Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 5. Februar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 56: Sei X ein kompakter CW-Komplex mit der Eigenschaft, dass für jede stetige Abbildung f: X → X gilt L(f) ≠ 0. Falls Y ein kompakter CW-Komplex homotopieäquivalent zu X, zeige dass jede Selbstabbildung von Y einen Fixpunkt hat.

Aufgabe 57: Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Zeige, dass es zu jeder stetigen Abbildung f: X × ℝ → X × ℝ eine homotope Abbildung g gibt, welche keinen Fixpunkt hat.

Aufgabe 58: Sie G eine endliche Gruppe, die frei auf S^{2n} operiert, d.h. es gibt einen Homomorphismus ϕ von G in die Gruppe der Homöomorphismen von S^{2n}, und falls ϕ(g)(x) = x für ein g ∈ G und ein x ∈ S^{2n} folgt bereits g = 1.

Zeige, dass entweder G = {1} oder G = ℤ/2.

Aufgabe 59: Sei f: ℝ/ℤ×ℝ/ℤ → ℝ/ℤ×ℝ/ℤ gegeben durch f(x, y) = (−y, x).

Beachte: ℝ/ℤ × ℝ/ℤ = S^{1} × S^{1} ist der 2-Torus. Bestimme die von f auf der Homologie induzierte Abbildung (Tipp: verwende zelluläre Homologie). Zeige, dass f nicht homotop ist zu einer Abbildung der Gestalt f_{1}×f_{2} (wobei die gegebene Produktzerlegung zugrunde liegen soll).

Bestimme alle Fixpunkte von f. Hat jede zu f homotope Abbildung Fixpunkte?

Wer noch mehr knobeln will, kann dieselbe Aufgabe für g(x, y) = (x − y, x) lösen.