Kurven und Flächen tauchen an vielen Stellen im Alltag auf, vom der Schnur eines Telefonhörers bis zu Seifenblasen und der Haut eines Rettungsringes.
Im Seminar werden wir die geometrischen Eigenschaften solcher Kurven und Flächen, wie sie im drei-dimensionalen Raum vorkommen, untersuchen.
Wir starten zunächst mit Kurven, deren geometrische Eigenschaften, wie Krümmung und Verdrillung, wir mathematisch beschreiben. Die Diskussion der Kurven abschließen werden wir mit der isoperimetrischen Ungleichung, die insbesondere impliziert, dass man mit einem runden Kreis bei gegebenem Umfang das größte mögliche Volumen einspannen kann.
Den größeren Teil des Seminars werden wir uns mit Flächen beschäftigen, bei denen schon die mathematische Beschreibung, und auch die Definition von die Krümmung charakterisierenden Termen, komplizierter ist als bei Kurven. Hierbei werden wir auch die lernen, wie man die Oberfläche einer gekrümmten Fläche berechnen kann.
Ziel dieses Teils des Seminars sind zwei von Gauss bewiesene Sätze. Der erste, von Gauss ``Theorema egregium'' (also "`herausragendes Theorem"') genannt, sagt dass die sogenannte Gausskrümmung, obwohl mit Hilfe des umgebenden Raums definiert, nur durch die inneren metrischen Eigenschaften der Fläche gegeben ist, und daher im Prinzip von einem 2-dimensionalen Bewohner der Fläche bestimmt werden könnte.
Der zweite, der Satz von Gauss-Bonnet, zeigt, wie man mit Hilfe der Krümmung die Anzahl der Löcher in einer Fläche zählen kann: handelt es sich um eine Sphäre ohne Loch, einen Torus, oder einen Rettungsring mit mehreren Löchern.
Ablauf des Seminars
| Thema | Quelle | Termin | Name | Bemerkung |
| Party (zum Kennenlernen) | 23.10. 19:00 | alle | Am Gartetalbahnhof 34 | |
| Kurven und Kr"ummungseigenschaften a) | 1.2-1.5 | 29.10. | Sina Borchert | lang, teilw. bekannt |
| Isoperimetrische Ungleichung | 1.7 A | 5.11. | Daniel Köller | |
| die Cauchy-Crofton Ungleichung | 1.7 C | 12.11. | André Bölke | |
| regul"are Flächen | 2.2 | 26.11. | Markus M"uller | recht lang, Definitionen |
| Umparametrisierungen von Flächen | 2.3 | 3.12. | Silke Dreißigacker | recht lang, Beweise weglassen |
| Tangentialebenen | 2.4 | 10.12. | Tanja Owono | |
| 1. Fundamentalform und Flächeninhalt | 2.5 | 7.1. | Matthias Euler | |
| Gauss Abbildung | 3.2 bis Def. 4, 3.3 | 14.1. | Alexander Mann | mehr weglassen |
| Isometrien | 4.2 bis Ex.3 | 21.1. | Andreas Sorge | |
| Geodäten und Paralleltransport | 4.4 bis Prop. 4 | 28.1. | Mathias Michaelis | |
| Theorema Egregium | 4.3 | 4.2. | Thomas Schick | |
| Satz von Gauss-Bonnet | 4.5 | 4.2. | Thomas Schick |
Ausarbeitungen
Literatur
Teilnehmer