Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 11. Dezember, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 36: Sei ϕ_{k}: S^{1} → S^{1} gegeben durch ϕ_{k}(z) = z^{k}. Sei X_{k} = D^{2} ∪_{ϕ_{k}} S^{1} die Verklebung von D^{2} und S^{1} entlang des Randes von D^{2} mittels der Abbildung ϕ_{k} (also der Quotient von {0}×D^{2}⨿{1}×S^{1} unter der Äquivalenzrelation erzeugt von (0, ϕ_{n−1,k}(x)) ∼ (1, x)).

Berechne die singuläre Homologie von X_{k}.

Aufgabe 37: Welche endlichen Folgen (A_{i}) endlich erzeugter abelscher Gruppen lassen sich als singuläre Homologie eines geeigneten Raumes X realisieren (also H_{i}(X) ≅ A_{i})?

Tipp: Verwende die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Aufgabe 38: Sei X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ X_{3} ⊂ ⋯, und X = ⋃_{n=1}^{∞} X_{n} der Limes der X_{n}. Sei ausserdem X_{n} eine abgeschlossene Teilmenge von X für jedes n ∈ ℕ, und sei X hausdorffsch.

Zeige: für jede kompakte Teilmenge K ⊂ X existiert ein N ∈ ℕ mit K ⊂ X_{N}.

Aufgabe 39: Finde eine in ℝ^{3} − K eingebettete 2-dimensionale Fläche mit einer Randkomponente (d.h. (F_{g} oder S^{2}) ohne eine eingebettete offene Scheibe), so dass der Rand genau die eingezeichnete Schleife S ist (Zeichnung reicht als Beweis). K und S wie in der Skizze.

Bemerkung: damit sieht man geometrisch, dass die Homologie von ℝ^{3} − K trivial ist.