Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 15. Januar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 44: Zeige, dass die Suspension von S^{n−1} homöomorph zu S^{n} ist.

Aufgabe 45: Gib ℝ die CW-Struktur mit Null-Gerüst X_{0} = ℤ und Eins-Gerüst X_{1} = ℝ. Berechne die zelluläre Homologie dieses Kettenkomplexes.

Aufgabe 46: Seiem X_{1}, …, X_{n} und A abgeschlossene Untermengen eines Raums X, so dass

• X_{i} ∪ X_{j} = A falls i ≠ j

• X = ⋃_{i=1}^{n} X_{i}

• Für i ≠ j ist der Abschluss von X − X_{i} disjunkt vom Abschluss von X − X_{j}.

Zeige, dass die induzierte Abbildung H_{n}(X_{i}, A) → H_{n}(X, A) für jedes i injektiv ist, und dass H_{n}(X, A) die direkte Summe der Bilder der H_{n}(X_{i}, A) ist.

Aufgabe 47: Sei Δ := {(x, x) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1} die Diagonale im Einheitsquadrat in ℝ^{2}, V := Δ∪[0, 1]×{0} ein “V”. Für i ∈ ℕ sei X_{i} := V ∪{1/i}×[0, 1/i] ⊂ ℝ^{2}. Überprüfe die Bedingungen von Aufgabe 46 (mit X := ⋃_{i∈ℕ} X_{i}). Zeige, dass H_{n}(X_{i}, V) → H_{n}(X, V) injektiv ist für jedes i.

Die zweite Folgerung von Aufgabe 46 ist nicht erfüllt (was wir leider nicht zeigen können). Versuche, ihr fehlschlagen plausibel zu machen.

Man könnte versuchen, H_{n}(X, V) mittels Ausschneidung zu berechnen, indem man zwischen zwei aufeinanderfolgenden horizontalen Teilstrecken {1/n}×[0, 1/n] und {1/(n − 1)} × [0, 1/(n − 1)] jeweils die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken, also die Punkte {((2n − 1)/2n(n − 1), (2n − 1)/2n(n − 1)), (0, (2n − 1)/2n(n − 1))} herausnimmt. Sei A die Vereinigung all dieser Mittelpunkte. Berechne H_{n}(X − A, V − A). Warum darf man den Ausschneidungssatz für singuläre Homologie in dieser Situation nicht anwenden?