Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 4. Dezember, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 27: Sei 0 → A ⟶^{f} B ⟶^{g} C → 0 eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen. Zeige dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(1) Die Sequenz besitzt einen Spalt s: C → B, d.h. einen Homomorphismus s, so dass g ∘ s = id_{C}.

(2) Es gibt einen Homomorphismus t: B → A mit t ∘ f = id_{A}.

(3) Es gibt einen Isomorphismus ϕ: B → A ⊕ C so dass ϕ ∘ f = i_{A} und g = p_{C} ∘ ϕ, wobei i_{A}: A → A ⊕ C und p_{C}: A ⊕ C → C die offensichtlichen Inklusionen und Projektionen sind.

Aufgabe 28: Sei X ein topologischer Raum, x_{0} ∈ X und p ∈ S^{n}. Die Ein-Punkt Vereinigung von X und S^{n} (entlang x_{0} und p) ist definiert als X ∨ S^{n} := (X ⨿ S^{n})/(x_{0} ∼ p). Wir haben die offensichtlichen Inklusionen i_{X}: X → X ∨S^{n}, i_{S^{n}}: S^{n} → X ∨S^{n}, und Projektionen p_{X}: X ∨ S^{n} → X, p_{S^{n}}: X ∨ S^{n} → S^{n}.

Sei h_{∗} eine Homologietheorie. Zeige: h̃_{n}(X∨S^{n}) ≅ h̃_{n}(X)⊕h̃_{n}(S^{n}), und die Isomorphismen sind gegeben durch h̃_{n}(p_{X}) ⊕ h̃_{n}(p_{S^{n}}) mit Inversem h̃_{n}(i_{X}) + h̃_{n}(i_{S^{n}}).

Zusatzaufgabe: Finde eine Verallgemeinerung auf mehr Räume als nur S^{n} (mit geeigneten Bedingungen).

Aufgabe 29: Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offen und sei f: U → V ein Homöomorphismus. Zeige, dass n = m.

Tipp: Berechne die Homologie des Paares (U, U − {∗}).

Aufgabe 30: Sei f_{n}: S^{1} → S^{1} gegeben durch f(z) = z^{n} für n ∈ ℤ (wir fassen S^{1} auf als Teilmenge von ℂ). Zeige deg(f_{n}) = n.

Tipp: betrachte eine Faktorisierung f_{n}: S^{1} → S^{1} ∨ ⋯ ∨ S^{1} → S^{1} und benutze Aufgabe