In dieser Vorlesung werden Grundlagen aus drei Gebieten eingeführt:
Die mengentheoretische Topologie beschreibt die Grundlagen topologischer Räume. Der Spezialfall der metrischen Räume aus der Diff wird vorausgesetzt. Der dort behandelte Stoff wird hier aufgegriffen, vertieft und verallgemeinert.
Die Differential- und Riemannsche Geometrie vertieft die Untersuchung der Manngifaltigkeiten (der kurz wiederholt werden wird). Ausgehend von Mannigfaltigkeiten führen wir (Vektorraum)bündel, Konnektionen auf diesen Bündeln und ihre Krümmung ein. Als wichtigstes Beispiel ergibt sich der Tangentialraum.
In der Riemannschen Geometrie werden Mannigfaltigkeiten untersucht, die mit der Zusatzstruktur einer Riemannschen Metrik versehen sind. Es handelt sich hier zwar (auch) um eine spezielle Metrik im Sinne der Diff, sie wird aber mit Differentialgeometrischen Mitteln eingeführt und untersucht. Eine wichtige Größe hier ist die Krümmung --es werden insbesondere die Charakteristiken von Metriken mit konstant positiver/negativer und Krümmung Null herausgearbeitet.
Die Differentialgeometrischen Aspekte des Kurses (Bündel, Konnektion, ...) werden nciht nur von der Topologie bis zur globalen Analysis gebraucht, sondern bilden auch die Sprache für moderne Beschreibungen insbesondere der Quantenphysik und der allgemeinen Relativitätstheorie.
Riemannsche Geometrie ist ein mögliches Vertiefungsgebiet für eine Diplom- oder Examensarbeit. Sie dient auch als Modellfall für die Allgemeine Relativitätstheorie.
Die Vorlesung ist ein Baustein in einem im WS 04/05 begonnenen Kurssystem, welches umfassend in Topologie und Geometrie ausbildet. Im nächsten Semester wird als nächster Block algebraische Topologie I gelesen.
Eine gute Ergänzung ist das Seminar "`Knotentheorie"', welches aber auch unabhängig von der Vorlesung besucht werden kann.
Upon request, this course can be taught in English.
Literatur: