Übungen zur Topologie 1 Wintersemester 00/01

Wir erwarten, dass mindestens 4 der folgenden 5 Aufgaben gelöst werden

Abgabe: 6. November, 12:00 Uhr, Kasten 37 Übung Mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 10: Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Sei G eine endliche Gruppe und α: G → Diff(M) ein Homomorphismus von G in die Gruppe der Diffeomorphismen von M (man sagt dann: G operiert auf M). Wir schreiben g · p oder gp für α(g)(p) (g ∈ G, p ∈ M).

Wir fordern zusätzlich, dass diese Operation frei ist, d.h. wenn immer ein p ∈ M existiert mit α(g)(p) = p, so folgt g = 1.

Beweise: die Operation definiert auf M eine Äquivalenzrelation, wobei p ∼ q ⟺ q = gp für ein g ∈ G. Sei N := M/G die Menge der Äquivalenzklassen unter dieser Äquivalenzrelation. Wir geben M/G die Quotiententopologie mittels der offensichtlichen Projektion M → M/G.

Zeige, dass M/G eine Mannigfaltigkeit ist. Zeige, dass man M/G eine glatte Struktur geben kann, so dass die Projektion M → M/G glatt ist.

Freiwillige Zusatzaufgabe: Gelten die entsprechenden Aussagen auch, wenn die Operation nicht frei ist? Oder wenn die Gruppe unendlich ist? Gib eine Beweisskizze, oder eine “Skizze” eines Gegenbeispiels.

Aufgabe 11: Zeige, dass ℝP^{n} eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit ist. Tipp: Verwende, dass das gleiche für S^{n} gilt.

Aufgabe 12: Zeige mit Hilfe des Satzes von Sard, dass jede glatte Abbildung f: S^{k} → S^{n} homotop zu einer konstanten Abbildung ist, wenn k < n.

Aufgabe 13: Was ist falsch mit folgendem Beispiel: Sei M die Menge der reellen Zahlen mit der diskreten Topologie, also eine 0-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die kanonische Abbildung M → ℝ: x ↦ x hat keine regulären Werte, im Widerspruch zum Satz von Sard (dessen Beweis ja in der Vorlesung auch nicht gegeben wurde).

Aufgabe 14: Sei P ∈ ℂ[z] ein nicht-konstantes Polynom. Definiere

P̂: ℂP^{1} → ℂP^{1} : (x : y) ↦ \begin{cases}(p(x/y) : 1), & falls y ≠ 0 \\ (1 : 0), & falls y = 0. \end{cases}

Zeige, dass P̂ differenzierbar ist, und bestimme rg_{p}P̂ für alle p ∈ ℂP^{1}.