Wie im laufenden Semester in der Ringvorlesung ``Die vierte Dimension'' von Prof. tom Dieck berichtet, kann man dem n-dimensionalen euklidischen Raum die Struktur einer nullteilerfreien Algebra nur dann geben, wenn n=1,2,4,8. Dass es in diesen Fällen geht, zeigen explizite Konstruktionen. Dass es in den anderen Dimensionen nicht möglich ist, ist ein tiefliegender Satz, der mittels topologischer K-Theorie bewiesen werden soll.
Im Seminar wollen wir daher zunächst topologische K-Theorie kennenlernen. Wir werden uns grundlegendes über Vektorraumbündel aneignen. Dann werden wir K-Theorie definieren, und als zentrales Beispiel einer (verallgemeinerten) Kohomologietheorie kennenlernen. Eine der zentralen Eigenschaften von K-Theorie ist Bott-Periodizität. Diese werden wir in einem verallgemeinerten Rahmen, nämlich für die K-Theorie beliebiger C*-Algebren, beweisen (und natürlich auch ein wenig in die entsprechende Theorie von C*-Algebren vertiefen).
Außerdem wollen wir die zur K-Theorie gehörende Homologietheorie geometrisch verstehen.
Um zu beweisen, dass es auf nur die oben beschriebenen Divisionsalgebren gibt, muss man die K-Theorie mit weiterer Struktur versehen, und schließlich den Zusammenhang zum Anwendungsproblem herstellen. Hier werden uns insbesondere die in Prof. tom Diecks Vortrag beschriebenen Hopf-Invarianten nützlich sein.
Zum Abschluss wollen wir uns noch mit Anwendungen der K-Theorie auf Transformationsgruppen und Darstellungstheorie beschäftigen. Hierzu werden wir äquivariante K-Theorie einführen. Außerdem werden wir von einen anderen Standpunkt auch wieder zum Startpunkt, zu Vektorbündeln zurückkehren, und diesmal Informationen über ihre Homotopietheorie erhalten.
Je nach Vorkenntnissen können auch einige Programmpunkte vertieft und dafür andere weggelassen werden.
Ablauf des Seminars
Es handelt sich hier nur um eine grobe Richtschnur. Wir hatten uns ja bei der Vorbesprechung darauf geeinigt, dass wir f"ur die einzelnen Vortr"age durchaus auch mehr Zeit als jetzt angesetzt verwenden d"urfen, wenn dies notwendig sein sollte. Dadurch k"onnen sich die Termine nach hinten verschieben.
Der Wochentag ist ja auch noch nicht festgelegt, ggf. kann das Datum auch daher noch eine kleine Modifikation erfordern.
| Thema | Quelle | Termin | Namen |
| Vektorbündel I, II | A I | 24.10. | Johannes |
| K-Theorie als Kohomologietheorie | A II.4 | 31.10. | Elias/Anselm |
| Produkte in K-Theorie | A 2.6 | 7.11. | Elias/Anselm |
| Survey: C*-Algebren und ihre K-Theorie I, II | W 1.1, 1.6, 1.13, 7,8 (?) | 21.11. f | Philipp |
| Bott Periodizität | S | 28.11. f | Georg |
| Wichtige C*-Algebren in Geometrie | C II.2, II.5 | 12.12. | Andreas Lochmann |
| Hopfinvarianten und Divisionsalgebren I | H 14.1-14.3 | 19.12. | Robert |
| Adams-Operationen und Beweis des Hauptsatzes | A III.1 und III.3 (jeweils Anfang) oder H 12.1-12.3 u. H 14.4 | 9.1. | Bernd/Vincent |
| K-Theorie und Indextheorie | 16.1. | Jan-Phillipp/Paul | |
| geometrische (bivariante) K-Theorie, K-Homologie | BS, eB | DS | Wassim |
| Klassifizierende R"aume f"ur K-Theorie, charakteristische Klassen, Chern-Charakter | H 7.6-7.12 | 23.1. | Moritz |
| "Aquivariante K-Theorie und Anwendungen | 30.1. | Zoran |
Erl"auterung: DS steht f"ur ``Diplomandenseminar, findet also Mo bzw. Di statt, Termin steht noch nicht fest.
Literatur
Teilnehmer