Seminar Knotentheorie outline des Programms

Einen Knoten, wie wir ihn in diesem Seminar betrachten wollen, erhält man, indem man ein Stück Schnur (mehr, oder weniger, oder gar nicht) verknotet, und dann die beiden Enden miteinander verschweißt. Dieses Verschweissen macht es oft unmöglich, den ursprünglichen Verknotungsprozess rückgängig zu machen — aber nicht immer. Ziel der Knotentheorie ist es, mathematisch zu entscheiden, ob zwei solche (verschweissten) Knoten ineinander deformiert werden können, oder (wichtiger und schwieriger) zu beweisen, dass dies nicht geht.

Wir werden eine mathematisch exakte Modellierung dieses Knotenproblems geben, und dann sogenannte Invarianten entwickeln, die es uns erlauben, Knoten voneinander zu unterscheiden. Dabei denken wir insbesondere an die Knotengruppe (dies ist die Fundamentalgruppe des Komplements des eigentlichen Knotens in ℝ^{3}). Unterwegs werden wir auch einiges nützliches über das Konzept der Fundamentalgruppe und ihre Berechnung kennen lernen.

Knotentheorie ist ein wichtiger Zweig der Topologie. Dieses Seminar ist allerdings auch für Interessenten ohne topologische Vorkenntnisse gedacht. Insbesondere ist es nicht notwendig, die Vorlesung “Einführung in die Topologie” zu hören (was aber unserer Meinung nach unabhängig davon sehr lohnend wäre). Vorausgesetzt wird nur das Grundstudium, insbesondere nicht Infinitesimalrechnung 4. Fehlende Grundlagen können bei Bedarf wiederholt werden.

Literatur: Crowell and Fox: Introduction to knot theory