Einen Knoten, wie wir ihn in diesem Seminar betrachten wollen, erhält man, indem man ein Stück Schnur (mehr, oder weniger, oder gar nicht) verknotet, und dann die beiden Enden miteinander veschweißt. Dieses Verschweißen macht es oft unmöglich, den ursprünglichen Verknotungsprozess rückgängig zu machen --aber nicht immer. Ziel der Knotentheorie ist es, mathematisch zu entscheiden, ob zwei solche (verschweißte) Knoten ineinander deformiert werden können, oder (wichtiger und schwierige) zu beweisen, zu beweisen, dass dies nicht geht.
Wir werden eine mathematische exakte Modellierung dieses Knotenproblems geben, und dann sogenannte Invarianten entwickeln, die es uns erlauben, Knoten voneinander zu unterscheiden. Dabei denken wir insbesondere an die "`Knotengruppe"'. Als Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist dies ist eins der Grundlegenden Konzepte aus der algebraischen Topologie. Damit ist das Seminar auch ein erster Einstieg in dieses Gebiet.
Knotentheorie ist ein wichtiger Zweig der (algebraischen) Topologie. Dieses Seminar ist allerdings für Interessenten ohne solche Vorkenntnisse gedacht, es wird nicht mehr als der Stoff des Grundstudiums vorausgesetzt. Das Seminar bietet einen guten Einstieg in das Arbeitsgebiet der algebraischen Topologie; erst nach Ergänzung um die zugehörigen Kursvorlesungen und eventuell ein weiteres Seminar können auf dem Gebiet auch Arbeiten vergeben werden.
| Nr | Thema | Quelle | Name | Termin | ||
| 1 | Grundlegende Begriffe der Knotentheorie | CF I | Nora | 18.10. | ||
| 2 | Fundamentalgruppe I | CF II | Stefanie | 25.10. | ||
| 3 | Fundamentalgruppe II | CF II | Denise | 1.11. | ||
| 4 | Satz von van Kampen | CF AIII | Sebastian | 8.11. | ||
| 5 | Freie Gruppen | CF III | Torsten | 15.11. | ||
| 6 | Präsentationen von Gruppen I | CF IV | Wilfried | 22.11. | ||
| 7 | Präsentationen von Gruppen II | CF IV | Barbara | 29.11. | ||
| 8 | Berechnungen von Fundamentalgruppen | CF V | Philipp | 6.12. | ||
| 9 | Wirtinger Präsentationen | CF VI | Mari | 3.1. | ||
| 10 | Konkrete Berechnungen von Knotengruppen | CF VI | Nils | 10.1. | ||
| 11 | Reidemeister "'Bewegungen und Knotenäquivalenz"' | R I | Sandra | 17.1. | ||
| 12 | Jones Polynom I | M 11 oder L 3 | Matthias | 24.1. | ||
| 13 | Jones Polynom II | M 11 oder L3 | Justus | 31.1. |
Erläuterung: die Vorträge 1-4 sind eher topologisch, 5-7 rein algebraisch, 8-10 setzen das vorherige zusammen, 11-13 sind eine Mischung aus (etwas) Geometrie/Topologie und recht viel Kombinatorik.
Literatur
(A) Adams: Das Knotenbuch (Spektrum)
(BZ) Burde and Zieschang: Knots
(CF) Crowell and Fox: Introduction to knot theory (Ginn and Company)
(L) Lickorish: An introduction to knot theory (Springer)
(Lv) Livingston: Knotentheorie für Einsteiger (vieweg)
(M) Murasugi: Knot theory and its applications (Birkhäuser)
(R) Reidemeister: Knotentheorie (Chelsea)
(Ro) Rohlfson: Knots and links
Teilnehmer