Übungen zur Topologie 1 — Wintersemester 00/01

Abgabe: 12. Februar, 13:30 Uhr, Kasten 37 Letztes Aufgabenblatt für dieses Semester Übung mittwochs, 11:15 im SR 5

Aufgabe 60: Sei f: S^{4} → ℂP^{2} eine stetige Abbildung. Zeige, dass die induzierte Abbildung H^{4}(f) die Nullabbildung ist.

Welche induzierten Abbildungen H^{4}(f) sind (theoretisch) möglich für f: S^{2} × S^{2} → ℂP^{2} und f: ℂP^{2} → S^{2} × S^{2}?

Aufgabe 61: Sei X = X_{1} ∪ X_{2} eine Vereinigung von zwei offenen Teilräumen X_{1}, X_{2}. Es gelte H_{∗}(X_{1}) = H_{∗}(∗) = H_{∗}(X_{2}) (z.B. könnten beide Teilräume zusammenziehbar sein). Seien α ∈ H^{k}(X), β ∈ H^{l}(X) mit k.k ≥ 1. Zeige, dass α ∪ β = 0.

Aufgabe 62: Sei X = ΣY die Suspension eines Raums Y. Berechne die ∪- Produktstruktur von X (Tipp: verwende Aufgabe 61). Folgere, dass ℂP^{2} und S^{2} × S^{2} nicht Suspension eines Raums Y sein können.

Aufgabe 63: Sei R ein Ring mit 1. Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind (alle Moduln sind Links-Moduln):

(1) P ist ein projektiver R-Modul.

(2) Es gibt einen R-Modul Q, so dass P ⊕ Q ≅ ⊕_{i∈I}R, d.h. P ist direkter Summand in einem freien R-Modul.