Lehrveranstaltungen im Sommersemester 2004

• Algebraische Topologie
  Mo, Do, 9 - 11 Uhr, Hörsaal IV
• Ergänzungen zur Algebraischen Topologie
  Mi 9 - 11 Uhr, Hörsaal IV
  
  
  1. Einleitung
     Der erste Haupsatz. Abbildungsgrad. Geometrische Interpretationen. Anwendungen.
  2. Homotopietheorie (Grundlagen)
     Der Homotopiebegriff. Abbildungsräume und Kompakt-Offen-Topologie. Homotopiegruppoide. Zwei-Kategorien. Einhängung und Schleifenraum. Die Kofasersequenz. Die Fasersequenz. Kofaserungen. Faserungen.
  3. Homotopiegruppen (Hauptsätze)
     Homotopiegruppen. Exakte Sequenz eines Raumpaares und einer Serre-Faserung. Die Hopf-Faserung. Der Ausschneidungssatz von Blakers und Massey. Der Freudenthalsche Einhängungssatz. Der Einhängungssatz. Höherer Zusammenhang. Der Quotientsatz. Der Exaktheitssatz. Der Summensatz. Der Smash-Satz. Der Realisierungssatz. Der Tensorprodukt-Satz. Der Anheftungssatz.
  4. Kettenkomplexe. Homologische Algebra. Singuläre Homologie und Kohomologie
     Kettenkomplexe. Singuläre Homologie und Kohomologie mit beliebigen Koeffizienten. Der Homotopiesatz. Baryzentrische Unterteilung. Kleine Simplexe. Ausschneidung. Mayer-Vietoris-Sequenzen. Homologische Algebra. Universelle Koeffizienten. Das Cup-Produkt. Der Satz von Eilenberg-Zilber. Produkte in Homologie und Kohomologie. Künneth-Formeln.
  5. CW-Komplexe
     Anheften von Zellen. CW-Komplexe. CW-Approximationen. Homotopieklassifikation. Eilenberg-MacLane-Komplexe.
  6. Homologie und Homotopie
     Axiome von Eilenberg und Steenrod. Homologie und Kofaserungen. Der Satz von Hurewicz.
  7. Homologie von Mannigfaltigkeiten
     Mannigfaltigkeiten. Orientierbarkeit und Grad. Lokale Orientierungen und Orientierungsüberlagerung. Dimensionen größergleich n. Mannigfaltigkeiten mit Rand.
  8. Orientierbare Vektorraumbündel und der Thom-Isomorphismus
     Bündel. Thom-Klasse. Euler-Klasse. Thom-Isomorphismus. Gysin-Sequenz. Anwendung auf projektive Räume.
  9. Dualität
     Das Cap-Produkt. Der Dualitätssatz.

Lehrveranstaltungen im Wintersemester 2003/2004

• Einführung in die Topologie
  Mo, Do, 9 - 11 Uhr, Hörsaal III
  
  
  1. Mengentheoretische Topologie
     Topologische Räume und stetige Abbildungen. Topologische Grundbegriffe. Unterräume. Quotienträume. Produkte und Summen. Kompakte Räume. Zusammenhang. Transformationsgruppen.
  2. Fundamentalgruppe
     Homotopie. Fundamentalgruppe. Die Fundamentalgruppe des Kreises. Die Umlaufzahl. Der Satz von Seifert und van Kampen. Anhang: Präsentation von Gruppen.
  3. Überlagerungen
     Lokal triviale Abbildungen. Prinzipalüberlagerungen. Faserungen. Existenz von Hochhebungen. Klassifikation von Überlagerungen. Das Fundamentalgruppoid. Fasertransport und die Kategorie der Überlagerungen. Assoziierte Überlagerungen und die Kategorie der Überlagerungen. Anhang: Kategorientheorie.
  4. Klassische Resultate der Topologie
     Die Gruppe SU(2). Die Gruppe SU(n). Assoziierte Überlagerungen. Überlagerungen von S^1 wedge S^1. Der Fixpunktsatz von Brouwer und dazu äquivalente Sätze. Überdeckungsdimension. Borsuk-Ulam. Lusternik-Schnirelmann. Die chromatische Zahl der Kneser-Graphen. Ein Dualitätssatz. Jordanscher Kurvensatz. Invarianz des Gebiets.
  5. Homologie
     Die singulären Homologiegruppen. Die Axiome von Eilenberg und Steenrod. Homologie von Sphären. Ein Dualitätssatz. Der Abbildungsgrad.
  6. Zellenkomplexe
     Anheftungen. Pushout. CW-Komplexe. Homologie von CW-Komplexen. Simpliziale Komplexe. Euler-Charakteristik.
  7. Flächen
     Flächen. Zur kombinatorischen Klassifikation. Verzweigte Überlagerungen. Die Formel von Riemann-Hurwitz. Symmetrien.

Lehrveranstaltungen im Sommersemester 2003

• Gruppen und Geometrie (Topologie III)
  Mo, Mi, Do, 9 - 11 Uhr, Hörsaal IV
  
  
  1. Einleitung: Einige Beispiele, Probleme und Grundbegriffe
     
     1. Darstellungen
     2. Darstellungsformen. Kohomologiesphären. Periodische Kohomologie
     3. Zellenkomplexe und Gruppenoperationen. Periodische Auflösungen
     4. Äquivariante CW-Komplexe
  2. Borel-Kohomologie. Lokalisierung
     
     1. Borel-Kohomologie
     2. Lokalisierung: Kommutative Algebra. Kohomologie
     3. Kohomologie zyklischer Gruppen
     4. Der Lokalisierungssatz für zyklische Gruppen. Anwendungen auf P.A.Smith-Theorie
     5. Torusgruppen. Borel-Formel
     6. Quaternionale Gruppen
  3. Homotopiedarstellungen
     
     1. Der Begriff einer Homotopiedarstellung (HD)
     2. Dimensionsfunktionen
     3. Einige Beispiele von HDn
     4. Orientierungen
     5. Borel-Smith-Funktionen
     6. Grothendieck-Gruppen von HDn
     7. HDn des Torus
  4. Auflösungen von Transformationsgruppen
     
     1. Auflösungen von Kettenabbildungen
     2. Partielle projektive Auflösungen
     3. Moduln über Gruppenringen
     4. Reduktion auf Sylow-Gruppen
     5. Swan-Moduln
  5. Operationen auf Zellen
     
     1. Fixpunktmengen in kontrahierbaren Komplexen
     2. Burnside-Ring und Euler-Charakteristik-Relationen
     3. Geometrische Auflösungen
     4. Zett-Ge-Moduln für Ge=Zett modulo p (Satz von Reiner)
     5. Das Auflösungshindernis für Zett modulo p
     6. Das Auflösungshindernis für kontrahierbare Komplexe. Endlichkeitshindernisse
  6. Der Burnside-Ring
     
     1. Kongruenzen
     2. Die Oliver-Zahlen
     3. Stabile Homotopie und Burnside-Ring
     4. Burnside-Moduln. Homotopiedarstellungen. Picard-Gruppe
     5. Darstellungsformen für die Gruppe ZettPe kreuz ZettPe
     6. Verschlingungszahlen
  7. Verschiedenes
     
     1. Zweidimensionale HDn
     2. Dimensionsfunktionen von Darstellungen
     3. Adams-Operationen
     4. Zur Homotopietheorie von Darstellungen

Lehrveranstaltungen im Wintersemester 2002/2003

• Topologie II
  Mo, Do, 9 - 11 Uhr, Hörsaal IV
  
  
  1. Bündel
     Transformationsgruppen. Prinzipalbündel und Faserbündel. Partitionen der Eins. Der Homotopiesatz. Universelle Bündel und klassifizierende Räume. Vektorraumbündel. K-Theorie.
  2. Kohomologie
     Kohomologietheorien. Singuläre Kohomologie. Universelle Koeffizienten. Multiplikative Kohomologietheorien. Cup-Produkt und Kreuz-Produkt. Thom-Klassen und Euler-Klassen. Thom-Isomorphismus. Kohomologiering projektiver Räume. Borsuk-Ulam. Lusternik-Schnirelmann.
  3. Dualität
     Cap-Produkt. Thom-Isomorphismus in der Homologie. Dualitässätze von Poincare, Lefschetz, Alexander. Anwendungen der Dualität. Signatur. Euklidische Umgebungsretrakte. Euler-Zahl; als Indexsumme. Euler-Zahl gleich Euler-Charakteristik.
  4. Beziehungen zwischen Homotopie und (Ko-)Homologie
     (Ko-)Homologie für punktierte Räume. Kohomologie und Spektren. Homologie und Spektren. Der Satz von Hurewicz. Eilenberg-MacLane-Spektren.
  5. Ko-Homologie von Faserungen
     Faserungen über Sphären. Berechnung von Pi_(n+1)(S^n). Schleifenraum von Sphähren. Der Satz von Leray-Hirsch. Projektive Bündel. Chern-Klassen. Stiefel-Whitney-Klassen. Pontrjagin-Klassen. Universelle charakteristische Klassen. Kohomologie klassifizierender Räume.
  6. Qualitative algebraische Topologie.
     Serre-Klassen. Faserungssatz. Hurewicz modulo Serre-Klassen. Endlichkeitssätze für Homotopiegruppe. Rationale Kohomologie von K(Z,n). Endlichkeit der Homotopiegruppen der Sphären.

Lehrveranstaltungen im Sommersemester 2002

• Topologie I. (Einführung in die algebraische Topologie)
  Mo, Mi, Do 9 - 11 Uhr, Hörsaal II
  
  
  1. Fundamentalgruppe und Überlagerungen
     Fundamentalgruppe. Homotopie. Überlagerungen und Faserungen. Fundamentalgruppe des Kreises. Klassifikation von Überlagerungen. Prinzipalüberlagerungen. Satz von Seifert und van Kampen.
  2. Homotopie
     Homotopiegruppen. Homotopie und Abbildungsräume. Einhängung und Schleifenraum. Die Kofasersequenz. Die Fasersequenz. Kofaserungen.
  3. Homotopiegruppen
     Der Ausschneidungssatz (Blakers-Massey). Sphären. Serre-Faserungen. Kofaserungen (2). Der Quotientsatz. Der Abbildungsgrad
  4. Homologie
     Die Axiome von Eilenberg und Steenrod. Einfache Folgerungen. Reduzierte Homologie. Ein Dualitätssatz. Klassische Resultate der Topologie. Homologie von Sphären. Mayer-Vietoris-Sequenzen. Beziehungen zwischen Homologie und Homotopie.
  5. Zellenkomplexe. Kettenkomplexe
     CW-Komplexe. Kettenkomplexe. Zellenkettenkomplexe. Homologie von CW-Komplexen.
  6. Singuläre Homologie
     Die singulären Homologiegruppen. Homotopie. Baryzentrische Unterteilung. Kleine Simplexe. Ausschneidung.
  7. Homologie von Mannigfaltigkeiten
     Lokale Homologiegruppen. Homologische Orientierungen. Die Dimensionen ab n. Fundamentalklasse und Grad. Mannigfaltigkeiten mit Rand.
  8. Homotopietheorie von CW-Komplexen
     Schwache Homotopieäquivalenzen. CW-Approximation. Eilenberg-MacLane-Komplexe.
  9. Beispiele und Anwendungen
     Kurven in der Ebene. Gauss-Kreise. Windungszahl. Reguläre Homotopie. Reidemeister-Bewegungen. Knotenprojektionen. Dualität in der Ebene. Eilenberg-MacLane-Komplexe und Kohomologie. Kohomologie für punktierte Räume. Additivität der Euler-Charakteristik. Additive Invarianten. Verbundene Summe. Anwendung auf Flächen. Elliptische Kurven. Die Riemann-Hurwitz-Formel. Lokal lineare Gruppenoperationen. Operationen auf der Sphäre. Operationen auf dem Torus. Abschätzung der Gruppenordnung. Existenz von Hochhebungen. Homologie von Flächen. Der Burnside-Ring.
  
  
  
• Übungen dazu. Mo, 16 - 18 Uhr, Hörsaal II
  
  Die Übungsstunden werden von mir abgehalten. Es werden Aufgabenblätter verteilt, aber keine Korrekturen durchgeführt. Sie bereiten jeweils einige Aufgaben zum Vortrag vor. Die Stunde dient gleichzeitig auch als Fragestunde.
  
  
• Voraussetzungen.
  
  Machen Sie sich bitte mit den Begriffen Kategorie, Funktor, natürliche Transformation vor Beginn der Vorlesung bekannt. Die Kategoriensprache werde ich durchgängig verwenden.
  Aus der mengentheoretischen Topologie sollten Sie Begriffe wie Kompaktheit, Produkt und Identifizierung kennen.

Lehrveranstaltungen im Sommersemester 2001

• Differentialtopologie
  
  Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Projektive Räume. Grassmannsche Mannigfaltigkeiten. Tangentialraum und Differential. Untermannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten mit Rand. Verheftungen. Quotienten. Glatte Transformationsgruppen. Prinzipalbündel. Faserbündel. Tangentialbündel. Partition der Eins. Vektorfelder und Flüsse. Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Sprays. Die Exponentialabbildung eines Sprays. Normalenbündel und Tubenabbildungen. Der Satz von Pontrjagin-Thom. Eigentliche Submersionen (Faserungssatz von Ehresmann). Isotopien. Ambiente Isotopien. Diffeotopien. Homotopiesphären. Morse-Funktionen. Elementare Bordismen. Klassifikation von Flächen. Seifert-Mannigfaltigkeiten. Dehn-Chirurgie. Anwendungen des Satzes von Pontrjagin-Thom.
  
  
• Mengentheoretische Topologie
  
  Topologische Räume und stetige Abbildungen. Topologische Grundbegriffe. Unterräume. Quotienträume. Metrische Räume. Normierte Vektorräume. Produkte. Summen. Zusammenhang. Kompakte Räume. Lokal kompakte Räume. Eigentliche Abbildungen. Topologische Gruppen. Transformationsgruppen. Eigentliche Transformationsgruppen. Prinzipalbündel. Universelle Bündel. Reelle Funktionen, Tietze-Urysohn. Parakompakte Räume. Partition der Eins. Konvergenz, Filter. Abbildungsräme, Kompakt-Offen-Topologie. Kompakt erzeugte Räume.
  
  

Lehrveranstaltungen im Wintersemester 2000/2001

• Analysis und Geometrie
  
  Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Projektive Räume. Differenzierbare Abbildungen. Tangentialraum und Differential. Untermannigfaltigkeiten. Beispiele. Partition der Eins. Integration von Dichten. Alternierende Algebra. Differentialformen. Zur Integration im euklidischen Raum. Vektoranalysis. Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. Orientierung und Integration. Der Satz von Stokes. Ebene Bereiche. Der Divergenzsatz. Sternoperator. Koableitung. Laplace-Operator. Die nichteuklidische Ebene. Differentialgleichungen: Lokale Existenz und Eindeutigkeit. Lineare Differentialgleichungen. Abhängigkeit von Anfangswerten. Die allgemeine Lösung. Das Tangentialbündel. Flüsse und dynamische Systeme. Der Satz von Sard. de Rham-Kohomologie: Die höchste Dimension. Abbildungsgrad. Rechnen in Koordinaten. Harmonische Polynome. Lie-Ableitungen. Legendre-Funktionen. Kugelfunktionen. Einbettungen. Normalenbündel. Tubulare Umgebung. Approximationssätze. Transversalität. de Rham-Kohomologie. Homotopieinvarianz. Mayer-Vietoris-Sequenz. Klassische Resultate der Topologie: Invarianz der Dimension und des Gebietes. Brouwerscher Fixpunktsatz. Jordanscher Kurvensatz. Vektorfelder auf Sphären. Tietze-Urysohn. Morse-Funktionen. Bericht über Hauptsätze der de Rham-Kohomologie.
  
  
• Burnside-Ring
  
  I. Der algebraische Burnside-Ring
  Transformationsgruppen. Die Orbitkategorie. Der Burnside-Ring. Kongruenzen. Möbius-Inversion. Äussere und symmetrische Potenzen. Idempotente. Nenner. Primideale. Einheiten. Einheiten und Darstellungen.
  II. Kategorielle Aspekte.
  Die 2-Kategorie der Bimengen. Die Burnside-Kategorie. Die Mackey-Kategorie. Permutationsdarstellungen.
  III. Burnside-Ring und Topologie
  Stabile Homotopiegruppen. Der Ring omega(G). Einheiten. Burnside-Ring und Euler-Charakteristik. Der Fixpunkt-Index. Die Mackey-Kategorie. Projektive Moduln.
  IV. Zum Burnside-Ring von p-Gruppen.
  Der Einheitensatz für 2-Gruppen. Multiplikative Induktion. Der exponentielle Isomorphismus. Permutationsdarstellungen.
  V. Induktionstheorie
  Mackey-Funktoren. Induktions- und Restriktionsprobleme. Paarungen von Mackey-Funktoren. Der Kern-Bild-Satz für den Burnside-Ring. Hyperelementare Induktion. Amitsur-Komplexe. Formale Induktionssätze.
  VI. Die Mackey-Kategorie
  Die Kategorie Omega(G). Die rationale Mackey-Kategorie. Die Mackey-Kategorie als Tensor-Kategorie mit internem Hom-Funktor.
  VII. Homotopiedarstellungen und Picard-Gruppe
  Picard-Gruppen. Homotopiedarstellungen. Das Hauptdiagramm für p-Gruppen.
  
  
• Operaden