Übungen zur Topologie 1 Wintersemester 00/01

Abgabe: 30. Oktober, 12:00 Uhr, Kasten 37 Übung Mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 6: Berechne (per Induktion) die Euler-Charakteristik der Flächen F_{g} vom Geschlecht g.

Aufgabe 7: Zeige, dass es Räume gibt, die lokal homöomorph zu ℝ^{n} sind, aber weder Hausdorff sind, noch eine abzählbare Basis der Topologie haben.

Aufgabe 8: Sei X kompakt und Y Hausdorff, und f: X → Y eine stetige surjektive Abbildung. Zeige, dass dann die Topologie von Y die Quotiententopologie ist.

Aufgabe 9: Das Möbiusband (mit Rand) ist bekanntlich definiert als

[0, 1] × [−1, 1]/(0, x) ∼ (1, −x).

Zeige, dass der Rand (d.h. die Menge aller Klassen von Punkten (y, 1) und (y, −1)) homöomorph zu S^{1} ist. Der Rand von

D^{2} = {x ∈ ℝ^{2} | |x| ≤ 1}

ist S^{1} = {x ∈ ℝ^{2} | |x| = 1}. Zeige, dass der Raum, den man durch Verkleben des Möbiusbands mit D^{2} entlang S^{1} erhält, homöomorph zu ℝP^{2} ist.