Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 27. November, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 23: Sei X wegzusammenhängend und f: X → X eine beliebige stetige Abbildung. Zeige, dass H_{0}(f): H_{0}(X) → H_{0}(X) die Identität auf H_{0}(X) ist.

Gilt die entsprechende Aussage auch, wenn X nicht wegzusammenhängend ist?

Aufgabe 24:

(1) Sei f: ℝ^{n} → ℝ eine glatte Abbildung mit 0 als regulärem Wert. Setze M := f^{−1}(0). Beweise, dass T M und E := {(p, v) ∈ M × ℝ^{n} | df_{p}(v) = 0} als Vektorraumbündel isomorph sind (es soll nicht nachgeprüft werden, dass E ein Vektorraumbündel ist).

(2) Beweise, dass T S^{n−1} ≅ {(p, v) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n} | |p| = 1, p ⊥ v} (als Bündel).

Aufgabe 25: Beweise für eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, dass die zugehörige lange Homologiesequenz exakt ist.

Aufgabe 26: Zeige, dass T S^{n−1} trivial ist, falls der ℝ^{n} die Struktur einer (nicht notwendig assoziativen) Divisionsalgebra zulässt.

ℝ^{n} lässt die Struktur einer Divisionsalgebra zu, falls es eine Multiplikation ϕ: ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ^{n} gibt, die ℝ-bilinear ist, ein neutrales Element e hat mit ϕ(e, x) = ϕ(x, e) = x für alle x ∈ ℝ^{n}, die nullteilerfrei ist (d.h. ϕ(x, y) = 0 ⟹ x = 0 oder y = 0), und, am wichtigsten, so dass für jedes 0 ≠ x ∈ ℝ^{n} ein y ∈ ℝ^{n} existiert mit ϕ(x, y) = e. Beispiele sind ℝ^{1} und ℝ^{2} = ℂ, aber es ist nicht gefordert dass das Produkt kommutativ oder auch nur assoziativ ist.

Tipp: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren und Aufgabe 24.