Mathematik für Studierende der Physik 1

33 Existenz von Basen und der Dimensionsbegriff

Eine Basis liefert ein perfektes Koordinatensystem für einen Vektorraum. Aber existiert so etwas immer? Und wenn ja, wie viele Vektoren brauchen wir? Wir werden die Dimension als die Länge einer Basis einführen. Es ist entscheidend, dass sie nicht von der Wahl der Basis abhängt. Egal ob wir ein Teilchen durch kartesische Koordinaten \((x,y,z)\) oder Kugelkoordinaten \((r, \theta , \varphi )\) beschreiben: Wir brauchen immer drei Zahlen. Diese Zahl \(3\) ist die Dimension des Systems. Die mathematische Theorie garantiert, dass wir nie durch einen Trick mit weniger Zahlen auskommen können.

33.1 Konstruktive Basisfindung: Das Aufspannen des Raumes

Statt abstrakt zu fragen, ob eine Basis existiert, können wir versuchen, uns eine zu bauen. Wir gehen dabei wie ein Physiker vor, der ein System modelliert: Wir fügen so lange neue unabhängige Richtungen (Freiheitsgrade) hinzu, bis wir jeden Zustand des Systems beschreiben können.

Lemma 289 (Erweiterungslemma). Sei \(B\) eine linear unabhängige Menge von Vektoren und sei \(v \in V\). Die Menge \(B \cup \{v\}\) ist genau dann linear unabhängig, wenn \(v\) nicht im Spann von \(B\) liegt (\(v \notin \operatorname {span}(B)\)).

Beweis. Liegt \(v\) im Spann, so ist \(v = \sum \lambda _i b_i\). Dann ist \(1 \cdot v - \sum \lambda _i b_i = 0\) eine nichttriviale Nullsumme, also ist die Menge linear abhängig. Umgekehrt liege \(v\) nicht im Spann. Angenommen, \(\lambda v + \sum \mu _i b_i = 0\). Hier muss \(\lambda = 0\) sein, weil sonst \(v = -\frac {1}{\lambda } \sum \mu _i b_i\) doch im Spann liegen würde. Also \(\sum \mu _i b_i = 0\). Weil \(B\) nach Annahme linear unabhängig ist, folgt auch \(\mu _i=0\) für alle \(i\).

Algorithmus 290 (Greedy-Verfahren zur Basisfindung). Sei \(V\) ein Vektorraum. Wir starten mit einer leeren Liste \(B = \emptyset \).
- (1) Prüfung: Können wir jeden Vektor in \(V\) als Linearkombination der Vektoren in \(B\) darstellen? (\(\text {span}(B) \overset {?}{=} V\))
- (2) Nein: Es gibt einen Vektor \(\vec {v} \in V\), den wir noch nicht erreichen können. Dieser Vektor enthält „neue Information“. Wir fügen ihn zur Liste hinzu: \(B_{\text {neu}} = B \cup \{\vec {v}\}\). Da \(\vec {v}\) nicht im Spann der alten Vektoren lag, ist die neue Liste linear unabhängig (siehe Lemma 289).
- (3) Ja: Wir sind fertig, \(B\) ist eine Basis.

Dieser Prozess bricht für endlichdimensionale Räume (wie \(\mathbb {R}^n\)) sicher ab. Das Resultat ist der Basisergänzungssatz: Jede linear unabhängige Menge kann zu einer Basis ergänzt werden.

33.2 Dimension und Freiheitsgrade

Es stellt sich heraus, dass – egal wie wir die Vektoren im obigen Verfahren wählen – die Anzahl der Schritte bis zum Ende immer gleich ist. Dies ist der Dimensionssatz (Austauschsatz von Steinitz): Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Anzahl von Elementen.

Definition 291 (Dimension). Die Dimension \(\dim (V)\) eines Vektorraums \(V\) ist die Anzahl der Vektoren einer (und damit jeder) Basis von \(V\).

In der Physik nennen wir diese Zahl oft die Anzahl der Freiheitsgrade (\(f\)). Sie gibt an, wie viele unabhängige Parameter („Schieberegler“) wir einstellen müssen, um den Zustand eines Systems eindeutig festzulegen.

Beispiel 292. Wir betrachten Freiheitsgrade in der Mechanik.
- • Ein freies Teilchen im Raum kann sich in \(x, y, z\)-Richtung bewegen. Seine Koordinaten bilden einen Vektorraum der Dimension \(3\).
- • Zwangskräfte: Muss sich ein Teilchen auf einer Tischplatte bewegen (\(z=0\)), verlieren wir eine Dimension. Die Dimension ist die Anzahl der verbleibenden unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten: \(3 - 1 = 2\).
- • Zwei freie Teilchen brauchen jeweils \(3\) Koordinaten: \(\dim (V) = 6\). Der Zustandsvektor ist \(\vec {x} = (x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)^T\).

33.3 Anwendung auf Differentialgleichungen

Der Zusammenhang zwischen Analysis und linearer Algebra wird besonders deutlich bei der Dimension von Lösungsräumen.

Satz 293. Der Lösungsraum einer homogenen linearen Differentialgleichung \(k\)-ter Ordnung

\[ y^{(k)} + a_{k-1}y^{(k-1)} + \dots + a_0 y = 0 \]

(mit stetigen Koeffizienten auf einem Intervall \(I\)) ist ein Vektorraum der Dimension \(k\).

Beweis. Wir konstruieren explizit eine Basis aus \(k\) Lösungen. Sei \(x_0 \in I\) ein fest gewählter Punkt. Wir definieren \(k\) spezielle Anfangswertprobleme für \(j = 0, \dotsc , k-1\). Die \(j\)-te Lösung \(y_j(t)\) soll erfüllen, dass ihre \(i\)-te Ableitung an der Stelle \(x_0\) genau dann \(1\) ist, wenn \(i=j\), und sonst \(0\):

\[ y_j^{(i)}(x_0) = \delta _{ij} \mathbin {:=} \begin {cases} 1 & \text {falls } i=j \\ 0 & \text {sonst} \end {cases} \]

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Picard-Lindelöf) existieren diese Lösungen \(y_0, \dots , y_{k-1}\) eindeutig auf ganz \(I\).

Lineare Unabhängigkeit: Sei \(\sum _{j=0}^{k-1} c_j y_j(t) = 0\) die Nullfunktion. Dann sind auch alle Ableitungen an der Stelle \(x_0\) gleich Null. Betrachten wir die \(m\)-te Ableitung dieser Summe an der Stelle \(x_0\):

\[ 0 = \sum _{j=0}^{k-1} c_j y_j^{(m)}(x_0) = \sum _{j=0}^{k-1} c_j \delta _{mj} = c_m. \]

Damit folgt sofort \(c_m = 0\) für alle \(m\). Die Funktionen sind linear unabhängig.

Dimension: Da wir \(k\) linear unabhängige Lösungen gefunden haben, ist die Dimension mindestens \(k\). Da jede Lösung durch ihre \(k\) Anfangswerte bei \(x_0\) eindeutig bestimmt ist, kann die Dimension nicht größer als \(k\) sein (die Abbildung \(y \mapsto (y(x_0), \dotsc , y^{(k-1)}(x_0))\) ist ein Isomorphismus nach \(\mathbb {K}^k\)).

Korollar 294. Sei \(V\) ein Vektorraum mit \(\dim (V) = n\). Sind \(v_1, \dotsc , v_k \in V\) linear unabhängig, so gilt \(k \le n\). Ist speziell \(k=n\), so bilden die Vektoren \(\{v_1, \dotsc , v_n\}\) automatisch eine Basis.

Dieses Korollar ist extrem nützlich: Wenn wir wissen, dass der Lösungsraum einer DGL die Dimension \(k\) hat, müssen wir nicht mühsam beweisen, dass unsere gefundenen Lösungen den ganzen Raum aufspannen. Es reicht zu prüfen, ob es \(k\) Stück sind und ob sie linear unabhängig sind.

Satz 295 (Exponentialfunktionen sind unabhängig). Die Menge von Funktionen

\[ \{ x^k \mathrm {e}^{\lambda x} \mid k \in \mathbb {N}_0, \lambda \in \mathbb {C} \} \]

ist linear unabhängig im Vektorraum der Funktionen auf jedem Intervall \((a,b)\).

Das bedeutet: Haben wir für eine DGL mit konstanten Koeffizienten alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms gefunden, so sind die zugehörigen Lösungen der Form \(x^k \mathrm {e}^{\lambda x}\) garantiert linear unabhängig und bilden (bei richtiger Anzahl) eine Basis.

33.4 Partialbruchzerlegung

Ein für die Physik besonders wichtiges Beispiel für eine Basiswahl betrifft rationale Funktionen. Wir betrachten ein festes Nennerpolynom \(Q(x)\) vom Grad \(n\). Die Menge aller rationalen Funktionen, deren Zählergrad kleiner ist als der des Nenners, bildet einen Vektorraum:

\[ V_Q = \left \{ \frac {P(x)}{Q(x)} \middle | P \in \mathbb {C}[x], \deg (P) < \deg (Q) \right \} \cup \{0\}. \]

Da das Zählerpolynom \(P(x)\) durch seine \(n\) Koeffizienten \(a_0, \dotsc , a_{n-1}\) eindeutig bestimmt ist, hat dieser Vektorraum die Dimension \(n\).

Eine naheliegende Basis wäre die Monom-Basis des Zählers, geteilt durch \(Q\):

\[ B_{\text {Monom}} = \left \{ \frac {1}{Q(x)}, \frac {x}{Q(x)}, \frac {x^2}{Q(x)}, \dotsc , \frac {x^{n-1}}{Q(x)} \right \}. \]

In der Integrationstheorie und beim Lösen von Differentialgleichungen (zum Beispiel mit der Laplace-Transformation) ist diese Basis jedoch unhandlich. Stattdessen sucht man eine Basis, in der die Funktionen so einfach wie möglich sind. Das Ergebnis ist die Partialbruchzerlegung.

Satz 296 (Basis durch Partialbrüche). Zerfällt das Nennerpolynom \(Q(x)\) über \(\mathbb {C}\) in verschiedene Linearfaktoren \(Q(x) = (x-\lambda _1)\cdots (x-\lambda _n)\), so bilden die Funktionen

\[ e_k(x) = \frac {1}{x-\lambda _k} \quad \text {für } k=1,\dotsc ,n \]

eine Basis von \(V_Q\).

Beweis. Der Vektorraum \(V_Q\) hat Dimension \(n\). Also reicht es aus zu zeigen, dass die Funktionen \(e_k\) für \(k=1,\dotsc ,n\) linear unabhängig sind. Dazu betrachten wir eine Summe \(f = \sum _{k=1}^n c_k\cdot e_k\) mit \(c_k\in \mathbb {C}\). Ist \(c_k\neq 0\), so gilt \(\lim _{x\to \lambda _k} \left |f(x)\right | = \infty \), also ist \(f\neq 0\). Also folgt, wie gewünscht, \(c_1=c_2=\dotsb = c_n = 0\), wenn \(f=0\) ist.

Der Satz sagt, dass jede rationale Funktion in \(V_Q\) eindeutig als Summe einfacher Pole geschrieben werden kann:

\[ \frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {c_1}{x-\lambda _1} + \dotsb + \frac {c_n}{x-\lambda _n}. \]

Die Koeffizienten \(c_k\) sind die Koordinaten des Vektors \(P/Q\) in dieser Basis. In der Funktionentheorie nennt man sie Residuen.

Bemerkung 297. Hat \(Q(x)\) eine mehrfache Nullstelle \(\lambda \) der Vielfachheit \(k\), so müssen wir die Basisvektoren

\[ \frac {1}{x-\lambda }, \frac {1}{(x-\lambda )^2}, \dots , \frac {1}{(x-\lambda )^k} \]

hinzunehmen, um wieder eine vollständige Basis zu erhalten. Dies ist das algebraische Analogon zu den Lösungen \(t^j \mathrm {e}^{\lambda t}\), die wir bei Differentialgleichungen mit mehrfachen Nullstellen im charakteristischen Polynom gesehen haben.

Beispiel 298 (Partialbruchzerlegung für \(Q(x)=x^2-1\)). Sei \(Q(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Der Raum \(V_Q\) hat die Dimension \(2\). Betrachten wir den Vektor \(f(x) = \frac {2x}{x^2-1}\). In der Basis der Partialbrüche \(\mathcal {B} = \{ \frac {1}{x-1}, \frac {1}{x+1} \}\) suchen wir Koeffizienten \(c_1, c_2\in \mathbb {C}\) mit:

\[ \frac {2x}{(x-1)(x+1)} = c_1 \frac {1}{x-1} + c_2 \frac {1}{x+1}. \]

Durch Koeffizientenvergleich finden wir \(c_1=1\) und \(c_2=1\). Die Abbildung 35 zeigt, wie sich die Funktion (schwarz) aus den beiden Basisvektoren (blau und rot) zusammensetzt. Nahe der Polstellen \(x=\pm 1\) wird das Verhalten fast ausschließlich durch den jeweiligen Basisvektor dominiert.

33.5 Die Dimensionsformel für Unterräume

Wenn wir zwei physikalische Teilsysteme betrachten, die zusammen ein größeres System bilden, stellt sich die Frage nach der Gesamtzahl der Freiheitsgrade. Mathematisch entspricht dies der Dimension der Summe zweier Untervektorräume.

Satz 299 (Dimensionsformel für Unterräume). Seien \(U\) und \(W\) endlichdimensionale Untervektorräume eines Vektorraums \(V\). Dann gilt für die Dimension ihrer Summe \(U+W = \left \{ u+w : u\in U,\ w\in W \right \}\):
\(\seteqnumber{0}{}{299}\)
\begin{equation} \dim (U+W) = \dim (U) + \dim (W) - \dim (U \cap W). \end{equation}

Beweis. Die Idee ist die folgende. Wenn wir zwei Basen von \(U\) und \(W\) einfach zusammenwerfen, zählen wir die Vektoren doppelt, die im Schnittraum \(U \cap W\) liegen. Für einen präzisen Beweis wählt man zunächst eine Basis für den Schnitt \(U \cap W\). Diese ergänzt man einerseits zu einer Basis von \(U\) und andererseits zu einer Basis von \(W\). Die Vereinigung aller dieser Basisvektoren bildet dann eine Basis von \(U+W\), und beim Abzählen ergibt sich genau die Formel.

Beispiel 301 (Geometrische Interpretation im \(\mathbb {R}^3\)). Betrachten wir zwei Ebenen \(U\) und \(W\) im dreidimensionalen Raum, die beide durch den Ursprung gehen (\(\dim (U)=\dim (W)=2\)).
- • Fall 1: Die Ebenen sind identisch (\(U=W\)). Dann ist auch der Schnitt \(U \cap W = U\) eine Ebene (\(\dim (U\cap W)=2\)). Die Formel liefert:
  
  \[ \dim (U+W) = 2 + 2 - 2 = 2. \]
  
  Das Gesamtsystem bleibt zweidimensional.
- • Fall 2: Die Ebenen sind verschieden. Zwei nicht parallele Ebenen durch den Ursprung schneiden sich in einer Geraden. Der Schnittraum \(U \cap W\) ist also eindimensional (\(\dim (U\cap W)=1\)). Die Formel liefert:
  
  \[ \dim (U+W) = 2 + 2 - 1 = 3. \]
  
  Zusammen spannen die beiden Ebenen also den gesamten dreidimensionalen Raum auf.

Bemerkung 302 (Physikalische Sichtweise). Man kann dies als Bilanzgleichung für Freiheitsgrade lesen:

\[ \text {Gesamt-Freiheit} = \text {Freiheit(System 1)} + \text {Freiheit(System 2)} - \text {Redundanzen}. \]

Redundanzen sind hierbei die Bewegungsrichtungen, die in beiden Teilsystemen gleichermaßen möglich sind (der Schnittraum).