Topologen untersuchen ihre Studienobjekte, z.B. Mannigfaltigkeiten oder allgemeinere topologische Räume, mit Hilfe einer Vielzahl von Techniken aus anderen Gebieten.
Klassisch werden zu jeder kompakten Mannigfaltigkeit ihre Bettizahlen definiert, die Dimensionen der Kohomologie-Vektorräume.
Die Kohomologie nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten ist im allgemeinen unendlich dimensional, und liefern daher keinen sinnvollen Begriff einer Bettizahl.
Für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten, die genügend Symmetrie besitzen, insbesondere solche, die als Überlagerung einer kompakten Mannigfaltigkeit auftreten, kann man mit Hilfe von funktionalanalytischen Methoden (unter Benutzung von Hilbertraum-Theorie, ...) die L2-Bettizahlen definieren (es ergeben sich nicht-negative reelle Zahlen). Um deren Eigenschaften zu verstehen, muss die Funktionalanalysis mit Algebra kombiniert werden.
Die L2-Bettizahlen enthalten neue Informationen über die betrachteten Räume, mit interessanten Anwendungen in verschiedenen Gebieten.
Man erhält zum Beispiel:
Interessant (und für die Anwendungen relevant) ist, dass die L2-Bettizahlen sowohl analytisch (mit Hilfe des Laplace-Operators) also auch kombinatorisch definiert werden können.
Im Seminar wollen wir von Grund auf die benötigte Theorie entwickeln. Hierzu auch die Grundlagen in Funktionalanalysis und homologischer Algebra (Überblicksweise) gelegt werden. (Bei nicht-Bedarf kann dieser Teil natürlich auch wegfallen).
Über das Gebiet können Arbeiten verteilt werden.
Ablauf des Seminars
| Thema | Quelle | Termin | Name |
| Hilberträume und Operatoren | RS II 1-4; RS VI 1-4, 6; RS VII 1-3, RS VIII 1-3 ? | 14.4. 14:15 | Hendrik & Norbert |
| Gruppen- von Neumann Algebren und Hilbertmoduln | L 1.1.1, 1.1.2 | 28.4. | Martin |
| die zugehörige Dimensionstheorie | L 1.1.3 | 5.5. | Andreas |
| CW-Komplexe und der zelluläre Kettenkomplex einer Überlagerung | L 1.2.1 | 12.5. | Philipp |
| Homologische Algebra für Hilbertmoduln | L 1.1.4 | 19.5. | Moritz |
| Zelluläre L2-Bettizahlen und ihre Eigenschaften I | L 1.2.2 und 1.2.3 bis 1.38 | 26.5. | Fabian |
| Zelluläre L2-Bettizahlen und ihre Eigenschaften II | L 1.2.2 und 1.2.3 bis 1.38 | 2.6. | Anselm |
| De Rham L2-Bettizahlen | L 1.3 | 16.6. | Johannes & Sachar |
| L2-Satz von de Rham | L 1.4 | 23.6. | Johannes & Sachar |
| Kähler Mannigfaltigkeiten und ihre Hodge-Theorie | L 11.2.1 W V.3-V.6 | 30.6. | Georg & Bernd |
| Grillparty bei Schicks | 3.7. | 19:00 | alle |
|---|---|---|---|
| L2-Kohomologie von Kählermannigfaltigkeiten | L 11.2.2 | 7.7. | Georg & Thomas |
| Verschwindungssätze für L2-Bettizahlen | L 1.39-1.41, L 1.44 | 14.7. | Elias |
Literatur
Teilnehmer