Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 20. November, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 19: Seien E, F Vektorraumbündel über einem Raum X, f: Y → X, g: Z → Y stetig. Zeige

(1) f^{∗}(E ⊕ F) ≅ f^{∗}E ⊕ f^{∗}F

(2) Es gibt Iso Φ: (f ∘ g)^{∗}E ≅ g^{∗}(f^{∗}E) so dass \overline{f ∘ g} = \overline{f} ∘ \overline{g}: Φ: (f ∘ g)^{∗}E → E.

Aufgabe 20: Sei E := {(v, x) ∈ ℝ^{2} × ℝP^{1} | v ∈ x} (Erinnerung: ℝP^{1} ist die Menge der 1-dimensionalen Unterräume von ℝ^{2}, so dass v ∈ x Sinn macht). Zeige:

(1) E ist ein Vektorraumbündel über ℝP^{1}.

(2) E ist homöomorph zum randlosen Möbiusband.

(3) E ⊕ E ist ein triviales Vektorraumbündel.

Aufgabe 21: Zeige, dass jedes eindimensionale Vektorraumbündel über S^{1} entweder trivial ist oder isomorph zum Bündel E aus Aufgabe 20 (beachte: ℝP^{1} ≈ S^{1}). Verwende ohne Beweis, dass jedes Bündel über [0, 1] trivial ist.

Aufgabe 22: Sei X eine Menge (weiter nichts). Zeige: es gibt eine abelsche Gruppe ℤ[X] und eine Abbildung i: X → ℤ[X] so dass, wenn immer eine abelsche Gruppe A und eine Abbildung f: X → A gegeben ist, genau ein Gruppenhomomorphismus F: ℤ[X] → A existiert, so dass F ∘ i = f.

Zeige dass ℤ[X] bis auf Isomorphie eindeutig ist. Bemerkung: jede solche Gruppe ℤ[X] heisst von X erzeugte freie abelsche Gruppe.