Zeit: Dienstag und Freitags, 11:15-13:00; Raum: HS 5
Uebungen: Fr, 9:15-11:00; Raum HS 5. Übungsaufgaben Cuntz Beweis von Bott-Periodizität (dvi) ((pdf)
"`Verschiedene Varianten von K-Theorie spielen in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle, von Topologie über Zahlentheorie und Algebra zur Analysis.
Insbesondere an Schnittpunkten zwischen Topologie, Geometrie und Analysis, wie zum Beispiel durch den Atiyah-Singer Indexsatz und dessen Verallgemeinerungen gekennzeichnet, taucht auf natürliche Weise K-Theorie auf, insbesondere die K-Theorie von C*-Algebren.
In der Vorlesung werden die Grundlagen der Theorie der C*-Algebren und ihrer K-Theorie entwickelt. Es wird außerdem herausgearbeitet, wie sich aus geometrischen Situation C*-Algebren und deren K-Theorie ergibt beziehungsweise wie diese angewendet werden können.
Die Vorlesung soll auch auf die Ende Mai 2002 stattfindende Sommerschule des Graduiertenkollegs ``Die Baum-Connes Isomorphismusvermutung in topologischer K-Theorie'' vorbereiten. Direkt vor dem Workshop wird es einige Sondertermine geben, die sich mit speziellen Aspekten des Stoffs der Sommerschule beschäftigen.
Zu den Begriffen im Titel:
Eine C*-Algebra ist eine Algebra von beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum. Solche Algebren können (im wesentlichen algebraisch) durch gewisse Axiome charakterisiert werden. Kommutative Operatoralgebren können auch als Algebren von Funktionen auf einem lokalkompakten Raum realisiert werden. Am interessantesten sind aber nichtkommutative Algebren. Klassisch werden solche Algebren verwendet zum Studium von Eigenschaften von Operatoren auf dem Hilbertraum oder von unitären Darstellungen von Gruppen. Neuerdings gibt es aber viel weitreichendere Anwendungen, da solche Algebren als nichtkommutative Funktionenalgebren mit sehr vielen geometrischen Objekten assoziiert werden können. Das Studium ihrer Eigenschaften führt auf das neue aktuelle Gebiet der Nichtkommutativen Geometrie.
K-Theorie hat eine Reihe von Gesichtern: ursprünglich war es die
Untersuchung von Vektorraumbündeln in der Topologie. Ein weiterer
Aspekt ist, dass K-Theorie für beliebige Ringe ein wichtiges Mittel
zum Studium von Moduln über diesem Ring, und Automorphismen solcher
Moduln liefert (die K-Gruppen werden als Äquivalenzklassen geeigneter
Moduln bzw. Automorphismen definiert).
K-Theorie ist eine Invariante, die in der Regel sehr viel Information über die betrachteten Objekte (Räume, Ringe, C*-Algebren) enthält. Sie ist trotzdem Berechnung recht weitgehend zugänglich.
Auswahl angestrebter Inhalte:
K_0 und Projektionen für beliebige Ringe, C*-Algebren, Topologische K-Theorie von Räumen, K_1 von Ringen, K_1 von C*-Algebren, Der abstrakte Index, Bott-Periodizität, K_n von C*-Algebren, C*-Algebren von Gruppen, Indextheorie