Metrische Räume sind in den letzten Jahren verstärkt ins Blickfeld der Forschung getreten. Sie treten häufig in natürlicher Weise auf, beispielsweise als Limiten des ``Raums'' der Riemannschen Mannigfaltigkeiten, als Orbifaltigkeiten, in der Geometrie singulärer Räume oder in der kombinatorischen Gruppentheorie.
Das Ziel der Vorlesung ist es, moderne Methoden der Differentialgeometrie vom Standpunkt der metrischen Räume zu untersuchen und zu verallgemeinern.
Die Vorlesung wird insbesondere die globalen Eigenschaften von Räumen mit negativer oder nicht-positiver Krümmung untersuchen, sowie die Struktur von Gruppen von Isometrien solcher Räume.
Negative Krümmung in einem geodätoschen metrischen Raum (in solch einem Raum können je zwei Punkte durch eine kürzeste Verbindungslinie, eine Geodätische, verbunden werden) wird gemessen dadurch, dass Dreiecke mit geodätischen Kanten ``dünn'' sind (verglichen z.B. mit Dreiecken im euklidischen Raum). Diese simple Bedingung erfasst alle essenziellen Eigenschaften negativer Krümmung, die so auf relativ elementare Weise und mit sehr allgemeinen Voraussetzungen hergeleitet werden können.
Wir werden zunächst eine Einführung in die Geometrie allgemeiner geodätischer
Räume geben, und dann die Grundlagen der Theorie von Räumen mit
Krümmungsschranken entwickeln, um schliesslich zu etwas spezielleren
Anwendungen zu kommen. Insbesondere können wir mit
geometrischen Methoden viel
über die Struktur spezieller unendlicher Gruppen aussagen. Ein
schönes Beispiel: die Fundamentalgruppe eines Raum mit
nicht-positiver Krümmung kann (im wesentlichen) nur dann 
als
Untergruppe enthalten, wenn der Raum einen isometrisch eingebetteten
flachen Torus enthält.
(Vorläufig) geplante Inhalte:
Innere Metrische Räume, Winkel, Geodätische, natürliche
Konstruktionen (Kegel, Produkte etc.), Satz von Hopf-Rinow.
Modellräume.
CAT(k)-Räume, Cartan-Hadamard-Theorem, Konstruktion und Beispiele
von CAT(k)-Räumen.
Isometrien von CAT(0)-Räumen, Splittingtheoreme, Torustheorem.
Hyperbolische Räume, Gruppenaktionen.
eventuell: Alexandroffräume, Hausdorffkonvergenz,
Hausdorffdimension, Hausdorffmasse.
Die Vorlesung richtet sich an Studierende (und Doktoranden) mit Interesse an geometrischen Fragestellungen. Schön an dem Gebiet ist, dass man mit elementaren Mitteln und ohne grossen technischen Apparat schnell interessante Ergebnisse erhalten kann. Es werden daher keine Vorkenntnisse vorausgesetzt, die über Grundstudiumsniveau hinausgehen. Grundkenntnisse in elementarer Topologie (was ist ein metrischer Raum?) und eventuell in der Riemannschen Geometrie sind nützlich.
Literatur:
- Bridson, Martin und Haefliner, Andre: ``Metric spaces of non-positive curvature''; Springer Verlag