Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 29. Januar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 52: Bestimme alle n ∈ ℕ, so dass jede stetige Abbildung f: ℝP^{n} → ℝP^{n} einen Fixpunkt hat.

Tipp: die genaue Untersuchung von ℝP^{1} ≈ S^{1} (unter Benutzung homogener Koordinaten (x_{0} : x_{1})) sollte helfen, den ungerade dimensionalen Fall zu verstehen.

Aufgabe 53: Finde einen Raum X, so dass jede Abbildung f: X → X mindestens zwei Fixpunkte hat, oder zeige, dass es keinen solchen Raum geben kann.

Aufgabe 54: Seien V, W zwei K-Vektorräume. Das Tensorprodukt V ⊗_{K} W ist (wie üblich) ein K-Vektorraum mit einer kanonischen K-bilinearen Abbildung ϕ: V ×W → V ⊗_{K} W so dass folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: für jeden K-Vektorraum X und jede bilineare Abbildung f: V ×W → X gibt es genau eine K-lineare Abbildung F: V ⊗_{K} W → X, so dass f = F ∘ ϕ.

Sei (e_{i})_{i∈I} eine Basis von V und (w_{j})_{j∈J} eine Basis von W. Zeige, dass (e_{i} ⊗ w_{j})_{(i,j)∈I×J} eine Basis von V ⊗_{K} W ist.

Seien V und W nun endlich dimensional und A: V → V und B: W → W linear. Berechne die Spur von

A ⊗ B: V ⊗_{K} W → V ⊗_{K} W.

Zur Erinnerung: f: V × W → X heisst bilinear, falls f(·, w): V → X linear ist für jedes w ∈ W, und genauso f(v, ·): W → X für alle v ∈ V.

Aufgabe 55: Seien f: X → X und g: Y → Y stetige Selbstabbildungen endlicher CW-Komplexe. Zeige für die Lefschetzzahlen

L(f × g: X × Y → X × Y) = L(f) · L(g).

Beweise χ(X × Y) = χ(X) · χ(Y).

Tipp: falls f und g zelluläre Abbildungen sind, respektiert die von f × G auf dem zellulären Kettenkomplex induzierte Abbildung die Zerlegung

C_{n}^{cell}(X × Y) = ⨁_{k=0}^{n} C_{k}^{cell}(X) ⊗ C_{n−k}^{cell}(Y).