Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 22. Januar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 48: Berechne die zelluläre Homologie von ℝP^{n}. Dabei verwenden wir die Filtrierung mit X_{k} = ℝP^{k}.

Zur Erinnerung: ℝP^{k} ist der Quotient von S^{k} unter der Antipodenabbildung.

ℝP^{k+1} erhält man als pushout D^{k+1} ← S^{k} ⟶^{q^{k}} ℝP^{k} mit der anklebenden Abbildung q^{k} gegeben durch die kanonische Projektion S^{k} → ℝP^{k}. (Diese Tatsachen sollen nicht bewiesen werden).

Aufgabe 49: Seien M_{1}, M_{2} zwei glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeiten ohne Rand und i_{k}: (D^{n}) → M_{k} glatte Einbettungen. Die zusammenhängende Summe der beiden Mannigfaltigkeiten ist definiert als

M_{1}#M_{2} := (M_{1} − i_{1}(0)) ⨿ (M_{2} − i_{2}(0))/ ∼,

wobei i_{1}(rs) ∼ i_{2}((1 − r)s) für r ∈ (0, 1), s ∈ S^{n−1}.

• Zeige, dass M_{1}#M_{2} eine glatte Mannigfaltigkeit ist.

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eulercharakteristiken (vorausgesetzt, dass die Homologie H_{∗}(M_{k}, ℚ) endlich-dimensional ist). Verwende, dass man M_{k} eine CW-Struktur geben kann, bei der i_{k}((D^{n})^{∘}) eine offene n-Zelle ist.

• Berechne möglichst weitgehend den Zusammenhang zwischen H_{∗}(M_{1}#M_{2}) und H_{∗}(M_{1}), H_{∗}(M_{2}).

Aufgabe 50: Berechne die Kohomologie (mit ℤ-Koeffizienten) des n-Torus T^{n}.

Aufgabe 51: Berechne die zelluläre Homologie von ℝP^{n} mit ℤ/2ℤ Koeffizienten und mit ℤ/3ℤ Koeffizienten.