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Prof. Dr. Thomas Schick
Dissertationspreis 2011 an Dr. Łukasz Grabwoski



Der Dissertationspreis des Universitätsbundes, gefördert durch die AKB-Stiftung, wird für eine oder zwei herausragende Dissertation aus dem jeweils letzten Kalenderjahr verliehen. Der Preisträger für 2011 ist Dr. Łukasz Grabowski. Der mit 8.000 Euro dotierte Preis wurde am 2. Juni 2012 im Rahmen der Jahresfeier der Alumni-Vereinigung verliehen. mehr...


Die Dissertation Łukasz Grabowskis "On Turing machines, groupoids, and the Atiyah problem" beantwortet eine dreissig Jahre alte Frage von Sir Michael Atiyah, Gewinner der Fields-Medaille 1968.

Atiyah studierte hoch-dimensionale mathematische Modelle von Kristallen, sogenannte Gamma-CW-Komplexe. L2-Bettizahlen sind von Atiyah erfundene wichtige Größen, welche diesen Objekten zugeordnet sind. Sie messen die mittlere Anzahl von Löchern oder Schleifen pro Volumen, welche in diesen "Kristallen" vorkommen. Berechnet werden die L2-Bettizahlen mit fortgeschrittenen Methoden der Analysis und der Geometrie. Es gibt aber auch tiefliegende Verbindungen zur Algebra und zur Zahlentheorie, welche schon vor langer Zeit entdeckt wurden.

Atiyah fragte, ob es eine a priori Quantisierung der L2-Bettizahlen gibt, ob nur ganz spezielle Werte möglich sind (z.B. Vielfache von ½). Dies würde insbesondere bedeuten, dass es schnelle und einfache Berechnungsalgorithmen gäbe, da man bei einer genügend guten Näherungsberechnung (mit Fehler kleiner ¼) sofort den genauen Wert kennen würde.

In der Dissertation wird nun ein völlig neuer Aspekt ins Spiel gebracht: eine überraschende Verbindung zur theoretischen Informatik. Zu den wichtigsten Studienobjekten der Informatik gehören Turing-Maschinen, also abstrakte Computerprogramme. Man kann sich auf solche beschränken, welche keine Eingabe erwarten und die Dezimaldarstellung einer zu berechnenden Zahl ausgeben. Solche Turing-Maschinen sind sehr reichhaltig, man kann z.B. nicht durch Analyse des Programmcodes von vorne herein entscheiden, ob die Ausgabe größer oder kleiner als Eins ist: eine der berühmten Unentscheidbarkeitsfragen der Informatik.

Nun gelingt es Łukasz Grabowski in seiner Dissertation, für jede solche Turing-Maschine eines der abstrakten "Kristalle" zu konstruieren, so dass die L2-Bettizahl genau die Ausgabe der Turing-Maschine ist. Insbesondere kann man jede beliebige Zahl als L2-Bettizahl erhalten, den erhofften Quantisierungseffekt gibt es nicht. Im Gegenteil: die L2-Bettizahlen sind genauso kompliziert und unberechenbar wie Turing-Maschinen im allgemeinen.

Bemerkenswert an der Konstruktion Łukasz Grabowskis ist, dass sie sehr direkt und von besonderer Eleganz ist. Durch ihre explizite Natur eröffnet sie viele neue Wege zukünftiger Forschung und Interaktion zwischen theoretischer Informatik und Geometrie.


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