Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 11. Dezember, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5 Bei Zeitmangel am besten Aufgabe 33 oder 34 weglassen.

Aufgabe 31: Sei X := {x = (x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} | |x| = 1 oder (|x| ≤ 1 und x_{1} = 0)} (X ist homöomorph zur Vereinigung von 3 n-Scheiben, die entlang ihres Randes zusammengeklebt sind).

Sei h_{∗} eine gewöhnliche Homologietheorie. Berechne h_{k}(X).

Aufgabe 32: Berechne die singuläre Homologie von ℝP^{2}.

Zur Erinnerung: ℝP^{2} kann aufgefasst werden als Verklebung von abgeschlossenem Möbiusband und D^{2} entlang des Rands.

Aufgabe 33: Seien A, B ⊂ S^{n}, A ≈ S^{p}, B ≈ S^{q}, A ∩ B = ∅. Berechne die singuläre Homologie H_{k}(S^{n} − (A ∪ B)).

Aufgabe 34: Sei h_{∗} eine Homologietheorie und Z ein topologischer Raum. Zeige, dass dann auch h_{∗}^{Z} mit h_{k}^{Z}(X, A) := h_{k}(X × Z, A × Z) eine Homologietheorie ist.

Aufgabe 35: Sei A ⊂ S^{n} eine echte Teilmenge. Zeige, dass H_{∗}(S^{n}, A) ≠ 0.