Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 12. Januar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5 Die Übung am 7.1. (erster Vorlesungstag) wird ausfallen.

Aufgabe 40: Sei X ein CW-Komplex mit n-Skelett X_{n}. Zeige mittels Induktion:

(1) H_{i}(X_{n}) = 0 für i > n.

(2) Die Inklusion X_{n−1} ↪ X_{n} induziert einen Isomorphismus H_{i}(X_{n−1}) ⟶^{≅} H_{i}(X_{n}) für i < n − 1.

Folgere: H_{i}(X) ≅ H_{i}(X_{n}) für i < n.

Aufgabe 41: Sei X ein CW-Komplex. Dann besitzt auch X × [0, 1] und die Suspension ΣX eine CW-Struktur.

Aufgabe 42: Ein Teilraum A von X heisst Umgebungsdeformationsretrakt (NDR), falls es eine Umgebung U von A und eine Homotopie h: U × [0, 1] → U gibt, so dass für alle a ∈ A, u ∈ U, t ∈ [0, 1] gilt: h(u, 0) = u, h(u, 1) ∈ A, h(a, t) = a. Zeige:

(1) Ist X ein CW-Komplex und A ein Unterkomplex, so ist A ein NDR.

(2) Falls A ein abgeschlossenes NDR von X ist, gilt H_{∗}(X, A) ≅ H̃_{∗}(X/A). Hierbei erhält man den Quotientenraum X/A, indem man alle Punkte aus A zu einem Element identifiziert (mit der entsprechenden Quotiententopologie).

Aufgabe 43: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und S_{1}, S_{2} seien kommutative R-Algebren. Bestimme das push-out von S_{1} ← R → S_{2} in der Kategorie der kommutativen R-Algebren.

(Eine R-Algebra S ist ein Ring S mit 1 mit einem vorgegebenen Ringhomomorphismus R → S (der die 1 auf die 1 abbildet). R-Algebrenhomomorphismen sind mit diesem vorgegebenen Ringhomomorphismus verträglich.)

Frohe Weihnachten, wir treffen uns hoffentlich genauso gesund und munter wie jetzt spätestens im neuen Jahr!