Mathematik für Studierende der Physik 1
Inhaltsverzeichnis
Teil 1: Grundlagen und Sprache
4.1 Mengen
4.2 Logische Quantoren
6.1 Die Umkehrabbildung
6.2 Beispiele aus der Praxis: Definitionsbereiche anpassen
7.1 Die Peano-Axiome
7.2 Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
7.3 Binomialkoeffizienten
7.4 Der Binomische Lehrsatz
7.5 Induktionsbeweis zur geometrischen Summenformel
7.6 Induktionsbeweis der Ungleichung 2^n > n
8.1 Die Körperaxiome
8.1.1 Einfache Folgerungen aus den Axiomen
8.2 Endliche Summen und Produkte
8.3 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
8.4 Hinweis: Geltungsbereich der Rechenregeln
8.5 Anordnung der Reellen Zahlen
8.7 Der Betrag einer reellen Zahl
8.8 Metriken
8.9 Beschränktheit, Suprema und Infima
8.10 Grenzwerte monotoner Funktionen
8.11 Intervallschachtelungen
8.12 Definition der Reellen Zahlen über Dezimaldarstellungen
8.13 Gleichmächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit
9.1 Einführung und Arithmetik
9.2 Konjugation und Inverse
9.3 Geometrische Deutung und Betrag
9.4 Der Fundamentalsatz der Algebra
Teil 2: Analysis einer Veränderlichen
10.1 Motivation und einleitende Beispiele
10.2 Formale Definition der Konvergenz
10.3 Divergenz und weitere Sätze
10.4 Theoretische Grundlagen der Konvergenz
10.4.1 Teilfolgen und der Satz von Bolzano-Weierstraß
10.4.2 Häufungspunkte, Limes Superior und Limes Inferior
11.1 Definition und grundlegende Beispiele
11.2 Das Cauchy-Kriterium
11.3 Konvergenzkriterien für Reihen
11.4 Potenzreihen
11.5 Umordnung von Reihen und der Riemannsche Umordnungssatz
11.6 Das Cauchy-Produkt und die Exponentialfunktion
11.7 Heuristik zur Prüfung der Reihenkonvergenz
13.1 Motivation und Definition
13.2 Beispiele und Äquivalenz
13.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
14.1 Definitionen und Äquivalenz
14.2 Rechenregeln und Beispiele
14.3 Einseitige Grenzwerte
15.1 Anwendung: Stabilität von Nullstellen
15.2 Existenz von Wurzeln
15.3 Das Bild eines Intervalls
16.1 Satz vom Minimum und Maximum
16.2 Stetigkeit der Umkehrfunktion
16.3 Anwendungen
17.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion
17.2 Der natürliche Logarithmus
17.3 Allgemeine Potenzen
18.1 Komplexe Zahlen als Matrizen
19.1 Eigenschaften
19.2 Die Kreiszahl~\pi und Periodizität
19.3 Geometrische Interpretation und Tangens
19.4 Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
20.1 Motiviation: Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
20.1.1 Visualisierung: Sekanten gegen Tangente
20.2 Definition und Charakterisierung der Ableitung
20.3 Beispiel: Die Ableitung von f(x) = x^2
20.4 Beispiel: Die Ableitung von \exp (x) bei x_0 = 0
20.5 Ableitungen von Potenzen
20.6 Ableitungen von Potenzreihen
20.7 Konsequenzen für spezielle Funktionen
20.8 Notation für Differenzenquotienten
20.9 Beispiele: Weitere elementare Funktionen
20.9.2 Ableitung der Exponentialfunktion mit Additionstheorem
20.9.3 Die Betragsfunktion ist bei~\(0\) nicht differenzierbar
20.10 Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
20.11 Ableitungsregeln
20.11.1 Summe und Differenz
20.11.2 Produktregel
20.11.3 Quotientenregel
20.11.4 Kettenregel
20.11.5 Ableitung der Umkehrfunktion
20.12 Ableitungen von Umkehrfunktionen: Beispiele
20.12.1 Der natürliche Logarithmus
20.12.2 Der Arkustangens
20.12.3 Arkussinus und Arkuskosinus (ohne Beweis)
20.13 Höhere Ableitungen und glatte Funktionen
21.1 Anwendungsbeispiel: Das Plancksche Strahlungsgesetz
21.1.1 Physikalische Motivation und Problemstellung
21.1.2 Graphische Darstellung der Verteilungsfunktion
21.1.3 Herleitung der Fixpunktgleichung
21.1.4 Numerische Lösung mit dem Newtonverfahren
22.1 Der Satz von Rolle
22.2 Der Mittelwertsatz
22.3 Konsequenzen des Mittelwertsatzes
22.4 Der Satz von Picard-Lindelöf
23.1 Erweiterung auf andere Fälle
23.2 Anwendungsbeispiele
24.1 Die Idee der optimalen Approximation
24.2 Der Satz von Taylor
24.3 Taylorreihen
24.4 Konvergenzprobleme im Reellen
24.5 Der Ausweg ins Komplexe
24.6 Anwendungen der quadratischen Approximation: Extrema und Stabilität
24.6.1 Hinreichende Bedingung für lokale Extrema
24.7 Konvexität und Konkavität
Thermisches Gleichgewicht durch Konkavität
25.1 Motivation und geometrische Anschauung
Das bestimmte Integral und Flächeninhalte
Integral des Betrags und Abstand von Funktionen
25.2 Physikalische Anwendungen des Integrals
Arbeit, Energie und Potenzial
Von Summen zu Integralen: Massenverteilungen
25.3 Das Riemannsche Integral
25.4 Integrierbarkeit stetiger Funktionen
25.4.1 Numerische Berechnung
26.1 Wichtige Stammfunktionen
26.2 Integration von Potenzreihen
27.1 Die Substitutionsregel
27.1.1 Motivation aus der Kettenregel
27.2 Partielle Integration
28.1 Das Integralvergleichskriterium für Reihen
29.1 Variablentrennung für separable Differenzialgleichungen
29.1.1 Praktisches Rechenverfahren
29.1.2 Allgemeine Lösung durch Stammfunktionen
29.1.3 Lokale und maximale Lösungen
29.2 Qualitative Beschreibung durch ein Richtungsvektorfeld
29.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
30.1 Der Exponentialansatz und das charakteristische Polynom
30.2 Mehrfache Nullstellen
30.3 Operator-Methoden und Faktorisierung
Teil 3: Lineare Algebra
31.1 Vektorräume über Körpern
31.2 Beispiele für Vektorräume
31.3 Lineare Abbildungen
31.4 Das Superpositionsprinzip in der Physik
31.5 Untervektorräume
31.6 Kern und Bild
32.1 Linearkombinationen und die Koordinatenabbildung
32.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis
32.3 Lineare Hülle (Spann)
32.4 Beispiele für Basen
33.1 Konstruktive Basisfindung: Das Aufspannen des Raumes
33.2 Dimension und Freiheitsgrade
33.3 Anwendung auf Differentialgleichungen
33.4 Partialbruchzerlegung
33.5 Die Dimensionsformel für Unterräume
34.1 Die Bilanzgleichung der Information
34.2 Interpretation und Anwendung
35.1 Vektoren als Koordinatentupel
35.2 Linearformen und der Dualraum
35.3 Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen
36.1 Interpretation der Zeilenstufenform
36.2 Die Inverse Matrix
36.3 Elementarmatrizen und LR-Zerlegung
1. Bestimmung der Inversen (Gauß-Jordan)
2. Die LR-Zerlegung ablesen
37.0.1 Berechnung der Determinante
37.1 Berechnung höherer Dimensionen: Der Entwicklungssatz
37.1.1 Wichtige Eigenschaften
37.2 Anwendung: Lineare Gleichungssysteme
38.1 Beispiel: Basen einer Ebene
38.2 Die Basiswechselmatrix
38.3 Der Vektorraum der Homomorphismen und Matrizen
38.4 Transformation von Abbildungsmatrizen
39.1 Die Basen und der Basiswechsel
39.2 Der Ableitungsoperator~D
39.3 Der Verschiebungsoperator~S_\tau
40.1 Zwei Arten von Vektoren in der Physik
40.2 Kontravariante Vektoren (Typ „Pfeil“)
40.3 Kovektoren (Typ „Messung“)
40.4 Zusammenfassung: Oben oder Unten?
40.5 Tensoren höherer Stufe
41.1 Untervektorräume und ihre affine Verschiebung
41.2 Geraden im Raum
41.3 Ebenen im Raum
41.4 Das Kreuzprodukt
42.2 Abstrakte Skalarprodukte
42.3 Exkurs: Orthonormalbasen
42.4 Längen und Winkel
42.5 Isometrien
42.6 Orthogonale und unitäre Matrizen
42.7 Struktur orthogonaler Matrizen
42.7.1 Der Fall n=2
42.7.2 Der Fall n=3
43.1 Geometrische Intuition
43.2 Definitionen
43.3 Berechnung von Eigenwerten
43.4 Bestimmung der Eigenvektoren
43.5 Diagonalisierung
43.6 Spezielle Matrizen in der Physik