w + w′ − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v − 2\frac{⟨w′, v⟩}{⟨v, v⟩}v

= σ(w) + σ(w′) ∀w, w′ ∈ V

2. σ ist Metrik erhaltend, denn für alle w, w′ ∈ V gilt

⟨σ(w), σ(w′)⟩ = ⟨w − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v, w′ − 2\frac{⟨w′, v⟩}{⟨v, v⟩}v⟩

= ⟨w, w′⟩ − 2\frac{⟨w′, v⟩}{⟨v, v⟩}⟨w, v⟩ − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}⟨v, w′⟩

+ 4\frac{⟨w, v⟩⟨w′, v⟩}{⟨v, v⟩^{2}}⟨v, v⟩

= ⟨w, w′⟩

da s symmetrisch ist und also ⟨v, w′⟩ = ⟨w′, v⟩ gilt.

3. σ ist injektiv nach 8.2, also bijektiv nach 3.23. Gezeigt ist nun, dass σ eine Isometrie ist. zu i) Sei u ∈ U. Dann ist σ(u) = u − 2\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v = u, da ⟨u, v⟩ = 0 für alle

u ∈ U = (Kv)^{⊥}.

zu ii) Es ist

σ(σ(w)) = σ(w − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v)

= σ(w) − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}σ(v) nach 1.)

= w − 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v + 2\frac{⟨w, v⟩}{⟨v, v⟩}v, da σ(v) = −v

= w ∀w ∈ V

Beispiel. Sei V = ℝ^{2} und s das Standard-Skalarprodukt. Dann ist U = (Kv)^{⊥} eine Gerade. Für ∥v∥ = 1 ist w ^{}⟨w, v⟩v die orthogonale Projektion von w auf ℝv (vgl. Aufgabe 47).

Abbildung 21: orthogonale Projektion von w auf Kv

8.4 Die Matrix M_{B}^{B}(f) einer Isometrie f : V ^{}V

Satz. Seien s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩, eine Metrik (wie in 7.2), f : V ^{}V eine Isometrie und B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Für

T := M_{B}^{B}(f)

gilt dann

tT M_{B}(s) T^{∗} = M_{B}(s) (mit T^{∗} = \overline{1} · \overline{T} ).

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Beweis. Da f ein Isomorphismus ist, ist B′ := (f(v_{1}), …, f(v_{n})) eine Basis von V nach Aufgabe 18. Dann gilt M_{B}^{B}(f) = M_{B′}^{B}(id) nach 4.4. Es folgt

tT M_{B}(s) T^{∗} = M_{B′}(s) nach 7.6
= M_{B}(s)

nach 7.4, da f metrisch ist.

8.5 Lineare Gruppen

Nach 4.22 ist

M_{B}^{B} : GL(V) ^{∼}^{}GL_{n}(K), f ^{}M_{B}^{B}(f)

ein Isomorphismus von Gruppen. Im Hinblick auf 8.4 betrachten wir in GL(V) die Untergruppe G(V, s) aller Isometrien f : V ^{}V, und in GL_{n}(K) die Unterguppe

G_{n}(K, M_{B}(s)) := {T ∈ GL_{n}(K) | ^{t}T M_{B}(s) T^{∗} = M_{B}(s)}

Dann erhalten wir einen Isomorphismus der Untergruppen

M_{B}^{B} : G(V, s) ^{∼}^{}G_{n}(K, M_{B}(s)), f ^{}M_{B}^{B}(f)

Beispiele.

1. V euklidischer ℝ-Vektorraum und B = (u_{1}, …, u_{n}) eine Orthonormalbasis von V (vgl. 7.20). Dann ist M_{B}(s) = E_{n}, und die Gruppe G_{n}(ℝ, M_{B}(s)) ist die orthogonale Gruppe

O_{n}(ℝ) := {T ∈ GL_{n}(ℝ) | ^{t}T T = E_{n}} .

Auch jede Matrix T ∈ GL_{n}(ℝ) mit^{t}T T = E_{n} wird orthogonal genannt. Nach 4.2 sind äquivalent

i) T ist orthogonal ii) Die Spalten von T bilden eine Orthonormalbasis von ℝ^{n} bezüglich

des Standard-Skalar-Produkts

2. Analog: V unitärer ℂ-Vektorraum und B = (u_{1}, …, u_{n}) eine Orthonormalbasis von V. Dann ist G_{n}(ℂ, M_{B}(s)) die unitäre Gruppe

U_{n}(ℂ) := \{T ∈ GL_{n}(ℂ) | ^{t}T \overline{T} = E_{n}\} .

Auch jede Matrix T ∈ GL_{n}(ℂ) mit ^{t}T \overline{T} = E_{n} unitär genannt.

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3. Sei 1 + 1 ≠ 0 in K und s : V × V ^{}K eine reguläre schiefsymmetrische Bilinearform. Dann ist n = 2m nach 7.17, 7.18 und es gibt eine Basis B von V so, dass

M_{B}(s) = ( \begin{matrix}0 & E_{m} \\ −E_{m} & 0 \end{matrix} ) := I_{m} wobei E_{m} = (\begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix})

Die Gruppe Sp_{2m}(K) := {T ∈ GL_{2m}(K) | ^{t}T I_{m}T = I_{m}} heißt symplektische Gruppe.

8.6 Klassifikation regulärer symplektischer Räume

Satz. Sei 1 + 1 ≠ 0 in K. Seien V, W endlich dimensionale K-Vektorräume und s_{V} : V × V ^{}K sowie s_{W} : W × W ^{}K reguläre symplektische Metriken. Dann gilt

V und W sind isometrisch ⟺ dim_{K} V = dim_{K} W

Zu jeder geraden positiven Zahl 2m gibt es also bis auf Isometrie genau einen regulären symplektischen K-Vektorraum der Dimension 2m.

Beweis. ⟹ klar (vgl. 3.21)

⟸ Es ist V = H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{m} und W = H′_{1}⊥ ⋯ ⊥H′_{m} mit hyperbolischen Ebenen H_{i}, H′_{i} nach 7.17. Sei (u_{i}, v_{i}) eine Basis von H_{i}, wobei u_{i}, v_{i} isotrop und ⟨u_{i}, v_{i}⟩ = 1. Wähle analoge Basis (u′_{i}, v′_{i}) von H′_{i} für i = 1, …, m. Dann ist

f : V ^{}W, u_{i}  ^{}u′_{i}, v_{i}  ^{}v′_{i}

eine Isometrie.

8.7 Klassifikation orthogonaler Räume

Satz. Seien V, W zwei endlich dimensionale ℝ-Vektorräume mit orthogonaler Geometrie (d.h. sie seien jeweils mit einer symmetrischen Bilinearform s_{V} : V × V ^{}K und s_{W} : W × W ^{}K versehen). Dann gilt

V und W sind isometrisch ⟺ V und W haben die gleiche Signatur Insbesondere gibt es auf einem n-dimensionalen ℝ-Vektorraum V bis auf Isometrie genau n + 1 verschiedene reguläre orthogonale Geometrien.

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Beweis. Die Äquivalenz folgt aus 7.22 und 7.23. Sei (r^{+}, r^{−}, r_{0}) die Signatur von V. Da s regulär ist, ist r_{0} = 0. Dann verbleiben für r^{+} und r^{−} die n + 1 Möglichkeiten (0, n), (1, n − 1), …, (n, 0).

8.8 Beispiele für reguläre orthogonale ℝ-Vektorräume

Sei V ein regulärer orthogonaler ℝ-Vektorraum wie in 8.7. Dann ist n = dim_{K} V = r^{+} + r^{−} , wobei (r^{+}, r^{−}) die Signatur von V bezeichnet, vgl. 7.22, 7.23.

1. r^{+} = n, r^{−} = 0 ⟹ V euklidisch (vgl. 7.7)

2. r^{+} = 1, r^{−} = 1 ⟹ V ist eine hyperbolische Ebene, (vgl. 7.16)

3. r^{+} = 3, r^{−} = 1 ⟹ V ist der Minkowski-Raum (kommt, wie schon in 7.22 erwähnt, in der Relativitätstheorie vor)

8.9 Orthogonale Gruppen O_{(r^{+},r^{−})}(ℝ)

Sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum, versehen mit einer regulären symmetrischen Bilinearform s : V × V ^{}ℝ mit Signatur (r^{+}, r^{−}). Dann ist die Gruppe G(V, s) aller Isometrien V ^{}V isomorph zu

O_{(r^{+},r^{−})}(ℝ) := \{T ∈ GL_{n}(ℝ) |^{t}T ( \begin{matrix}E_{r^{+}} & 0 \\ 0 & −E_{r^{−}} \end{matrix} ) T = ( \begin{matrix}E_{r^{+}} & 0 \\ 0 & −E_{r^{−}} \end{matrix} )\}

nach 7.23 und 8.5.

1. r^{+} = n, also V euklidisch ⟹ O_{(r^{+},r^{−})}(ℝ) = O_{n}(ℝ) wie in 8.5.1.

2. r^{+} = 3, r^{−} = 1 (Minkowski-Raum). Dann heißt

O_{(3,1)}(ℝ) := \{T ∈ GL_{4}(ℝ) |^{t}T (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) T = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix})\}

Lorentzgruppe (wichtig in der Physik).

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8.10. Bestimmung aller orthogonaler 2 × 2-Matrizen  141

8.10 Bestimmung aller orthogonaler 2 × 2-Matrizen

Seien a, b ∈ K mit a^{2} + b^{2} = 1. Dann sind die Matrizen

T = (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) und S = (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix})

orthogonal denn:

tT T = (\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

und

tSS = (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix}) (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Dabei heißt T ∈ M_{2×2}(K) orthogonal, falls ^{t}T T = E_{2}, also falls T ∈ GL_{2}(K) und T^{−1} = ^{t}T (vgl. Regel 4.13).

Satz. Für Matrizen T ∈ M_{2×2}(K) gilt

T orthogonal ⟺ T = (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) oder T = (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix}) mit a^{2} + b^{2} = 1

Beweis. ⟸ siehe oben

⟹ Es ist T = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) mit a, b, c, d ∈ K und

tT T = (\begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix}) (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}a^{2} + c^{2} & ab + cd \\ ab + cd & b^{2} + d^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

also a^{2} + c^{2} = 1, b^{2} + d^{2} = 1 und ab + cd = 0.

1. Fall a ≠ 0. Dann ist b = −\frac{cd}{a} ⟹ 1 = b^{2} + d^{2} = \frac{d^{2}}{a^{2}} \underbrace{(c^{2} + a^{2})}_{1} ⟹

(d + a)(d − a) = 0 ⟹ d = ±a ⟹ b = \begin{cases}−c falls d = a \\ c falls d = −a \end{cases}

2. Fall a = 0. Dann ist c^{2} = 1 ⟹ c = ±1 ⟹ d = 0, da ab + cd = 0 ⟹ b^{2} = 1 ⟹ b = ±1

8.11 Orthogonale Abbildungen

Sei V ein euklidischer ℝ-Vektorraum. Dann nennen wir eine metrische Abbildung f : V ^{}V auch orthogonal.

Satz. Ist B = (u_{1}, …, u_{n}) eine Orthonormalbasis von V, so gilt

f : V ^{}V ist orthogonal ⟺ T := M_{B}^{B}(f) ist orthogonal

und wir haben nach 8.2, 8.4, 8.5 eine Isomorphie von Gruppen

M_{B}^{B} : {f : V ^{}V | f orthogonal } ^{∼}^{}O_{n}(ℝ), f ^{}M_{B}^{B}(f)

Beweis. ”⟹“ Sei f ein orthogonale Abbildung. Dann ist f nach 8.2 und 3.23 eine Isometrie ⟹_{8.4} ^{t}T T = E_{n}, da B eine Orthonormalbasis ist.

”⟸“ Da T ∈ GL_{n}(ℝ)

⟹ f ist bijektiv nach 4.22.

⟹ B′ = (f(u_{1}), …, f(u_{n})) ist eine Basis von V nach Aufgabe 18

⟹ M_{B}^{B}(f) = M_{B′}^{B}(id) nach 4.4

⟹ M_{B′}(s) = E_{n}, da M_{B}(s) = E_{n} und ^{t}T M_{B}(s)T = M_{B′}(s) nach 7.6

⟹ B′ ist ebenfalls eine Orthonormalbasis von V

Für v = λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{n}u_{n} und w = μ_{1}u_{1} + … + μ_{n}u_{n} mit λ_{i}, μ_{i} ∈ ℝ folgt nun nach den Regeln 7.7 für das Skalarprodukt

⟨v, w⟩ = λ_{1}μ_{1} + ⋯ + λ_{n}μ_{n} = ⟨f(v), f(w)⟩

Beispiel. Ist dim_{ℝ} V = 2, so entsprechen die orthogonalen Abbildungen f : V ^{}V bijektiv den Matrizen der Form

(\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix})_{Drehung, det()=1} oder (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix})_{Spiegelung, det()=−1} mit a, b ∈ ℝ und a^{2} + b^{2} = 1

(vgl. 8.10).

8.12 Geometrische Bedeutung, falls dim_{ℝ} V = 2

Sei V euklidisch, B = (u_{1}, u_{2}) eine Orthonormalbasis von V und f : V ^{}V orthogonal.

Behauptung.

M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix}) mit a^{2} + b^{2} = 1 ⟹ f ist eine Spiegelung

Beweis. 1. Fall a = 1 ⟹ b = 0.

Für die Spiegelung

σ : V ^{}V w ^{}w − 2⟨w, u_{2}⟩u_{2}

an der Geraden ℝu_{1} = (ℝu_{2})^{⊥} gilt σ(u_{1}) = u_{1} und σ(u_{2}) = −u_{2}, also

M_{B}^{B}(σ) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) = M_{B}^{B}(f) ⟹ σ = f nach 8.11

2. Fall a ≠ 1 ⟹ a = −1 oder |a| < 1 , da a^{2} + b^{2} = 1. Setze v = αu_{1} + βu_{2} mit α = \sqrt{\frac{1−a}{2}} und β = \frac{−b}{2α}. Es folgt

⟨v, v⟩ = α^{2} + β^{2} = \frac{1 − a}{2} + \frac{b^{2}}{4α^{2}}

= \frac{1 − a}{2} + \frac{b^{2}}{2(1 − a)} = \frac{(1 − a)^{2} + b^{2}}{2(1 − a)}

= \frac{1 − 2a + \overbrace{a^{2} + b^{2}}^{=1}}{2 − 2a} = 1

Sei

σ : V ^{}V w ^{}w − 2⟨w, v⟩v

die Spiegelung an der Geraden (ℝv)^{⊥}. Mit Hilfe von ⟨u_{1}, v⟩ = α und ⟨u_{2}, v⟩ = β ergibt sich

σ(u_{1}) = u_{1} − 2α(αu_{1} + βu_{2}) = u_{1} − 2α^{2}u_{1} − 2αβu_{2}

= (1 − 1 + a)u_{1} + bu_{2} = au_{1} + bu_{2} und

σ(u_{2}) = u_{2} − 2β(αu_{1} + βu_{2}) = u_{2} − 2β^{2}u_{2} − 2αβu_{1}

= (1 − \frac{b^{2}}{1 − a})u_{2} + bu_{1} = \frac{1 − a − b^{2}}{1 − a} u_{2} + bu_{1}

= \frac{a^{2} − a}{1 − a}u_{2} + bu_{1}, da 1 − b^{2} = a^{2}

= \frac{−a(1 − a)}{1 − a}u_{2} + bu_{1} = bu_{1} − au_{2}

⟹ M_{B}^{B}(σ) = (\begin{matrix}a & b \\ b & −a \end{matrix}) = M_{B}^{B}(f) ⟹ σ = f nach 8.11

Es ist

SO_{2}(ℝ) := {T ∈ O_{2}(ℝ) | det T = 1}

=_{8.10} \{T ∈ O_{2}(ℝ) | T = (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) mit a^{2} + b^{2} = 1\}

eine Untergruppe von O_{2}(ℝ), genannt spezielle orthogonale Gruppe. Sei a, b ∈ ℝ mit a^{2} + b^{2} = 1. Dann gibt es genau ein φ ∈ [0, 2π[ mit

a = cos φ und b = sin φ

Insbesondere können wir jede Matrix T ∈ O_{2}(ℝ) in dieser Form darstellen. Die Matrix

T = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

beschreibt bezüglich der Standardbasis eine Drehung um den Winkel φ im mathematisch positiven Sinne (gegen die Uhrzeigerrichtung), und die Matrix

(\begin{matrix}cos φ & sin φ \\ sin φ & − cos φ \end{matrix})

beschreibt eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden von φ.

8.13 Übungsaufgaben 53 – 54

Aufgabe 53. Es sei ℝ^{4} versehen mit dem Standard-Skalarprodukt, und es sei f : ℝ^{4} → ℝ^{4} definiert durch

f(x) = (x_{1} +x_{2} +x_{3} +x_{4}, x_{1} +x_{2} +x_{3} +x_{4}, x_{1} +x_{2} −x_{3} −x_{4}, x_{1} +x_{2} −x_{3} −x_{4}) für x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4}. Man bestimme eine Orthogonalbasis von kern(f) und ergänze diese zu einer Orthogonalbasis von ℝ^{4}.

Aufgabe 54.

(a) Man berechne die Determinante der Matrix

T = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}) ∈ M_{3×3}(ℝ)

und bestimme die inverse Matrix T^{−1}.

(b) Man bestimme alle x ∈ ℝ, für die die Matrix

T = \frac{1}{1 + x(x + 1)} (\begin{matrix}−x & x(1 + x) & 1 + x \\ 1 + x & −x & x(1 + x) \\ x(1 + x) & 1 + x & −x \end{matrix}) ∈ M_{3×3}(ℝ)

orthogonal ist.

8.14 Klausur I

1. Seien A = (\begin{matrix}1 & −3 & 2 \\ −1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix}) ∈ M_{4×3}(ℝ) und b⃗ = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) ∈ ℝ^{4} .

(a) Man bestimme rang(A), rang(A|b⃗) und die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax⃗ = b⃗ .

(b) Sei B = ^{t}A, und sei U = { x⃗ ∈ ℝ^{4} | Bx⃗ = 0 } . Man bestimme eine Basis von U .

2. Seien A = (\begin{matrix}1 & a & 0 \\ a & 5 & 0 \\ 1 & a & 1 \end{matrix}) ∈ M_{3×3}(ℝ) und B = (\begin{matrix}1 & 2 & −1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 & 4 \\ 3 & −2 & 1 & 6 \\ 1 & 4 & −1 & 2 \end{matrix}) ∈

M_{4×4}(ℝ) .

Man bestimme alle a ∈ ℝ, für die A invertierbar ist, und berechne in diesen Fällen A^{−1} .

Man untersuche, ob B invertierbar ist.

3. Man berechne die Determinante der Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 4 & −2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & −1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}) ∈ M_{4×4}(ℝ) .

4. Es sei ℝ^{4} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es sei U der von den Vektoren v_{1} = (1, 0, 1, 0), v_{2} = (1, 1, −1, 1) und v_{3} = (−1, 2, 0, 1) erzeugte Teilraum von ℝ^{4} .

Man benutze das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion einer Orthonormalbasis von U.

5. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und sei f : V → V eine K-lineare Abbildung. Man zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

(1) bild(f) = kern(f)

(2) f ∘ f ist die Nullabbildung V → V, v ↦ 0 , und

dim_{K}V = 2 · dim_{K}kern(f) .

6. Man zeige, dass der Rang der Matrix A = (\begin{matrix}0 & −a & −b \\ a & 0 & −c \\ b & c & 0 \end{matrix}) für beliebige

Zahlen a, b, c ∈ ℝ nie 1 oder 3 sein kann.

9 Eigenwerte

Sei K ein Körper, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung endlich dimensionaler K-Vektorräume V, W. Dann gibt es nach 4.18 Basen B von V und C von W so, dass

M_{B}^{C}(f) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) mit r = dim_{K} bild f

Problem: Wenn f : V ^{}V ein Endomorphismus ist, gibt es dann eine Basis B von V so, dass M_{B}^{B}(f) möglichst einfache Gestalt hat? Dieses Problem ist nicht so einfach zu lösen, wie das folgende Beispiel zeigt:

Beispiel. V euklidisch, n = 2 und B = (u_{1}, u_{2}) eine Orthonormalbasis von V. Für die Spiegelung σ an der Geraden ℝu_{1} ist dann

M_{B}^{B}(σ) =_{8.12} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

eine Diagonalmatrix. Aber eine Drehung σ ≠ ± id läßt sich bezüglich keiner Basis durch eine Diagonalmatrix beschreiben, wie sich aus 8.10 und 8.11

ergibt, (denn Drehungsmatrizen haben die Gestalt (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) mit a^{2} + b^{2} = 1,

und aus a ≠ ±1 folgt b ≠ 0).

Um Darstellungsmatrizen auf eine einfachere Gestalt (möglichst sogar auf Diagonalgestalt) zu transformieren, müssen wir Basiswechsel durchführen wie in 4.15:

M_{B′}^{C′}(f) = S^{−1} M_{B}^{C}(f) T

oder wie in 4.16:

M_{B′}^{B′}(f) = T^{−1}M_{B}^{B}(f)T

Im ersten Fall (4.15) spricht man von äquivalenten und im zweiten Fall (4.16) von ähnlichen Darstellungsmatrizen. Diese beiden Begriffe wollen wir jetzt allgemein für Matrizen einführen.

9.1 Äquivalente Matrizen

Zwei Matrizen A, B ∈ M_{m×n}(K) heißen äquivalent, falls es R ∈ GL_{m}(K) und T ∈ GL_{n}(K) gibt so, dass B = RAT gilt. Nach 4.19 ist jede Matrix A ∈ M_{m×n}(K) vom Rang r äquivalent zu

( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ”Normalform“

9.2 Ähnliche Matrizen

Zwei Matrizen A, B ∈ M_{n×n}(K) heißen ähnlich, falls ∃ T ∈ GL_{n}(K) so, dass

B = T^{−1}AT

Das Problem ist es nun, auch für Ähnlichkeit eine ”Normalform“ zu finden. Für K = ℂ führt die Lösung des Problems zur Jordanschen Normalform (vgl. Kapitel 13).

9.3 Diagonalisierbare Endomorphismen und Matrizen

Definition.

1. Ein Endomorphismus f : V ^{}V heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis B von V gibt so, dass M_{B}^{B}(f) eine Diagonalmatrix ist.

2. Eine Matrix A ∈ M_{n×n}(K) heißt diagonalisierbar, falls A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.

9.4 Eigenwerte und Eigenvektoren

Sei f : V ^{}V ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V. Ein Element λ ∈ K heißt Eigenwert von f, falls es einen Vektor v ≠ 0 in V gibt mit

f(v) = λv

Jeder solche Vektor v ≠ 0 heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Beispiel. Sei V euklidisch, dim_{ℝ} V = 2 und B = (u_{1}, u_{2}) eine Orthonormalbasis. Für die Spiegelung σ : V ^{}V an der Geraden ℝu_{1} gilt dann

σ(u_{1}) = u_{1} und σ(u_{2}) = −u_{2} (vgl. 8.3, 8.12)

Es folgt: u_{1} ist Eigenvektor zum Eigenwert 1, und u_{2} ist Eigenvektor zum

Eigenwert −1. Es ist M_{B}^{B}(σ) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) und also σ diagonalisierbar.

Allgemein gilt:

9.5 Kriterium für Diagonalisierbarkeit

Bemerkung. Sei V endlich dimensional. Dann ist ein Endomorphismus f : V ^{}V genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis besitzt, die nur aus Eigenvektoren von f besteht.

Beweis. Für eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V sind äquivalent:

M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix}) mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

⟺_{4.4} f(v_{j}) = λ_{j}v_{j} ∀j = 1, …, n

⟺ v_{j} ist Eigenvektor zum Eigenwert λ_{j} ∀j = 1, …, n

9.6 Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig?

Satz. Sei V ein K-Vektorraum. Ist v_{j} Eigenvektor eines Endomorphismus f : V ^{}V zum Eigenwert λ_{j} für j = 1, …, n und gilt λ_{i} ≠ λ_{j} für alle i ≠ j, so sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig. Im Fall n = dim_{K} V besitzt f also höchstens n verschiedene Eigenwerte; und falls f genau n verschiedene Eigenwerte besitzt, ist f diagonalisierbar.

Beweis. Induktion nach n:

n = 1 Ist trivial, da v_{1} ≠ 0 nach Definition 9.4

n > 1 Die Behauptung sei richtig für k < n. Sei

(∗)  μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{k+1}v_{k+1} = 0 mit μ_{1}, …, μ_{k+1} ∈ K

Es folgt

0 = f(0) = μ_{1}f(v_{1}) + ⋯ + μ_{k+1}f(v_{k+1})

=_{Vor.} μ_{1}λ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{k+1}λ_{k+1}v_{k+1} (1)

Da außerdem

(2)  0 =_{(∗)} λ_{k+1}(μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{k+1}v_{k+1})

gilt, ergibt (1) − (2)

0 = μ_{1}(λ_{1} − λ_{k+1})v_{1} + ⋯ + μ_{k}(λ_{k} − λ_{k+1})v_{k}

+ μ_{k+1}(\underbrace{λ_{k+1} − λ_{k+1}}_{0})v_{k+1}

⟹_{Indvor.} μ_{1}(λ_{1} − λ_{k+1}) = ⋯ = μ_{k}(λ_{k} − λ_{k+1}) = 0
= \begin{matrix}λ_{i}≠λ_{j} \\ für i≠j \end{matrix} ⇒ μ_{1} = ⋯ = μ_{k} = 0
⟹_{(∗)} μ_{k+1} = 0, da v_{k+1} ≠ 0

Ist dim_{K} V = n und hat f genau n verschiedene Eigenwerte, so besitzt V eine Basis, die aus Eigenvektoren besteht, und f ist nach 9.5 diagonalisierbar.

9.7 Eigenräume

Ist f : V ^{}V ein Endomorphismus und λ ein Eigenwert von f, so heißt der Teilraum

V_{λ} := kern(f − λ id_{V})

der Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Es ist also V_{λ} = {v ∈ V | f(v) = λv} und V_{λ} \ {0} ist die Menge aller Eigenvektoren von f zum Eigenwert λ.

Bemerkung. Ist dim_{K} V = n, und sind λ_{1}, …, λ_{k} paarweise verschiedene Eigenwerte von f, so ist die Summe V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}} direkt (wie aus 9.6 folgt), und es gilt

dim_{K} V_{λ_{1}} + ⋯ + dim_{K} V_{λ_{k}} ≤ n

(wie mit Induktion aus 3.14, dem Dimensionssatz 3.15 und der Definition der (inneren) direkten Summe 2.14 folgt).

9.8 Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus

Sei dim_{K} V = n und h : V ^{}V ein Endomorphismus. Dann ist die Determinante det h definiert durch det h := det M_{B}^{B}(h) mit irgendeiner Basis B von V. (Die Definition ist davon unabhängig, welche Basis wir wählen, vgl.6.13.)

Bemerkung. Sei g = f − λ id mit λ ∈ K, wobei f : V ^{}V ein Endomorphismus von V ist. Dann folgt M_{B}^{B}(g) = M_{B}^{B}(f) − λE_{n} nach Satz 4.4 und 4.6 und also

det g = det(M_{B}^{B}(f) − λE_{n})

Ersetzen wir hierin λ durch eine Unbestimmte x über K, so erhalten wir das charakteristische Polynom von f. Es ist definiert als

χ_{f}(x) := det(M_{B}^{B}(f) − xE_{n})

9.9 Charakteristisches Polynom einer Matrix

Sei x eine Unbestimmte über K, und sei A ∈ M_{n×n}(K). Dann heißt

χ_{A}(x) := det(A − xE_{n})

das charakteristische Polynom von A.

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Bemerkung. Es gibt Elemente a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ K so, dass gilt

χ_{A}(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}

Hierbei ist

• a_{n} = (−1)^{n}, also a_{n} ≠ 0

• a_{n−1} = (−1)^{n−1} Spur A, wobei Spur A := Summe der Diagonalelemente von A

• a_{0} = det A

(Einen Beweis findet man z. B. in dem Buch von Fischer [7, S. 220].)

Beispiele.

1. A = (n × n)-Nullmatrix ⟹ χ_{A}(x) = det(−xE_{n}) = (−1)^{n}x^{n}

2. A = E_{n} ⟹ χ_{A}(x) = (1 − x)^{n} = (−1)^{n}(x − 1)^{n}

3. A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(K) ⟹

χ_{A}(x) = det (\begin{matrix}a − x & b \\ c & d − x \end{matrix}) = x^{2} − (\underbrace{a + d}_{Spur A})x + \underbrace{ad − bc}_{det A}

9.10 Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Satz. Sei f : V ^{}V ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen K-Vektorraumes V. Dann sind für λ ∈ K äquivalent:

i) λ ist Eigenwert von f, (d.h. ∃v ∈ V \ {0} mit f(v) = λv nach 9.4)

ii) V_{λ} := kern(f − λ id) ≠ {0}

iii) χ_{f}(λ) = 0, (d.h. λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ_{f}(x))

Beweis. Sei g = f − λ id_{V}, also g(v) = f(v) − λv ∀v ∈ V. Dann gilt: λ Eigenwert von f ⟺ V_{λ} = kern g ≠ {0} ⟺ g ist kein Isomorphismus (vgl. Satz 3.19, 3.23) ⟺ M_{B}^{B}(g) ist nicht invertierbar (vgl. Satz 4.4 und 4.22.3)

⟺ 0 =_{6.7} det M_{B}^{B}(g) =_{9.8} det(M_{B}^{B}(f) − λE_{n}) =_{9.8} χ_{f}(λ)

Beispiel. Sei f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} der durch f(e_{1}) = −e_{2} und f(e_{2}) = e_{1} definierte Endomorphismus, und sei B = (e_{1}, e_{2}) die Standardbasis.

⟹ M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) und χ_{f}(x) = det (\begin{matrix}−x & 1 \\ −1 & −x \end{matrix}) = x^{2} + 1

⟹ χ_{f}(x) hat keine Nullstelle in ℝ

=_{Satz 9.10} ⇒ f besitzt keine Eigenwerte in ℝ

⟹_{9.5} f ist nicht diagonalisierbar

9.11 Dimension eines Eigenraums

Lemma. Sei dim_{K} V = n und f : V ^{}V ein Endomorphismus. Ist λ eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ_{f}(x), so gilt dim_{K} V_{λ} ≤ m für den Eigenraum V_{λ} = kern(f − λ id_{V})

Beweis. Sei (v_{1}, …, v_{ℓ}) eine Basis von V_{λ}. Ergänze diese zu einer Basis B von V. Dann gilt

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}A & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} ) mit A = (\begin{matrix}λ & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ \end{matrix}) ∈ M_{ℓ×ℓ}(K)

und also folgt χ_{f}(x) =^{9.8} det(M_{B}^{B}(f) − xE_{n}) = (λ − x)^{ℓ}q(x) mit passendem Polynom q(x). Es folgt ℓ ≤ m

9.12 Hauptsatz über Diagonalisierbarkeit

Satz. Sei dim_{K} V = n und f : V ^{}V ein Endomorphismus. Seien λ_{1}, …, λ_{k} die verschiedenen Eigenwerte von f und V_{λ_{i}} := kern(f − λ_{i} id) die zugehörigen Eigenräume für i = 1, …, k. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. f ist diagonalisierbar

2. χ_{f}(x) = (λ_{1} − x)^{n_{1}} ⋯ (λ_{k} − x)^{n_{k}} und dim_{K} V_{λ_{i}} = n_{i} für i = 1, …, k

3. V = V_{λ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{λ_{k}} Beweis. Es ist k ≤ n nach 9.6.

1. ⟹ 2. Nach 9.5 besitzt V eine Basis B, die aus Eigenvektoren besteht. Wir ordnen diese Basis entsprechend den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{k}, also B = (v_{1}, …, v_{n}) und f(v_{1}) = λ_{1}v_{1}, …, f(v_{n_{1}}) = λ_{1}v_{n_{1}}, f(v_{n_{1}+1}) = λ_{2}v_{n_{1}+1}, …, f(v_{n_{2}}) = λ_{2}v_{n_{2}}, usw. Es folgt

(∗) n_{i} ≤ dim_{K} V_{λ_{i}} für i = 1, …, k

und

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}n_{1} \begin{cases}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{1} \end{cases} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & \begin{matrix}λ_{k} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{k} \end{matrix}\} n_{k} \end{matrix} )

⟹ χ_{f}(x) = det(M_{B}^{B}(f) − xE_{n}) = (λ_{1} − x)^{n_{1}} ⋯ (λ_{k} − x)^{n_{k}} ⟹ dim_{K} V_{λ_{i}} ≤ n_{i} nach 9.11 Mit (∗) folgt dim_{K} V_{λ_{i}} = n_{i} für i = 1, …, k.

2. ⟹ 3. Da χ_{f}(x) den Grad n hat (vgl. 9.9) und da nach Voraussetzung

χ_{f}(x) = (λ_{1} − x)^{n_{1}} ⋯ (λ_{k} − x)^{n_{k}} gilt, folgt

n = n_{1} + ⋯ + n_{k}

Nach 9.7 ist die Summe V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}} direkt

= {2.13 \atop 3.15}⇒ dim_{K}(V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}}) = dim_{K} V_{λ_{1}} + ⋯ + dim_{K} V_{λ_{k}}

=_{2.} n_{1} + ⋯ + n_{k}

= n

und also dim_{K}(V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}}) = dim_{K} V. Da V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}} ein Unterraum von V ist, folgt V_{λ_{1}} + ⋯ + V_{λ_{k}} = V nach 3.14.

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3. ⟹ 1. Wir wählen von jedem V_{λ_{i}} eine Basis und erhalten dadurch eine Basis von Eigenvektoren von V ⟹ 1. nach 9.5.

Beispiel. Sei f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} definiert durch

f(e_{1}) = e_{1} und f(e_{2}) = e_{1} + e_{2}

und sei B = (e_{1}, e_{2}) die Standardbasis.

⟹ A := M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

⟹ χ_{f}(x) = det(A − xE_{2}) = (\begin{matrix}1 − x & 1 \\ 0 & 1 − x \end{matrix}) = (1 − x)^{2}

⟹_{9.10} 1 ist zweifacher Eigenwert.

⟹_{9.12} f ist nicht diagonalisierbar, da dim_{ℝ} V_{1} ≠ 2 gilt:

Es ist e_{1} ∈ kern(f − id), da f(e_{1}) − e_{1} = 0. Ist λ_{1}e_{1} + λ_{2}e_{2} ∈ kern(f − id) mit λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ, so folgt 0 = 0 + λ_{2}(f − id)(e_{2}) = λ_{2}e_{1} + λ_{2}e_{2} − λ_{2}e_{2} = λ_{2}e_{1} und also λ_{2} = 0 . Es folgt V_{1} := kern(f − id) = ℝe_{1} .

9.13 Trigonalisierbarkeit

Ist V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, so heißt ein Endomorphismus f : V ^{}V trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt so, dass M_{B}^{B}(f) eine obere Dreiecksmatrix ist.

Satz. Sei dim_{K} V = n und f : V ^{}V ein Endomorphismus. Dann ist äquivalent

i.) f ist trigonalisierbar

ii.) χ_{f}(x) = (λ_{1} − x) ⋯ (λ_{n} − x) mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

Insbesondere ist im Fall K = ℂ jeder Endomorphismus von V trigonalisierbar

Beweis. i.) ⟹ ii.) Ist f triagonalisierbar, dann gibt es eine Basis B von V so, dass

M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}λ_{1} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix}) mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

Es folgt

χ_{f}(x) =_{9.8} det(M_{B}^{B}(f) − xE_{n}) = det (\begin{matrix}λ_{1} − x & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} − x \end{matrix})

=_{6.6} (λ_{1} − x) ⋯ (λ_{n} − x)

ii.) ⟹ i.) Wir zeigen durch Induktion nach n, dass es eine ”f- invariante Fahne“ gibt, das ist eine Kette von Teilräumen

{0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{n} = V

mit dim_{K} V_{j} = j und f(V_{j}) ⊆ V_{j} ∀j = 1, …, n. Hieraus folgt (i), denn dann gibt es nach dem Basisergänzungssatz 3.9 eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V so, dass (v_{1}, …, v_{j}) eine Basis von V_{j} ist für jedes j = 1, …, n, und nach 4.4 ist M_{B}^{B}(f) eine obere Dreiecksmatrix.

n = 1 klar n > 1 Nach Voraussetzung ist χ_{f}(x) = (λ_{1} − x) ⋯ (λ_{n} − x). Dann ist

λ_{1} eine Nullstelle und also ein Eigenwert von f nach 9.10. Sei w_{1} Eigenvektor zu λ_{1}, also w_{1} ≠ 0 und f(w_{1}) = λ_{1}w_{1}. Wir ergänzen w_{1} zu einer Basis B′ = (w_{1}, …, w_{n}) von V.

⟹ M_{B′}^{B′}(f) = ( \begin{matrix}λ_{1} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 \\ ⋮ & & A \\ 0 \end{matrix} ) mit A := (a_{ij})_{i,j=2,...,n}

Sei U der von (w_{2}, …, w_{n}) erzeugte Teilraum von V. Wir definieren zwei K-lineare Abbildungen:

h : U ^{}V_{1} := Kw_{1}, w_{j} ^{}a_{1j}w_{1} ∀j = 2, …, n

g : U ^{}U, w_{j} ^{}a_{2j}w_{2} + ⋯ + a_{nj}w_{n} ∀j = 2, …, n

Es folgt f(u) = h(u)+g(u) ∀u ∈ U nach 4.4, und A ist die Matrix von g bezüglich der Basis (w_{2}, …, w_{n}) von U. Es ist

χ_{f}(x) = det ( \begin{matrix}λ_{1} − x & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 \\ ⋮ & & A − xE_{n−1} \\ 0 \end{matrix} ) = (λ_{1} − x)χ_{g}(x)

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also χ_{g}(x) = (λ_{2} − x) ⋯ (λ_{n} − x) nach Voraussetzung (ii). Wir wenden die Induktionsvoraussetzung auf U und g an und erhalten eine g-invariante Fahne

{0} = U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ ⋯ ⊂ U_{n−1} = U

Dann ergibt V_{j} := V_{1} + U_{j−1} die gewünschte f-invariante Fahne, denn für λ ∈ K und u ∈ U_{j−1} ist

f(λw_{1} + u) = λλ_{1}w_{1} + f(u)

= \underbrace{λλ_{1}w_{1} + h(u)}_{∈V_{1}} + \underbrace{g(u)}_{∈U_{j−1}} ∈ V_{j}

Nach dem ”Fundamentalsatz der Algebra“ (der in der Funktionentheorie-Vorlesung gezeigt wird), zerfällt jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten über ℂ in Linearfaktoren. Hieraus folgt die letzte Behauptung im Satz.

9.14 Selbstadjungierte Endomorphismen

Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ, und sei

\overline{α} := \begin{cases}α falls 𝕂 = ℝ \\ x − yi falls α = x + yi ∈ ℂ mit x, y ∈ ℝ \end{cases}

Sei V ein euklidischer oder unitärer 𝕂-Vektorraum (vgl. 7.7).

Definition. Ein Endomorphismus f : V ^{}V heißt selbstadjungiert (bzgl. ⟨ , ⟩), falls

⟨f(v), w⟩ = ⟨v, f(w)⟩ ∀v, w ∈ V

Bemerkung. Wenn B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Orthonormalbasis von V und A = M_{B}^{B}(f) ist, so gilt

f selbstadjungiert ⟺ ^{t}A = \overline{A}

(^{t}A = \overline{A} bedeutet, dass A symmetrisch bzw. hermitesch ist, vgl. 7.5)

Beweis. Es gilt

f selbstadjungiert ⟺ ⟨f(v_{j}), v_{k}⟩ = ⟨v_{j}, f(v_{k})⟩ ∀j, k = 1, …, n

Da B orthonormal ist, gilt für M_{B}^{B}(f) =: (a_{ij}) nach Definition 4.4:

⟨f(v_{j}), v_{k}⟩ = a_{1j}⟨v_{1}, v_{k}⟩ + ⋯ + a_{nj}⟨v_{n}, v_{k}⟩ = a_{kj}
⟨v_{j}, f(v_{k})⟩ = \overline{a_{1k}}⟨v_{j}, v_{1}⟩ + ⋯ + \overline{a_{nk}}⟨v_{j}, v_{n}⟩ = \overline{a_{jk}}

9.15 Spektralsatz (”Hauptachsentransformation“)

Sei f : V ^{}V ein selbstadjungierter Endomorphismus eines n-dimen-sionalen euklidischen oder unitären 𝕂-Vektorraumes V. Dann besitzt V eine Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren von f besteht. Die Eigenwerte von f sind sämtlich reell.

Beweis mit Fundamentalsatz der Algebra. Nach 9.13 hat χ_{f}(x) eine Nullstelle λ ∈ ℂ. Sei v Eigenvektor zu λ, also v ≠ 0 und f(v) = λv. Es folgt

⟨f(v), v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ⟨v, v⟩
⟨v, f(v)⟩ = ⟨v, λv⟩ = \overline{λ}⟨v, v⟩

Da ⟨v, v⟩ ≠ 0 (vgl. 7.7) ⟹ λ = \overline{λ} und also λ ∈ ℝ. Setzte U = 𝕂v ⟹ f(U) ⊆ U ⟹ f(U^{⊥}) ⊆ U^{⊥}, denn für u ∈ U^{⊥} folgt

⟨f(u), v⟩ =_{f selbstadjungiert} ⟨u, \underbrace{f(v)}_{∈U}⟩ =_{u ∈ U^{⊥}} 0

Da U regulär ist, folgt V = U⊥U^{⊥} und dim_{K} U^{⊥} = n − 1 nach 7.15. Da f|_{u^{⊥}} : U^{⊥} ^{}U^{⊥} selbstadjungiert, ergibt Induktion die Behauptung.

9.16 Hermitesche und symmetrische Matrizen

Korollar.

a) Sei A ∈ M_{n×n}(ℂ) hermitesch (d.h. ^{t}A = \overline{A}). Dann gibt es eine unitäre Matrix T ∈ GL_{n}(ℂ) (d.h. ^{t}T \overline{T} = E_{n}) so, dass

tT A\overline{T} = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix})

mit λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ

b) Sei A ∈ M_{n×n}(ℝ) symmetrisch (d.h. ^{t}A = A). Dann gibt es eine orthogonale Matrix T ∈ GL_{n}(ℝ) (d.h. ^{t}T T = E_{n}) so, dass

tT AT = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix})

In beiden Fällen sind λ_{1}, …, λ_{n} die Eigenwerte (mit Vielfachheiten) der Standardabbildung f : 𝕂^{n} ^{}𝕂^{n} , x⃗ ^{}Ax⃗ .

Beweis. Sei s das Standardskalarprodukt (vgl. 7.8) und B die Standardbasis von V := 𝕂^{n}. Dann ist A = M_{B}^{B}(f) (vgl. 4.11), und f ist selbstadjungiert nach Voraussetzung und Bemerkung 9.14. Nach dem Spektralsatz 9.15 besitzt V eine Orthonormalbasis B′, die aus Eigenvektoren von f besteht. Es folgt

M_{B′}^{B′}(f) =_{9.5} (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix}) =_{4.16} T^{−1}AT mit T := M_{B′}^{B}(id_{V}) ,

wobei λ_{1}, …, λ_{n} die Eigenwerte von f sind. Da B, B′ Orthonormalbasen

⟹_{7.4} M_{B′}(s) = E_{n} = M_{B}(s) ⟹_{7.6} E_{n} = ^{t}T E_{n}\overline{T} ⟹ ^{t}T = \overline{T}^{−1}. Es folgt die

Behauptung im Fall 𝕂 = ℝ. Falls 𝕂 = ℂ ist, folgt

(\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix}) = T^{−1}AT = ^{t}\overline{T} AT = ^{t}SA\overline{S} mit S := \overline{T}

9.17 Beispiele

Man untersuche, ob

f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} , (a, b, c) ^{}(−5a + 7c, 6a + 2b − 6c, −4a + 6c)

diagonalisierbar ist und konstruiere gegebenenfalls eine Basis B von ℝ^{3} so, dass M_{B}^{B}(f) eine Diagonalmatrix ist.

1. Schritt Bestimme die Matrix M_{B′}^{B′}(f) bezüglich der Standardbasis B′ von ℝ^{3}. Es ist

\begin{matrix}f(1, 0, 0) & = (−5, 6, −4) \\ f(0, 1, 0) & = (0, 2, 0) \\ f(0, 0, 1) & = (7, −6, 6) \end{matrix}\} ⟹ A := M_{B′}^{B′}(f) = (\begin{matrix}−5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & −6 \\ −4 & 0 & 6 \end{matrix})

2. Schritt Prüfe, ob das charakteristische Polynom det(A − xE_{3}) in Linearfaktoren zerfällt. (Falls nein ⟹_{9.12} f ist nicht diagonalisierbar.) Es ist

det(A − xE_{3}) = det (\begin{matrix}−5 − x & 0 & 7 \\ 6 & 2 − x & −6 \\ −4 & 0 & 6 − x \end{matrix})
= (2 − x)((−5 − x)(6 − x) + 28)
= (2 − x)(x^{2} − x − 2)
= (2 − x)^{2}(−1 − x)

Das charakteristische Polynom zerfällt (über ℝ) in Linearfaktoren, und seine Nullstellen sind die Eigenwerte von f. Es ist −1 ein einfacher Eigenwert und 2 ein zweifacher Eigenwert von f.

3. Schritt Bestimme zu jedem Eigenwert λ die Dimension des Eigenraums V_{λ} := kern(f − λ id). Falls dim_{ℝ} V_{λ} = Vielfachheit von λ für jeden Eigenwert λ gilt ⟹_{9.12} f ist diagonalisierbar. (Andernfalls ist f nicht diagonalisierbar.)

λ = −1: Bestimme eine Basis von V_{−1} = kern(f + id). Es ist

(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−5 + 1 & 0 & 7 \\ 6 & 2 + 1 & −6 \\ −4 & 0 & 6 + 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}−4a + 7c \\ 6a + 3b − 6c \\ −4a + 7c \end{matrix})

⟹ −4a + 7c = 0, 6a + 3b − 6c = 0 ⟹_{nachrechnen} v_{1} = (7, −6, 4) bildet eine Basis von V_{1}, also dim_{ℝ} V_{−1} = 1

λ = 2: Bestimme eine Basis von V_{2} = kern(f − 2 id). Es ist

(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−5 − 2 & 0 & 7 \\ 6 & 2 − 2 & −6 \\ −4 & 0 & 6 − 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}−7a + 7c \\ 6a − 6c \\ −4a + 4c \end{matrix})

⟹ a = c, b beliebig

⟹ v_{2} = (0, 1, 0) und v_{3} = (1, 0, 1) bilden eine Basis von V_{2} ⟹ dim_{ℝ} V_{2} = 2

Ergebnis f ist diagonalisierbar, und

B = {v_{1} = (7, −6, 4), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (1, 0, 1)} ist eine Basis von ℝ^{3}, die aus Eigenvektoren von f besteht. Es ist

\begin{aligned}f(v_{1}) & = (−7, 6, 4) = −v_{1} \\ f(v_{2}) & = (0, 2, 0) = 2v_{2} \\ f(v_{3}) & = (2, 0, 2) = 2v_{3} \end{aligned} und M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

Beispiel. Sei f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (a, b, c) ^{}(a − 2c, 0, −2a + 4c) . Es ist zu zeigen, dass f selbstadjungiert ist, und eine Orthonormalbasis von ℝ^{3} bezüglich des Standardskalarprodukt zu konstruieren, die aus Eigenvektoren von f besteht.

• Es ist f selbstadjungiert, denn es ist

\begin{aligned}f(1, 0, 0) & = (1, 0, −2) \\ f(v_{2}) & = (0, 0, 0) \\ f(v_{3}) & = (−2, 0, 4) \end{aligned} also A := M_{B′}^{B′}(f) = (\begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \\ −2 & 0 & 4 \end{matrix})

eine symmetrische Matrix, vgl. 9.14.

• Wir zerlegen das charakteristische Polynom det(A−xE_{3}) in Linearfaktoren. Es ist

det(A − xE_{3}) = det (\begin{matrix}1 − x & 0 & −2 \\ 0 & −x & 0 \\ −2 & 0 & 4 − x \end{matrix}) = (1 − x)(−x)(4 − x) + 4x
= −x^{3} + 5x^{2} = x^{2}(5 − x)

⟹ 5 ist ein einfacher und 0 ist zweifacher Eigenwert von f.

• Bestimme jeweils eine Basis der Eigenräume

V_{5} = kern(f − 5 id) und V_{0} = kern f

λ = 5: Es ist

(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 − 5 & 0 & −2 \\ 0 & −5 & 0 \\ −2 & 0 & 4 − 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}−4a − 2c \\ −5b \\ −2a − c \end{matrix})

⟹ c = −2a und b = 0

also bildet v_{1} = (1, 0, −2) eine Basis von V_{5}

9.17. Beispiele  161

λ = 0: Es ist

(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \\ −2 & 0 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}a − 2c \\ 0 \\ −2a + 4c \end{matrix})

⟹ a = 2c und b ist beliebig

also bilden v_{2} = (0, 1, 0) und v_{3} = (2, 0, 1) eine Basis von V_{0} = kern f • Für die Basis B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) von ℝ^{3} gilt

\begin{aligned}f(v_{1}) & = (5, 0, −10) = 5v_{1} \\ f(v_{2}) & = (0, 0, 0) = 0v_{2} \\ f(v_{3}) & = (0, 0, 0) = 0v_{3} \end{aligned} und M_{B}^{B}(f) = (\begin{matrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

⟹ B ist Basis aus Eigenvektoren von f. Es gilt

\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{2}⟩ & = 1 · 0 + 0 · 1 − 2 · 0 = 0 ⟹ v_{1}⊥v_{2} \\ ⟨v_{1}, v_{3}⟩ & = 1 · 2 + 0 · 0 − 2 · 1 = 0 ⟹ v_{1}⊥v_{3} \end{matrix}\} V_{0}⊥V_{5} nach 9.15
⟨v_{2}, v_{3}⟩ = 0 · 2 + 1 · 0 + 0 · 1 = 0 ⟹ v_{2}⊥v_{3}

und

∥v_{1}∥ = \sqrt{⟨v_{1}, v_{1}⟩} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
∥v_{2}∥ = \sqrt{⟨v_{2}, v_{2}⟩} = 1
∥v_{3}∥ = \sqrt{⟨v_{3}, v_{3}⟩} = \sqrt{5}

⟹ u_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 0, −2), u_{2} = (0, 1, 0), u_{3} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2, 0, 1) bilden eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

9.18 Tabelle mit Normalformen von Matrizen

Seien A, B ∈ M_{n×n}(K) , und sei 1 + 1 ≠ 0 in K.

Relation B ∼ A  Normalform  Invarianten

B = RAT mit R, T ∈ GL_{n}(K) ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  r = rang A

vgl. 4.18, 4.19

B = ^{t}T AT mit T ∈ GL_{n}(K) Diagonalmatrix  Rang, Dimension
A, B symmetrisch  vgl. 7.19.3  + weitere
———————  ———————  ———————
A, B ∈ GL_{n}(ℝ)  ( \begin{matrix}E_{r^{+}} & 0 \\ 0 & −E_{r^{−}} \end{matrix} )  Signatur
vgl. 8.9  vgl. 7.23, 8.7

B = ^{t}T AT mit T ∈ GL_{n}(K) A, B schiefsymmetrisch

A, B ∈ GL_{n}(K)  ( \begin{matrix}0 & E_{m} \\ −E_{m} & 0 \end{matrix} )  n = 2m

vgl. 7.18, 8.6

∃ Kriterien für  Rang
B = T^{−1}AT mit T ∈ GL_{n}(K) Trigonalisierbarkeit char. Polynom
Diagonalisierbarkeit Eigenwerte

(mit Vielfachheit)

vgl. 4.15, 4.16  vgl. 9.13, 9.5, 9.12 Dimension von

Eigenräumen

Für K = ℂ (vgl. §13)  Jordan-Normalform

B = ^{t}T AT mit T ∈ O_{n}(ℝ)

A, B ∈ M_{n×n}(ℝ) symmetr. (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix})

λ_{1}, …, λ_{n} Eigenwerte mit Vielfachheit

vgl. 8.5.1  vgl. 9.16.b

B = ^{t}T A\overline{T} mit T ∈ U_{n}(ℂ)

A, B ∈ M_{n×n}(ℂ) hermitesch (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} \end{matrix})

λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ Eigenwerte mit Vielfachheit

vgl. 8.5.2  vgl. 9.16.a

9.19 Übungsaufgaben 55 – 61

Aufgabe 55. Sei K ein Körper, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung eines K-Vektorraums V in einen K-Vektorraum W. Für Vektoren v_{1}, …, v_{n} aus V sei w_{1} = f(v_{1}), …, w_{n} = f(v_{n}). Man beweise die folgende Aussage und prüfe, ob auch die umgekehrte Richtung gilt: w_{1}, …, w_{n} linear unabhängig in W ⟹ v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig in V.

Aufgabe 56. Man zeige, dass die ℝ-lineare Abbildung

f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (a, b, c) ^{}(3a + 2b − c , 2a + 6b − 2c , 2c) ,

diagonalisierbar ist, und konstruiere eine Basis B von ℝ^{3} derart, dass die Matrix M_{B}^{B}(f) Diagonalgestalt hat.

Aufgabe 57. Es sei R^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es sei

f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} , (a, b, c) ^{}(3a − c, 2b, −a + 3c)

(a) Man zeige, dass f selbstadjungiert ist.

(b) Man konstruiere eine Orthonormalbasis von R^{3}, die aus Eigenvektoren von f besteht.

Aufgabe 58. Es sei R^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und es sei

f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} , (a, b, c) ^{}(4a − 2b, −2a + 3b + 2c, 2b + 2c)

(a) Man zeige, dass f selbstadjungiert ist.

(b) Man konstruiere eine Orthonormalbasis von R^{3}, die aus Eigenvektoren von f besteht.

Aufgabe 59.

Sei f : ℂ^{2} ^{}ℂ^{2}, (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}) ^{}A (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}), die zu A ∈ M_{2×2}(ℂ) gehörige Standard-

abbildung. Man bestimme das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren von f, wenn

a) A = (\begin{matrix}−2 & 2 \\ −2 & 3 \end{matrix}) , b) A = (\begin{matrix}1 & i \\ −i & 1 \end{matrix})

Aufgabe 60. Man bestimme das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren von f, wenn

a) f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (a, b, c) ^{}(2a + b, b − c, 2b + 4c),

b) f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (a, b, c) ^{}(a + 2b, a + 2b, c),

c) f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (a, b, c) ^{}(a, −c, b).

Man entscheide jeweils, ob f diagonalisierbar ist.

Aufgabe 61. Seien f, g : K^{n} ^{}K^{n} zwei K-lineare Abbildungen. Wenn es eine Basis B von K^{n} gibt, deren Vektoren sowohl Eigenvektoren von f wie auch Eigenvektoren von g sind, so sagt man, dass f und g simultan diagonalisierbar seien. Man zeige:

(a) Wenn f und g simultan diagonalisierbar sind, so gilt f ∘ g = g ∘ f .

(b) Wenn f genau n verschiedene Eigenwerte besitzt und wenn f ∘g = g ∘f gilt, dann sind f und g simultan diagonalisierbar.

Bemerkung. Die Umkehrung von 61 (a) gilt tatsächlich nur unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen, wie schon das Beispiel f = id_{ℝ^{2}} und g : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2}, (a, b) ^{}(a + b, b), zeigt.

10 Einige Grundbegriffe der Algebra

10.1 Äquivalenzrelationen

Für je zwei Elemente a, b in einer Menge M stehe fest, ob eine Beziehung ”a ∼ b“ gilt oder nicht (z.B. 5 ≤ 7, aber 3 ≰ 1 in ℝ). Wir sprechen von einer Äquivalenzrelation auf M, wenn

1. a ∼ a

2. a ∼ b ⟹ b ∼ a

3. a ∼ b und b ∼ c ⟹ a ∼ c

Beispiel. ”=“ ist eine Äquivalenzrelation.

Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf M, so können wir zu jedem a ∈ M die Klasse k_{a} := {c ∈ M | c ∼ a} betrachten.

Lemma. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Dann gelten

i) a ∼ b ⟺ k_{a} = k_{b}

ii) b ∉ k_{a} ⟺ k_{a} ∩ k_{b} = ∅

iii) M = ⋃_{a∈M} k_{a}

Beweis.

i) ⟹ Sei a′ ∈ k_{a}, also a′ ∼ a. Da a ∼ b ⟹ a′ ∼ b nach 3. ⟹ a′ ∈ k_{b} ⟹ k_{a} ⊆ k_{b}. Nach 2. ist b ∼ a, daher folgt k_{b} ⊆ k_{a} analog.

⟸ ist trivial.

ii) ⟹ b ∉ k_{a} ⟹ b ≁ a. Angenommen es gibt c ∈ k_{a} ∩ k_{b} ⟹ a ∼ c und c ∼ b ⟹_{3.} a ∼ b im Widerspruch zur Annahme.

⟸ klar, denn b ∈ k_{a} würde b ∈ k_{a} ∩ k_{b} implizieren.

iii) gilt, da a ∈ k_{a} für alle a ∈ M.

Beispiel. Sei M = ℤ, und sei

a ∼ b :⟺ a − b ist durch 2 teilbar

Dies ist eine Äquivalenzrelation (vgl. Aufgabe 62), und es ist ℤ = k_{0} ∪ k_{1}, wobei k_{0} die Klasse der geraden und k_{1} die Klasse der ungeraden Zahlen ist (k_{0} = 2ℤ, k_{1} = 1 + 2ℤ).

10.2 Quotientenvektorräume

Sei V ein K-Vektorraum und U ein Teilraum von V (gemäß 2.8). Dann ist auf V durch

v ∼ v′ :⟺ v − v′ ∈ U

eine Äquivalenzrelation erklärt, und es gilt

k_{v} = {v′ ∈ V | v′ ∼ v} = v + U := {v + u | u ∈ U}

Sei V/U := {k_{v} | v ∈ V } die Menge aller solcher Klassen. Man sagt ”V modulo U“.

Wir definieren eine Addition und eine Skalarmultiplikation durch

k_{v} + k_{w} := k_{v+w} und λk_{v} := k_{λv} ∀v, w ∈ V und λ ∈ K

Dies ist wohldefiniert, denn ist v ∼ v′ und w ∼ w′

⟹ v − v′ ∈ U und w − w′ ∈ U

⟹_{2.8} (v − v′) + (w − w′) = (v + w) − (v′ + w′) ∈ U ⟹ v + w ∼ v′ + w′

⟹ k_{v+w} = k_{v′+w′}

Ist v ∼ v′ und λ ∈ K

⟹_{2.8} λ \underbrace{(v − v′)}_{∈U} = λv − λv′ ∈ U

⟹ λv ∼ λv′ ⟹ k_{λv} = k_{λv′}

Damit wird V/U zu einem K-Vektorraum, genannt Quotientenvektorraum. Es ist k0 = U der Nullvektor in V/U.

Beispiele.

1. U = V ⟹ V/U = {0} (Nullvektorraum)

2. U = {0} ⟹ V/U = V

10.3 Die kanonische Abbildung von V auf V/U

1. Die Abbildung π : V ^{}V/U, v ^{}v +U ist K-linear und surjektiv mit kern π = U.

2. Ist dim_{K} V < ∞ ⟹ dim_{K} V/U = dim_{K} V − dim_{K} U. Dies folgt aus 1. und der Formel dim_{K} V = dim_{K} kern π + dim_{K} bild π (vgl. 3.22).

3. Universelle Eigenschaft des Quotientenraums. Ist f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung in einen K-Vektorraum W, und ist U ⊂ kern f, dann gibt es genau eine K-lineare Abbildung f̄: V/U ^{}W so, dass f = f̄∘ π gilt, und also das Diagramm

[figure: V; f; W; V/U; f̄; π]

kommutiert.

10.4 Beispiele für Gruppen

Nach 2.2 ist eine Gruppe eine Menge G mit einer Verknüpfung G×G ^{}G, (a, b) ^{}a ∘ b so, dass gelten

G1 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)

G2 ∃ ein neutrales Element e ∈ G so, dass e ∘ a = a ∀a ∈ G

G3 Zu jedem a ∈ G gibt es ein inverses Element a^{−1} ∈ G so, dass a^{−1} ∘a = e gilt

Gilt zusätzlich noch a∘b = b∘a ∀a, b ∈ G, so heißt G abelsch oder kommutativ.

1. ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} ist bezüglich + eine Gruppe. Neutrales Element ist 0, inverses Element zu a ∈ ℤ ist −a.

2. Die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe)

S_{n} := {σ : {1, …, n} ^{}{1, …, n} | σ bijektiv}

hat als Verknüpfung die Hintereinanderausführung von Abbildungen, sie hat n! = n(n − 1) ⋯ 2 · 1 Elemente. Schreibweise für σ ∈ S_{n}:

(\begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n \\ σ(1) & σ(2) & ⋯ & σ(n) \end{matrix})

Zum Beispiel hat S_{2} die Elemente

id = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) und (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})

S_{3} hat 6 Elemente

id = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}) ,

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix})

Abbildung 22: Gleichseitiges Dreieck Drehung um 120 Grad

1 ^{}2 ^{}3
2 ^{}3 ^{}1
3 ^{}1 ^{}2

3. Die (allgemeine) lineare Gruppe

GL(V) = {f : V ^{}V | f Automorphismus}

(V ein K-Vektorraum) bildet bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe, vgl. 4.22.

4. Kleinsche Vierergruppe

V_{4} = {e, a, b, c} mit

a^{2} = b^{2} = c^{2} = e und ab = c = ba, ac = b = ca, bc = a = cb

Bis auf Isomorphie gibt es genau 2 Gruppen mit 4 Elementen (nämlich V_{4} ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ und ℤ/4ℤ, vgl. 5. und 6. unten).

5. Sind G_{1}, G_{2} Gruppen

⟹ G_{1} × G_{2} = {(g_{1}, g_{2}) | g_{1} ∈ G_{1}, g_{2} ∈ G_{2}}

ist eine Gruppe mit komponentenweiser Verknüpfung

(g_{1}, g_{2}) ∘ (g′_{1}, g′_{2}) = (\underbrace{g_{1} ∘ g′_{1}}_{∈G_{1}}, \underbrace{g_{2} ∘ g′_{2}}_{∈G_{2}})

6. Ist G eine Gruppe mit endlich vielen Elementen, so heißt die Anzahl der Elemente von G die Ordnung von G. Wir schreiben |G| für die Ordnung von G. Hat G unendlich viele Elemente, so schreiben wir |G| = ∞.

Zu jedem n ∈ ℕ gibt es eine abelsche Gruppe der Ordnung n, nämlich die additive Gruppe

ℤ/nℤ = \{\overline{a} | a ∈ ℤ\}

wobei \overline{a} := k_{a} die Klasse von a bezüglich der Äquivalenzrelation

a ∼ b :⟺ a − b ist durch n teilbar (vgl. Aufgabe 62)

Insbesondere liegen a und b in derselben (Rest-)Klasse, falls sie den gleichen Rest bei Division mit n haben.

Rechnen mit den Klassen, z.B. n = 13

\overline{5} + \overline{7} = \overline{12}, \overline{5} + \overline{8} = \overline{0}
\overline{5} + \overline{9} = \overline{1}, da 14 = 1 · 13 + 1, also 14 ∼ 1
\overline{5} + \overline{10} = \overline{2}, da 15 = 1 · 13 + 2, also 15 ∼ 2
\overline{30} = \overline{4}, da 30 = 2 · 13 + 4, also 30 ∼ 4
\overline{−5} = \overline{8}, da − 5 = (−1) · 13 + 8, also 8 ∼ −5

Problem Sei n ∈ ℕ. Wie viele Gruppen der Ordnung n gibt es bis auf Isomorphie?

• Wenn n = p eine Primzahl ist, so gibt es (bis auf Isomorphie) genau eine Gruppe der Ordnung p, nämlich die Gruppe ℤ/pℤ

• ℤ/pℤ ist sogar ein Körper (\overline{a} · \overline{b} := \overline{ab}).

7. Übersicht bis zur Ordnung 15 (ohne Primzahlordnungen)

Gruppenordnung 4 6 8 9 10 12 14 15 Gruppenanzahl bis auf Iso. 2 2 5 2 2 5 2 1 davon nicht abelsch 0 1 2 0 1 3 1 0

10.5 Untergruppen

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit neutralem Element e. Eine Teilmenge H von G heißt Untergruppe von G, falls gilt:

• e ∈ H

• x, y ∈ H ⟹ xy^{−1} ∈ H Es ist dann H selbst wieder eine Gruppe. Beispiele.

1. {e} und G sind Untergruppen von G (sog. triviale Untergruppen). 2.

\{(\begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ) | a ≠ 0, d ≠ 0\}

ist eine Untergruppe von GL_{2}(ℝ) (bez. Matrizenmultiplikation).

3. SL_{n}(K) = {A ∈ M_{n×n}(K) | det A = 1} ist eine Untergruppe nach 6.9

(bez. Matrizenmultiplikation).

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

4. {z ∈ ℂ | |z| = 1} ist eine Untergruppe von ℂ^{×} := ℂ \ {0} (bez. Multiplikation, vgl. 1.1).

5. Sei n ∈ ℤ fest gewählt, und sei nℤ := {nz | z ∈ ℤ} (ganzzahlige Vielfache von n). Dann ist nℤ eine Untergruppe von ℤ (bez. Addition), denn:

• 0 = n · 0 ∈ nℤ

• Ist x = nz_{1} und y = nz_{2} ⟹ x − y = n(z_{1} − z_{2}) ∈ nℤ

Satz Sei H eine beliebige Untergruppe von ℤ, dann gibt es ein n ∈ ℤ mit H = nℤ.

Beweis. Ist H = {0}, dann ist H = 0ℤ. Ist H ≠ {0}, dann gibt es m ≠ 0 ∈ H. Ist m < 0, so ist −m > 0 ∈ H, also gibt es mindestens eine natürliche Zahl in H. Sei n ∈ ℕ die kleinste natürliche Zahl in H (ungleich Null). Wir zeigen nun H = nℤ.

”nℤ ⊆ H “ Sei k ∈ ℤ.

k > 0 ⟹_{Induktion} nk = kn = \underbrace{n + ⋯ + n}_{k Summanden} ∈ H
k < 0 ⟹ n(−k) ∈ H ⟹ −n(−k) = nk ∈ H
k = 0 ⟹ n · 0 = 0 ∈ H
⟹ nk ∈ H für alle k ∈ ℤ.

”H ⊆ nℤ“ Sei h ∈ H. Es gibt q, r ∈ ℤ, 0 ≤ r < n mit

h = nq + r (Division mit Rest)

⟹ r = \underbrace{h}_{∈H} − \underbrace{nq}_{∈H} ∈ H

⟹ r = 0, da n nach Definition die kleinste positive Zahl in H ist.

6. Seien

E_{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , 𝔦 = (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}) , 𝔧 = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) , 𝔨 = (\begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℂ)

wobei i^{2} = −1 sei. Die Matrizen

ℍ := {±E_{2}, ±𝔦, ±𝔧, ±𝔨}

bilden eine (nicht abelsche) Untergruppe der Ordnung 8 in GL_{2}(ℂ). Sie heißt Quaternionengruppe ℍ. Es gilt:

𝔦^{2} = 𝔧^{2} = 𝔨^{2} = −E_{2} , 𝔧𝔦 = −𝔦𝔧 , 𝔦𝔧 = 𝔨

10.6 Homomorphismus von Gruppen

Definition. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und G′ eine Gruppe mit neutralem Element e′. Wir schreiben G und G′ multiplikativ. Ein Homomorphismus φ : G ^{}G′ ist eine Abbildung so, dass φ(ab) = φ(a)φ(b) ∀a, b ∈ G gilt.

Beispiele. Folgende Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen:

1. det : GL_{n}(K) ^{}K^{∗} = K \ {0}, A ^{}det A

2. φ : ℤ ^{}G′, n ^{}a^{n}, für festes a ∈ G′

3. φ : ℝ^{+} ^{}ℝ^{∗}, x ^{}exp(x), wobei ℝ^{+} = ℝ versehen mit Addition. Es gilt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:

exp(x + y) = exp(x) exp(y)

Es ist kern(φ) = {x ∈ ℝ^{+} | φ(x) = 1} = {0} und bild(φ) = {y ∈ ℝ | y > 0}

4. φ : ℂ^{+} ^{}ℂ^{∗}, z ^{}exp z. Dann gilt:

exp z = exp w ⟺ z − w ∈ 2πiℤ

Es ist kern(φ) := {z ∈ ℂ | exp z = 1} = 2πiℤ. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit den Zahlen 2πik, k ∈ ℤ (und nur diesen) als Perioden.

5. Eine n-dimensionale Darstellung einer Gruppe G ist ein Homomorphismus φ : G ^{}GL_{n}(K). Beispiel: φ : S_{3} ^{}GL_{3}(K)

σ := (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}) ^{}(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , τ := (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}) ^{}(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Es ist S_{3} = {id, σ, σ^{2}, τ, στ, σ^{2}τ} mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Die Bilder der anderen Permutationen ergeben sich nun aus diesen Beziehungen. Es ist σ^{3} = id, τ^{2} = id, τσ^{2} = στ und τσ = σ^{2}τ in S_{3} (vgl. 10.4.2).

10.7 Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen

Sei φ : G ^{}G′ ein Gruppenhomomorphismus, und seien e bzw. e′ die neutralen Elemente von G bzw. von G′. (Wir schreiben G und G′ multiplikativ.) Dann gelten:

1. φ(e) = e′ (denn: φ(e) = φ(ee) = φ(e)φ(e) ⟹ e′ = φ(e))

2. φ(a)^{−1} = φ(a^{−1}) (denn: e′ = φ(e) = φ(aa^{−1}) = φ(a)φ(a^{−1}))

3. Ist H eine Untergruppe von G, so ist auch φ(H) := {φ(h) | h ∈ H} eine Untergruppe von G′

4. kern φ := {a ∈ G | φ(a) = e′} ist eine Untergruppe von G

5. kern φ = {e} ⟺ φ ist injektiv. (Vgl. Aufgabe 64; geht analog wie bei dem Satz in 3.19)

10.8 Isomorphismus von Gruppen

Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus φ : G ^{}G′ heißt Isomorphismus. Zwei Gruppen G und G′ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus φ : G ^{}G′ gibt.

Beispiel. S_{3} ist isomorph zur Gruppe P der Permutationsmatrizen

P = \{(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ,

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})\}

(Nachrechnen durch Aufstellen einer Multiplikationstabelle!) Die Gruppe P operiert auf K^{3} durch die Standardabbildungen, z.B.

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}b \\ c \\ a \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix}c \\ a \\ b \end{matrix})

(vgl. 10.6.5, 10.4.2)

Sind G und G′ isomorph, so schreiben wir

G ≃ G′

Bemerkung. Ist φ : G ^{}G′ ein Isomorphismus, so ist die Umkehrabbildung φ^{−1} : G′ ^{}G ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis. Seien x, y ∈ G′ und a = φ^{−1}(x), b = φ^{−1}(y) ⟹ φ(a) = x und φ(b) = y. Es folgt:

φ^{−1}(xy) = φ^{−1}(φ(a)φ(b)) = φ^{−1}(φ(ab))
= ab = φ^{−1}(x)φ^{−1}(y)

10.9 Nebenklassen

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit neutralem Element e, und sei H eine Untergruppe von G.

Definition. Eine Linksnebenklasse ist eine Teilmenge von G der Form

aH := {ah | h ∈ H}

wobei a ∈ G fest gewählt ist.

Behauptung Die sogenannte Kongruenzrelation

a ≡ b :⟺ ∃h ∈ H mit b = ah

ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis. 1. a ≡ a, denn a = ae und e ∈ H nach 10.5

2. a ≡ b ⟹ b ≡ a, denn: a ≡ b ⟹ ∃h ∈ H mit b = ah ⟹ a = bh^{−1} und h^{−1} ∈ H (nach 10.5) ⟹ b ≡ a

3. a ≡ b, b ≡ c ⟹ a ≡ c, denn: a ≡ b, b ≡ c ⟹ ∃h, h′ ∈ H mit b = ah und c = bh′ ⟹ c = ahh′ ⟹ a ≡ c, da hh′ ∈ H (nach 10.5)

Beispiel. Die symmetrische Gruppe S_{3} = {id, σ, σ^{2}, τ, στ, σ^{2}τ} mit

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}) ↔ (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , τ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}) ↔ (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

hat bezüglich der Untergruppe H = {id, στ} die drei Mengen

{id, στ} = H = στH {σ, σ^{2}τ} = σH = σ^{2}τH {σ^{2}, τ} = σ^{2}H = τH

als Linksnebenklassen. (Denn: στ ∈ H ⟹ H = στH ⟹ σH = σ^{2}τH und σ^{2}H = σ^{3}τH = τH) Man hat eine disjunkte Zerlegung

S_{3} = H ∪ σH ∪ τH

gemäß 10.1.

Beobachtung Es ist |H| = 2 und also Index(H) := Anzahl der Linksnebenklassen = 3 = \frac{6}{2} = \frac{|S_{3}|}{|H|} .

10.10 Abzählformel

Satz. Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit neutralem Element e, und sei H eine Untergruppe. Dann gelten:

1. G ist die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen aH mit a ∈ G.

2. Jede Linksnebenklasse hat gleich viele Elemente wie H (ist gleichmächtig, falls ∞)

3. Für die Gruppenordnungen |G| und |H| gilt die Abzählformel

|G| = |H| · (G : H)

Dabei bezeichnet (G : H) den Index von H in G, das ist die Anzahl der Linksnebenklassen. Ist |G| unendlich, so ist |H| oder (G : H) unendlich (oder beide).

Beweis.

1. Die Nebenklassen sind nach 10.9 Äquivalenzklassen, also folgt die Behauptung aus 10.1.

2. Die Abbildung (von Mengen) H ^{}aH, h ^{}ah, ist bijektiv, denn sie ist offensichtlich surjektiv und es ist noch zu zeigen: ah = ah′ ⟹ h = h′: Sei ah = ah′ ⟹ a^{−1}(ah) = a^{−1}(ah′) ⟹ h = h′.

3. Die Abzählformel folgt aus 1. und 2.

10.11 Die Ordnung von Gruppenelementen

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit neutralem Element e, und sei a ∈ G. Die Ordnung von a ist die kleinste natürlich Zahl m ∈ ℕ mit der Eigenschaft a^{m} = e, oder ∞, falls ein solches m nicht existiert. Wir schreiben ”ord a“ für die Ordnung von a.

Beispiele.

1. Die Matrix A := (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) ist ein Element der Ordnung 6 in GL_{2}(ℝ),

denn:

A^{2} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix}) , A^{3} = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ,

A^{4} = (\begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , A^{5} = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , A^{6} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E_{2}

2. Die Matrix (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) hat unendliche Ordnung, denn es ist

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{n} = (\begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∀n ∈ ℕ

10.12 Die von einem Element erzeugte Untergruppe

Satz. Sei m die Ordnung von a ∈ G. Dann sind die Elemente a^{k} für 0 ≤ k < m paarweise verschieden in G. Ist m < ∞, so ist H = {e, a, a^{2}, …, a^{m−1}} eine Untergruppe der Ordnung m von G.

Beweis. Angenommen a^{j} = a^{i} mit 0 ≤ i < j < m ⟹ a^{j−i} = e ⟹_{10.11} ord a < m ⟹ Widerspruch. Sei m < ∞ ⟹ H hat m Elemente. Für jedes k ∈ ℤ ist a^{k} ∈ H (wobei a^{0} := e), denn es ist

a^{k} = a^{qm+r} mit q, r ∈ ℤ , 0 ≤ r < m

= \underbrace{(a^{m})}_{e}^{q}a^{r} =_{10.11} a^{r} ∈ H

10.13 Satz von Lagrange

Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe. Dann ist die Ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G. Insbesondere ist die Ordnung eines jeden Elements von G ein Teiler der Ordnung von G.

Beweis. Nach 10.10 ist |G| = |H| · (G : H). Sei a ∈ G ⟹_{10.12} ord a < ∞, da |G| < ∞. Wählen wir H wie in 10.12, folgt auch die zweite Behauptung.

10.14 Gruppen von Primzahlordnung

Korollar. Sei p eine Primzahl. Dann ist jede Gruppe der Ordnung p isomorph zu ℤ/pℤ.

Beweis. Sei G eine Gruppe der Ordnung p. Wähle a ≠ e aus G ⟹ ord a =: m ≠ 1 ⟹_{10.13} m = p, da m ein Teiler von p = |G| und p Primzahl

⟹_{10.12} G = {e, a, …, a^{p−1}}

⟹ G ^{}ℤ/pℤ, a^{k} ^{}\overline{k} für k = 0, …, p − 1 ist ein Isomorphismus.

10.15 Erzeugung von Gruppen

Sei G eine Gruppe. Die von einer nichtleeren Teilmenge U ⊂ G erzeugte Untergruppe ist definiert als die kleinste Untergruppe von G, die U enthält. Sie besteht (bei multiplikativer Schreibweise) aus allen möglichen Produkten mit endlich vielen Faktoren aus U, deren Inversen und e.

Beispiele.

1. Die von einem Element a ∈ G erzeugte Gruppe H nennt man zyklische Gruppe. Ist ord a = ∞, so ist H = {…, a^{−2}, a^{−1}, e, a, a^{2}, …}. Ist ord a = m < ∞, so ist H = {e, a, a^{2}, …, a^{m−1}} von der Ordnung m nach 10.12.

• ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} ist eine unendliche zyklische Gruppe bezüglich Addition, sie wird von 1 erzeugt. Die Untergruppen nℤ = {…, −2n, −n, 0, n, 2n, …} ⊂ ℤ werden von n erzeugt.

• ℤ/nℤ = \{\overline{0}, \overline{1}, …, \overline{n − 1}\} wird von \overline{1} erzeugt, ist also zyklisch.

2. Die Kleinsche Vierergruppe V_{4} ist nicht zyklisch. Sie wird in GL_{2}(ℝ) von den beiden Matrizen

a := (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) und b := (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

erzeugt. Es ist V_{4} = {e = E_{2}, a, b, c := ab} mit Multiplikationstabelle:

\begin{aligned}& a & b & c \\ a & e & c & b \\ b & c & e & a \\ c & b & a & e \end{aligned}

Die Gruppe ist kommutativ (vgl. 10.4.4).

3. Die symmetrische Gruppe S_{3} ist nicht zyklisch. Sie wird von zwei Elementen erzeugt (vgl. 10.6.5 und Aufgabe 67).

10.16 Klassifikation der zyklischen Gruppen

Satz. Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ oder zu ℤ/nℤ mit einem n ∈ ℕ.

Beweis. Sei G eine (multiplikativ geschriebene) zyklische Gruppe und a ein erzeugendes Element von G.

1. |G| = ∞ ⟹ G = {…, a^{−2}, a^{−1}, e, a, a^{2}, …} und ℤ ^{}G, k ^{}a^{k} ist ein Isomorphismus (a^{0} := e).

2. |G| =: n < ∞ ⟹ G = {e, a, a^{2}, …, a^{n−1}}, und G ^{}ℤ/nℤ, a^{k} ^{}\overline{k} ist ein Isomorphismus nach 10.12.

10.17 Normalteiler

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe. Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler in G, falls gilt

aHa^{−1} ⊂ H für jedes a ∈ G

Hierbei ist aHa^{−1} := {aha^{−1} | h ∈ H}.

Bemerkung. Äquivalent sind:

i) H ist Normalteiler in G

ii) aHa^{−1} = H ∀a ∈ G

iii) aH = Ha ∀a ∈ G (d.h. jede Linksnebenklasse ist gleich der entsprechenden Rechtsnebenklasse)

Beweis. i) ⟹ ii) H Normalteiler ⟹ aHa^{−1} ⊂ H ∀a ∈ G ⟹ a^{−1}Ha = a^{−1}H(a^{−1})^{−1} ⊂ H ∀a ∈ G

⟹ H = a \underbrace{a^{−1}Ha}_{⊂H} a^{−1} ⊂ aHa^{−1}

ii) ⟹ iii) und iii) ⟹ i) sind trivial.

Beispiele.

1. G abelsch ⟹ Jede Untergruppe ist Normalteiler

2. SL_{n}(K) ist Normalteiler in GL_{n}(K), denn für A ∈ GL_{n}(K) und B ∈ SL_{n}(K) gilt:

det(ABA^{−1}) =_{6.9} det B = 1, also ABA^{−1} ∈ SL_{n}(K)

3. φ : G ^{}G′ Gruppenhomomorphismus ⟹ kern φ ist Normalteiler in G, denn für a ∈ G, b ∈ kern φ gilt

φ(aba^{−1}) =_{10.7} φ(a) \underbrace{φ(b)}_{e′} φ(a^{−1}) = e′ also aba^{−1} ∈ kern φ

4. Jede Untergruppe von Index 2 ist Normalteiler, denn

H ∪ aH =_{10.10} G =_{analog zu 10.10} H ∪ Ha ⟹ aH = Ha

10.18 Faktorgruppen

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe, und sei H Normalteiler in G. Dann ist die Menge

G/H := {aH | a ∈ G}

aller Linksnebenklassen eine Gruppe mit Einselement H bezüglich

aH · bH := abH

Es ist aHbH = abHH = abH, da bH =_{10.17} Hb und HH =_{10.5} H ⟹ Wohldefi-

niertheit und Gruppengesetze. Man nennt G/H die Faktorgruppe von G nach H und sagt ”G modulo H“. Sind zwei der Gruppen G, H, G/H endlich, so ist auch die dritte endlich, und es gilt

|G/H| = \frac{|G|}{|H|}

nach der Abzählformel in 10.10. Ferner ist π : G ^{}G/H, a ^{}aH, ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit kern π = H.

10.19 Homomorphiesatz

Satz.

1. Ist φ : G ^{}G′ ein Gruppenhomomorphismus, so induziert φ einen Isomorphismus

\overline{φ} : G/ kern φ ^{∼}^{}bild φ

2. Ist f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung von K-Vektorräumen, so induziert f einen Isomorphismus

\overline{f} : V/ kern f ^{∼}^{}bild f

Beispiel. det : GL_{n}(K) ^{}K^{∗} ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern SL_{n}(K), induziert also einen Isomorphismus GL_{n}(K)/SL_{n}(K) ^{}K^{∗}.

Beweis des Homomorphisatzes.

1. Sei H := kern φ und \overline{φ} : G/H ^{}bild φ, aH ^{}φ(a), dann ist \overline{φ} wohldefiniert und injektiv, denn es gilt:

aH = bH ⟺ b ∈ aH nach 10.9 und 10.1i
⟺ a^{−1}b ∈ H = kern φ
⟺ e′ = φ(a^{−1}b) = φ(a)^{−1}φ(b)
⟺ φ(a) = φ(b)

und es ist

\overline{φ}(aH · bH) = \overline{φ}(abH) = φ(ab) = φ(a)φ(b) = \overline{φ}(aH)\overline{φ}(bH)

Offenbar ist \overline{φ} auch surjektiv und damit ein Isomorphismus.

2. folgt aus 1., da jeder Vektorraum eine (additive, abelsche) Gruppe ist.

Es ist \overline{f} : V/ kern f ^{}bild f, v + kern f ^{}f(v)

10.20 Der Begriff des Ringes

Definition. Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation genannt, und den Eigenschaften

i) R bildet bezüglich Addition eine abelsche Gruppe

ii) Die Multiplikation ist assoziativ und hat ein neutrales Element

iii) Es gelten die Distributivgesetze

(a + b)c = ac + bc und c(a + b) = ca + cb ∀a, b, c ∈ R

Beispiele. Jeder Körper ist ein Ring. ℤ, ℤ/nℤ sind Ringe bezüglich gewöhnlicher Addition und Multiplikation. M_{n×n}(K) ist ein Ring bezüglich Matrizenaddition und -multiplikation.

10.21 Der Begriff einer K -Algebra

Definition. Ein Ring R heißt K-Algebra, falls R mit einer K-Vektorraumstruktur versehen ist, die

(λa)b = a(λb) = λ(ab) ∀a, b ∈ R, λ ∈ K

erfüllt (Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit der Multiplikation im Ring) und deren Addition die des Ringes ist.

Beispiele.

1. M_{n×n}(K) ist eine K-Algebra bezüglich Matrizenaddition, -multiplika-tion und der Skalarmultiplikation

λ (\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix}) := (\begin{matrix}λa_{11} & ⋯ & λa_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ λa_{n1} & ⋯ & λa_{nn} \end{matrix})

(Addition und Skalarmultiplikation sind komponentenweise definiert)

2. Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist

R := End_{K} V := {f : V ^{}V | f ist K-linear} eine K-Algebra vermöge

\begin{matrix}(f + g)(v) & := f(v) + g(v) ∀v ∈ V \\ (f ∘ g)(v) & := f(g(v)) ∀v ∈ V \end{matrix} \} ⟹ Ringstruktur

und

(λf)(v) := λf(v) ∀v ∈ V, λ ∈ K

(Es ist (λf) ∘ g = f ∘ (λg) = λ(f ∘ g); neutrales Element bezüglich der Addition ist die Nullabbildung v ^{}0 und neutrales Element bezüglich der Multiplikation ist die Identität v ^{}v.)

10.22 Operationen von Gruppen auf Mengen

Definition. Eine Operation oder Aktion (von links) einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Abbildung G × X ^{}X, (g, x) ^{}gx, mit den Eigenschaften

1. ex = x ∀x ∈ X, wobei e das neutrale Element von G

2. (gg′)x = g(g′x) ∀g, g′ ∈ G, x ∈ X

Man nennt X dann eine G-Menge.

Bemerkung. Ist X eine G-Menge, so definiert jedes g ∈ G eine bijektive Abbildung t_{g} : X ^{}X, x ^{}gx mit Umkehrabbildung t_{g^{−1}} .

10.23 Affiner Raum (additives Beispiel)

Ein affiner Raum über K besteht aus einer Menge X = {P, Q, …} von ”Punkten“, einem K-Vektorraum V sowie einer ”einfach transitiven“ Rechtsoperation von V (als additiver Gruppe) auf X, das ist eine Abbildung

X × V ^{}X, (P, v) ^{}P + v

mit den Eigenschaften

1. P + 0 = P ∀P ∈ X

2. P + (v + w) = (P + v) + w ∀P ∈ X, v, w ∈ V

3. Zu je zwei Punkten P, Q ∈ X gibt es genau einen Vektor v ∈ V mit P + v = Q. Wir schreiben dann v = \overrightarrow{P Q}, also P + \overrightarrow{P Q} = Q.

Es ist \overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{P R}, denn

P + (\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR}) =_{(2)} (P + \overrightarrow{P Q}) + \overrightarrow{QR} =_{(3)} Q + \overrightarrow{QR} =_{(3)} R

Andererseits gilt P + \overrightarrow{P R} =_{(3)} R. Aus der Eindeutigkeitsaussage in (3) folgt

\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{P R}. Wir haben uns hier von der Auszeichnung des Nullpunktes befreit.

Spezialfall Sei X = V. Definiere X × V ^{}X, (w, v) ^{}w + v, durch Addition in V ⟹ 1.,2.,3. sind erfüllt. Also kann jeder K-Vektorraum als affiner Raum betrachtet werden. Falls V = K^{n} ist, schreibt man 𝔸^{n}(K).

10.24 Bahn und Stabilisator

Sei X eine G-Menge (mit Linksaktion). Dann gelten

1. X ist ein disjunkte Vereinigung von Bahnen (auch Orbits genannt), das sind Teilmengen der Form

Gx := {gx | g ∈ G}

wobei x ∈ X ist.

2. Für jedes x ∈ X ist der Stabilisator

Stab x := {g ∈ G | gx = x}

eine Untergruppe von G.

3. Sei G_{x} := Stab x und G/G_{x} := {gG_{x} | g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen. Dann hat man eine Bijektion

G/G_{x} ^{∼}^{}Gx, gG_{x} ^{}gx

Beweis.

1. Durch x ∼ y :⟺ ∃g ∈ G mit y = gx ist eine Äquivalenzrelation auf X definiert, denn x = ex ⟹ x ∼ x. Ist x ∼ y ⟹ y = gx ⟹ x = g^{−1}y ⟹ y ∼ x. Gilt x ∼ y und y ∼ z ⟹ y = gx, z = g′y = g′gx ⟹ x ∼ z.

Nach Definition ist Gx = {y ∈ X | x ∼ y} ⟹_{10.1} 1.

2. Es ist ex =_{10.22} x ⟹ e ∈ Stab x. Sind g′, g^{−1} ∈ Stab x ⟹

(g′g^{−1})x =_{10.22} g′(g^{−1}x) =_{g^{−1} ∈ Stab x} g′x =_{g′ ∈ Stab x} x

3. Es gilt

gG_{x} = g′G_{x} ⟺_{10.1} g′ ∈ gG_{x}
⟺ g^{−1}g′ ∈ G_{x}
⟺ g^{−1}g′x = x
⟺ g′x = gx

Die Zuordnung ist also wohldefiniert und injektiv. Sie ist offensichtlich auch surjektiv.

10.25 Bahnformel

Satz. Sei G eine endliche Gruppe, die auf einer Menge X ≠ ∅ operiere. Für die Länge der Bahn Gx gilt dann

|Gx| = \frac{|G|}{|G_{x}|}

wobei G_{x} der Stabilisator von x ∈ X ist.

Beweis. Es ist

|Gx| = (G : G_{x}) nach 10.24.3

= \frac{|G|}{|G_{x}|} nach 10.10

10.26 Übungsaufgaben 62 – 68

Aufgabe 62. Es sei n ∈ ℤ fest gewählt und nℤ := {nz | z ∈ ℤ}. Man zeige, dass durch

a ∼ b :⟺ a − b ∈ nℤ

eine Äquivalenzrelation auf ℤ definiert ist, und bestimme die Anzahl der Äquivalenzklassen in Abhängigkeit von n.

Aufgabe 63. Man beweise, dass ℤ/nℤ bezüglich der Vorschrift \overline{a} + \overline{b} := \overline{a + b} für a, b ∈ ℤ eine abelsche Gruppe ist.

Aufgabe 64. Seien G, G′ zwei Gruppen, e das neutrale Element von G und e′ das neutrale Element von G′. Man zeige, dass für jeden Gruppenhomomorphismus φ : G ^{}G′ die folgende Aussage gilt: kern(φ) = {e} ⟺ φ ist injektiv.

Aufgabe 65. Man untersuche, welche der folgenden Teilmengen Untergruppen sind:

(a) GL_{n}(ℝ) ⊂ GL_{n}(ℂ) ,

(b) {1, −1} ⊂ ℝ^{∗},

(c) die Menge der ganzen Zahlen ≥ 0 in ℤ^{+},

(d) die Menge der reellen Zahlen > 0 in ℝ^{∗},

(e) die Menge der Matrizen der Form (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & −a \end{matrix}) , a ≠ 0 , in GL_{2}(ℝ) .

Aufgabe 66. Sei ℤ/nℤ die in Aufgabe 63 eingeführte additive Gruppe. Die Addition in der Gruppe ℤ/mℤ × ℤ/nℤ sei komponentenweise erklärt. Man beweise oder widerlege: ℤ/6ℤ ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ , ℤ/8ℤ ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/4ℤ, ℤ/8ℤ ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ

Aufgabe 67. Es sei R = ℝ \ {0, 1}. Man zeige, dass die durch

f(x) = \frac{1}{x} und g(x) = \frac{x − 1}{x}

definierten Funktionen f, g : R ^{}R eine Gruppe von Funktionen erzeugen, die zur symmetrischen Gruppe S_{3} isomorph ist, wenn man als Verknüpfung die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet.

Aufgabe 68. Zwei Elemente a, b einer Gruppe G heißen konjugiert in G, wenn es ein Element t ∈ G gibt derart, dass a = t^{−1} b t gilt. Man zeige, dass die beiden Matrizen

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})

in der Gruppe GL_{2}(ℝ) konjugiert sind, in der Gruppe SL_{2}(ℝ) aber nicht.

11 Euklidische Räume und Bewegungen

Sei V ein euklidischer Vektorraum, also ein ℝ-Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt

V × V ^{}ℝ, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

versehen ist (vgl. 7.7). Man nennt ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} die Länge von v, (vgl. 7.9), und ∥v − w∥ den Abstand von v, w ∈ V.

11.1 Lemma über orthogonale Abbildungen

Lemma. Jede Abbildung f : V ^{}V, die das Skalarprodukt erhält, für die also

⟨v, w⟩ = ⟨f(v), f(w)⟩ ∀v, w ∈ V

gilt, ist ℝ-linear (und daher orthogonal gemäß 8.11, 8.1).

Beweis.

1. Setze z := f(v + w) − f(v) − f(w). Zu zeigen z = 0.

Für alle u ∈ V gilt

⟨z, f(u)⟩ = ⟨f(v + w) − f(v) − f(w), f(u)⟩

=_{7.7} ⟨f(v + w), f(u)⟩ − ⟨f(v), f(u)⟩ − ⟨f(w), f(u)⟩

= ⟨v + w, u⟩ − ⟨v, u⟩ − ⟨w, u⟩ nach Vor.

= 0 nach 7.7

Es sei U der von der Menge {f(u) | u ∈ V } erzeugte Teilraum von V. Dann ist ⟨z, z′⟩ = 0 für alle z′ ∈ U nach 7.7 Da z ∈ U ist, folgt insbesondere ⟨z, z⟩ = 0 und also z = 0 nach 7.7.3.

2. Setze analog z := f(λv) − λf(v) für λ ∈ ℝ. Für alle u ∈ V gilt

⟨z, f(u)⟩ = ⟨f(λv) − λf(v), f(u)⟩
= ⟨f(λv), f(u)⟩ − λ⟨f(v), f(u)⟩
= ⟨λv, u⟩ − ⟨λv, u⟩ = 0

Wie in 1. folgt nun z = 0.

11.2 Bewegungen von V

Definition. Eine Bewegung von V ist eine abstandserhaltende Abbildung β : V ^{}V, also eine Abbildung, die

∥v − w∥ = ∥β(v) − β(w)∥ ∀v, w ∈ V

erfüllt.

Bemerkung.

1. Jede Bewegung β : V ^{}V ist injektiv, denn

β(v) = β(w) ⟹ 0 = ∥0∥ = ∥β(v) − β(w)∥ = ∥v − w∥ ⟹_{7.7} v = w

2. Die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.

Beispiel. Die Translation β = t_{v_{0}} : V ^{}V, v ^{}v + v_{0}, ist für jeden Vektor v_{0} ∈ V eine Bewegung, denn

∥β(v) − β(w)∥ = ∥v + v_{0} − (w + v_{0})∥ = ∥v − w∥

Aber t_{v_{0}} ist nicht ℝ-linear, falls v_{0} ≠ 0 (da dann t_{v_{0}}(0) = v_{0} ≠ 0 ist), also auch nicht orthogonal nach 11.1. Offensichtlich gilt

t_{v_{0}} ∘ t_{v_{1}} = t_{v_{1}} ∘ t_{v_{0}} = t_{v_{0}+v_{1}} ∀v_{0}, v_{1} ∈ V

Insbesondere gilt t_{v_{0}} ∘ t_{−v_{0}} = id_{V} = t_{−v_{0}} ∘ t_{v_{0}}, und es ist t_{v_{0}} bijektiv ∀v_{0} ∈ V.

11.3 Bewegungen, die den Nullvektor festlassen

Wie gewohnt nennen wir eine ℝ-lineare Abbildung f : V ^{}V orthogonal, falls ⟨v, w⟩ = ⟨f(v), f(w)⟩ ∀v, w ∈ V gilt.

Satz. Ist β : V ^{}V eine Bewegung, so ist die Abbildung

f := t_{−β(0)} ∘ β : V ^{}V, v ^{}β(v) − β(0)

orthogonal. Insbesondere ist jede Bewegung, die 0 festhält, orthogonal.

Beweis. Da f nach Bemerkung 2. in 11.2 eine Bewegung ist, gilt

∥v − w∥^{2} = ∥f(v) − f(w)∥^{2}

Es ist

∥v − w∥^{2} = ⟨v − w, v − w⟩ =_{7.7} ⟨v, v⟩ + ⟨w, w⟩ − 2⟨v, w⟩
= ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} − 2⟨v, w⟩

und analog

∥f(v) − f(w)∥^{2} = ∥f(v)∥^{2} + ∥f(w)∥^{2} − 2⟨f(v), f(w)⟩
= ∥β(v) − β(0)∥^{2} + ∥β(w) − β(0)∥^{2} − 2⟨f(v), f(w)⟩
= ∥v − 0∥^{2} + ∥w − 0∥^{2} − 2⟨f(v), f(w)⟩, da β Bewegung
= ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} − 2⟨f(v), f(w)⟩

Da ∥v − w∥^{2} = ∥f(v) − f(w)∥^{2} gilt, folgt ⟨v, w⟩ = ⟨f(v), f(w)⟩ ∀v, w ∈ V, und nach 11.1 ist f dann ℝ-linear.

11.4 Wie sieht eine Bewegung aus?

Korollar. Jede Bewegung β : V ^{}V hat die Gestalt β = t ∘ f, wobei f : V ^{}V orthogonal und t : V ^{}V eine Translation ist. Dabei ist t(v) = v + β(0) ∀v ∈ V.

Beweis. Nach 11.3 ist f := t_{−β(0)} ∘ β orthogonal ⟹ β = t_{β(0)} ∘ f.

11.5 Bewegungsgruppen

Korollar. Sei V endlich dimensional. Dann ist jede Bewegung V ^{}V bijektiv, und die Bewegungen V ^{}V bilden bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Beweis. Nach Bemerkung 11.2 ist nur noch zu zeigen, dass eine Bewegung β : V ^{}V bijektiv ist. Nach 11.2, 11.3 ist f := t_{−β(0)} ∘ β injektiv und ℝ-linear. Da dim_{K} V < ∞

⟹_{3.23} f ist surjektiv
⟹ β = \underbrace{t_{β(0)}}_{surj.} ∘ \underbrace{f}_{surj.} ist surjektiv

11.6 Reelle orthogonale Gruppen

In 8.5.1 haben wir die orthogonale Gruppe

O_{n}(ℝ) := {A ∈ GL_{n}(ℝ) | ^{t}AA = E_{n}}

eingeführt und ihre Elemente orthogonale Matrizen genannt.

Bemerkung. Es ist det A = ±1 für jede orthogonale Matrix A, und die orthogonalen Matrizen mit Determinante 1 bilden eine Untergruppe von O_{n}(ℝ), genannt spezielle orthogonale Gruppe

SO_{n}(ℝ) := {A ∈ O_{n}(ℝ) | det A = 1}

Sie ist vom Index 2 in O_{n}(ℝ) und also Normalteiler (vgl. 10.17).

Beweis. Ist A ∈ O_{n}(ℝ) ⟹ (det A)^{2} = det E_{n} = 1, da det^{t}A =_{6.8} det A und da die Determinante multiplikativ ist. Es folgt det A = ±1. Nun ist auch sofort zu sehen, dass SO_{n}(ℝ) eine Untergruppe von O_{n}(ℝ) ist. Die beiden Nebenklassen in O_{n}(ℝ) sind SO_{n}(ℝ) und die Menge der Matrizen mit Determinante = −1, und also ist der Index 2.

11.7 Fixpunkte orthogonaler Abbildungen

Sei dim_{ℝ} V = n. Dann hat V eine Orthonormalbasis B (nach 7.20), und für jede ℝ-lineare Abbildung f : V ^{}V gilt nach 8.11

f orthogonal ⟺ M_{B}^{B}(f) orthogonal

Lemma. Sei n = dim_{ℝ} V ungerade und f : V ^{}V orthogonal. Es sei A := M_{B}^{B}(f) in SO_{n}(ℝ) für eine Orthonormalbasis B von V. Dann ist det(A − E_{n}) = 0. Insbesondere besitzt f den Eigenwert 1, und f hat einen Fixpunkt v_{1} ≠ 0.

Beweis. Es ist

det(A − E_{n}) = det^{t}A det(A − E_{n}), weil 1 =_{Vor.} det A =_{6.8} det^{t}A

= det(^{t}A(A − E_{n})), weil det multiplikativ nach 6.9

= det(E_{n} −^{t}A), weil A ∈ O_{n}(ℝ)

= det( (^{t}E_{n} − A))), da Transponieren additiv und E_{n}^{t} = E_{n} ist = det(−(A − E_{n}))nach 6.8 = (−1)^{n} det(A − E_{n}) durch n-maliges Anwenden von 6.2b) = − det(A − E_{n}) ∈ ℝ, da n ungerade

⟹ det(A − E_{n}) = 0
⟹ f hat Eigenwert 1 nach 9.10
⟹ ∃v_{1} ≠ 0 mit f(v_{1}) = v_{1} nach 9.4

Insbesondere ist v_{1} ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

11.8 Drehungen von ℝ^{2}

Nach 8.10 und 8.12 hat jede Matrix D ∈ SO_{2}(ℝ) die Form

D = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

Die Matrix D beschreibt per Standardabbildung eine Drehung von ℝ^{2} um 0 mit dem Drehwinkel φ (gegen die Uhrzeigersinn), wie man sieht, wenn man

v ∈ ℝ^{2} in Polarkoordinaten v = (\begin{matrix}r cos α \\ r sin α \end{matrix}) mit r ∈ ℝ^{+} und 0 ≤ α < 2π

schreibt.

Abbildung 23: Polarkoordinaten

Es ist

Dv = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) (\begin{matrix}r cos α \\ r sin α \end{matrix}) = (\begin{matrix}r(cos φ cos α − sin φ sin α) \\ r(sin φ cos α + cos φ sin α) \end{matrix})
= (\begin{matrix}r cos(α + φ) \\ r sin(α + φ) \end{matrix}) nach Additionstheoremen

Es sei ℝ^{2} mit dem Standardskalarprodukt versehen. Dann gilt:

Ist f eine beliebige Drehung von ℝ^{2} um 0 ⟹ f ist eine Bewegung, die 0 festlässt ⟹_{11.3} f ist orthogonal ⟹_{8.11} Die Matrix A von f bezüglich der Standardbasis ist orthogonal ⟹ A ∈ SO_{2}(ℝ) nach 8.10, 8.12, da f eine Drehung ist.

Ergebnis: Die Drehungen von ℝ^{2} um den Nullpunkt sind die orthogonalen Abbildungen f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} mit det f = 1. Für A ∈ M_{2×2}(ℝ) gilt

A beschreibt eine Drehung per Standardabbildung ⟺ A ∈ SO_{2}(ℝ)

11.9 Drehungen von ℝ^{3}

Die Drehungen von ℝ^{3} um den Nullpunkt sind die orthogonalen Abbildungen f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} mit det f = 1. Für A ∈ M_{3×3}(ℝ) gilt

A beschreibt eine Drehung per Standardabbildung ⟺ A ∈ SO_{3}(ℝ)

Beweis. Sei B′ die Standardbasis von ℝ^{3}, und sei ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es ist dann B′ eine Orthonormalbasis von ℝ^{3}.

”⟹“ Ist f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} eine Drehung mit Drehwinkel φ um den Nullpunkt ⟹ f ist eine Bewegung, die 0 festlässt ⟹_{11.3} f ist orthogonal

⟹_{8.11} A := M_{B′}^{B′}(f) ist orthogonal ⟹_{11.6} det A = ±1 ⟹ det f = ±1 nach 6.13. Für φ = 0 ist f = id und also det f = 1. Da die Determinante stetig vom Drehwinkel abhängt folgt det f = 1 für jede Drehung f ⟹ A = M_{B′}^{B′}(f) ∈ SO_{3}(ℝ)

”⟸“ Sei A ∈ SO_{3}(ℝ), und sei f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} die zu A gehörige Standardabbildung. Dann gilt A = M_{B′}^{B′}(f), und f ist orthogonal nach 8.11. Da f ℝ-linear ist, gilt f(0) = 0. Nach 11.7 hat f auch einen Fixpunkt v_{0} ≠ 0 in ℝ^{3}, also f(v_{0}) = v_{0}. Sei U := (ℝv_{0})^{⊥} die Ebene durch 0, die senkrecht zu v_{0} ist. Dann ist U ein f-invarianter Unterraum von ℝ^{3}, d.h. f(u) ∈ U ∀u ∈ U, denn für u⊥v_{0} gilt

0 = ⟨u, v_{0}⟩ =_{f orth.} ⟨f(u), f(v_{0})⟩ = ⟨f(u), v_{0}⟩ also f(u)⊥v_{0} ∀u ∈ U

Abbildung 24: Untervektorraum U Wir zeigen nun, dass f|_{U} : U ^{}U wie eine Drehung wirkt. Dies erreichen wir durch geeigneten Basiswechsel. Wir konstruieren eine Orthonormalbasis B von ℝ^{3} so, dass die Matrix C := M_{B}^{B}(f) die Form

C = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos φ & − sin φ \\ 0 & sin φ & cos φ \end{matrix})

hat und also eine Drehung von ℝ^{3} mit Drehwinkel φ per Standardabbildung zu C beschreibt, wobei e_{1} = (1, 0, 0) auf der Drehachse liegt.

Konstruktion von B: Sei v_{1} := \frac{v_{0}}{∥v_{0}∥} ⟹ ∥v_{1}∥ = 1. Wir wählen gemäß 7.20 eine Orthonormalbasis D := {v_{2}, v_{3}} von U. Dann ist B := {v_{1}, v_{2}, v_{3}} ist eine Orthonormalbasis von ℝ^{3}, da v_{1}⊥U. Es ist f(v_{1}) = v_{1}, da mit v_{0} auch v_{1} ein Fixpunkt ist. Da f(u) ∈ U ∀u ∈ U ist, gibt es λ_{2}, λ_{3}, μ_{2}, μ_{3} ∈ ℝ mit

f(v_{2}) = λ_{2}v_{2} + λ_{3}v_{3}
f(v_{3}) = μ_{2}v_{2} + μ_{3}v_{3}

Daher gilt

C := M_{B}^{B}(f) =_{4.4} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & μ_{2} \\ 0 & λ_{3} & μ_{3} \end{matrix}) und D := M_{D}^{D}(f|_{U}) =_{4.4} (\begin{matrix}λ_{2} & μ_{2} \\ λ_{3} & μ_{3} \end{matrix})

und aus 8.11 folgt, dass C und D orthogonal sind. Da A = M_{B′}^{B′}(f) gilt, ist A =_{4.16} T^{−1}CT mit T = M_{B′}^{B}(id). Es folgt

1 =_{Vor.} det A =_{6.9} det C =_{6.5} 1 · det D

also C ∈ SO_{3}(ℝ) und D ∈ SO_{2}(ℝ). Nach 11.8 ist daher

D = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

Mit C beschreibt auch A = T^{−1}CT eine Drehung von ℝ^{3} um 0 per Standardabbildung. Der Vektor v_{1} liegt auf der Drehachse, der Drehwinkel φ wird auf der zu v_{1} senkrechten Ebene U gemessen und zwar gegen den Uhrzeigersinn, wenn man von v_{1} aus auf die Ebene U sieht.

11.10 Orientierung und Bewegungen

Sei β : V ^{}V eine Bewegung eines endlich dimensionalen Vektorraums V. Dann gibt es nach 11.4 eine orthogonale Abbildung f : V ^{}V so, dass β(v) = f(v) + β(0) ∀v ∈ V gilt. Wir nennen β orientierungserhaltend, wenn det f = 1, und orientierungsumkehrend, wenn det f = −1 gilt. Versieht man ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt, so ergibt 11.3, 11.8 und 11.9:

• Die Drehungen von ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} sind die orientierungserhaltenden Bewegungen, die den Nullpunkt festlassen. Sie bilden jeweils eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen von ℝ^{2} bzw. ℝ^{3}.

Sei E = 𝔸^{2}(ℝ) die affine Ebene (wie im Spezialfall 10.23). Dann bilden die Bewegungen von E nach 11.5 eine Gruppe G, und man erhält einen Gruppenhomomorphismus

G ^{}{−1, 1}

indem man jeder orientierungserhaltenden Bewegung den Wert 1, und jeder orientierungsumkehrenden Bewegung den Wert −1 zuordnet.

11.11 Die Bewegungsgruppe der Ebene E = 𝔸^{2}(ℝ)

Jede orientierungserhaltende Bewegung der Ebene ist

• eine Translation P ^{}P + w, das ist eine Parallelverschiebung um einen Vektor w oder

• eine Drehung um einen Punkt um eine Winkel φ ≠ 0

Jede orientierungsumkehrende Bewegung der Ebene ist

• eine Spiegelung an einer Geraden ℓ (vgl. 8.3, 8.12)

oder

• eine Gleitspiegelung, das ist die Hintereinanderausführung einer Spiegelung an einer Geraden ℓ und einer Verschiebung um einen zu ℓ parallelen Vektor w ≠ 0

Durch diese Liste sind alle Bewegungen der Ebene E, d.h. alle abstandserhaltenden Abbildungen E ^{}E, beschrieben (vgl. 11.13).

11.12 Die Bewegungsgruppe von ℝ^{2}

Satz. Die Gruppe der Bewegungen von ℝ^{2} wird erzeugt von den Translationen t_{w}

um den Vektor w = (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}), also

t_{w} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}x_{1} + a_{1} \\ x_{2} + a_{2} \end{matrix}) ∀ (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}

den Drehungen d_{φ} um den Winkel φ um 0, also

d_{φ} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∀ (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}

und der Spiegelung s an der x_{1}-Achse, also

s (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}x_{1} \\ −x_{2} \end{matrix}) ∀ (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}

Genauer gilt: Jede Bewegung β : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} lässt sich eindeutig darstellen als

β = t_{w} ∘ d_{φ} oder β = t_{w} ∘ d_{φ} ∘ s

Beweis. Sei β eine Bewegung von ℝ^{2}. Nach 11.4 ist dann β = t_{w} ∘f, wobei t_{w} eine Translation um w ist und f orthogonal ist, also insbesondere f(0) = 0 und det f = ±1.

1) Sei det f = 1. Dann ist f nach 11.8 eine Drehung d_{φ}. Es ist also β = t_{w}∘d_{φ}.

2) Sei det f = −1. Dann gilt det(f ∘ s) = det f· det s = (−1)(−1) = 1. Nach 11.8 ist f ∘s eine Drehung, also f ∘s = d_{φ}. Da s∘s = id ist, folgt f = d_{φ}∘s und somit β = t_{w} ∘ d_{φ} ∘ s.

3) Eindeutigkeit der Darstellung: Sei β = t_{w} ∘ d_{φ} ∘ s^{i} = t_{v} ∘ d_{η} ∘ s^{j}, wobei i, j = 0 oder 1 sind. Es ist zu zeigen, daß i = j, w = v und φ = η gelten. Sei i = 0, dann ist β nach 11.10 orientierungserhaltend, folglich ist j = 0. Sei i = 1, dann ist β nach 11.10 orientierungsumkehrend, folglich ist j = 1. Also gilt i = j. Da s ∘ s = id ist, folgt t_{w} ∘ d_{φ} = t_{v} ∘ d_{η}. Multipliziere von links mit t_{−v} und von rechts mit d_{−φ}. Man erhält t_{w−v} ∘d_{φ−φ} = t_{v−v} ∘d_{η−φ}, also t_{w−v} = d_{η−φ}. Eine Translation ist aber nur dann eine Drehung, wenn sie die Identität t0 ist. Folglich gelten w = v und η = φ.

Rechenregeln in der Bewegungsgruppe von ℝ^{2} : Es gelten

i) t_{v} ∘ t_{w} = t_{v+w}, d_{φ} ∘ d_{η} = d_{φ+η} und s ∘ s = id ii) d_{φ} ∘ t_{w} = t_{d_{φ}(w)} ∘ d_{φ} iii) s ∘ t_{w} = t_{s(w)} ∘ s iv) s ∘ d_{φ} = d_{−φ} ∘ s Beweis. Wir zeigen hier nur ii): d_{φ} ∘ t_{w} = t_{d_{φ}(w)} ∘ d_{φ} Sei w = (a_{1}, a_{2}). Es ist

d_{φ} (t_{w} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})) = d_{φ} (\begin{matrix}x_{1} + a_{1} \\ x_{2} + a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}(x_{1} + a_{1}) cos φ − (x_{2} + a_{2}) sin φ \\ (x_{1} + a_{1}) sin φ + (x_{2} + a_{2}) cos φ \end{matrix})

und

(t_{d_{φ}(w)} ∘ d_{φ}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = t_{d_{φ}(w)} (\begin{matrix}x_{1} cos φ − x_{2} sin φ \\ x_{1} sin φ + x_{2} cos φ \end{matrix})

= (\begin{matrix}(x_{1} + a_{1}) cos φ − (x_{2} + a_{2}) sin φ \\ (x_{1} + a_{1}) sin φ + (x_{2} + a_{2}) cos φ \end{matrix})

11.13 Zum Beweis von 11.11

In 11.12 hatten wir ein Koordinatensystem gewählt und dadurch die Ebene E = 𝔸^{2}(ℝ) mit ℝ^{2} identifiziert. Sei nun β : E ^{}E eine Bewegung. Wir gehen analog wie in 11.12 vor:

1. Fall. Sei β orientierungserhaltend. Schreibe β = t_{w} ∘ d_{φ}.

Behauptung: Ist d_{φ} ≠ id , so hat β hat genau einen Fixpunkt, und β ist eine Drehung um den Winkel φ um P. Beweis. Es ist β(v) = d_{φ}(v) + w. Zu lösen ist die Gleichung

(id −d_{φ}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

und also das zugehörige Gleichungssystem

(\begin{matrix}1 − cos φ & sin φ \\ − sin φ & 1 − cos φ \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Die Matrix hat die Determinante 2 − 2 cos φ ≠ 0, da d_{φ} ≠ id. Das System hat also genau eine Lösung P. Es ist P = d_{φ}(P) + w. Folglich ist β(P +v) = d_{φ}(P +v)+w = d_{φ}(P)+d_{φ}(v)+w = d_{φ}(P)+w+d_{φ}(v) = P + d_{φ}(v) ⟹ β ist eine Drehung um P mit Drehwinkel φ.

2. Fall. Sei β orientierungsumkehrend. Schreibe β = t_{w}∘d_{φ}∘s. Die Bewegung d_{φ}∘s ist eine Spiegelung s′ an der Geraden durch 0, die mit der x_{1}-Achse den Winkel \frac{φ}{2} bildet, denn

(\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}cos φ & sin φ \\ sin φ & − cos φ \end{matrix}) (vgl. 8.12)

Es ist also β = t_{w} ∘ s′. Drehe das Koordinatensystem so, dass die x_{1}- Achse zur Spiegelachse wird. Dann wird s′ zur Standardspiegelung s aus 11.12 und t_{w} bleibt eine Translation (mit geänderten Koordinaten). Bezüglich des neuen Koordinatensystems ist

β = t_{w} ∘ s und β (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}x_{1} + a_{1} \\ −x_{2} + a_{2} \end{matrix}) ⟹ β (x_{1}_{\frac{a_{2}}{2}}) = (x_{1} + a_{1}_{\frac{a_{2}}{2}})

Damit führt β die durch x_{2} = \frac{a_{2}}{2} gegebene, zur x_{1}-Achse parallele Gerade in sich über und wirkt danach wie eine Verschiebung. Also ist β eine Gleitspiegelung.

Sei G die Gruppe der Bewegungen von E = 𝔸^{2}(ℝ). Betrachte die beiden Untergruppen

T := Gruppe der Translationen
O := Gruppe der orthogonalen Abbildungen

= Gruppe der Bewegungen, die 0 festlassen

=_{8.12} { Drehungen um 0 und Spiegelungen an Geraden durch 0}

Sei B die Standardbasis von ℝ^{2}, dann sind

ℝ^{2}  ^{}T , w ^{}t_{w}
O ^{}O_{2}(ℝ), β ^{}M_{B}^{B}(β)

Isomorphismen von Gruppen.

Wir betrachten nun endliche Untergruppen der Bewegungsgruppe G. Dies führt zum Studium der ”Symmetriegruppen“ von Figuren wie

Abbildung 25: Spiegel- und Drehsymmetrie

11.14 Symmetriegruppen

Sei E = 𝔸^{2}(ℝ) und sei F ⊂ E. Eine Symmetrie von F ist eine Bewegung β : E ^{}E, die F in sich überführt, für die also β(F) = F gilt. Die Symmetrien von F bilden eine Untergruppe der Bewegungsgruppe G von E, genannt Symmetriegruppe der ”Figur“ F.

Beispiel. Sei n ≥ 3 und F eine regelmäßiges n-Eck. Dies verhält sich bezüglich Drehungen um den Mittelpunkt P um den Winkel \frac{2π}{n} symmetrisch. F enthält auch Spiegelachsen. Die Symmetriegruppe von F ist die ”Diedergruppe“ D_{n} der Ordnung 2n. Speziell ergeben sich zum Beispiel für n = 3 die Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks: Bei Drehungen der Ebene um P um den Winkel \frac{2π}{3} und Spiegelung an einer Spiegelachse geht F in sich über.

11.15 Die endlichen Untergruppen von O ≃ O_{2}(ℝ)

Satz. Sei O die Gruppe der Bewegungen E ^{}E, die den Nullpunkt festlassen, und sei G eine endliche Untergruppe von O. Dann ist G

• die zyklische Gruppe Z_{n} der Ordnung n, die von der Drehung d_{η} mit η = \frac{2π}{n} erzeugt wird oder

• die Diedergruppe D_{n} der Ordnung 2n, die von der Drehung d_{η} mit η = \frac{2π}{n} und einer Spiegelung s′ an einer Geraden durch den Nullpunkt erzeugt wird.

Beweis. 1. Fall. Alle Elemente von G sind Drehungen. Es ist zu zeigen, dass G zyklisch ist. Ist |G| = 1, so ist G = {id}. Sei |G| > 1. Dann enthält G eine Drehung um einen Winkel φ ≠ 0. Sei η ∈ ℝ der kleinste positive Drehwinkel, der bei einer Drehung aus G auftritt. Dann ist

11.16. Endliche Untergruppen der ebenen Bewegungsgruppe 197

φ = mη + α mit 0 ≤ α < η und einem m ∈ ℤ. Da G eine Gruppe ist, gilt d_{α} = d_{φ−mη} ∈ G ⟹ α = 0, da η minimal ist und 0 ≤ α < η gilt. Demnach ist

d_{φ} = d_{mη} = d_{η}^{m}

also ist G zyklisch. Wähle n ∈ ℕ minimal mit der Eigenschaft nη ≥ 2π, also 2π ≤ nη < 2π +η. Es folgt nη = 2π und also η = \frac{2π}{n} , da ansonsten d_{nη−2π} eine Drehung in G mit kleinerem Drehwinkel als η wäre.

2. Fall. G enthält eine Spiegelung. Durch Änderung des Koordinatensystems (falls nötig) kann man erreichen, dass dies die Standardspiegelung s aus 11.12 in G ist. Sei H die Untergruppe der Drehungen aus G. Nach Fall 1. gibt es ein n ∈ ℕ so, dass H = Z_{n}. Folglich ist

D_{n} := {d_{η}^{i} ∘ s^{j} | i = 0, …, n − 1, j = 0, 1} ⊂ G

Es ist noch zu zeigen, dass G ⊂ D_{n} gilt.

Sei β ∈ G. Ist β eine Drehung, so ist β ∈ H ⊂ D_{n}. Ist β eine Spiegelung ⟹ β = d_{φ} ∘ s mit einer geeigneten Drehung d_{φ} nach 11.13 ⟹ d_{φ} = β ∘ s (da s ∘ s = id) ⟹ d_{φ} ∈ G ⟹ d_{φ} ∈ H. Nach Fall 1 gilt d_{φ} = d_{η}^{n}, also ist β = d_{η}^{n} ∘ s ∈ D_{n}.

Folgerung. Schreiben wir x := d_{η} und y := s, so können wir die Diedergruppe D_{n} durch Erzeugende und definierende Relationen beschreiben: Erzeugende sind x, y und die Relationen sind x^{n} = 1, y^{2} = 1, yx = x^{n−1}y . Es ist dann D_{n} = {1, x, x^{2}, …, x^{n−1}, y, xy, x^{2}y, …, x^{n−1}y}

11.16 Die endlichen Untergruppen der Bewegungsgruppe G von E = 𝔸^{2}(ℝ)

Diese werden durch 11.15 vollständig beschrieben: Wir zeigen, dass jede endliche Untergruppe G von G einen Fixpunkt P hat, legen das Koordinatensystem so, dass P der Nullpunkt wird und sind in der Situation von 11.15.

Lemma. Sei M = {q_{1}, …, q_{n}} eine endliche Menge von Punkten der Ebene, und sei

P = \frac{1}{n}(q_{1} + … + q_{n}) der Schwerpunkt von M

Für jede Bewegung β : E ^{}E gilt dann

β(P) = \frac{1}{n}(β(q_{1}) + ⋯ + β(q_{n}))

Eine Bewegung bildet also Schwerpunkte auf Schwerpunkte ab.

Beweis. Nach 11.12 und 11.13 ist jede Bewegung zusammengesetzt aus Drehungen d_{φ} um den Nullpunkt, Translationen und der Spiegelung s aus 11.12. Da d_{φ} und s ℝ-linear sind, braucht man die Behauptung nur für Translationen zu zeigen. Sei β = t_{w} eine Translation um w. Es gilt:

β(P) = P + w nach Definition von t_{w}

= \frac{1}{n}(q_{1} + … + q_{n}) + \frac{1}{n} \underbrace{(w + … + w)}_{n mal} nach 2.4

= \frac{1}{n}(q_{1} + w + … + q_{n} + w)

= \frac{1}{n}(β(q_{1}) + … + β(q_{n}))

Satz. Jede endliche Untergruppe G der Bewegungsgruppe G von E hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt einen Punkt P ∈ E mit β(P) = P für alle β ∈ G.

Beweis. Sei q ∈ E und sei Gq := {β(q)|β ∈ G} die Bahn von q unter der Wirkung von G. Die Bahn ist endlich, weil G endlich ist. Schreibe Gq = \{q_{1}, …, q_{m}\}. Es ist P = \frac{1}{m}(q_{1} + … + q_{m}) der Schwerpunkt der Bahn. Also ist β(P) = P für jedes β ∈ G, denn β permutiert die Elemente der Bahn, und β(P) ist wieder der Schwerpunkt dieser Elemente nach dem Lemma.

11.17 Endliche Untergruppen der Drehgruppe von ℝ^{3}

Sei D_{3}(ℝ^{3}) die Gruppe der Drehungen von ℝ^{3} um 0 . Dann ist

D_{3}(ℝ) = {f : ℝ^{3} ^{}ℝ^{3} | f orthogonal, det f = 1} ≃ SO_{3}(ℝ^{3}) nach 11.9

Satz. Sei G eine endliche Untergruppe von D_{3}(ℝ). Dann ist G eine der folgenden Gruppen:

• Z_{n}: Zyklische Gruppe der Drehungen um Vielfache von \frac{2π}{n} mit n ∈ ℕ um eine Drehachse. Es ist |Z_{n}| = n.

• D_{n}: Diedergruppe der Symmetrien eines regelmäßigen n-Ecks in einer Ebene, aufgefasst als räumliche Drehungen. Es ist |D_{n}| = 2n.

• T: Tetraedergruppe der 12 Drehungen, die ein Tetraeder in sich überführen.

11.17. Endliche Untergruppen der räumlichen Drehgruppe 199

• W: Würfelgruppe der 24 Drehungen, die einen Würfel oder ein Oktaeder in sich überführen.

• I : Ikosaedergruppe der 60 Drehungen, die ein Dodekaeder oder ein Isokaeder in sich überführen.

Beweis. Die Idee ist, die Pole von G auf der Einheitssphäre

S^{2} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1}

abzuzählen. Dabei heißt ein Punkt p ∈ S^{2} ein Pol von G, falls es eine Drehung γ ≠ id aus G gibt mit γ(p) = p. Man nennt dann p auch Pol von γ. Die Schwierigkeit bei der Zählung der Pole von G ist, dass ein Punkt p ∈ S^{2} ein Pol von mehreren Elementen aus G sein kann. Ist f ≠ id ein Element aus G, so ist f eine Drehung um eine (eindeutig bestimmte) Drehachse ℓ. Die beiden Schnittpunkte von ℓ mit S^{2} sind dann die Pole von f . Die Gruppe G operiert auf S^{2} vermöge

G × S^{2} ^{}S^{2}, (p, f) ^{}f(p)

denn es gilt f(p) ∈ S^{2} ∀ p ∈ S^{2}, da jede Drehung f orthogonal und insbesondere abstandserhaltend ist.

Lemma. Bei der Operation von G auf S^{2} geht die Menge X der Pole von G in sich über. Die Gruppe G operiert also auf X.

Beweis. Ist p Pol von f ≠ id aus G und g ∈ G \ {id} beliebig. Dann ist g(p) Pol von g ∘ f ∘ g^{−1}, denn es ist (g ∘ f ∘ g^{−1})(g(p)) = g(f(p)) = g(p).

Nach 10.24 kann man die Menge der Pole X disjunkt in Bahnen zerlegen. Wir zeigen nun mit Hilfe der Bahnformel in 10.25, dass es höchstens 3 Bahnen geben kann. Fallunterscheidung nach Anzahl und Länge der Bahnen ergibt dann die obige Liste.

Sei Stab(p) := {g ∈ G | g(p) = p} der Stabilisator eines Pols p von G und sei Gp := {g(p) | g ∈ G} die zugehörige Bahn. Mit den Bezeichnungen

N := |G| , n_{p} := |Gp| = “Bahnlänge”, r_{p} := |Stab(p)|

gilt nach der Bahnformel N = r_{p} · n_{p} , vgl. 10.25. Sei N > 1 . Dann ist r_{p} > 1 nach Definition des Pols, da id ∈ Stab(p) ist, und G hat r_{p} − 1 Elemente mit Pol p nach Definition des Stabilisators. Da jedes f ∈ G \ {id} zwei Pole hat, folgt:

∑_{p∈X}(r_{p} − 1) = 2(N − 1) (1)

Wenn zwei Pole p und p′ in derselben Bahn liegen, folgt Gp = Gp′ nach 10.1, also auch n_{p} = n_{p′}, und aus N = r_{p}n_{p} = r_{p′}n_{p′} folgt dann auch r_{p} = r_{p′}. Man kann also Summanden von Polen, die in derselben Bahn liegen zusammenfassen. Wir schreiben nun B_{1}, …, B_{m} für die Bahnen. Sei r_{i} := r_{p}, falls p ∈ B_{i} und n_{i} := |B_{i}| = ”Länge der Bahn B_{i}“. Aus (1) folgt nun

∑_{i=1}^{m} n_{i}(r_{i} − 1) = 2N − 2 (2)

Es ist N = r_{i}n_{i} für alle i = 1, …, m. Division der Gleichung (2) durch N ergibt:

\underbrace{2 − \frac{2}{N}}_{<2} = \underbrace{∑_{i=1}^{m} \underbrace{(1 − \frac{1}{r_{i}})}_{≥1/2}}_{≥ \frac{m}{2}} (3)

Es folgt m ≤ 3 , d. h. es gibt höchstens drei Bahnen.

Fall 1: Es gibt nur eine Bahn. Dann folgt mit (3)

\underbrace{2 − \frac{2}{N}}_{≥1} = \underbrace{1 − \frac{1}{r_{1}}}_{<1}

Dieser Fall kann nicht vorkommen.

Fall 2: Es gibt genau zwei Bahnen. Dann folgt mit (3)

2 − \frac{2}{N} = 1 − \frac{1}{r_{1}} + 1 − \frac{1}{r_{2}} und daher \frac{2}{N} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}

Es ist r_{i} ≤ N , da N = n_{i}r_{i} gilt. Also folgt r_{1} = r_{2} = N und somit n_{1} = n_{2} = 1. Beide Bahnen haben die Länge 1. Folglich gibt es nur 2 Pole p und p′, und beide sind Fixpunkte (werden von allen Elementen aus G festgelassen wegen N = r_{1} = r_{2}). Also liegen sich p und p′ auf der Sphäre gegenüber, d. h. sie liegen beide auf einer Geraden ℓ durch durch 0. Die Gruppe G kann also nur aus Drehungen um die Drehachse ℓ bestehen. Daraus folgt, dass G = Z_{N} die zyklische Gruppe ist, die von der Drehung um den Winkel \frac{2π}{N} erzeugt wird.

Fall 3: Es gibt genau drei Bahnen. Mit (3) folgt nun:

\frac{2}{N} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} − 1 (4)

Numeriere die Bahnen so, dass r_{1} ≤ r_{2} ≤ r_{3} gilt. Es folgt r_{1} = 2, denn wären alle r_{i} ≥ 3, so wäre die rechte Seite in (4) ≤ 0 , die linke Seite ist aber > 0.

Fall 3a: r_{1} = r_{2} = 2 und r := r_{3} beliebig.

Mit (4) folgt N = 2r, also n_{3} = 2, da N = n_{3}r ist. Es ist also B_{3} = {p, p′} mit Polen p, p′ ∈ S^{2}. Jedes Element von G läßt entweder p und p′ fest oder vertauscht beide. Also liegen sich p und p′ auf S^{2} gegenüber, und die Elemente von G sind Drehungen um die Gerade ℓ durch p und p′ oder Drehungen um den Winkel π um eine Gerade ℓ′, die in der Ebene E := ℓ^{⊥} liegt. Es ist also

G = {f ∈ D_{3}(ℝ) | f führt ein regelmäßiges r-Eck F ⊂ E in sich über}

Die Eckpunkte und Mittelpunkte der Seiten von F entsprechen den übrigen Polen. Schränkt man die Wirkung von G auf die Ebene E ein, so erhält man die Diedergruppe D_{r}, wobei die Drehungen um ℓ als ebene Drehungen um den Mittelpunkt von F wirken und die Drehungen um eine Gerade ℓ′ in E wie eine Spiegelung an ℓ′ wirken.

Fall 3b: r_{1} = 2 und r_{2}, r_{3} > 2.

Mit Hilfe von (4) überlegt man, daß es nur die folgenden Möglichkeiten gibt:

\begin{matrix}Gruppe & (r_{1}, r_{2}, r_{3}) & N \\ T & (2, 3, 3) & 12 \\ W & (2, 3, 4) & 24 \\ I & (2, 3, 5) & 60 \end{matrix}

Die Tripel (2, r_{2}, r_{3}) mit r_{2}, r_{3} ≥ 4 können nicht vorkommen, da

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} − 1 = 0

ist. Die Tripel (2, 3, r_{3}) mit r_{3} ≥ 6 können nicht vorkommen, weil

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} − 1 = 0

ist.

Im Fall (r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (2, 3, 3) ist (n_{1}, n_{2}, n_{3}) = (6, 4, 4), da N = r_{i}n_{i} ist. Die Pole der Bahn B_{2} sind die Eckpunkte eines Tetraeders F, und G besteht aus den Drehungen, die F in sich überführen. Es ist

n_{1} = # Kanten von F
n_{2} = # Eckpunkte von F
n_{3} = # Seitenflächen von F

Im Fall (r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (2, 3, 4) ist (n_{1}, n_{2}, n_{3}) = (12, 8, 6). Die Pole der Bahn B_{2} sind die Eckpunkte eines Würfels F, und die Pole in B_{3} sind die Eckpunkte eines Oktaeders F′, und G besteht aus den Drehungen, die diese Figuren in sich überführen. Es ist

n_{1} = # Kanten von F = # Kanten von F′
n_{2} = # Eckpunkte von F = # Seitenflächen von F′
n_{3} = # Seitenflächen von F = # Eckpunkte von F′

Im Fall (r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (2, 3, 5) ist (n_{1}, n_{2}, n_{3}) = (30, 20, 12). Die Pole in B_{2} sind die Eckpunkte eines Dodekaeders F, und die Pole in B_{3} sind die Eckpunkte eines Ikosaeders F′. Es ist G = I.

Der obige Beweis ist dem Algebrabuch von M. Artin [2] entnommen.

11.18 Euklidische Räume

Ein affiner Raum X über ℝ (vgl. 10.23), dessen zugehöriger Vektorraum V ein euklidischer Vektorraum ist, heißt euklidischer Raum.

Beispiel. 𝔸^{n}(ℝ) wird durch das Standard-Skalarprodukt auf ℝ^{n} zu einem euklidischen Raum.

Definition. Der Abstand zweier Punkte P, Q eines euklidischen Raumes X ist definiert als

d(P, Q) = ∥\overrightarrow{P Q}∥, wobei ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} ist für v ∈ V

Dadurch wird X zu einem metrischen Raum mit einer translationsinvarianten Metrik. Für alle P, Q ∈ X, v ∈ V gilt:

1) d(P, Q) ≥ 0 ∀P, Q ∈ X und d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q

2) d(P, Q) = d(Q, P) ”Symmetrie“

3) d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R) ”Dreiecksungleichung“ 4) d(P + v, Q + v) = d(P, Q) ”Translationsinvarianz“

1), 2) und 3) folgen aus 7.7 und 7.9, und 4) folgt aus \overrightarrow{(P + v)(Q + v)} = \overrightarrow{P Q} (vgl. 10.23).

11.19 Übungsaufgaben 69 – 80

Aufgabe 69. Sei A ∈ M_{2×2}(ℝ) eine Matrix mit lauter positiven Einträgen, und sei f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2} die zugehörige Standardabbildung. Man zeige:

(a) f hat zwei verschiedene reelle Eigenwerte.

(b) Der größere Eigenwert besitzt einen Eigenvektor, der im ersten Quadranten liegt und der kleinere einen Eigenvektor, der im zweiten Quadranten liegt.

Aufgabe 70.

Man bringe die reelle Drehmatrix (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) in M_{2×2}(ℂ) auf Diago-

nalgestalt.

Aufgabe 71. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und f : V ^{}V eine orthogonale Abbildung mit Determinante det(f) = −1 . Man zeige, dass −1 Eigenwert von f ist.

Aufgabe 72. Sei A ∈ M_{n×n}(K), und sei

p(x) := det(A − xE_{n}) = (−1)^{n} x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + ⋯ + a_{0}

das charakteristische Polynom von A. Nach dem Satz von Hamilton-Cayley ist

p(A) = (−1)^{n}A^{n} + a_{n−1}A^{n−1} + ⋯ + a_{0} E_{n}

die Nullmatrix. Man beweise diese Aussage für (2 × 2)-Matrizen und für Diagonalmatrizen.

Aufgabe 73. Man ermittle, welche Matrix die Drehung von ℝ^{3} um den Winkel φ um die durch den Vektor e_{2} = (0, 1, 0) bestimmte Achse beschreibt.

In den folgenden Aufgaben ist V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, f : V ^{}V eine ℝ-lineare Abbildung und B eine Orthonormalbasis von V. Man nennt f selbstadjungiert, wenn ⟨f(v), w⟩ = ⟨v, f(w)⟩ für alle v, w ∈ V gilt. Wie in 9.14 der Vorlesung gezeigt wurde, ist f genau dann selbstadjungiert, wenn die Matrix M_{B}^{B}(f) symmetrisch ist. Eine symmetrische Matrix A ∈ M_{n×n}(ℝ) heißt positiv definit, wenn

(μ_{1}, …, μ_{n}) A (μ_{1} ; ⋮ ; μ_{n}) > 0

für jeden Vektor (μ_{1}, …, μ_{n}) ≠ 0 aus ℝ^{n} gilt.

Aufgabe 74. Sei f : V ^{}V selbstadjungiert. Man zeige, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind.

(a) Alle Eigenwerte von f sind > 0 .

(b) Für jeden Vektor v ≠ 0 aus V ist ⟨f(v), v⟩ > 0 .

(c) Die Matrix M_{B}^{B}(f) ist positiv definit.

Aufgabe 75. Man untersuche, welche der folgenden reellen Matrizen positiv definit sind.

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}), C = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) , D = (\begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}) .

Aufgabe 76. Es sei f : V ^{}V selbstadjungiert, und f besitze genau n verschiedene Eigenwerte. Man zeige, dass die zugehörigen Eigenvektoren eine Orthogonalbasis von V bilden.

Aufgabe 77. Es sei β eine orientierungsumkehrende Bewegung der Ebene. Man zeige, dass β ∘ β eine Translation ist.

Aufgabe 78. Sei V ein 2-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann ist eine Spiegelung von V eine orthogonale Abbildung V ^{}V, deren Determinante gleich −1 ist. Man zeige, dass eine ℝ-lineare Abbildung f : V ^{}V genau dann eine Spiegelung ist, wenn f die Eigenwerte 1 und −1 hat und die zugehörigen Eigenvektoren senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe 79. Sei D_{4} die Diedergruppe der Ordnung 8. Man bestimme alle Untergruppen von D_{4} und ermittle, welche davon Normalteiler sind.

Aufgabe 80. Eine Gruppe G der Ordnung 55 operiere von links auf einer Menge X mit 18 Elementen. Man zeige, dass es mindestens zwei Fixpunkte in X gibt.

(Dabei heißt ein Element x ∈ X Fixpunkt, wenn gx = x für alle g ∈ G gilt.)

12 Quadratische Formen und Quadriken

Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0 in K. Sei V ein K-Vektorraum, der versehen sei mit einer symmetrische Bilinearform

s : V × V ^{}K, (v, w) ^{}⟨v, w⟩

Es gelten also:

(1) \begin{matrix}⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩ \\ ⟨λv, w⟩ = λ⟨v, w⟩ \end{matrix} \} ”linear im 1. Argument“

(2) ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ ”Symmetrie“

Aus (1) und (2) folgt die Linearität im 2. Argument (vgl. 7.2). Sei dim_{K} V < ∞ und B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Dann ist die Matrix

M_{B}(s) = (\begin{matrix}⟨v_{1}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{1}, v_{n}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⟨v_{n}, v_{1}⟩ & ⋯ & ⟨v_{n}, v_{n}⟩ \end{matrix})

symmetrisch wegen (2). Umgekehrt gibt es zu jeder symmetrischen Matrix

A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ M_{n×n}(K)

genau eine symmetrische Bilinearform s mit A = M_{B}(s) . Seien v, w ∈ V, also v = x_{1}v_{1} + … + x_{n}v_{n} und w = y_{1}v_{1} + … + y_{n}v_{n} mit eindeutig bestimmten x_{i}, y_{i} ∈ K (vgl. 3.4). Man setzt

s(v, w) = (x_{1}, …, x_{n})A (y_{1} ; ⋮ ; y_{n}) (vgl. 7.4)

Im Fall K = ℝ nennt man eine solche symmetrische Bilinearform auch indefinit. Zum Beispiel ist die Lorentzform, definiert auf ℝ^{4} durch

s(v, w) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} − c^{2}x_{4}y_{4} , indefinit. Man kann ℝ^{4} als “Raum + Zeit“ auffassen, und es steht c für die Lichtgeschwindigkeit. Wähle die Zeiteinheit so, dass c = 1 wird. Dann folgt

M_{B}(s) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix})

gemäß 7.22 und 7.23 für eine geeignete Basis B.

Bemerkung. Es ist

M_{B}(s) ∈ GL_{n}(K) ⟺ Rad(V) = {0}

Man nennt s dann auch regulär oder nicht ausgeartet (vgl. 7.12 und 7.13).

12.1 Der Begriff einer quadratischen Form

Sei weiterhin dim_{K} V = n < ∞ und sei s : V × V ^{}K eine symmetrische Bilinearform. Dann nennt man eine Abbildung

q : V ^{}K, v ^{}q(v) := s(v, v)

die zu s gehörige quadratische Form auf V. Sie hat die Eigenschaften:

(i) q(λv) = λ^{2}q(v) für alle λ ∈ K und v ∈ V

(ii) s(v, w) = \frac{1}{2}(q(v + w) − q(v) − q(w)) für alle v, w ∈ V ”Polarisierung“.

Man kann also s aus q zurückgewinnen.

12.2 Basiswahl

Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und q(v) = s(v, v) für alle v ∈ V die zu s gehörende quadratische Form. Seien A = (a_{ij}) = M_{B}(s) und (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} der Koordinatenvektor von v ∈ V, also v = x_{1}v_{1} +…+x_{n}v_{n}. Es ist dann

q(v) =: q_{B}(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}, …, x_{n})A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

= ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}y_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + 2 ∑_{1≤i<j≤n} a_{ij}x_{i}y_{j}

mit a_{ij} = ⟨v_{i}, v_{j}⟩ und a_{ij} = a_{ji}, da s symmetrisch ist. Nach 7.19 besitzt V eine Orthogonalbasis B′ = (w_{1}, …, w_{n}). Dafür gilt

q(v) = q_{B′}(y_{1}, …, y_{n}) = ∑_{i=1}^{n} b_{ii}y_{i}^{2}

wobei

M_{B′}(s) = (b_{ij}) mit b_{ij} = ⟨w_{i}, w_{j}⟩ = \begin{cases}⟨w_{i}, w_{i}⟩ & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{cases}

Durch Wahl einer Orthogonalbasis, kann man also eine quadratische Form diagonalisieren.

12.3 Hauptachsentransformation

Sei A ∈ M_{n×n}(ℝ) symmetrisch, B die Standardbasis von ℝ^{n} und

q_{B} : ℝ^{n} ^{}ℝ, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}(x_{1}, …, x_{n})A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

die zugehörige quadratische Form. Eine Hauptachsentransformation von A ist eine Koordinatentransformation

ℝ^{n} ^{}ℝ^{n}, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}S (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = (y_{1} ; ⋮ ; y_{n})

mit einer orthogonalen Matrix S (also ^{t}SS = E_{n}) so, dass

q_{B} (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = q_{C} (y_{1} ; ⋮ ; y_{n}) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}y_{i}^{2}

gilt mit einer geeigneten Basis C von ℝ^{n} und passenden λ_{i} ∈ ℝ.

Verfahren: Sei

f : ℝ^{n} ^{}ℝ^{n}, (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ^{}A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n})

die zu A gehörige Standardabbildung, also A = M_{B}^{B}(f).

• Berechne die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n} von f und konstruiere eine Orthonormalbasis C aus Eigenvektoren von f bezüglich des Standard-Skalarprodukts s′ von ℝ^{n}.

• Setze

T := M_{C}^{B}(id) ⟹ C := M_{C}^{C}(f) = ^{t}T AT

und man erhält mit S := ^{t}T die Hauptachsentransformation von A.

Begründung: Es ist C = T^{−1}AT nach 4.16 und

E_{n} = M_{C}(s′) =_{7.6} ^{t}T \underbrace{M_{B}(s′)}_{=E_{n}} T = ^{t}T T

da B, C orthonormal bezüglich s′ sind. Es ist also T^{−1} = ^{t}T. Sei

(y_{1} ; ⋮ ; y_{n}) = ^{t}T (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) ⟹ (x_{1}, …, x_{n}) = (y_{1}, …, y_{n})^{t}T

⟹

q_{B} (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = (x_{1}, …, x_{n})A (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = (y_{1}, …, y_{n})^{t}T AT (y_{1} ; ⋮ ; y_{n})

= (y_{1}, …, y_{n})C (y_{1} ; ⋮ ; y_{n})

= ∑_{i=1}^{n} λ_{i}y_{i}^{2}, da C = M_{C}^{C}(f) =_{9.5} (\begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix})

= q_{C} (y_{1} ; ⋮ ; y_{n})

Geometrische Interpretation für n = 2. Ist λ_{1} > 0 und λ_{2} ≠ 0, so setze α = \frac{1}{\sqrt{λ_{1}}} und β = \frac{1}{\sqrt{|λ_{2}|}}, und es folgt

q (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = \frac{y_{1}^{2}}{α^{2}} ± \frac{y_{2}^{2}}{β^{2}}

Betrachte die ”Kurve“

F = \{(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}| q (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = 1\}

Im Fall ”+“ ist F eine Ellipse und im Fall ”−“ eine Hyperbel.

12.4 Kegelschnitte

Ein Kegelschnitt ist die Lösungsmenge X einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen

f(x_{1}, x_{2}) = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2} + a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a = 0 (1)

in ℝ^{2}. Dabei sind die Koeffizienten a_{ij}, a_{j}, a ∈ ℝ. Man nennt den Kegelschnitt ausgeartet, wenn X = ∅ oder X aus einem Punkt oder einer Geraden oder aus zwei Geraden besteht. Andernfalls heißt X nicht ausgeartet.

Satz. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt kann durch Bewegungen von ℝ^{2} auf eine der folgenden Normalformen gebracht werden:

i) Ellipse: c_{1}y_{1}^{2} + c_{2}y_{2}^{2} − 1 = 0

ii) Hyperbel: c_{1}y_{1}^{2} − c_{2}y_{2}^{2} − 1 = 0

iii) Parabel: c_{1}y_{1}^{2} − y_{2} = 0

wobei jeweils c_{1} > 0 und c_{2} > 0 sind.

Beweis. Sei A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix}). Dann gibt es nach dem Spektralsatz 9.15 und

12.3 eine orthogonale Matrix T so, dass ^{t}T AT = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) Diagonalgestalt

hat. Die Gleichung (1) lautet in Matrizenschreibweise

f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{2})A (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (a_{1}, a_{2}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + a = 0

Setze hierin (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = T (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) ein (vgl. 12.3), dann folgt

(y_{1}, y_{2}) \underbrace{^{t}T AT}_{=(\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) + (a_{1}, a_{2})T (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) + a = 0.

Also lässt sich (1) schreiben als

λ_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2} + b_{1}y_{1} + b_{2}y_{2} + a = 0 (2)

Wir haben hier eine orthogonale Koordinatentransformation vorgenommen (Drehung oder Spiegelung).

1. Fall λ_{1} ≠ 0 und λ_{2} ≠ 0. Dann lassen sich b_{1}, b_{2} durch quadratische Ergänzung eliminieren. Durch die Substitution y_{i} = z_{i} − \frac{b_{i}}{2λ_{i}} erhält man

λ_{1}z_{1}^{2} + λ_{2}z_{2}^{2} + b = 0

mit einem b ∈ ℝ. Diese Substitution entspricht einer Translation um den Vektor ^{t}(\frac{b_{1}}{2λ_{1}} , \frac{b_{2}}{2λ_{2}} ).

Ist b = 0, so definiert die Gleichung einen Punkt oder ein Geradenpaar, insbesondere ist X dann ausgeartet.

Ist b ≠ 0, so kann man durch −b dividieren, und erhält

μ_{1}z_{1}^{2} + μ_{2}z_{2}^{2} − 1 = 0

mit μ_{i} = \frac{λ_{i}}{−b}. Sind μ_{1}, μ_{2} beide negativ, dann ist X = ∅.

2. Fall In (2) ist ein λ_{i} = 0, etwa λ_{2} = 0, aber λ_{1} ≠ 0 und b_{2} ≠ 0. Es ergibt

sich

λ_{1}y_{1}^{2} + b_{1}y_{1} + b_{2}y_{2} + a = 0

Die Substitution y_{1} = z_{1} − \frac{b_{1}}{2λ_{1}} ergibt

0 = λ_{1}z_{1}^{2} − z_{1}b_{1} + \frac{b_{1}^{2}}{4λ_{1}} + b_{1}z_{1} − \frac{b_{1}^{2}}{2λ_{1}} + b_{2}y_{2} + a
= λ_{1}z_{1}^{2} + b_{2}y_{2} + b

mit einem passenden b ∈ ℝ. Mit der Substitution y_{2} = z_{2} − \frac{b}{b_{2}} erhält man 0 = λ_{1}z_{1}^{2} + b_{2}z_{2}. Dividiere durch −b_{2} und erhalte

0 = c_{1}z_{1}^{2} − z_{2}

Ist c_{1} < 0, so ändert man das Vorzeichen durch Spiegelung y_{2} = −z_{2}.

Die übrigen Fälle liefern ausgeartete Kegelschnitte (vgl. Aufgabe 84).

12.5 Quadriken

Eine Quadrik ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + ∑_{i<j} 2a_{ij}x_{i}x_{j} + ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} + a = 0

Der Term

∑_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + ∑_{i<j} 2a_{ij}x_{i}x_{j}

lässt sich wie in 12.3 behandeln, und man kann mit der in 12.4 beschriebenen Methode die Quadriken in Dimension n klassifizieren. Für n = 3 ergibt sich folgendes: Jede nicht ausgeartete Quadrik in ℝ^{3} ist einer der folgenden Typen

i) Ellipsoid: b_{1}y_{1}^{2} + b_{2}y_{2}^{2} + b_{3}y_{3}^{2} − 1 = 0 ii) einschaliges Hyperboloid: b_{1}y_{1}^{2} + b_{2}y_{2}^{2} − b_{3}y_{3}^{2} − 1 = 0 iii) zweischaliges Hyperboloid: b_{1}y_{1}^{2} − b_{2}y_{2}^{2} − b_{3}y_{3}^{2} − 1 = 0 iv) elliptisches Paraboloid: b_{1}y_{1}^{2} + b_{2}y_{2}^{2} − y_{3} = 0

v) hyperbolisches Paraboloid: b_{1}y_{1}^{2} − b_{2}y_{2}^{2} − y_{3} = 0 wobei jeweils b_{1}, b_{2}, b_{3} > 0 sind.

12.6 Beispiel zur Hyperbel

Man führe die Hauptachsentransformation von A = (\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) durch: • Die Eigenwerte von

f : ℝ^{2} ^{}ℝ^{2}, (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ^{}A (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\frac{x_{2}}{2} ; \frac{x_{1}}{2} )

sind λ_{1} = \frac{1}{2} und λ_{2} = −\frac{1}{2}.

• Dazu gehören die normierten Eigenvektoren

w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) und w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix})

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Sei B = (e_{1}, e_{2}) die Standardbasis von ℝ^{2} und C = (w_{1}, w_{2}), dann folgt

q_{B} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (x_{1}, x_{2}) (\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\frac{x_{2}}{2} , \frac{x_{1}}{2} ) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = x_{1}x_{2}
q_{C} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (y_{1}, y_{2}) (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = λ_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2} = \frac{y_{1}^{2}}{2} − \frac{y_{2}^{2}}{2}

wobei

(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = ^{t}T (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) mit T = M_{C}^{B}(id) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

also

(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\begin{matrix}x_{1} + x_{2} \\ −x_{1} + x_{2} \end{matrix})

Probe:

tT AT = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} −\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}  \frac{1}{2}}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix})
=  \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & −\frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})

Es folgt

X = \{(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}| \frac{y_{1}^{2}}{2} − \frac{y_{2}^{2}}{2} = 1\}

Insbesondere ist X eine Hyperbel.

12.7 Übungsaufgaben 81 – 88

Aufgabe 81. Es sei V = { a_{0} +a_{1}x+a_{2}x^{2} | a_{0}, a_{1}, a_{2} ∈ ℝ} der ℝ-Vektorraum der Polynome in einer Unbestimmten x vom Grad ≤ 2. Dann ist auf V durch

⟨f, g⟩ := ∫_{−1}^{1} f(x) g(x) dx

eine symmetrische Bilinearform erklärt. Man konstruiere eine Orthogonalbasis von V.

Aufgabe 82.

Es sei A = (\begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ). Man führe die Hauptachsentransformation

von A durch.

Aufgabe 83.

Es sei A = \frac{1}{25} (\begin{matrix}89 & −48 \\ −48 & 61 \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ). Man führe die Hauptachsentransfor-

mation von A durch und fertige eine Skizze an.

Aufgabe 84. Man diskutiere alle ausgearteten Kegelschnitte.

Aufgabe 85. Man bestimme die Normalform des Kegelschnitts mit der Gleichung x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2} + 2 x_{1} − x_{2} − 5 = 0

Aufgabe 86.

Es sei A = \frac{1}{5} (\begin{matrix}16 & 12 \\ 12 & 9 \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ). Man führe die Hauptachsentransforma-

tion von A durch und fertige eine Skizze an.

Aufgabe 87.

Es sei A = \frac{1}{16} (\begin{matrix}11 & −5\sqrt{3} \\ −5\sqrt{3} & 1 \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ). Man führe die Hauptachsen-

transformation von A durch und fertige eine Skizze an.

Aufgabe 88.

Es sei E eine Ellipse mit den Hauptachsen w_{1} = \frac{1}{\sqrt{13}} (\begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix}) und w_{2} = \frac{1}{\sqrt{13}} (\begin{matrix}−3 \\ 2 \end{matrix})

und den zugehörigen Hauptachsenabschnitten 3 und 1. Man bestimme die zu E gehörige Gleichung a_{11}x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + a_{22}x_{2}^{2} − 1 = 0 , in der a_{12} ≠ 0 ist.

13 Jordansche Normalform (von C. Wahl)

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum.

Theorem. Sei f : V → V eine K-lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom p von f zerfalle in Linearfaktoren. Dann gibt es eine Basis B von V so, dass

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}J_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & J_{k} \end{matrix} ) mit J_{i} = (\begin{matrix}λ_{i} & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & λ_{i} \end{matrix})

ist, dabei ist λ_{i} ein Eigenwert von f. Die Matrix M_{B}^{B}(f) heißt Jordansche Normalform von f. Die J_{i} heißen Jordankästchen. Bis auf Permutation der Jordankästchen ist die Jordansche Normalform eindeutig bestimmt.

Bemerkung. Zu einem Eigenwert λ können mehrere Jordankästchen gehören. Die Anzahl der Jordankästchen zu λ ist gleich der Dimension des Eigenraums von λ. Nach 9.13 existiert die Jordansche Normalform für alle trigonalisierbaren Endomorphismen, insbesondere für alle Endomorphismen von endlich dimensionalen komplexen Vektorräumen. Da die Jordansche Normalform eine obere Dreiecksmatrix ist, ist die Trigonalisierbarkeit eine notwendige Bedingung.

Beispiele (für Jordansche Normalformen).

• Bei Diagonalmatrizen handelt es sich um Jordansche Normalformen.

• (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}), (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})

• Bei

( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

gibt es zwei Jordankästchen zu 2. Es sind e_{1} und e_{2} Eigenvektoren zu 2 und es ist e_{4} Eigenvektor zu 4.

Anwendungen

Physik Lösen von homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sei K = ℂ, A ∈ M_{n×n}(ℂ) und y_{0} ∈ ℂ^{n}. Gesucht wird eine differenzierbare Funktion y : ℝ ^{}ℂ^{n} mit

\frac{d}{dt}y(t) = Ay(t) und y(0) = y_{0}

Für n = 1 ist y(t) = e^{At}y_{0} eine Lösung. Formal löst y(t) := e^{At}y_{0} mit

e^{At} = ∑_{i=0}^{∞} \frac{A^{i}t^{i}}{i!}

und A^{0} := E_{n} das Problem auch für n > 1. Es ist allerdings nicht auf Anhieb klar, ob die Summe in M_{n×n}(ℂ) konvergiert.

Existenz und Rechenverfahren für e^{At}:

1) Für eine Diagonalmatrix

diag(λ_{1}, …, λ_{n}) := (\begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix})

konvergiert die Summe absolut, denn es ist e^{Dt} = diag(e^{λ_{1}t}, …, e^{λ_{n}t}).

2) Sei N eine nilpotente Matrix, d.h. es gibt ein k ∈ ℕ mit N^{k} = 0. Dann konvergiert

e^{Nt} = ∑_{i=0}^{k−1} \frac{N^{i}t^{i}}{i!}

absolut.

3) Für C ∈ M_{n×n}(ℂ) konvergiere die Summe absolut. Sei B ∈ GL_{n}(ℂ) und A := B^{−1}CB, dann konvergiert

∑_{i=0}^{∞} \frac{A^{i}t^{i}}{i!} = B^{−1} ∑_{i=0}^{∞} \frac{C^{i}t^{i}}{i!} B

absolut, inbesondere gilt

e^{At} = B^{−1}e^{Ct}B.

4) Sei A = B + C und BC = CB, und die Summe konvergiere für B und C absolut. Dann konvergiert ∑_{i=0}^{∞} \frac{A^{i}t^{i}}{i!} absolut, und es gilt

e^{At} = e^{Bt}e^{Ct}

(Cauchysche Summationsformel, hier geht die absolute Konvergenz ein).

Sei J die Jordansche Normalform von A, d.h. es gibt B ∈ GL_{n}(ℂ) mit A = B^{−1}JB. Es ist

J = \underbrace{(\begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix})}_{=:D} + \underbrace{(\begin{matrix}0 & ∗ & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & ∗ \\ 0 & & & 0 \end{matrix})}_{=:N} mit ∗ ∈ \{0, 1\}

Es gilt DN = ND. Damit folgt:

e^{At} =_{3)} B^{−1}e^{Jt}B =_{4)} B^{−1}(e^{Dt}e^{Nt})B

=_{1),2)} B^{−1}diag(e^{λ_{1}t}, …, e^{λ_{n}t}) (∑_{i=0}^{k−1} \frac{N^{i}t^{i}}{i!} ) B

Dies zeigt die Existenz von e^{At}. Mit dieser Formel kann e^{At} auch berechnet werden.

Mathematik Klassifikationsproblem. Sei X eine Menge, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X und X/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen. Gesucht wird eine Teilmenge S ⊂ X so, dass S ^{}X/ ∼ eine Bijektion ist. Diese wird Vertretersystem von X/ ∼ genannt. Sei

X = M_{n×n}(ℂ)

und

A ∼ B :⟺ Es gibt T ∈ GL_{n}(ℂ) mit A = T^{−1}BT.

Dann ist jede Matrix äquivalent zu einer Jordanschen Normalform, und es gibt nur endlich viele Jordansche Normalformen in einer Äquivalenzklasse, die sich durch eine Permutation der Jordankästchen voneinander unterscheiden. Man kann also ein Vertretersystem aus Jordanschen Normalformen konstruieren. (Diese Äquivalenzrelation wird auch Ähnlichkeit genannt, vgl. 9.2.) Mit Hilfe der Jordanform kann so entschieden werden, ob zwei Matrizen durch einen Basiswechsel ineinander überführt werden können: Dann müssen ihre Jordanschen Normalformen bis auf Reihenfolge der Jordankästchen übereinstimmen. Doch nun zum Beweis des Theorems:

13.1 Teilbarkeitseigenschaft des charakteristischen Polynoms

Lemma. Sei M ∈ M_{n+m×n+m}(K) von der Form

M = (\begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix})

mit A ∈ M_{n×n}(K), C ∈ M_{m×m}(K) und B ∈ M_{n×m}(K). Dann gilt

det M = (det A) · (det C)

Beweis. Betrachte die Abbildung

det′ : M_{n×n}(K) → K, X ↦ (det C)^{−1} det (\begin{matrix}X & B \\ 0 & C \end{matrix}) .

Sie ist linear in den Spalten von X. Für X = E_{n} ergibt die Entwicklung der Determinante nach der n-ten Spalte per Induktion:

det′E_{n} = (det C)^{−1} det C = 1

Sind zwei Spalten von X linear abhängig, so ist det′X = 0. Diese Eigenschaften sind gerade die definierenden Eigenschaften der Determinante, also gilt det′X = det X. Daraus folgt die Behauptung.

Lemma. Sei f : V ^{}V eine K-lineare Abbildung, und sei U ⊂ V ein unter f stabiler Untervektorraum, d.h. es gelte f(U) ⊂ U. Dann teilt das charakteristische Polynom von f|_{U} : U ^{}U das charakteristische Polynom von f : V ^{}V

Beweis. Sei B_{U} eine Basis von U. Ergänze diese zu einer Basis B_{V} von V. Sei dim U =: n und dim V − dim U =: m. Es ist dann wegen f(U) ⊂ U

M_{B_{V}}^{B_{V}} (f) = (\begin{matrix}M_{11} & M_{12} \\ 0 & M_{22} \end{matrix})

mit M_{11} = M_{B_{U}}^{B_{U}} (f|_{U}) ∈ M_{n×n}(K), M_{22} ∈ M_{m×m}(K) und M_{12} ∈ M_{n×m}(K). Dann gilt für das charakteristische Polynom von f nach dem vorigen Lemma:

det(M_{B_{V}}^{B_{V}} (f) − xE_{m+n}) = det(M_{11} − xE_{n}) det(M_{22} − xE_{m})

Das charakteristische Polynom von f|_{U} ist gerade det(M_{11} − xE_{n}).

13.2 Satz von Cayley-Hamilton

Satz (Cayley-Hamilton). Sei f : V ^{}V und sei p(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} das charakteristische Polynom von f. Dieses zerfalle in Linearfaktoren. Dann gilt p(f) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}f^{i} = 0, wobei f^{0} := id.

Beweis. Sei dim V = n. Sei p(x) = ∏_{i=1}^{n}(λ_{i}−x). Dann ist p(f) = ∏_{i=1}^{n}(λ_{i}−f). Sei f_{i} := (λ_{i} − f). Nach 9.13 gibt es eine Basis B von V, so dass M_{B}^{B}(f) eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen λ_{i} ist. Sei U_{i} der von den ersten i Basisvektoren aufgespannte Unterraum von V, sei U_{0} = 0. Dann gilt f(U_{i}) ⊂ U_{i}.

Für den i-ten Basisvektor v_{i} gilt f_{i}(v_{i}) = (λ_{i} − f)(v_{i}) ∈ U_{i−1}, da die Matrix M_{B}^{B}(λ_{i} − f) eine obere Dreiecksmatrix ist, deren i-tes Diagonalelement verschwindet. Also gilt f_{i}(U_{i}) ⊂ U_{i−1}. Aus

p(f) = f_{1} ∘ f_{2} … ∘ f_{n}

und U_{n} = V folgt p(f)(V) ⊂ U_{0} = 0

Bemerkung. Der Satz gilt auch für nicht trigonalisierbare Endomorphismen. Wir werden ihn aber nur in der obigen Form weiter anwenden.

13.3 Verallgemeinerte Eigenräume

Folgendes Lemma entnehmen wir ohne Beweis der Algebra (vgl. 8.3 und 8.4 in [11]):

Lemma. Seien p_{1}, …, p_{k} Polynome aus K[x], und es gebe kein Polynom vom Grad ≥ 1, das alle diese Polynome teilt. Dann gibt es Polynome h_{1}, …, h_{k} ∈ K[x] so, dass ∑_{i=1}^{k} h_{i}p_{i} = 1 .

Satz. Sei f : V ^{}V ein Endomorphismus, und das charakteristische Polynom p von f zerfalle, d.h. p(x) = ∏_{i=1}^{k}(λ_{i} − x)^{r_{i}}, wobei die λ_{i} ∈ K paarweise verschieden seien. Sei V_{i} := kern(λ_{i} − f)^{r_{i}}. Dann gelten

1) V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{k}

2) f(V_{i}) ⊂ V_{i} für alle i = 1, …, k

3) dim_{K} V_{i} = r_{i} für alle i = 1, …, k

Bemerkung. Der Untervektorraum V_{i} heißt verallgemeinerter Eigenraum oder Hauptraum zum Eigenwert λ_{i}.

Beweis.

1) Sei

g_{i}(x) = \frac{p(x)}{(λ_{i} − x)^{r_{i}}} für i = 1, …, k

Die Polynome g_{i} haben keinen gemeinsamen Teiler vom Grad ≥ 1. Es gibt also Polynome h_{1}, …, h_{k} so, dass

∑_{i=1}^{k} g_{i}h_{i} = 1

ist. Daraus folgt

∑_{i=1}^{k} g_{i}(f) ∘ h_{i}(f) = id

und daher

∑_{i=1}^{k} bild(g_{i}(f) ∘ h_{i}(f)) = V

Wegen

(λ_{i} − f)^{r_{i}} ∘ g_{i}(f) ∘ h_{i}(f) = p(f) ∘ h_{i}(f) =_{13.2} 0 ∘ h_{i}(f) = 0

folgt

bild(g_{i}(f) ∘ h_{i}(f)) ⊂ V_{i} = kern(λ_{i} − f)^{r_{i}}

also ∑_{i=1}^{k} V_{i} = V. In 3) wird gezeigt, dass die Summe direkt ist.

2) Die Behauptung folgt aus

(λ_{i} − f)^{r_{i}}(f(v_{i})) = f((λ_{i} − f)^{r_{i}}(v_{i})) = 0

für ein beliebiges v_{i} ∈ V_{i}.

3) Das charakteristische Polynom q von f|_{V_{i}} teilt p nach 2) und 13.1. Das Polynom q zerfällt also in Linearfaktoren. Sei μ Nullstelle von q, dann ist μ Eigenwert von f|_{V_{i}}, vgl. 9.10. Sei v ∈ V_{i} ein zugehöriger Eigenvektor. Aus

0 = (λ_{i} − f)^{r_{i}}(v) = (λ_{i} − μ)^{r_{i}}(v)

folgt μ = λ_{i}. Daher gilt q(x) = (λ_{i} − x)^{ℓ}. Das Polynom q teilt p, somit ist der Grad von q kleinergleich r_{i}. Dieser ist gleich der Dimension von V_{i}, also dim_{K} V_{i} ≤ r_{i}. In 1) wurde ∑_{i=1}^{k} V_{i} = V gezeigt, was bedeutet

∑_{i=1}^{k} r_{i} ≥ ∑_{i=1}^{k} dim_{K} V_{i} ≥ dim_{K} V = ∑_{i=1}^{k} r_{i}.

Damit muss dim_{K} V_{i} = r_{i} gelten, und außerdem folgt ∑_{i=1}^{k} dim_{K} V_{i} = dim_{K} V. Dies zeigt, dass die Summe der V_{i} direkt ist.

Für Matrizen bedeutet dies: Ist B_{i} eine Basis von V_{i}, dann ist B = ⋃_{i=1}^{k} B_{i} eine Basis von V, und es gilt

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & ∗ & & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{1} \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & λ_{k} & & & & ∗ \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & 0 & & & & λ_{k} \end{matrix} )

Es ist also M_{B}^{B}(f) = D + N mit einer Diagonalmatrix D = diag(D_{1}, …, D_{k}), für die gilt D_{i} = diag(λ_{i}, …, λ_{i}) ∈ M_{r_{i}×r_{i}}(K), und einer nilpotenten Matrix N, für die gilt N^{dim_{K} V} = 0 und DN = ND. Es bleibt noch zu zeigen, dass man die Basen B_{i} so wählen kann, dass die nilpotente Matrix die gewünschte Form hat. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes, angewandt auf den nilpotenten Endomorphismus

(f|_{V_{i}} − λ_{i}) : V_{i} ^{}V_{i}

13.4 Normalform nilpotenter Endomorphismen

Satz. Sei u : V ^{}V nilpotent, d.h. es gebe ein k ∈ ℕ so, dass u^{k} = 0. Dann gibt es eine Basis B von V so, dass

M_{B}^{B}(u) = (\begin{matrix}0 & ∗ & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & ∗ \\ 0 & & & 0 \end{matrix}) mit ∗ ∈ \{0, 1\}

Beweis. Sei q ∈ ℕ minimal mit u^{q+1} = 0 und u^{0} := id. Sei

E_{i} := kern u^{i}, i = 0, …, q + 1.

Für v ∈ E_{i+1} gilt u^{i}(u(v)) = u^{i+1}(v) = 0 und damit u(v) ∈ E_{i}. Wir erhalten

u(E_{i+1}) ⊂ E_{i}.

Der Raum E_{i} ist im Raum E_{i+1} enthalten; wir behaupten, dass er sogar ein echter Unterraum von E_{i+1} ist:

Wir nehmen an, dass für ein i die Räume E_{i} und E_{i+1} gleich sind. Für alle x ∈ V gilt: u^{i+1}u^{q−i}(x) = 0. Daraus folgt u^{q−i}(x) ∈ E_{i+1}, also u^{q−i}(x) ∈ E_{i}, und daher u^{q}(x) = u^{i}u^{q−i}(x) = 0. Es ist also u^{q} = 0 im Widerspruch mit der Definition von q. Die Räume E_{i} bilden eine Fahne

0 = E_{0} ⊊ E_{1} ⊊ E_{2} … E_{q} ⊊ E_{q+1} = V.

Hilfssatz Sei F ∈ V ein Untervektorraum, für den für ein i > 0 gilt:

F ∩ E_{i} = {0}.

Dann folgt:

1) u(F) ∩ E_{i−1} = {0}

2) u|_{F} : F ⟶ u(F) ist ein Isomorphismus.

Beweis.

1) Sei y ∈ F so, dass u(y) ∈ E_{i−1}. Dann ist u^{i−1}(u(y)) = 0, also y ∈ E_{i} und damit y = 0 nach Voraussetzung.

2) Injektivität: Sei v ∈ (kern u) ∩ F. Dann ist v ∈ E_{1} ⊂ E_{i}, also v = 0.

Induktiv konstruieren wir eine Folge von Untervektorräumen U_{i} für i = 1, …, q + 1 so, dass gilt:

U_{i} ⊕ E_{i−1} = E_{i}
u(U_{i}) ⊂ U_{i−1}
u|_{U_{i}} : U_{i} → E_{i−1} ist injektiv

Wir wählen zunächst U_{q+1} so, dass E_{q} ⊕ U_{q+1} = V gilt. Es ist u(U_{q+1}) ⊂ E_{q}, und wegen U_{q+1} ∩ E_{q} = {0} gilt nach dem Hilfssatz

u(U_{q+1}) ∩ E_{q−1} = {0},

und u|_{U_{q+1}} : U_{q+1} → E_{q} ist injektiv. Der Raum U_{q+1} genügt damit den obigen Bedingungen. Sei nun U_{i+1} wie verlangt, d.h. insbesondere u(U_{i+1}) ⊂ E_{i} und u(U_{i+1}) ∩ E_{i−1} = {0}. Wir können dann den Raum U_{i} ⊂ E_{i} so wählen, dass er u(U_{i+1}) enthält und ein Komplement zu E_{i−1} in E_{i} ist.

Nach Hilfssatz hat U_{i} die gewünschten Eigenschaften. Diese Eigenschaften und die Tatsache, dass die direkte Summe der U_{i} den ganzen Raum V ergibt, nutzen wir im folgenden aus, um uns eine geeignete Basis von V zu konstruieren. Da u : U_{i+1} → U_{i} injektiv ist, können wir induktiv für jedes i eine Basis B_{i} von U_{i} so finden, dass u(B_{i+1}) ⊂ B_{i} ist. Die Vereinigung B dieser Basen ist eine Basis von V. Wir ordnen die Basisvektoren aus B so um, dass für zwei aufeinanderfolgende Basisvektoren v_{k−1}, v_{k} gilt: Ist v_{k} ∈ B_{i}, i ≠ 1, dann sei v_{k−1} = u(v_{k}) ∈ B_{i−1}. Also gilt

u(v_{k}) = v_{k−1} für v_{k} ∉ B_{1} und u(v_{k}) = 0 für v_{k} ∈ B_{1}.

Die Matrix M_{B}^{B}(u) hat somit die verlangte Form.

13.5 Übungsaufgabe 89

Aufgabe 89. Seien a, b ∈ ℝ. Man bestimme die Jordansche Normalform der Matrix

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & b \end{matrix}) ∈ M_{3×3}(ℂ)

14 Affine Räume und affine Abbildungen

Sei (X, V, t) ein affiner Raum über einem Körper K gemäß 10.23. Dabei ist X eine Menge von Punkten p, q, …, V ein K-Vektorraum und t : X × V ^{}X, (p, v) ^{}p + v, eine einfach transitive Operation. ”t transitiv“ bedeutet, dass es zu je zwei Punkten p, q ∈ X einen Vektor v ∈ V mit q = p + v gibt, und ”t einfach transitiv“ bedeutet, dass es jeweils nur einen solchen Vektor v ∈ V gibt. Man schreibt dann v = \overrightarrow{pq} und nennt \overrightarrow{pq} den Ortsvektor von q bezüglich p.

Abbildung 26: v = \overrightarrow{pq}

14.1 Affine Abbildungen

Seien (X, V, t) und (Y, W, t′) affine Räume über K.

Definition. Eine Abbildung φ : X ^{}Y heißt affin, wenn es eine K-lineare Abbildung φ⃗ : V ^{}W gibt so, dass gilt

\overrightarrow{φ(p)φ(q)} = \overrightarrow{φ}(\overrightarrow{pq}) ∀p, q ∈ X (*)

Eine bijektive affine Abbildung heißt Affinität.

Lemma. Eine Abbildung φ : X ^{}Y ist affin, wenn es ein p_{0} ∈ X gibt so, dass

f : V ^{}W, \overrightarrow{p_{0}q} ^{}\overrightarrow{φ(p_{0})φ(q)}

eine K-lineare Abbildung ist.

Beweis. Für p, q ∈ X gilt

\overrightarrow{pq} =_{10.23} \overrightarrow{pp_{0}} + \overrightarrow{p_{0}q} = \overrightarrow{p_{0}q} − \overrightarrow{p_{0}p}

Weil f K-linear ist, folgt daraus

f(\overrightarrow{pq}) = f(\overrightarrow{p_{0}q}) − f(\overrightarrow{p_{0}p}) = \overrightarrow{φ(p_{0})φ(q)} − \overrightarrow{φ(p_{0})φ(p)} = \overrightarrow{φ(p)φ(q)}

Es ist also (*) mit \overrightarrow{φ} = f erfüllt.

Satz. Sei p_{0} ∈ X fest. Dann ist eine affine Abbildung φ : X ^{}Y durch Angabe von

φ(p_{0}) und \overrightarrow{φ} : V ^{}W

eindeutig festgelegt. Umgekehrt gibt es zu jedem q_{0} ∈ Y und jeder K-linearen Abbildung f : V ^{}W genau eine affine Abbildung φ : X ^{}Y mit

φ(p_{0}) = q_{0} und \overrightarrow{φ} = f

Beweis. Sei φ affin. Dann gilt

φ(p) =_{t′ transitiv} φ(p_{0}) + \overrightarrow{φ(p_{0})φ(p)} =_{(*)} φ(p_{0}) + \overrightarrow{φ}(\overrightarrow{p_{0}p}) ∀p ∈ X

Umgekehrt: Seien q_{0} ∈ Y und f vorgegeben. Dann ist durch

φ(p) = q_{0} + f(\overrightarrow{p_{0}p})

nach dem Lemma eine affine Abbildung φ mit φ(p_{0}) = q_{0} und φ⃗ = f definiert.

14.2 Beispiele für affine Abbildungen

1) Eine affine Abbildung φ : X ^{}X heißt Translation, wenn \overrightarrow{φ} = id_{V}

gilt, also wenn

\overrightarrow{φ(p)φ(q)} = \overrightarrow{pq}

für alle p, q ∈ X gilt.

Für q_{0} = φ(p_{0}) und p ∈ X gilt:

φ(p) = q_{0} + id_{V} (\overrightarrow{p_{0}p}) = q_{0} + \overrightarrow{p_{0}p} =_{10.23} q_{0} + \overrightarrow{p_{0}q_{0}} + \overrightarrow{q_{0}p}
= q_{0} + \overrightarrow{q_{0}p} + \overrightarrow{p_{0}q_{0}} = p + \overrightarrow{p_{0}q_{0}}

Eine Translation ist eine Affinität.

2) Eine affine Abbildung φ : X ^{}X heißt Dilation oder Homothetie, falls \overrightarrow{φ} = λ id_{V} mit einem λ ∈ K gilt.

14.3 Affine Unterräume

Sei (X, V, t) ein affiner Raum über K. Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt affiner Unterraum, wenn es einen Punkt p_{0} ∈ X und einen Untervektorraum U ⊂ V gibt mit

Y = {p_{0} + u | u ∈ U} = p_{0} + U

Es ist dann Y selbst ein affiner Raum oder ∅, und man nennt U auch die Richtung von Y oder Richtungsvektorraum von Y.

14.4 Beispiele für affine Unterräume

1) Seien (Y_{i})_{i∈I} affine Unterräume von (X, V, t) mit Richtungen (U_{i})_{i∈I}. Dann ist ⋂_{i∈I} Y_{i} ein affiner Unterraum mit Richtung ⋂_{i∈I} U_{i} oder ∅. Die Vereinigung von affinen Unterräumen ist i.A. kein affiner Unterraum.

2) Sei (X, V, t) ein affiner Raum über K. Setze dim X := dim_{K} V Dann gilt:

• Die 0-dimensionalen affinen Unterräume sind die Punkte von X.

• Die 1-dimensionalen affinen Unterräume sind die Geraden von X.

• Die 2-dimensionalen affinen Unterräume sind die Ebenen von X.

• Die (n − 1)-dimensionalen affinen Unterräume sind die Hyperebenen von X, wobei n = dim_{K} V gilt.

3) Sei X = K^{n} = V und t die Addition in V. Ist

Ax⃗ = b⃗ mit A ∈ M_{m×n}(K)

ein lineares Gleichungssystem, und f : K^{n} ^{}K^{m}, x⃗ ^{}Ax⃗, so ist die Lösungsmenge Y = ∅ oder von der Form Y = x⃗_{0} + kern(f), also ein affiner Unterraum von X (vgl. 5.3).

14.5 Parallelprojektion

Sei (X, V, t) ein affiner Raum über K und dim X < ∞. Sei W ein Untervektorraum von V und Y = p_{0} + U ein affiner Unterraum von X derart, dass V = W ⊕ U gilt. Dann ist

π : X ^{}Y, p ^{}(p + W) ∩ Y

eine surjektive affine Abbildung, genannt Parallelprojektion von X auf Y längs W. Die Einschränkung von π auf Y ist eine Affinität.

Beweis. Es gilt dim X =_{3.15} dim_{K} W +dim_{K} U, da W ∩U = {0} ist. Wir zeigen zunächst, dass π(p) aus genau einem Punkt besteht für jedes p ∈ X: Wäre (p + W) ∩ Y = ∅, so würde die Verbindungsgerade zwischen p und p_{0} einen zusätzlichen Beitrag zur Dimension liefern, und X würde einen affinen Unterraum der Dimension 1 + dim X enthalten, was unmöglich ist. Es ist also Y ≠ ∅, und daher folgt dim((p + W) ∩ Y) = dim_{K}(W ∩ U) = 0 . Dies besagt nach 14.4.1, dass π(p) = (p + W) ∩ Y ein Punkt ist. Die Abbildung π ist affin, da die zugehörige lineare Abbildung

π⃗ : V = W ⊕ U ^{}U, v = w + u ^{}u

die Projektionsabbildung ist, und π ist surjektiv, da π(p) = p für alle p ∈ Y.

14.6 Affine Koordinaten

Ein Koordinatensystem eines n-dimensionalen affinen Raumes (X, V, t) besteht aus n + 1 Punkten p_{0}, p_{1}, …, p_{n} so, dass die Vektoren v_{i} = \overrightarrow{p_{0}p_{i}} für i = 1, …, n linear unabhängig sind. Bezeichnung (p_{0}; p_{1}, …, p_{n}). Jedes p ∈ X hat dann eine Darstellung

p = p_{0} + ∑_{i=1}^{n} λ_{i}\overrightarrow{p_{0}p_{i}}

mit eindeutig bestimmten λ_{i} ∈ K.

14.7 Der Schwerpunkt

Lemma. Seien p_{1}, …, p_{k} ∈ X und μ_{1}, …, μ_{k} ∈ K mit ∑_{i=1}^{k} μ_{i} = 1 (wobei k ∈ ℕ). Dann hängt der Punkt s ∈ X mit dem Ortsvektor

\overrightarrow{p_{0}s} = ∑_{i=1}^{k} μ_{i} \overrightarrow{p_{0}p_{i}}

nicht von der Wahl von p_{0} ab.

Beweis. Sei p′_{0} ∈ X. Dann gilt:

s = p_{0} + \overrightarrow{p_{0}s} = p_{0} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i}\overrightarrow{p_{0}p_{i}} = p_{0} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i}(\overrightarrow{p_{0}p′_{0}} + \overrightarrow{p′_{0}p_{i}})

= p_{0} + (∑_{i=1}^{k} μ_{i}) \overrightarrow{p_{0}p′_{0}} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i}\overrightarrow{p′_{0}p_{i}} = p′_{0} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i}\overrightarrow{p′_{0}p_{i}}

Man nennt s den Schwerpunkt der mit den Massen μ_{1}, …, μ_{k} belegten Punkte p_{1}, …, p_{k}.

14.8 Affine Unterräume und Schwerpunkte

Satz. Sei (X, V, t) ein affiner Raum über K, und sei Y ⊂ X mit Y ≠ ∅. Dann ist äquivalent:

1) Y ist ein affiner Unterraum von X

2) Für jedes System p_{1}, …, p_{k} ∈ Y und jede Massenbelegung μ_{1}, …, μ_{k} mit ∑_{i=1}^{k} μ_{i} = 1 gehört auch der Schwerpunkt zu Y

Beweis.

1) ⇒ 2) Sei Y affiner Unterraum, also Y = p+U mit einem Untervektorraum U von V. Sei p_{0} ∈ Y, dann ist \overrightarrow{p_{0}p_{i}} ∈ U für i = 1, …, k, also auch ∑_{i=1}^{k} μ_{i}\overrightarrow{p_{0}p_{i}} ∈ U. Daraus folgt s = p_{0} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i} \overrightarrow{p_{0}p_{i}} ∈ Y

2) ⇒ 1) Sei p_{0} ∈ Y. Zeige: U = \{\overrightarrow{p_{0}p} | p ∈ Y \} ist ein Untervektorraum von V. Seien λ, μ ∈ K und p, q ∈ Y. Nach Voraussetzung ist

p_{0} + (1 − λ − μ)\overrightarrow{p_{0}p_{0}} + λ\overrightarrow{p_{0}p} + μ\overrightarrow{p_{0}q} ∈ Y

woraus λ\overrightarrow{p_{0}p} + μ\overrightarrow{p_{0}q} ∈ U folgt, da \overrightarrow{p_{0}p_{0}} =_{10.23} 0 gilt.

14.9 Bemerkung zum Hauptsatz der affinen Geometrie

Eine Affinität führt Geraden in Geraden über. Aus dem ”Hauptsatz der affinen Geometrie“ folgt, dass für K = ℝ und jeden affinen Raum X über ℝ mit dim X ≥ 2 umgekehrt gilt: Jede bijektive Abbildung X ^{}X, die Geraden in Geraden überführt, ist eine Affinität (vgl. [8]).

15 Projektive Räume und Projektivitäten

Im Projektiven hat man stärkere Schnittpunktsätze als im Affinen. Durch das Arbeiten im Projektiven erspart man sich daher einige sonst nötige Fallunterscheidungen. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.

15.1 Der projektive Raum ℙ(V)

Der zu V gehörige projektive Raum ℙ(V) ist definiert als die Menge aller 1-dimensionalen Untervektorräume von V. Ist dim_{K} V < ∞, so setzt man

dim ℙ(V) = dim_{K} V − 1

und spricht von der Dimension von ℙ(V). Es ist ℙ({0}) = ∅ und dim ∅ = −1. Man setzt ℙ^{n}(K) := ℙ(K^{n+1}) und nennt ℙ^{n}(K) den n-dimensionalen projektiven Raum über K.

Bemerkung. Man hat eine Abbildung

V \ {0} ^{}ℙ(V), v ^{}Kv

wobei Kv := {λv|λ ∈ K} die durch v ≠ 0 eindeutig bestimmte Gerade durch 0 ist.

Abbildung 27: Gerade durch 0

15.2 Homogene Koordinaten

Sei V = K^{n+1}. Dann sind die homogenen Koordinaten von v = (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}) ∈ V \ {0} definiert durch

(x_{0} : x_{1} : …: x_{n}) := Kv

Es gilt:

Kv = Kv′ ⟺ ∃λ ∈ K^{∗} mit v′ = λv
⟺ ∃λ ∈ K^{∗} mit x′_{0} = λx_{0} , …, x′_{n} = λx_{n}

Die homogenen Koordinaten sind also nur bis auf einen gemeinsamen Faktor λ ≠ 0 aus K festgelegt.

15.3 Beispiele zur Homogenisierung

Sei (a, b, c) ∈ K^{3} und (b, c) ≠ (0, 0). Betrachte in der affinen Ebene die Gerade mit der Gleichung

bx + cy + a = 0 (1)

Die Gleichung ist inhomogen, wenn a ≠ 0.

Homogenisierung Setze

x = \frac{x_{1}}{x_{0}} und y = \frac{x_{2}}{x_{0}} mit x_{0} ≠ 0

Dann folgt b\frac{x_{1}}{x_{0}} + c\frac{x_{2}}{x_{0}} + a = 0 und also durch Multiplikation mit x_{0}

ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0 (2)

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Nach 15.2 ist (x_{0} : x_{1} : x_{2}) = (\frac{1}{x_{0}} x_{0} : \frac{1}{x_{0}} x_{1} : \frac{1}{x_{0}} x_{2}) = (1 : x : y). Es ist also (y_{0} : y_{1} : y_{2}) ∈ ℙ^{2}(K) genau dann eine Lösung von (2), wenn (y_{0} : y_{1} : y_{2}) = (1 : x : y) mit einer Lösung (x, y) von (1) gilt oder wenn (y_{0} : y_{1} : y_{2}) = (0 : c : −b) ist.

Beispiel. Betrachte in ℝ^{2} die parallelen Geraden

x + y − 2 = 0, x + y = 0, x + y + 3 = 0

Abbildung 28: Drei parallele Geraden

Homogenisierung liefert:

x + y − 2 = 0 ⇝ −2x_{0} + x_{1} + x_{2} = 0
x + y = 0 ⇝ 0· x_{0} + x_{1} + x_{2} = 0
x + y + 3 = 0 ⇝ 3x_{0} + x_{1} + x_{2} = 0

In allen drei Fällen ist (0 : 1 : −1) eine Lösung in ℙ^{2}(ℝ). Die Geraden haben also einen Schnittpunkt in ℙ^{2}(ℝ).

15.4 Projektive Geraden in ℙ^{2}(K)

Eine projektive Gerade L ⊆ ℙ^{2}(K) ist die Nullstellenmenge in ℙ^{2}(K) einer Gleichung

ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0 mit (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)

Es ist also

L = {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(K) | ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0}

Ist b = c = 0, so ist L die ”unendlich ferne Gerade“

P^{1} := {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(K) | x_{0} = 0}

Die übrigen Geraden in ℙ^{2}(K) erhält man, wie in 15.3 beschrieben, durch (1) und durch Hinzufügen des ”unendlich fernen Punktes“ (0 : c : −b) ∈ P^{1}. Ist c ≠ 0, so ist U = {(x_{0}, x_{1}, x_{2}) ∈ K^{3} | ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0} ein Untervektorraum von K^{3} mit Basis \{(1, 0, −\frac{a}{c}), (0, −c, b)\} und es ist L = ℙ(U).

15.5 Projektive Unterräume in ℙ(V)

Eine Teilmenge X ⊂ ℙ(V) heißt projektiver Unterraum, falls X = ℙ(U) mit einem Untervektorraum U von V gilt. Es ist dann

• X eine projektive Gerade in ℙ(V), falls dim X = 1

• eine projektive Hyperebene in ℙ(V), falls dim X = dim ℙ(V) − 1 und dim_{K} V < ∞

Beispiele. Seien (X_{i} = ℙ(U_{i}))_{i∈I} projektive Unterräume von ℙ(V), dann ist

⋂_{i∈I} X_{i} = ℙ(⋂_{i∈I} U_{i})

ein projektiver Unterraum. Man nennt den kleinsten projektiven Unterraum von ℙ(V), der ⋃_{i∈I} X_{i} enthält, den Verbindungsraum ⋁_{i∈I} X_{i}. Es ist

⋁_{i∈I} X_{i} = ℙ(∑_{i∈I} U_{i})

Dabei ist ∑_{i∈I} U_{i} der von ⋃_{i∈I} U_{i} erzeugte Untervektorraum von V, und das ist der kleinste Unterraum von V, der alle U_{i} enthält.

15.6 Dimensionssatz

Satz. Sei dim ℙ(V) < ∞. Für projektive Unterräume X_{1} = ℙ(U_{1}) und X_{2} = ℙ(U_{2}) gilt

dim(X_{1} ∨ X_{2}) = dim X_{1} + dim X_{2} − dim(X_{1} ∩ X_{2})

Beweis. Es ist

dim(X_{1} ∨ X_{2}) = dim_{K}(U_{1} + U_{2}) − 1 nach 15.1 und 15.5
= dim_{K} U_{1} + dim_{K} U_{2} − dim_{K}(U_{1} ∩ U_{2}) − 1 nach 3.15

=_{15.1} dim X_{1} + 1 + dim X_{2} + 1 − (dim(X_{1} ∩ X_{2}) + 1) − 1

= dim X_{1} + dim X_{2} − dim(X_{1} ∩ X_{2})

15.7 Schnittpunktsatz

Satz. Sei dim_{K} V < ∞. Dann gelten

1) Ist dim X_{1} + dim X_{2} ≥ dim ℙ(V) für zwei projektive Unterräume X_{1}, X_{2} von ℙ(V), so ist X_{1} ∩ X_{2} ≠ ∅.

2) Ist X_{1} = L eine projektive Gerade in ℙ(V), X_{2} = H eine projektive Hyperebene in ℙ(V), und gilt L ⊈ H, dann schneiden sich L und H in genau einem Punkt P ∈ ℙ(V).

3) Zwei projektive Geraden in ℙ^{2}(K) schneiden sich stets.

Beweis.

1) dim(X_{1} ∩ X_{2}) =_{15.6} dim X_{1} + dim X_{2} − dim(X_{1} ∨ X_{2})

≥ dim X_{1} + dim X_{2} − dim ℙ(V) ≥_{Vor.} 0 ⟹ X_{1} ∩ X_{2} ≠ ∅.

2) Aus L ⊈ H folgt dim(X_{1} ∨ X_{2}) = dim ℙ(V) und somit dim(X_{1} ∩ X_{2}) = 0 nach 15.6. Es ist also X_{1} ∩ X_{2} = {P } ein Punkt.

3) folgt aus 2), da die Hyperebene H eine projektive Gerade in ℙ^{2}(K) ist.

15.8 Projektiver Abschluss von 𝔸^{n}(K)

Sei V = K^{n+1}. Betrachte die Abbildung

ψ : K^{n} ^{}ℙ(V), (x_{1}, …, x_{n}) ^{}(1 : x_{1} : …: x_{n}) = Kv

mit v = (1, x_{1}, …, x_{n}). Es ist

U = {(x_{0}, x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n+1} | x_{0} = 0}

ein n-dimensionaler Untervektorraum von K^{n+1}, also ist H := ℙ(U) eine Hyperebene in ℙ(V).

Behauptung Es ist bild(ψ) = ℙ(V) \ H.

Beweis. Es ist bild(ψ) ⊂ ℙ(V) \ H nach Definition. Sei (y_{0} : y_{1} : …: y_{n}) ∈ ℙ(V) \ H, also y_{0} ≠ 0.

⟹ (y_{0} : y_{1} : …: y_{n}) = (1 : \frac{y_{1}}{y_{0}} : …: \frac{y_{n}}{y_{0}} ) = ψ(\frac{y_{1}}{y_{0}} , …, \frac{y_{n}}{y_{0}} )

Man nennt H die unendlich ferne Hyperebene, ψ heißt kanonische Einbettung von 𝔸^{n}(K) in ℙ^{n}(K), und ℙ(V) wird als projektiver Abschluss von 𝔸^{n}(K) bezeichnet. Man schreibt auch ℙ^{n}(K) = 𝔸^{n}(K) ∪ A_{∞}, wobei A_{∞} = H ist. Für n = 1 schreibt man dann speziell ℙ^{1}(K) = 𝔸^{1}(K) ∪ {∞}, da H dann ein Punkt ist.

15.9 Projektivitäten

Seien V, W zwei (n + 1)-dimensionale K-Vektorräume. Dann heißt eine bijektive Abbildung φ : ℙ(V) → ℙ(W) eine Projektivität, falls es eine bijektive K-lineare Abbildung

φ⃗ : V ^{}W gibt mit φ(P) = φ⃗(P) ∀P ∈ ℙ(V)

(Hierbei ist P ein Punkt von ℙ(V) und also ein eindimensionaler Teilraum von V.) Es ist dann φ⃗ nicht eindeutig durch φ bestimmt, denn für λ ∈ K^{∗} ist (λφ⃗)(P) = φ⃗(λP) = φ⃗(P) .

Ferner gilt φ(ℙ(U)) = ℙ(φ⃗(U)) für jeden Untervektorraum U von V und jede Projektivität φ.

15.10 Kollineationen

Definition. Eine bijektive Abbildung φ : ℙ(V) ^{}ℙ(W) heißt Kollineation, wenn das Bild einer projektive Geraden g durch die Punkte P, Q ∈ ℙ(V) die projektive Gerade durch die Punkte φ(P), φ(Q) ∈ ℙ(W) ist.

Satz.

1) Zu je zwei Punkten P, Q ∈ ℙ(V) mit P ≠ Q gibt es genau eine projektive Gerade g, die P und Q enthält.

2) Ist φ : ℙ(V) ^{}ℙ(W) eine Projektivität, so ist φ eine Kollineation.

15.11. Weitere Beispiele zur Homogenisierung  233

Beweis.

1) Es ist P = Kv_{1} und Q = Kv_{2} mit v_{1}, v_{2} ∈ V \ {0}. Da P ≠ Q ist folgt, dass v_{1} und v_{2} linear unabhängig sind. Es ist also g = ℙ(U) mit U = Kv_{1} + Kv_{2} die gesuchte projektive Gerade.

2) Es ist φ(g) = ℙ(φ⃗(U)). Daraus folgt die zweite Behauptung.

15.11 Weitere Beispiele zur Homogenisierung

Analog wie in 15.4 konstruiert man zu einer Hyperebene

X = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} + b = 0}

durch Homogenisierung ihrer definierenden Gleichung den Abschluss

\overline{X} = \{(y_{0} : y_{1} : …: y_{n}) ∈ ℙ^{n}(K) | by_{0} + a_{1}y_{1} + … + a_{n}y_{n} = 0\} in ℙ^{n}(K). Man setze x_{i} = \frac{y_{i}}{y_{0}} für alle i = 1, …, n. Analog erhält man durch Homogenisierung den projektiven Abschluss von Quadriken, Kegelschnitten, Kubiken, etc. Beispiele. Betrachte die definierenden Gleichungen:

i) x^{2} + y^{2} − 1 = 0 Kreis ii) x^{2} − y^{2} − 1 = 0 Hyperbel (vgl. 12.4) iii) x^{2} − y = 0 Parabel (vgl. 12.4) Homogenisierung Mit x = \frac{x_{1}}{x_{0}} und y = \frac{x_{2}}{x_{0}} erhält man:

i) −x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0 ii) −x_{0}^{2} + x_{1}^{2} − x_{2}^{2} = 0 iii) x_{1}^{2} − x_{2}x_{0} = 0

Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen 2000/01

Behauptung Kreis, Hyperbel und Parabel sind projektiv äquivalent, d.h. die zugehörigen projektiven Kurven gehen durch eine Projektivität

ℙ^{2}(ℝ) ^{}ℙ^{2}(ℝ)

ineinander über.

Beweis. Durch (x_{0} : x_{1} : x_{2}) ^{}(x_{1} : x_{0} : x_{2}) geht die projektive Quadrik mit der Gleichung ii) in die projektive Quadrik mit der Gleichung i) über. Durch (x_{0} : x_{1} : x_{2}) ^{}(x_{0} + x_{2} : x_{1} : x_{0} − x_{2}) erhält man aus Gleichung iii) die Gleichung i).

15.12 Übergang vom Projektiven ins Affine

Bemerkung. Ist H = ℙ(U) eine projektive Hyperebene in ℙ(V), so ist 𝔸 := ℙ(V) \ H ein affiner Raum mit zugehörigem Vektorraum U, und es ist 𝔸_{∞} = H.

Was geschieht dabei mit einer projektiven Quadrik in ℙ(V)?

Beispiel. Sei Q = {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℝ) | − x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0} .

1) Sei H = {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℝ) | x_{0} = 0} und

ψ : ℝ^{2} ^{}ℙ^{2}(ℝ) \ H, (x_{1}, x_{2}) ^{}(1 : x_{1} : x_{2})

(vgl. 15.8). Dann ist Q ∩ H = ∅, und

ψ^{−1}(Q) = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 1 = 0}

ist ein Kreis. Ersetzt man ℝ durch ℂ, so besteht Q ∩ H aus zwei Punkten (vgl. Aufgabe 92).

2) Sei H = {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℝ) | x_{1} = 0} . Dann besteht Q ∩ H aus zwei Punkten, und für

ψ : ℝ^{2} ^{}ℙ^{2}(ℝ) \ H, (x_{0}, x_{2}) ^{}(x_{0} : 1 : x_{2})

ist

ψ^{−1}(Q) = {(x_{0}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | x_{0}^{2} − x_{2}^{2} − 1 = 0}

eine Hyperbel.

3) Sei H = {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℝ) | x_{0} + x_{1} = 0} . Dann ist Q∩H ein Punkt, und für

ψ : ℝ^{2} ^{}ℙ^{2}(ℝ) \ H, (x_{1}, x_{2}) ^{}((1 − x_{1}) : x_{1} : x_{2})

ist

ψ^{−1}(Q) = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | x_{2}^{2} + 2x_{1} − 1 = 0}

eine Parabel. (Die Substitution x_{1} = −z_{1} + \frac{1}{2} ergibt \frac{1}{2}x_{2}^{2} − z_{1} = 0 .)

(Je nachdem, was man als unendlich ferne Hyperebene auszeichnet, erhält man aus Q die drei affinen Kurven: Kreis, Hyperbel, Parabel)

15.13 Explizite Beschreibung von Projektivitäten

Sei V = K^{n+1} und φ : ℙ(V) ^{}ℙ(V) eine Projektivität. Bezüglich der Standardbasis wird φ⃗ : V ^{}V durch eine Matrix

A := (\begin{matrix}a_{00} & a_{01} & … & a_{0n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n0} & a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix}) ∈ GL_{n+1}(K)

beschrieben (vgl. 4.11). Es ist dann

φ(x_{0} : x_{1} : …: x_{n}) = (y_{0} : y_{1} : …: y_{n})

mit y_{i} =_{4.11} a_{i0}x_{0} + … + a_{in}x_{n}. Übergang zu inhomogenen Koordinaten ergibt

y′_{i} = \frac{y_{i}}{y_{0}} = \frac{a_{i0}x_{0} + … + a_{in}x_{n}}{a_{00}x_{0} + … + a_{0n}x_{n}} = \frac{a_{i0} + a_{i1}x′_{1} + … + a_{in}x′_{n}}{a_{00} + a_{01}x′_{1} + … + a_{0n}x′_{n}}

mit x′_{i} = \frac{x_{i}}{x_{0}} und x_{0} ≠ 0 (vgl. 15.8). Die Abbildung

φ′ : K^{n} ^{}K^{n}, (x′_{1}, …, x′_{n}) ^{}(y′_{1}, …, y′_{n})

ist auf der affinen Hyperebene

E = {(x′_{1}, …, x′_{n}) ∈ K^{n} | a_{00} + a_{01}x′_{1} + … + a_{0n}x′_{n} = 0}

nicht definiert. Die Punkte von E werden auf die unendlich ferne Hyperebene abgebildet. Ist speziell n = 1 und ℙ^{1}(K) = 𝔸^{1}(K) ∪ {∞}, so ist mit x′_{1} =: x und y′_{1} =: y eine Projektivität gegeben durch

x ^{}y = \frac{a_{11}x + a_{10}}{a_{01}x + a_{00}}

(”Möbiustransformation“). Der Punkt x = −\frac{a_{00}}{a_{01}} wird auf ∞ abgebildet, falls a_{01} ≠ 0. Definiere ∞ ^{}− \frac{a_{11}}{a_{01}} .

15.14 Projektive Basen

Seien V, W zwei (n+1)-dimensionale K-Vektorräume. Dann sind n+2 Punkte P_{0}, …, P_{n+1} von ℙ(V) in allgemeiner Lage, wenn keine n + 1 Punkte davon einen echten projektiven Unterraum von ℙ(V) erzeugen. Man sagt dann, dass P_{0}, …, P_{n+1} eine projektive Basis von ℙ(V) bilden.

Satz. Sind P_{0}, …, P_{n+1} in allgemeiner Lage in ℙ(V) und sind Q_{0}, …, Q_{n+1} in allgemeiner Lage in ℙ(W), dann gibt es genau eine Projektivität

φ : ℙ(V) ^{}ℙ(W) mit φ(P_{i}) = Q_{i} für alle i = 0, …, n + 1

Beweis. Es ist P_{i} = Kv_{i} mit v_{i} ∈ V \ {0} für i = 0, …, n und analog Q_{i} = Kw_{i} mit w_{i} ∈ W \ {0}. Nach Voraussetzung bilden v_{0}, …, v_{n} eine Basis von V und w_{0}, …, w_{n} eine Basis von W. Sei f : V → W die durch f(v_{i}) = λ_{i}w_{i} mit noch zu bestimmenden λ_{i} ∈ K^{∗} für i = 0, …, n definierte K-lineare Abbildung. Es ist

v_{n+1} = ∑_{i=0}^{n} μ_{i}v_{i} mit 0 ≠ μ_{i} ∈ K für alle i = 0, …, n

da P_{0}, …, P_{n+1} in allgemeiner Lage sind, und analog

w_{n+1} = ∑_{i=0}^{n} η_{i}w_{i} mit 0 ≠ η_{i} ∈ K und i = 0, …, n

Setze λ_{i} = \frac{η_{i}}{μ_{i}}, also η_{i} = μ_{i}λ_{i} für i = 0, …, n. Dann ist

f(v_{n+1}) = ∑_{i=0}^{n} μ_{i}f(v_{i}) = ∑_{i=0}^{n} η_{i}w_{i} = w_{n+1}

Für φ : ℙ(V) ^{}ℙ(W), Kv ^{}Kf(v), ist dann φ(P_{i}) = Q_{i} und φ⃗ = f. Bis auf einen Faktor λ ∈ K^{∗} ist φ⃗ eindeutig bestimmt.

15.15 Das Doppelverhältnis

Sei n = 1 und X = ℙ(V) mit dim_{K} V = 2. Dann sind je drei verschiedene Punkte P_{0}, P_{1}, P_{2} ∈ X in allgemeiner Lage. Seien nun P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3} vier paarweise verschiedene Punkte in X. Dann gibt es nach 15.14 genau eine Projektivität φ_{X} : X ^{}ℙ^{1}(K) mit

φ_{X}(P_{0}) = (1 : 0), φ_{X}(P_{1}) = (1 : 1), und φ_{X}(P_{2}) = (0 : 1)

Dadurch ist φ_{X}(P_{3}) =: (λ : μ) schon eindeutig festgelegt. Man nennt

D(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}) = (λ : μ) ∈ ℙ^{1}(K)

das Doppelverhältnis der vier Punkte P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3} ∈ X.

Satz. Sei dim_{K} V = 2 = dim_{K} W. Seien X = ℙ(V) und Y = ℙ(W) zwei projektive Geraden. Ist φ : X → Y eine Projektivität, so gilt

D(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}) = D(φ(P_{0}), φ(P_{1}), φ(P_{2}), φ(P_{3}))

für je vier paarweise verschiedene Punkte P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3} ∈ X. Das Doppelverhältnis bleibt also unter Projektivitäten erhalten.

Beweis. Sei Q_{i} = φ(P_{i}) für i = 0, 1, 2, 3. Dann gelten

(φ_{Y} ∘ φ)(P_{0}) = φ_{Y} (Q_{0}) = (1 : 0) = φ_{X}(P_{0})
(φ_{Y} ∘ φ)(P_{1}) = φ_{Y} (Q_{1}) = (1 : 1) = φ_{X}(P_{1})
(φ_{Y} ∘ φ)(P_{2}) = φ_{Y} (Q_{2}) = (0 : 1) = φ_{X}(P_{2}),

also ist φ_{Y} ∘ φ = φ_{X} nach 15.14. Damit folgt

(φ_{Y} ∘ φ)(P_{3}) = φ_{X}(P_{3}) = D(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}).

Andererseits ist (φ_{Y} ∘ φ)(P_{3}) = φ_{Y} (Q_{3}) = D(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})

Beispiel. Seien P_{i} = (1 : μ_{i}) ∈ ℙ^{1}(K) für i = 0, 1, 2, 3 paarweise verschiedene Punkte. Für die Möbiustransformation (vgl. 15.13)

φ : K ∪ \{∞\} ^{}K ∪ \{∞\}, x ^{}\frac{μ_{1} − μ_{2}}{μ_{1} − μ_{0}} · \frac{x − μ_{0}}{x − μ_{2}}

gilt φ(μ_{0}) = 0, φ(μ_{1}) = 1 und φ(μ_{2}) = ∞. Es ist dann

D(μ_{0}, μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}) = \frac{\frac{μ_{1}−μ_{2}}{μ_{1}−μ_{0}}}{\frac{μ_{3}−μ_{2}}{μ_{3}−μ_{0}}}

das Doppelverhältnis von μ_{0}, μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}.

Bemerkung. Seien a, b, c, d ∈ 𝔸^{1}(K) paarweise verschiedene Punkte auf einer affinen Geraden. Dann ist \frac{b−c}{b−a} das durch b gegebene Teilverhältnis der ” Strecke“ [c,a]. Dies ist invariant unter affinen Abbildungen. Analoges gilt für das Teilverhältnis \frac{d−c}{d−a}. Wir haben gezeigt, dass der Quotient \frac{b−c}{b−a} : \frac{d−c}{d−a} auch bei gebrochen linearen Transformationen invariant bleibt. Ist D(a, b, c, d) = −1, so sagt man, dass sich die vier Punkte a, b, c, d in harmonischer Lage befinden.

15.16 Zentralprojektion

Sei V ein (n+1)-dimensionaler K-Vektorraum und X = ℙ(U) ein projektiver Unterraum von ℙ(V). Ferner seien ℙ(U_{1}) und ℙ(U_{2}) zwei m-dimensionale projektive Unterräume von ℙ(V). Es gelte:

i) X ∩ ℙ(U_{1}) = X ∩ ℙ(U_{2}) = ∅

ii) X ∨ ℙ(U_{1}) = X ∨ ℙ(U_{2}) = ℙ(V)

Dann ist

(X ∨ P) ∩ ℙ(U_{2}) = P′

ein Punkt für alle P ∈ ℙ(U_{1}) wie aus dem Dimensionssatz 15.6 folgt. Die Abbildung φ : ℙ(U_{1}) ^{}ℙ(U_{2}), P ^{}P′, heißt Zentralprojektion.

Abbildung 29: Zentralprojektion

Satz. Die Zentralprojektion φ : ℙ(U_{1}) ^{}ℙ(U_{2}) ist eine Projektivität.

Beweis. Aus i) folgt U ∩ U_{1} = U ∩ U_{2} = {0} und wegen ii) ist

U ⊕ U_{1} = U ⊕ U_{2} = V

Nach 2.13 gibt es zu jedem u_{1} ∈ U_{1} eindeutig bestimmte Vektoren u ∈ U und u_{2} ∈ U_{2} mit

u_{1} = 0 + u_{1} = u + u_{2}

Setze

φ⃗ : U_{1} ^{}U_{2}, u_{1} ^{}u_{2}

Dann ist

φ(Ku_{1}) = ℙ(U + Ku_{1}) ∩ ℙ(U_{2}) = Ku_{2} = φ⃗(Ku_{1}) ∀u_{1} ∈ U_{1} \ {0}

und φ⃗ ist K-linear und injektiv, also nach 3.23 bijektiv, da dim_{K} U_{1} = dim_{K} U_{2}.

15.17 σ-lineare Abbildungen von K-Vektorräumen

Sei σ : K ^{}K ein Automorphismus, d.h. σ ist bijektiv, und es gilt

σ(a + b) = σ(a) + σ(b) und σ(ab) = σ(a)σ(b)

für alle a, b ∈ K. Eine Abbildung f : V ^{}W heißt σ-linear, falls gilt

f(v + v′) = f(v) + f(v′) und f(λv) = σ(λ) f(v)

für alle λ ∈ K und v, v′ ∈ V.

15.18 Zum Hauptsatz der projektiven Geometrie

In 15.10 haben wir gesehen, dass jede Projektivität eine Kollineation ist. Umgekehrt gilt der Hauptsatz der projektiven Geometrie Seien V, W zwei (n + 1)-dimensionale K-Vektorräume, n ≥ 2, und sei φ : ℙ(V) → ℙ(W) eine Kollineation. Dann gibt es einen Automorphismus σ : K → K und eine σ-lineare bijektive Abbildung

φ̃ : V ^{}W mit φ̃(P) = φ(P)

für alle P ∈ ℙ(V). Ist K = ℝ, so ist dies eine Projektivität. Den Beweis müssen wir hier aus Zeitgründen fortlassen; man findet ihn zum Beispiel in: E. Artin [1], Stuhler [18] oder Fischer [8]. Für n = 1 ist der Satz im Allgemeinen falsch, da dann jede bijektive Abbildung eine Kollineation ist. Für K = ℝ ist die Identität der einzige Automorphismus, daher ist φ̃ stets eine Projektivität für K = ℝ. Analoges gilt für K = ℚ:

Behauptung Ist σ ein Automorphismus von ℚ, so ist σ = id.

Beweis. Sei n ∈ ℕ, also n = 1 + … + 1 mit n Summanden. Aus

σ(1) = σ(1· 1) = σ(1) σ(1)

folgt 1 = σ(1). Daher gilt σ(n) = σ(1)+…+σ(1) = 1+…+1 = n. Außerdem gilt σ(−n) = −n, denn 0 = σ(0) = σ(n+(−n)) = σ(n)+σ(−n) = n+σ(−n). Ist x = \frac{n}{m} ∈ ℚ mit geeigneten m, n ∈ ℤ , m ≠ 0. Dann ist σ(x) = σ(\frac{n}{m}) = \frac{σ(n)}{σ(m)} = \frac{n}{m} = x.

15.19 Satz von Desargues

Satz. In einer projektiven Ebene seien zwei Dreiecke in perspektivischer Lage gegeben, d.h. es sind 6 paarweise verschiedene Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} und P′_{1}, P′_{2}, P′_{3} gegeben so, dass sich die Verbindungsgeraden P_{1} ∨ P′_{1}, P_{2} ∨ P′_{2} und P_{3} ∨ P′_{3} in einem Punkt Q schneiden. Dann liegen die Schnittpunkte

A := (P_{1} ∨P_{2})∩(P′_{1} ∨P′_{2}), B := (P_{2} ∨P_{3})∩(P′_{2} ∨P′_{3}), C := (P_{3} ∨P_{1})∩(P′_{3} ∨P′_{1})

auf einer Geraden.

Beweis für ℙ^{2}(K). Wähle Vektoren v, v_{i}, v′_{i} ∈ K^{3} für i = 1, 2, 3 mit

Q = Kv, P_{i} = Kv_{i}, P′_{i} = Kv′_{i}

Nach Voraussetzung kann man v_{i} und v′_{i} so wählen, dass v = v_{1} − v′_{1} = v_{2} − v′_{2} = v_{3} − v′_{3} gilt. Dann folgt

w_{1} := v_{1} − v_{2} = v′_{1} − v′_{2}
w_{2} := v_{2} − v_{3} = v′_{2} − v′_{3}
w_{3} := v_{1} − v_{3} = v′_{1} − v′_{3}

Da w_{1}, w_{2}, w_{3} linear abhängig sind (es ist w_{1} + w_{2} − w_{3} = 0) und A = Kw_{1}, B = Kw_{2} und C = Kw_{3} gilt, folgt die Behauptung.

15.20 Satz von Pappos

Satz. In einer projektiven Ebene seien zwei verschiedene Geraden g und g′ und darauf paarweise verschiedene Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} ∈ g und P′_{1}, P′_{2}, P′_{3} ∈ g′ gegeben. Dann liegen die Schnittpunkte

(P_{1} ∨ P′_{2}) ∩ (P′_{1} ∨ P_{2}), (P_{2} ∨ P′_{3}) ∩ (P′_{2} ∨ P_{3}), (P_{3} ∨ P′_{1}) ∩ (P′_{3} ∨ P_{1})

auf einer Geraden.

Der Beweis geht mit dem Doppelverhältnis. Es sei hier als Übung gelasssen.

15.21 Synthetischer Aufbau der projektiven Geometrie

Definition. Eine (allgemeine) projektive Ebene E ist eine Menge, deren Elemente ”Punkte“ genannt werden, und in der gewisse Teilmengen als ”Geraden“ ausgezeichnet werden derart, dass gelten 1) Zu je zwei verschiedenen Punkten P, Q gibt es genau eine Gerade

g(P, Q) ⊂ E

die P, Q enthält.

2) Zu je zwei Geraden g_{1}, g_{2} in E gibt es genau einen Schnittpunkt g_{1} ∩ g_{2}.

3) Es gibt vier verschiedene Punkte P, Q, R, S ∈ E, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, d.h. es gibt Vierecke in E.

Beispiel. Sei K ein Schiefkörper, also ein nicht notwendig kommutativer Körper. Dann erfüllt E = ℙ(V) die Bedingungen 1), 2) und 3), wobei V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum ist.

Für eine allgemeine projektive Ebene E gilt genau dann der Satz von Desargues, wenn es einen Schiefkörper K gibt mit E = ℙ(V) und dim_{K} V = 3. Und genau dann gilt der Satz von Pappos, wenn K kommutativ ist. Für allgemeine projektive Räume siehe Emil Artin [1].

15.22 Übungsaufgaben 90 – 92

Aufgabe 90. Man bestimme die Normalform des Kegelschnitts mit der Gleichung

4 x_{1}^{2} + 9 x_{2}^{2} − 12 x_{1} − 24 x_{2} − 144 = 0

und fertige eine Skizze an.

Aufgabe 91. Man ermittle in den folgenden Fällen, ob die Kurven X und X′ projektiv äquivalent sind, und bestimme gegebenenfalls eine entsprechende Projektivität φ : ℙ^{2}(ℝ) ^{}ℙ^{2}(ℝ) :

(a) X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y − x^{3} = 0 } und X′ = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{3} = 0 },

(b) X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + 5y^{2} − 1 = 0 } und X′ = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 5x^{2} − 1 = 0 }.

Aufgabe 92. Sei f(x, y) = a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + a_{1} x + a_{2} y − a = 0 eine Gleichung mit reellen Koeffizienten. Man bestimme die zu f(x, y) gehörige homogene Gleichung f̄(x_{0}, x_{1}, x_{2}) = 0, für die f̄(1, x, y) = f(x, y) gelte, und beweise, dass der Kegelschnitt

X := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | f(x, y) = 0 }

genau dann ein Kreis ist, wenn

X̄ := {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℂ) | f̄(x_{0}, x_{1}, x_{2}) = 0 }

die unendlich ferne Hyperebene H := {(x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ ℙ^{2}(ℂ) | x_{0} = 0} in den Punkten (0 : i : 1) und (0 : −i : 1) schneidet und X nicht ausgeartet ist.

(Man nennt die beiden Punkte (0 : i : 1) und (0 : −i : 1) die imaginären unendlich fernen Kreispunkte.)

15.23 Klausur II

1. Sei A = (\begin{matrix}a & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \\ −1 & b & 1 \end{matrix}). Man bestimme a, b ∈ ℝ so, dass −x^{3} + x das

charakteristische Polynom von A wird. Dann bestimme man Eigenwer-

te und Eigenvektoren von f : ℝ^{3}  ^{}ℝ^{3} , (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})  ^{}A (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}), und

entscheide, ob f diagonalisierbar ist.

2. Es sei A = (\begin{matrix}5 & −2 \\ −2 & 2 \end{matrix}) ∈ M_{2×2}(ℝ). Man führe die Hauptachsentransfor-

mation von A durch und fertige eine Skizze an.

3. Man bestimme die Normalform des Kegelschnitts mit der Gleichung

16 x_{1}^{2} + 24 x_{1} x_{2} + 9 x_{2}^{2} + 60 x_{1} − 80 x_{2} = 0

und fertige eine Skizze an.

4. Sei D_{3} die Diedergruppe der Ordnung 6 . Man bestimme alle Untergruppen von D_{3} und ermittle, welche davon Normalteiler sind.

5. (a) Seien G, G′ zwei additiv geschriebene Gruppen. Man zeige, dass

f(0) = 0 für jeden Gruppenhomomorphismus f : G ^{}G′ gilt.

(b) Man bestimme alle Gruppenhomomorphismen ℤ/2 ℤ ^{}ℤ/17 ℤ.

6. Man prüfe, ob die beiden Flächen

X = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2}−zy^{2} = 0 } und X′ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x−yz^{2} = 0 }

projektiv äquivalent sind, und bestimme gegebenenfalls eine entsprechende Projektivität φ : ℙ^{3}(ℝ) ^{}ℙ^{3}(ℝ) .

16 Multilineare Algebra

16.1 Das Vektorprodukt im ℝ^{3}

Sei ℝ^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt versehen, und sei

{e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1)}

die Standardbasis von ℝ^{3}. Schreibe x⃗ = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) und y⃗ = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) mit x_{i}, y_{i} ∈ ℝ für i = 1, 2, 3. Das Vektorprodukt

ℝ^{3} × ℝ^{3} ^{}ℝ^{3}, (x⃗, y⃗) ^{}x⃗ × y⃗

ist definiert durch

x⃗ × y⃗ = (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})

Merkregel Entwickle die folgende ”Determinante“ formal nach der 1. Zeile:

x⃗ × y⃗ = det (\begin{matrix}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix})

= e_{1} det (\begin{matrix}x_{2} & x_{3} \\ y_{2} & y_{3} \end{matrix}) − e_{2} det (\begin{matrix}x_{1} & x_{3} \\ y_{1} & y_{3} \end{matrix}) + e_{3} det (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{matrix})

= (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2})e_{1} + (x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3})e_{2} + (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})e_{3}

Rechenregeln Für x⃗, x′, y⃗, y′ ∈ ℝ^{3} und λ ∈ ℝ gilt:

1) (x⃗ + x′) × y⃗ = x⃗ × y⃗ + x′ × y⃗ und λx⃗ × y⃗ = λ(x⃗ × y⃗)

x⃗ × (y⃗ + y′) = x⃗ × y⃗ + x⃗ × y′ und x⃗ × λy⃗ = λ(x⃗ × y⃗)

Das Vektorprodukt ist also bilinear.

2) x⃗ × x⃗ = 0

3) ∥x⃗ × y⃗∥^{2} = ∥x⃗∥^{2}· ∥y⃗∥^{2} − ⟨x⃗, y⃗⟩^{2} denn:

∥x⃗ × y⃗∥^{2} = (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2})^{2} + (x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3})^{2} + (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})^{2}
= x_{2}^{2}y_{3}^{2} − 2x_{2}x_{3}y_{2}y_{3} + x_{3}^{2}y_{2}^{2} + x_{3}^{2}y_{1}^{2}
− 2x_{1}x_{3}y_{1}y_{3} + x_{1}^{2}y_{3}^{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} + x_{2}^{2}y_{1}^{2}
= (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}) − (x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3})^{2}
= ∥x⃗∥^{2}· ∥y⃗∥^{2} − ⟨x⃗, y⃗ ⟩^{2}

4) x⃗ × y⃗ = 0 ⟺_{3.} ∥x⃗∥ · ∥y⃗∥ = |⟨x, y⟩| ⟺_{7.9} x⃗, y⃗ sind linear abhängig

Bemerkung.

2) kann man ersetzen durch 2’) x⃗ × y⃗ = −y⃗ × x⃗ denn: x⃗ × x⃗ = −x⃗ × x⃗ ⟹ x⃗ × x⃗ = 0 und umgekehrt:

x⃗ × x⃗ = 0 ∀ x⃗ ⟹ 0 = (x⃗ + y⃗) × (x⃗ + y⃗) =_{1)} \underbrace{x⃗ × x⃗}_{=0} +x⃗ × y⃗ + y⃗ × x⃗ + \underbrace{y⃗ × y⃗}_{=0}

16.2 Geometrische Eigenschaften des Vektorprodukts

a) Für x⃗, y⃗, z⃗ ∈ ℝ^{3} gilt

⟨x⃗ × y⃗, z⃗ ⟩ = det (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{matrix})

und also ⟨x⃗ × y⃗, x⃗⟩ = ⟨x⃗ × y⃗, y⃗⟩ = 0. Dies folgt unmittelbar aus den Formeln für die Determinante einer (3 × 3)-Matrix und für das Standard-Skalarprodukt sowie daraus, dass det() = 0 ist, wenn zwei Zeilen gleich sind. Der Vektor x⃗ × y⃗ steht senkrecht auf x⃗ und auf y⃗, wenn x⃗ und y⃗ linear unabhängig sind.

Abbildung 30: Vektorprodukt

b) Behauptung Die Länge von x⃗ × y⃗ ist der Flächeninhalt des von x⃗ und y⃗ aufgespannten Parallelogramms, also

∥x⃗ × y⃗∥ = ∥x⃗∥· ∥y⃗∥· | sin φ| für 0 ≤ φ := ∢(x⃗, y⃗) < π

Beweis. Aus 16.1.3 folgt ∥x⃗ × y⃗∥^{2} = ∥x⃗∥^{2}· ∥y⃗∥^{2} − ⟨x⃗, y⃗⟩^{2} und also gilt

∥x⃗ × y⃗∥^{2} =_{7.10} ∥x⃗∥^{2}· ∥y⃗∥^{2}· (1 − cos^{2} φ) = ∥x⃗∥^{2}· ∥y⃗∥^{2}· sin^{2} φ

c) Orientierung Seien x⃗, y⃗ linear unabhängig, sei also B = {x⃗, y⃗, x⃗ × y⃗ } eine Basis von ℝ^{3}. Es ist x⃗ × y⃗ = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) mit z_{1}, z_{2}, z_{3} ∈ ℝ und daher

det (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{matrix}) =_{a)} ⟨x⃗ × y⃗, x⃗ × y⃗⟩ > 0,

da das Skalarprodukt positiv definit ist. Die Basis B ist also gleich orientiert wie die Standardbasis. Man sagt auch x⃗, y⃗, x⃗ × y⃗ bilden ein ”positiv orientiertes Dreibein“, denn sie liegen im Raum wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand.

16.3 Äußere Algebren

Sei M = {1, 2, …, n}. Dann hat M hat 2^{n} Teilmengen, die mit

∅, M, R, S, T, …

bezeichnet seien. Sei A ein K-Vektorraum der Dimension 2^{n} mit Basiselementen e_{R}, e_{S}, e_{T} , …, die den 2^{n} Teilmengen von M zugeordnet seien. Für r, s ∈ ℤ sei

(r, s) := \begin{cases}0 & falls r = s \\ 1 & falls r < s \\ −1 & falls r > s \end{cases}

Sei

e_{R} ∧ e_{S} := ( ∏_{r∈R,s∈S}(r, s))e_{R∪S} ∀R, S ⊂ M

(Dabei setzt man ∏_{r∈R,s∈S}(r, s) = 1, falls R = ∅ oder S = ∅.) Für x⃗ = ∑_{R⊂M} x_{R} e_{R} und y⃗ = ∑_{S⊂M} y_{S} e_{S} mit x_{R}, y_{S} ∈ K sei dann

x⃗ ∧ y⃗ = ∑_{R,S⊂M} x_{R} y_{S}(e_{R} ∧ e_{S})

Man erhält so eine Multiplikation A × A ^{}A, (x⃗, y⃗) ^{}x⃗ ∧ y⃗, genannt äußere Multiplikation. Damit ist A eine K-Algebra mit Einselement e_{∅}. Ist R ∩ S ≠ ∅, so ist ∏_{r∈R,s∈S}(r, s) = 0. Also gelten

(1) e_{R} ∧ e_{S} = 0 , falls R ∩ S ≠ ∅.

(2) e_{R} ∧e_{S} = (−1)^{pq}e_{S} ∧e_{R} falls |R| = p und |S| = q (Vertauschungsregel).

Beispiele (für n = 3). Es ist e_{{1,3}} ∧ e_{{2}} = (1, 2)(3, 2)e_{{1,2,3}} = −e_{{1,2,3}} und e_{{1,3}} ∧ e_{{2,3}} = 0 Mit der Schreibweise e_{i} statt e_{{i}} sei

x⃗ = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3} und y⃗ = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3} mit x_{i}, y_{i} ∈ K

Dann ist

x⃗ ∧ y⃗ =^{(1)} x_{1}y_{2}(e_{1} ∧ e_{2}) + x_{1}y_{3}(e_{1} ∧ e_{3}) + x_{2}y_{1}(e_{2} ∧ e_{1})
+ x_{2}y_{3}(e_{2} ∧ e_{3}) + x_{3}y_{1}(e_{3} ∧ e_{1}) + x_{3}y_{2}(e_{3} ∧ e_{2})

= (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})e_{{1,2}} + (x_{1}y_{3} − x_{3}y_{1})e_{{1,3}} + (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2})e_{{2,3}}.

Die Koeffizienten sind (bis auf Vorzeichen) gerade die Koordinaten von x⃗ × y⃗ aus 16.1, falls K = ℝ ist. Es folgt ∥x⃗ ∧ y⃗∥ = ∥x⃗ × y⃗∥ für K = ℝ und die Standardbasis e_{1}, e_{2}, e_{3} von ℝ.

16.4 Die äußere Algebra eines K -Vektorraums

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B = (e_{1}, …, e_{n}). Bette V in einen 2^{n}-dimensionalen K-Vektorraum A ein und ergänze B zu einer Basis von A. Die Basiselemente von A seien mit e_{R} für R ⊂ M := {1, …, n} bezeichnet, wobei e_{{i}} = e_{i} zu setzen ist. Wie in 16.3 wird A zu einer K-Algebra gemacht. Man nennt A die Grassmann-Algebra oder äußere Algebra von V und schreibt A = Λ(V).

Beispiel (für n = 3). Dann ist

\{e_{∅}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, \underbrace{e_{1} ∧ e_{2}}_{=e_{\{1,2\}}}, \underbrace{e_{1} ∧ e_{3}}_{=e_{\{1,3\}}}, \underbrace{e_{2} ∧ e_{3}}_{=e_{\{2,3\}}}, \underbrace{e_{1} ∧ e_{2} ∧ e_{3}}_{=e_{\{1,2,3\}}}\}

eine Basis von A (mit 8 = 2^{3} Elementen).

Man kann zeigen, dass die äußere Algebra von V unabhängig von der Wahl der Basis von V ist.

16.5 Zwei Regeln für die äußere Multiplikation von Vektoren

Sei V ein K-Vektorraum mit Basis (e_{1}, …, e_{n}). Dann gilt für alle v, w ∈ V:

v ∧ v = 0 und v ∧ w = −w ∧ v Beweis. Für v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i} mit λ_{i} ∈ K gilt

v ∧ v = (∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i}) ∧ (∑_{j=1}^{n} λ_{j}e_{j}) = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{n} λ_{i}λ_{j}(e_{i} ∧ e_{j}) = 0

denn in der Summe gibt es nur Glieder der Form

λ_{i}^{2}(e_{i} ∧ e_{i}) =_{(1)} 0 und λ_{i}λ_{j}(e_{i} ∧ e_{j}) + λ_{j}λ_{i}(e_{j} ∧ e_{i}) =_{(2)} 0

Es folgt nun auch die zweite Regel v ∧ w = −w ∧ v, denn:

0 = (v + w) ∧ (v + w) = \underbrace{(v ∧ v)}_{=0} +(v ∧ w) + (w ∧ v) + \underbrace{(w ∧ w)}_{=0}

16.6 Ein neues Kriterium für lineare Abhängigkeit

Satz. Für Vektoren v_{1}, …, v_{p} ∈ V gilt:

v_{1} ∧ … ∧ v_{p} = 0 ⟺ v_{1}, …, v_{p} sind linear abhängig

Beweis.

”⟹“ Sei v_{1} ∧ … ∧ v_{p} = 0. Angenommen v_{1}, …, v_{p} sind linear unabhängig (insbesondere p ≤ n). Ergänze v_{1}, …, v_{p} zu einer Basis

v_{1}, …, v_{p}, v_{p+1}, …, v_{n}

von V. Dann ist {v_{R} | R ⊂ M} mit v_{{i}} = v_{i} eine Basis von Λ(V) nach 16.4. Insbesondere ist v_{1} ∧ … ∧ v_{p} = v_{R} mit R = {1, …, p} ein Basiselement von Λ(V) und somit ≠ 0. Widerspruch!

”⟸“ Seien v_{1}, …, v_{p} linear abhängig. Dann ist einer dieser Vektoren eine Linearkombination der übrigen. Da sich bei Vertauschung der Vektoren in v_{1} ∧ … ∧ v_{p} nach 16.5 höchstens das Vorzeichen ändert, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass v_{p} = λ_{1}v_{1} + … + λ_{p−1}v_{p−1} mit λ_{i} ∈ K ist. Hieraus folgt

v_{1} ∧ … ∧ v_{p} = (v_{1} ∧ … ∧ v_{p−1}) ∧ (λ_{1}v_{1} + … + λ_{p−1}v_{p−1})
= λ_{1}(v_{1} ∧ … ∧ v_{p−1} ∧ v_{1}) + …
+ λ_{p−1}(v_{1} ∧ … ∧ v_{p−1} ∧ v_{p−1}) = 0

nach 16.5, denn in jedem Summanden treten zwei gleiche Faktoren auf.

16.7 Ein Kriterium für Untervektorräume

Satz. Seien u_{1}, …, u_{p} linear unabhängige Vektoren in V und u′_{1}, …, u′_{p} ∈ V. Es sei U der von u_{1}, …, u_{p} erzeugte Untervektorraum von V und U′ der von u′_{1}, …, u′_{p} erzeugte Untervektorraum von V. Dann gilt:

U = U′ ⟺ ∃λ ∈ K^{∗} mit u_{1} ∧ … ∧ u_{p} = λ(u′_{1} ∧ … ∧ u′_{p})

Beweis.

”⟹“ Sei U = U′. Dann ist u_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}u′_{i} für j = 1, …, p mit a_{ij} ∈ K. Es folgt

u_{1} ∧ … ∧ u_{p} = ∑_{i_{1},...,i_{p}=1}^{p} a_{i_{1}1} ⋯ a_{i_{p}p}(u′_{i_{1}} ∧ … ∧ u′_{i_{p}})

Nach 16.5 fallen die Summanden weg, bei denen die i_{1}, …, i_{p} nicht alle verschieden sind. Wir können also annehmen, dass (i_{1}, …, i_{p}) eine Permutation von (1, …, p) ist. Durch Vertauschen der u′_{i_{j}} folgt nach 16.5, dass

u′_{i_{1}} ∧ … ∧ u′_{i_{p}} = ε(u′_{1} ∧ … ∧ u′_{p})

mit ε = ±1 gilt. Es folgt

u_{1} ∧ … ∧ u_{p} = λ(u′_{1} ∧ … ∧ u′_{p}) mit λ = ε ∑_{i_{1},...,i_{p}=1}^{p} a_{i_{1}1} ⋯ a_{i_{p}p}

”⟸“ Es ist

u_{1} ∧ … ∧ u_{p} ∧ u′_{i} = λ(u′_{1} ∧ … ∧ u′_{p} ∧ xu′_{i}) =_{16.5} 0 ∀i = 1, …, p

Es sind also u_{1}, …, u_{p}, u′_{i} linear abhängig für alle i = 1, …, p nach 16.6, d.h. es gibt Linearkombinationen

λ_{1i}u_{1} + … + λ_{pi}u_{p} + μ_{i}u′_{i} = 0 mit λ_{ij}, μ_{i} ∈ K

in denen jeweils nicht alle Koeffizienten 0 sind. Da u_{1}, …, u_{p} linear unabhängig sind nach Voraussetzung, ist μ_{i} ≠ 0 für i = 1, …, p. Es ist also u′_{i} ∈ U für alle i und somit U′ ⊂ U. Da u_{1}, …, u_{p} linear unabhängig sind und u_{1} ∧ … ∧ u_{p} = λ(u′_{1} ∧ … ∧ u′_{p}) ist, folgt nach 16.6, dass u′_{1}, …, u′_{p} linear unabhängig sind. Also U′ = U.

16.8 Die äußere Potenz Λ^{p}(V)

Sei M := \{1, …, n\}. Dann hat M genau (\begin{matrix}n \\ p \end{matrix}) Teilmengen mit p Elementen

(p ≤ n).

Definition Sei Λ^{p}(V) der Untervektorraum von Λ(V), der von allen e_{R} mit R ⊂ M und |R| = p erzeugt wird. Man nennt Λ^{p}(V) die p-te äußere Potenz von V.

Bemerkung. Ist {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis von V, so ist {e_{i_{1}} ∧ … ∧ e_{i_{p}} | i_{1} < i_{2} < … < i_{p}}

eine Basis von Λ^{p}(V), und es ist dim_{K} Λ^{p}(V) = (\begin{matrix}n \\ p \end{matrix}).

Beispiel.

Sei n = 4 und p = 2. Dann ist (\begin{matrix}n \\ p \end{matrix}) = \frac{4!}{2!· (4 − 2)!} = 6 und

{e_{1} ∧ e_{2}, e_{1} ∧ e_{3}, e_{1} ∧ e_{4}, e_{2} ∧ e_{3}, e_{2} ∧ e_{4}, e_{3} ∧ e_{4}}

ist eine Basis von Λ^{2}(V).

Bemerkung. Ist {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis von V, so gelten

• dim_{K} Λ^{0}(V) = 1, und e_{∅} ist eine Basis von Λ^{0}(V)

• Λ^{1}(V) = V, und {e_{1}, …, e_{n}} ist eine Basis von Λ^{1}(V)

• dim_{K} Λ^{n}(V) = 1, und {e_{1} ∧ … ∧ e_{n}} ist eine Basis von Λ^{n}(V)

• Es ist Λ(V) = Λ^{0}(V) + Λ^{1}(V) + … + Λ^{n}(V) als K-Vektorraum

• Wir setzen Λ^{m}(V) = 0 für m > n

Man kann zeigen, dass die Konstruktion von Λ^{p}(V) unabhängig von der Wahl der Basis von V ist.

16.9 Fortsetzungssatz

Satz. Seien V, W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume, und sei f : V ^{}W eine K-lineare Abbildung. Dann gibt es genau einen K-Algebrahomomorphis-mus \overline{f} : Λ(V) ^{}Λ(W), der f fortsetzt, d.h. \overline{f}(v) = f(v) für alle v ∈ V. Außerdem gilt \overline{f}(Λ^{p}(V)) ⊆ Λ^{p}(W).

• \overline{f}(x + y) = \overline{f}(x) + \overline{f}(y)

• \overline{f}(x ∧ y) = \overline{f}(x) ∧ \overline{f}(y)

• \overline{f}(e_{∅}) = 1_{Λ(W)}

für alle x, y ∈ Λ(V))

Zum Beweis. Sei {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis von V und sei R = {i_{1}, …, i_{p}} eine Teilmenge von M = {1, …, n} mit i_{1} < … < i_{p} ≤ n. Dann bilden die e_{R} = e_{i_{1}} ∧ … ∧ e_{i_{p}} zusammen mit e_{∅} eine Basis von Λ(V). Durch

\overline{f}(e_{∅}) = 1_{Λ(W)} und \overline{f}(e_{R}) = f(e_{i_{1}}) ∧ … ∧ f(e_{i_{p}})

wird eine K-lineare Abbildung \overline{f} : Λ(V) ^{}Λ(W) erklärt, die f fortsetzt. Man zeigt nun, dass \overline{f} ein K-Algebrahomomorphismus ist, und die übrigen Behauptungen.

16.10 Die Determinante

Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {e_{1}, …, e_{n}}, dann ist {e_{1} ∧ … ∧ e_{n}} eine Basis des 1-dimensionalen K-Vektorraums Λ^{n}(V). Sei f : V ^{}V eine K-lineare Abbildung. Nach 16.9 gibt es dann ein wohlbestimmtes Element det(f) ∈ K so, dass für \overline{f} : Λ^{n}(V) ^{}Λ^{n}(V) gilt

\overline{f}(e_{1} ∧ … ∧ e_{n}) = det(f) e_{1} ∧ … ∧ e_{n}

Für beliebige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V ist v_{1} ∧ … ∧ v_{n} ∈ Λ^{n}(V) und es ist \overline{f}(v_{1} ∧ … ∧ v_{n}) = f(v_{1}) ∧ … ∧ f(v_{n}). Also

det(f)v_{1} ∧ … ∧ v_{n} = f(v_{1}) ∧ … ∧ f(v_{n})

Es ist det(f) die Determinante von f.

Satz (Multiplikationssatz). Für f, g ∈ End_{K}(V) gilt det(f ∘ g) = det f· det g.

Beweis. Es ist

det(f ∘ g)(e_{1} ∧ … ∧ e_{n}) = (f ∘ g)e_{1} ∧ … ∧ (f ∘ g)e_{n}
= f(g(e_{1})) ∧ … ∧ f(g(e_{n}))
= det f · (g(e_{1}) ∧ … ∧ g(e_{n}))
= det f· det g· (e_{1} ∧ … ∧ e_{n})

17 Literaturverzeichnis

[1] Artin, Emil: Analytische Geometrie und Algebra I, II. Vorlesungen an der Universität Hamburg, 1960/61. Teil I ausgearbeitet von H. Behncke und W. Hansen, Teil II ausgearbeitet von H. Kiendl und W. Hansen.

[2] Artin, Michael: Algebra. Birkhäuser, 1998.

[3] Artmann, Benno: Lineare Algebra. Birkhäuser Skripten, 1991.

[4] Beutelspacher, Albrecht: Lineare Algebra. vieweg, 1998.

[5] Brieskorn, E. und H. Knörrer: Ebene algebraische Kurven. Birkhäuser, 1981.

[6] Dieck, Tammo tom: Lineare Algebra. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1995.

[7] Fischer, Gerd: Lineare Algebra. vieweg, 1997.

[8] Fischer, Gerd: Analytische Geometrie. vieweg, 1998.

[9] Fischer, H. und H. Kaul: Mathematik für Physiker. Teubner, 1988.

[10] Jänich, Klaus: Lineare Algebra. Springer Verlag, 1981.

[11] Kersten, Ina: Algebra-Vorlesung. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 2000/01.

[12] Lang, Serge: Linear Algebra. Addison-Wesley, 1977.

[13] Lenz, H. und E. Witt: Euklidische Kongruenzsätze in metrischen Vektorräumen (1957). In: Ernst Witt: Gesammelte Abhandlungen, 27-32. Springer, 1998.

[14] Maus, Eckhart: Analytische Geometrie und Lineare Algebra I. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1992.

[15] Maus, Eckhart: Analytische Geometrie und Lineare Algebra II. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1997.

[16] Smith, Larry: Linear Algebra. Springer, Zweite Auflage, 1984.

[17] Stoppel, H. und B. Griese: Übungsbuch zur Linearen Algebra. vieweg, 1998.

[18] Stuhler, Ulrich: Analytische Geometrie und Lineare Algebra II. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1999.

18 Index

Abbildung, 20 Abstand, 185 Abzählformel, 174 affine Abbildung, 223 affiner Raum, 181, 222

𝔸^{n}(K), 182 affiner Unterraum, 79, 224 Affinität, 223 ähnliche Matrizen, 147 Aktion, 181 Algebra, 180 allgemeine lineare Gruppe, 72 äquivalente Matrizen, 147 Äquivalenzrelation, 164 äußere Algebra, 246 äußere Multiplikation, 245 äußere Potenz, 249 Austauschsatz, 43 Auswertungsabbildung, 47 Automorphismus von V, 99

Bahn, 182 Bahnformel, 183 Basis, 37 Basisergänzungssatz, 42 Basiswechsel, 110 Basiswechselmatrix, 68 Betrag einer komplexen Zahl, 15 Bewegung, 186, 187, 197 Bewegungsgruppe

von 𝔸^{2}(ℝ), 192

von ℝ^{2}, 193

bild(f), 49, 51

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung,

113 charakteristisches Polynom, 150–152 Cramersche Regel, 96

Darstellungsmatrix, 60, 62 Determinante, 250 von ^{t}A, 92

von A, 85
von f, 98

diagonalisierbar, 148, 149 Diagonalisierbarkeit, 148, 152 diagonalisieren, 207 Diagonalmatrix, 59 Diedergruppe D_{n}, 197, 198 dim_{K} V, 44 Dimension, 44

eines Teilraums, 45 von ℙ(V), 227 Dimensionsformel, 51 Dimensionssatz, 46, 230 direkte Summe, 33

von Teilräumen, 32 Doppelverhältnis, 237 Drehung, 147, 189, 190, 192, 193 Dreibein, 245 Dreiecksungleichung, 113 Dualitätssatz, 120 Dualraum, 61

\underline{Index 253}

Ebene, 224 in ℝ^{3}, 18 Eigenraum, 150, 152 Eigenvektor, 148, 149 Eigenwert, 148, 151 Einheitsmatrix E_{n}, 62 Einheitssphäre S^{2}, 199 Einheitswürfel, 100 elementare Umformung, 80 Elemente, 12 Ellipse, 209 endlich dimensional, 44 endlich erzeugt, 29 Endomorphismus von V, 47 Entwicklung nach einer Spalte, 88 nach einer Zeile, 92

Erzeugendensystem von V, 29 euklidischer Vektorraum, 112 Existenzssatz, 41

Fahne, 221 Faktorgruppe, 178 Fixpunkt, 188, 198

G-Menge, 181 Gaußscher Algorithmus, 81, 82 Gerade, 224

in ℝ^{2}, 16 GL(V), 72 GL_{n}(K), 72 gleich orientiert, 97 Gleitspiegelung, 192 Grassmann-Algebra, 246 Gruppe, 21 Gruppenhomomorphismus, 171, 172 Gruppenordnung, 168

Hauptachsentransformation, 157,

207 Hauptraum, 218 Hauptsatz der projektiven

Geometrie, 239 hermitesche Form, 106 hermitesche Matrix, 109, 157 hermitescher Raum, 106 Hom_{K}(V, W), 60, 61 homogene Koordinaten, 228 homogenes System, 77 Homogenisierung, 228, 233 Homomorphiesatz, 179 Homomorphismus von Gruppen, 171 Hyperbel, 209 hyperbolische Ebene, 122 Hyperebene, 224

in ℝ^{n}, 18 Ikosaedergruppe, 199 imaginäre Einheit, 13 Imaginärteil, 15 indefinit, 205 Index, 174 inverse 2 × 2-Matrix, 68 inverse Matrix, 67 invertierbare Matrix, 67, 92 Invertieren einer Matrix, 82, 95 Involution, 104 Isometrie, 135 isomorph, 50 Isomorphismus, 49

von Gruppen, 172 isotroper Vektor, 122 Isotropieindex, 132

Jordankästchen, 213 Jordansche Normalform, 213, 215

K-Algebra, 180 K-lineare Abbildung, 47 K-Vektorraum, 22 kartesisches Produkt, 13 Kegelschnitt, 209 kern(f), 49, 51 Klassifikationssatz, 50 Kleinsche Vierergruppe, 168, 176 Kollineation, 232 kommutatives Diagramm, 66 komplexe Konjugation, 47 komplexe Zahlen, 13 konjugiert komplexe Zahl, 14 Koordinatenabbildung, 64 Koordinatensystem, 225 Koordinatenvektor, 38 Körper, 20

Länge von v, 113, 116 Laplacescher Entwicklungssatz, 88 linear abhängig, 35, 36, 247 linear unabhängig, 35 \underline{254 Index}

lineare Abbildung, 47, 48 lineares Gleichungssystem, 76 Linearkombination, 28 Linksnebenklasse, 173 Lösbarkeitskriterien, 77 Lösungsmenge, 79, 80, 225

Matrix, 56 Menge, 12 Menge der Lösungen, 79 Metrik auf V, 105 metrische Abbildung, 135 metrischer Vektorraum, 106 minimales Erzeugendensystem, 38 Multiplikationssatz, 93

nicht ausgeartet, 117 nilpotente Matrix, 215 nilpotenter Endomorphismus, 220 Norm von v, 113 Normalform, 147 Normalform eines Kegelschnitts, 209 Normalteiler, 177 Nullvektor, 24

obere Dreiecksmatrix, 91, 154 Operation, 181 Ordnung

einer Gruppe, 168 einer Untergruppe, 176 eines Elementes, 175, 176

orientierter ℝ-Vektorraum, 98 Orientierung, 98

in ℝ^{n}, 100 orientierungserhaltend, 99, 192 orientierungsumkehrend, 192 Orthogonalbasis, 125, 207 orthogonale Abbildung, 142 orthogonale Geometrie, 139 orthogonale Gruppe, 138, 188 orthogonale Matrix, 138, 188 orthogonale Summe, 116 orthogonale Vektoren, 116 Orthonormalbasis, 126 Orthonormalisierungsverfahren, 126 Ortsvektor, 222

Parabel, 209 Parallelogramm, 100, 244 Parallelotop, 100 Permutationsgruppe, 167 Pol, 199 Polynom, 41 positiv definit, 112 projektiv äquivalent, 234 projektive Basis, 236 projektive Gerade, 229, 230 projektive Hyperebene, 230 projektiver Abschluss von 𝔸^{n}(K),

232 projektiver Raum ℙ(V), 227 projektiver Raum ℙ^{n}(K), 227 projektiver Unterraum, 230 Projektivität, 232 Punkt, 224 Pythagoras, 116

quadratische Form, 206 Quadrik, 211 Quaternionengruppe, 171 Quotientenvektorraum, 166

Radikal von V, 117 Rang einer Matrix, 71, 92 rang(f), 52, 71 Realteil, 15 reelle Zahlen, 12 regulär, 117 regulärer symplektischer Raum, 123 Richtung, 224 Ring, 180

Sarrussche Regel, 85 Satz von Cayley-Hamilton, 217 Satz von Desargues, 240 Satz von Lagrange, 176 Satz von Pappos, 240 schiefhermitesche Form, 107 schiefhermitesche Matrix, 109 schiefhermitescher Raum, 107 schiefsymmetrische Form, 107 schiefsymmetrische Matrix, 109, 124 Schnittpunktsatz, 231 Schwerpunkt, 197 selbstadjungiert, 156 senkrecht v⊥w, 115, 116 sesquilineare Abbildung, 110 Signatur, 132, 140 Skalarmultiplikation, 22 Skalarprodukt, 112 SL_{n}(K), 102, 169, 178 Spalten, 56 Spaltenrang, 71, 73 Span(S), 28 Spektralsatz, 157 spezielle lineare Gruppe, 102 spezielle orthogonale Gruppe, 188 Spiegelung, 136, 192, 193 Stabilisator, 182 Standardabbildung, 65 Standardbasis, 37 Standardskalarprodukt, 112 Summe von Teilräumen, 31 Symmetrie, 196 Symmetriegruppe, 196 symmetrische Bilinearform, 106, 124 symmetrische Gruppe, 167 symmetrische Matrix, 109, 157 symplektische Form, 107 symplektische Gruppe, 139 symplektische Metrik, 122 symplektischer Raum, 122, 139

Teilraum, 26 Tetraedergruppe, 198 Trägheitsindex, 132 Trägheitssatz von Sylvester, 131 transitive Operation, 222 Translation, 186, 192, 193 transponierte Matrix, 59 trigonalisierbar, 154

Umkehrabbildung, 50

unendlich ferner Punkt, 230

unitäre Matrix, 138

unitärer Vektorraum, 112

Untergruppe, 169

Untervektorraum, 26, 248

Vektoren, 22

Vektorprodukt, 243 Vektorraum über K, 22 Vektorraumhomomorphismus, 47 verallgemeinerter Eigenraum, 218 Verbindungsraum, 230 Volumen, 100

Winkel, 115

Würfelgruppe, 199

Zeilen, 56 Zeilenrang, 73 Zentralprojektion, 238 zyklische Gruppe, 176, 177, 198