Übungen zur Topologie 1 Wintersemester 00/01

Abgabe: 13. November, 12:00 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 15: Zeige, dass es einen Diffeomorphismus Φ: S^{1} × ℝ → T S^{1} gibt, so dass Φ(x × ℝ) = T_{x}S^{1} für jedes x ∈ S^{1}, und so dass die Einschränkung von Φ auf x × ℝ für jedes x linear ist.

Freiwillige Zusatzaufgabe: beweise die entsprechende Aussage für den n-Torus (S^{1})^{n}.

Aufgabe 16: Sei f: M → N eine Submersion zwischen zwei n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeiten. Sei M kompakt und N zusammenhängend. Zeige, dass f surjektiv ist.

Ist f auch notwendigerweise injektiv?

(Tipp: Verwende den Satz von der inversen Abbildung.)

Aufgabe 17: Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten der Dimension n, M kompakt. Sei f: M → N eine glatte Abbildung, und U ⊂ N die Menge der regulären Werte von f. Zeige: die Abbildung

ϕ: U → ℕ ∪ {0}: x ↦ |f^{−1}(x)|

ist definiert und stetig (also lokal konstant). Aufgabe 18: Sei P ∈ ℂ[x] ein nicht-konstantes Polynom über den komplexen Zahlen. Zeige mit Hilfe von Aufgabe 14 und Aufgabe 17, dass P eine komplexe Nullstelle hat.