Der Atiyah-Singer Indexsatz ist eine der herausragendsten strukturellen Aussagen in der Mathematik der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts. In seinem Umfeld wird auch heute noch umfassende aktive Forschung betrieben.
Er verbindet in fundamentaler Weise Topologie, Analysis und Geometrie. Sei D ein Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit M. Der Index von D, die Dimension des Kerns von D minus Dimension des Kokern von D, misst die zu erwartende Dimension des Lösungsraums der Gleichung Df=g, beziehungsweise die Anzahl der Bedingungen an g, für welche keine Lösung erwartet werden kann (wenn der Index negativ ist).
Der Atiyah-Singer Indexsatz gibt nun eine rein topologische Formel für diesen Index an. Dies liefert insbesondere eine fundamentale Strukturaussage über die Gesamtheit aller Operatoren.
Die Formel wird besonders gut interpretierbar für viele in der Geometrie natürlich auftretende Operatoren, insbesondere Operatoren, die mit der äußeren Ableitung glatter Mannigfaltigkeiten, dem Dolbeaut-Operator komplexer Mannigfaltigkeiten, sowie dem sogenannten Dirac Operator eng verwandt sind.
In diesen Fällen haben Aussagen über den Index oft auch interessante topologisch/geometrische Aussagen, z.B. darüber, dass gewisse Strukturen auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit nicht existieren können.
Im Seminar wollen wir zunächst die analytischen Grundlagen für die Betrachtung des Indexproblems legen, und dieses auch in den allgemeineren Kontext der Pseudodifferentialoperatoren einbetten.
Dann sollen verschiedene Wege dargestellt werden, wie der Atiyah-Singer Indexsatz bewiesen werden kann. Zuletzt werden wir einige der Anwendungen, die oben erwähnt wurden, kennenlernen.
Ablauf des Seminars
| Thema | Quelle | Namen |
| Differentialoperatoren und Sobolevräume | LM III.1, III.2 | Anselm |
| Pseudodifferentialoperatoren | LM III.3 | Bernd |
| Elliptizität | LM III.4, III.5 | Johannes |
| Eigenschaften des Index | LM III.6, III.7 | Moritz |
| AS-Indexsatz und klassischer Beweis | LM III.13 bis 13.8 | Andriy |
| Kohomologische Formeln für den Index | LM III.11,III.12, III.13 ab 13.8 | Sven |
| Dirac Operatoren I | LM I.1-I.3, I.5, II.1-II.6 | Anja+Robert |
| Dirac Operatoren II | LM I.1-I.3, I.5, II.1-II.6 | Anja+Robert |
| Existenz von Einbettungen in |
LM IV.1, IV.2 | |
| Positive Skalar- und andere Krümmung | LM II.8, IV.5 | Elias |
| Der Wärmeleitungsbeweis des AS-Indexsatzes I | R 10 C, 11 | Georg+Norbert |
| Der Wärmeleitungsbeweis des AS-Indexsatzes II | R 10 C, 11 Georg+Norbert | |
| Familien-, Cl- und G-Indexsatz und Anwendungen | LM |
Literatur
Die zwei oben angegebenen Quellen sind nur eine von vielen möglichen Wahlen, unten sind einige weitere aufgeführt, mit Hinweisen, welche Aspekte in der jeweiligen Quelle behandelt werden. Auch diese Liste ist meilenweit davon entfernt, alle empfehlenswerte Literatur zu beinhalten.
Teilnehmer