Mathematik für Studierende der Physik 1

32 Basis und lineare Unabhängigkeit

Wir wollen Vektorräume effizient beschreiben. In der Physik zerlegen wir dazu Vektoren oft in Komponenten (zum Beispiel \(x\)-, \(y\)-, \(z\)-Richtung). Dieses Konzept wollen wir nun allgemein fassen.

32.1 Linearkombinationen und die Koordinatenabbildung

Sei \(V\) ein \(\mathbb {K}\)-Vektorraum und seien \(v_1, \dotsc , v_n\) Vektoren in \(V\). Einen Ausdruck der Form

\[ v = \lambda _1 v_1 + \dotsb + \lambda _n v_n = \sum _{j=1}^n \lambda _j v_j \]

mit Skalaren \(\lambda _j \in \mathbb {K}\) nennen wir eine Linearkombination der Vektoren \(v_1, \dotsc , v_n\).

Jede Wahl von \(n\) Vektoren in \(V\) definiert eine natürliche Abbildung, die jedem Koordinatentupel aus \(\mathbb {K}^n\) den entsprechenden Vektor in \(V\) zuordnet:

  • Definition 281 (Koordinatenabbildung). Zu einem Tupel von Vektoren \(\mathcal {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) definieren wir die Abbildung

    \[ \phi _{\mathcal {B}} \colon \mathbb {K}^n \to V, \qquad \begin {pmatrix} \lambda _1 \\ \vdots \\ \lambda _n \end {pmatrix} \mapsto \lambda _1 v_1 + \dots + \lambda _n v_n. \]

  • Lemma 282. Die Koordinatenabbildung \(\phi _{\mathcal {B}}\) ist linear.

  • Beweis. Seien \(\lambda , \mu \in \mathbb {K}^n\) zwei Koordinatenvektoren und \(c \in \mathbb {K}\) ein Skalar.

    \begin{multline*} \phi _{\mathcal {B}}(\lambda + \mu ) = \sum _{j=1}^n (\lambda _j + \mu _j) v_j = \sum _{j=1}^n (\lambda _j v_j + \mu _j v_j) \pdfnl = \sum _{j=1}^n \lambda _j v_j + \sum _{j=1}^n \mu _j v_j = \phi _{\mathcal {B}}(\lambda ) + \phi _{\mathcal {B}}(\mu ). \end{multline*} Ebenso gilt \(\phi _{\mathcal {B}}(c \lambda ) = \sum (c \lambda _j) v_j = c \sum \lambda _j v_j = c \phi _{\mathcal {B}}(\lambda )\). 

32.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis

Wir führen nun drei zentrale Begriffe der Linearen Algebra ein, nämlich linear unabhängige Familien von Vektoren, Erzeugendensysteme und Basen.

Lineare Unabhängigkeit bedeutet physikalisch: Keine Redundanz. Wenn Vektoren (z.B. Kräfte, Bewegungsrichtungen) linear unabhängig sind, kann ich die Wirkung des einen Vektors niemals durch eine Kombination der anderen ersetzen. Jeder Vektor steuert eine „neue Dimension“ oder einen neuen Freiheitsgrad bei. Ist eine Menge dagegen linear abhängig, enthält sie überflüssige Information. Man könnte einen Vektor weglassen, ohne Möglichkeiten zu verlieren. Ein Erzeugendensystem bedeutet, dass wir damit jeden Vektor darstellen können. Zu viele Vektoren schaden hier nicht, obwohl sie Redundanz verursachen. Eine Basis kombiniert beide Eigenschaften und ist damit genau die goldene Mitte: So viele Vektoren wie nötig, so wenige wie möglich.

Wir führen diese zentralen Begriffe über die Eigenschaften der Abbildung \(\phi _{\mathcal {B}}\) ein:

  • Definition 283. Seien \(v_1, \dotsc , v_n \in V\).

    • (1) Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn \(\phi _{\mathcal {B}}\) injektiv ist.

    • (2) Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem, wenn \(\phi _{\mathcal {B}}\) surjektiv ist. Das heißt: Jeder Vektor in \(V\) lässt sich als Linearkombination darstellen.

    • (3) Die Vektoren bilden eine Basis, wenn \(\phi _{\mathcal {B}}\) bijektiv (injektiv und surjektiv) ist. Das heißt: Jeder Vektor lässt sich eindeutig als Linearkombination darstellen.

Alternativ heißen \(v_1, \dotsc , v_n \in V\) linear unabhängig, wenn aus \(\lambda _1 v_1 + \dotsb \lambda _n v_n = 0\) mit \(\lambda _j\in \mathbb {K}\) folgt, dass alle \(\lambda _j=0\) sind. Das heißt: Es gibt nur eine Möglichkeit, den Nullvektor zu kombinieren. Dies ist gleichbedeutend mit \(\ker (\phi _{\mathcal {B}}) = \{0\}\). Der folgende Satz liefert, dass dies gleichbedeutend mit der linearen Unabhängigkeit ist.

  • Satz 284 (Injektivitätskriterium). Eine lineare Abbildung \(L \colon V \to W\) ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur aus dem Nullvektor besteht: \(\ker (L) = \{0_V\}\).

  • Beweis. (\(\Rightarrow \)) Sei \(L\) injektiv. Da immer \(L(0)=0\) gilt, darf kein anderer Vektor auf \(0\) abgebildet werden. Also ist \(\ker (L)=\{0\}\).

    (\(\Leftarrow \)) Sei \(\ker (L)=\{0\}\). Angenommen, \(L(v) = L(w)\). Aufgrund der Linearität gilt dann:

    \[ L(v) - L(w) = L(v-w) = 0. \]

    Also liegt die Differenz \(v-w\) im Kern. Da der Kern nur die Null enthält, folgt \(v-w=0\), also \(v=w\). Somit ist \(L\) injektiv. 

  • Bemerkung 285 (Spezialfälle).

    • • Ein einzelner Vektor \(v_1\) ist linear unabhängig, genau dann, wenn er ungleich dem Nullvektor ist (denn \(\lambda v_1 = 0 \Rightarrow \lambda =0\) nur für \(v_1 \neq 0\)).

    • • Zwei Vektoren \(v_1, v_2\) sind linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Geraden durch den Ursprung liegen (d.h., keiner ist ein Vielfaches des anderen).

32.3 Lineare Hülle (Spann)

Die Menge aller möglichen Linearkombinationen nennen wir die lineare Hülle oder den Spann:

\[ \operatorname {span}(v_1, \dotsc , v_n) \mathbin {:=} \{ \lambda _1 v_1 + \dots + \lambda _n v_n \mid \lambda _i \in \mathbb {K} \}. \]

In unserer neuen Sprache ist dies exakt das Bild der Koordinatenabbildung:

\[ \operatorname {span}(v_1, \dots , v_n) = \operatorname {im}(\phi _{\mathcal {B}}). \]

Da das Bild immer ein Untervektorraum ist, wissen wir sofort, dass auch der Spann ein Untervektorraum ist.

32.4 Beispiele für Basen

  • Beispiel 286 (Standardbasis im \(\mathbb {K}^n\)). Die Vektoren \(e_1 = (1,0,\dotsc ,0)^T\), …, \(e_n = (0,\dotsc ,0,1)^T\) bilden die Standardbasis des \(\mathbb {K}^n\). Die Koordinatenabbildung ist hier einfach die Identität.

Im \(\mathbb {K}^n\) gibt es die Standardbasis. Es gibt in einem Vektorraum jedoch niemals die Basis. Es gibt unendlich viele. Es ist oft wichtig, eine Basis so zu wählen, dass das Problem möglichst einfach wird.

  • Beispiel 287 (Harmonischer Oszillator). Der Lösungsraum der DGL \(y'' = -y\) ist ein Vektorraum.

    • • Eine Basis ist gegeben durch die komplexen Exponentialfunktionen \(\{ \mathrm {e}^{\mathrm {i} t}, \mathrm {e}^{-\mathrm {i} t} \}\).

    • • Eine andere (reelle) Basis ist gegeben durch \(\{ \cos (t), \sin (t) \}\).

    Beide Mengen spannen denselben Raum auf, aber die Koeffizienten (Koordinaten) eines Vektors sind je nach Basiswahl verschieden. Ein Vektor (zum Beispiel der Zustand eines Systems) ist ein objektives physikalisches Objekt. Seine Koordinaten (Zahlen) hängen jedoch davon ab, welche „Brille“ (Basis) wir aufsetzen. In der Exponentialbasis messen wir, wie viel Anteil \(\mathrm {e}^{\mathrm {i} t}\) und \(\mathrm {e}^{-\mathrm {i} t}\) in dem Vektor steckt. In der anderen Basis messen wir stattdessen, wie viel Anteil \(\cos (t)\) und \(\sin (t)\) in dem Vektor steckt.

  • Beispiel 288 (Polynome). Der Vektorraum aller Polynome \(\mathbb {K}[x]\) hat keine endliche Basis. Eine unendliche Basis ist durch die Monome \(1, x, x^2, x^3, \dotsc \) gegeben. Jedes Polynom ist eine endliche Linearkombination dieser Basisvektoren.

Für eine unendliche Menge \(I\) gibt es einen Vektorraum \(\mathbb {K}[I]\), so dass lineare Abbildungen \(\mathbb {K}[I] \to V\) für einen Vektorraum \(V\) äquivalent sind zu Familien von Vektoren \((v_i)_{i\in I}\). Damit funktionieren die Definitionen von linearer Unabhängigkeit und Basis auch bei unendlichen Mengen von Vektoren. Für \(I=\mathbb {N}\) ist \(\mathbb {K}[\mathbb {N}]\) übrigens weitgehend dasselbe wie \(\mathbb {K}[x]\). Wir werden in dieser Vorlesung meist mit endlichdimensionalen Vektorräumen arbeiten.