In diesem Seminar geht es um Kurven und Flächen im euklidischen Raum. Es handelt sich dabei um sehr anschaluliche Objekte, die bereits interessante geometrische Fragestellungen aufwerfen. Ziel des Seminars ist es, verschiedene Krümmungsbegriffe kennenzulernen und zu vestehen. Wir werden auch klassische Resultate wie z.B. die isoperimetrische Ungleichung besprechen.
Als Voraussetzungen genügen die Grundvorlesungen über lineare Algebra und Analysis. Das Semimnar eignet sich insbesondere für Studierende im 2-Fach Bachelor (Lehramt).
Ende September/Anfang Oktober wird es eine Vorbesprechung geben; die Teilnahme am Seminar ist nicht von der Teilnahme an der Vorbesprechung abhängig.
Bei Interesse an der Teilnahme und für weitere Fragen bitte direkt pfaeffle@math.uni-potsdam.de kontaktieren. Bitte melden Sie sich dann auch für die Veranstaltung in stud.ip an (momentan ist als Dozent noch Thomas Schick eingetragen, dies wird geändert, sobald ein Eintrag für Frank Pfäffle im System besteht).
Teil 1: Kurventheorie
1. Vortrag: Kurven
Definition von Kurven, parametrisierten Kurven, Parametrisierung nach Bogenlänge, Länge einer parametrisierten Kurve, Beispiele.
[B], S. 26-34 Mitte.
2. Vortrag: Ebene Kurven
Definition Normalenfeld, Krümmung, Frenet-Gleichungen, Definition Umlaufzahl.
[B], S. 40-47 bis Satz 2.2.9, auch Aufgaben 2.10 und 2.11 besprechen.
3. Vortrag: Umlaufsatz
Definition einer einfach geschlossenen Kurve (Def. 2.1.20 in [B]), Liftungslemma, Beweis des Umlaufsatzes.
[B], S. 47-52.
4. Vortrag: Konvexität und Vierscheitelsatz
Definition konvex, Charakterisierung durch Krümmung, Vierscheitelsatz.
[B], S. 52-61 (unter Umständen bei den Lemmas 2.2.18 und 2.2.19 Beweise abkürzen)
5. Vortrag: Isoperimetrische Ungleichung
Flächeninhalt eines ebenen Gebiets erklären, Isoperimetrische Ungleichung.
[C], S. 26-29.
6. Vortrag: Raumkurven
Definition Krümmung von Raumkurven, Normalenvektor, begleitendes Dreibein, Frenet-Gleichungen, Hauptsatz der Raumkurventheorie.
[B], S. 65-72.
Teil 2: Flächentheorie
7. Vortrag: Reguläre Flächen
Definition reguläre Fläche, Beispiele, Aufgaben 3.2 und 3.3 besprechen, bis zum Beispiel 3.18.
[B], S. 92-99.
8. Vortrag: Glatte Abbildungen zwischen Flächen
Glatte Abbildungen zwischen Flächen, Beispiele, Aufgabe 3.4 besprechen, Diffeomorphismen.
[B], S. 99-105.
9. Vortrag: Tangentialebene und Differential von Abbildungen
Definition Tangentialebene, Charakterisierung im Fall von Niveauflächen (Prop. 3.2.4), Einführung des Differentials, Diskussion seiner Wohldefiniertheit.
[B], S. 105-110.
10. Vortrag: Erste Fundamentalform
Erste Fundamentalform einführen, Beispiele, Normalenfelder und Orientierbarkeit besprechen.
[B], S. 111-119.
11. Vortrag: Zweite Fundamentalform
Gauß- und Weingarten-Abbildungen, Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung, zweite Fundamentalform.
Geodätische und Normalkrümmung von Kurven, die in Flächen verlaufen, Satz von Meusnier.
Definition Hauptkümmungen, Gauß- und mittlere Krümmung.
[B], S. 119-129.
12. Vortrag: Krümmungsbegriffe
Elliptische/hyperbolische/parabolische Punkte definieren, Beispiele.
Satz 3.6.15, der zeigt, dass jede Fläche lokal als Graph über der Tangentialebene dargestellt werden kann (Kor. 3.6.16).
Interpretation für elliptische, hyperbolische etc. Punkte.
Jede kompakte reguläre Fläche hat einen elliptischen Punkt (Satz.3.6.17).
[B], S. 130-140.
13. Vortrag: Flächeninhalt und Integration auf Flächen
Definition Integral auf Flächen, Flächeninhalt, Beispiele.
Wenn die Zeit reicht, Aufgabe 3.12 und 3.16 besprechen.
[B], S. 141-147.
14. Vortrag: Minimalflächen
Variation des Flächeninhalts, Definition Minimalfläche, Beispiele, Gaußkrümmung von Minimalflächen, Nicht-Existenz kompakter Minimalflächen.
Je nach Zeit einige der Aufgaben 3.23-3.29 besprechen.
[B], S. 151-158.
Literatur:
[B]
C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage, De Gruyter 2010.
[C]
M. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. 2. Auflage, Vieweg 1992.