Mathematik für Studierende der Physik 1
35 Koordinaten und Darstellungsmatrizen
Wir haben gesehen, dass jeder \(n\)-dimensionale Vektorraum \(V\) „aussieht“ wie der \(\mathbb {K}^n\). Nun machen wir dies präzise und rechenbar.
35.1 Vektoren als Koordinatentupel
Sei \(B = (b_1, \dotsc , b_n)\) eine Basis von \(V\). Dann lässt sich jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Linearkombination darstellen:
\[ v = x_1 b_1 + \dotsb + x_n b_n. \]
Die Skalare \(x_1, \dotsc , x_n\) heißen Koordinaten von \(v\) bezüglich der Basis \(B\). Wir können sie zu einem Vektor im \(\mathbb {K}^n\) zusammenfassen.
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Beispiel 307 (Koordinaten im Lösungsraum einer DGL). Betrachten wir wieder die homogene DGL \(m\)-ter Ordnung. Wir hatten eine spezielle Basis \(\mathcal {B}_{Start} = (\varphi _0, \dotsc , \varphi _{m-1})\) konstruiert, bei der die \(j\)-te Funktion \(\varphi _j\) die Anfangswerte \(\varphi _j^{(i)}(t_0) = \delta _{ij}\) besitzt.
Sei nun \(f\) eine beliebige Lösung der DGL. Wie lauten ihre Koordinaten in dieser Basis? Wir schreiben \(f = \sum _{j=0}^{m-1} c_j \varphi _j\). Ableiten an der Stelle \(t_0\) liefert:
\[ f^{(k)}(t_0) = \sum _{j=0}^{m-1} c_j \varphi _j^{(k)}(t_0) = \sum _{j=0}^{m-1} c_j \delta _{kj} = c_k. \]
Das ist verblüffend einfach: Die Koordinaten \(c_k\) sind in dieser Basis genau die Anfangswerte \(f^{(k)}(t_0)\) der Funktion!
Wählen wir nun eine andere Basis, etwa \(\mathcal {B}_{Eigen} = (\mathrm {e}^{\mathrm {i} t}, \mathrm {e}^{-\mathrm {i} t})\) für \(y'' = -y\). Dann ist der Zusammenhang nicht mehr so direkt ablesbar. Die Funktion \(f(t) = \cos (t)\) hat in der Basis \(\mathcal {B}_{Eigen}\) die Koordinaten \((1/2, 1/2)^T\), da \(\cos (t) = \frac {1}{2}\mathrm {e}^{\mathrm {i} t} + \frac {1}{2}\mathrm {e}^{-\mathrm {i} t}\). Die Koordinaten hängen also kritisch von der Wahl der Basis ab.
35.2 Linearformen und der Dualraum
Besondere Aufmerksamkeit verdienen lineare Abbildungen, die von einem Vektorraum in den Grundkörper gehen: \(\alpha \colon V \to \mathbb {K}\). Sie heißen Linearformen.
Wie sieht so eine Abbildung in Koordinaten aus? Sei \(v = \sum x_i b_i\). Wegen der Linearität gilt:
\[ \alpha (v) = \alpha \left (\sum _{i=1}^n x_i b_i\right ) = \sum _{i=1}^n x_i \alpha (b_i). \]
Die Wirkung von \(\alpha \) ist also vollständig durch die \(n\) Zahlen \(a_i \mathbin {:=} \alpha (b_i)\) bestimmt. Die Abbildung entspricht also einfach dem Skalarprodukt des Koordinatenvektors von \(v\) mit einem festen Zeilenvektor \((a_1, \dotsc , a_n)\).
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Beispiel 308. Im Lösungsraum einer DGL ist die Auswertung an einer Stelle, \(\delta _{t_0} \colon f \mapsto f(t_0)\), eine Linearform. Ebenso ist die Auswertung der \(j\)-ten Ableitung, \(\alpha _j \colon f \mapsto f^{(j)}(t_0)\), eine Linearform. Bezüglich unserer speziellen Basis \(\mathcal {B}_{Start}\) ist \(\alpha _j\) genau die Projektion auf die \(j\)-te Koordinate.
35.3 Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen
Nun betrachten wir den allgemeinen Fall einer linearen Abbildung \(L \colon V \to W\) zwischen zwei Vektorräumen mit Dimensionen \(n\) und \(m\). Sei \(B = (b_1, \dotsc , b_n)\) eine Basis von \(V\) und \(C = (c_1, \dotsc , c_m)\) eine Basis von \(W\).
Wir wollen \(L\) „in Zahlen“ ausdrücken. Dazu schauen wir uns an, was \(L\) mit den Basisvektoren von \(V\) macht. Das Bild \(L(b_j)\) ist ein Vektor in \(W\). Wir können ihn also in der Basis \(C\) darstellen:
\[ L(b_j) = \sum _{i=1}^m a_{ij} c_i. \]
Die Koeffizienten \(a_{ij}\) fassen wir zu einer Matrix \(A \in \mathbb {K}^{m \times n}\) zusammen.
Damit wird die abstrakte Anwendung \(w = L(v)\) zur konkreten Matrix-Vektor-Multiplikation:
Wir können diesen Zusammenhang in einem Diagramm visualisieren. Die Abbildung \(L\) oben entspricht der Multiplikation mit \(A\) unten, wenn man vorher und nachher die „Sprache“ (Koordinaten) wechselt.
Abbildung 37: Kommutatives Diagramm: Es ist egal, ob wir erst die lineare Abbildung \(L\) anwenden und dann Koordinaten bestimmen (Weg oben-rechts), oder ob wir erst Koordinaten bestimmen und dann die Matrix \(A\) anwenden (Weg unten-links). \(\Phi _B\) und \(\Phi _C\) sind die Koordinatenabbildungen (Isomorphismen).
Dieses Diagramm ist der Schlüssel zum Verständnis der gesamten linearen Algebra: Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen ist – nach Wahl von Basen – nichts anderes als eine Matrix.
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• Die Vektorräume \(V\) und \(W\) werden durch die Isomorphismen \(\Phi _B\) und \(\Phi _C\) mit \(\mathbb {K}^n\) und \(\mathbb {K}^m\) identifiziert.
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• Die abstrakte Operation \(L\) wird durch die Matrixmultiplikation \(x \mapsto Ax\) simuliert.
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Beispiel 311 (Die Ableitung als Matrix). Betrachten wir den Vektorraum der Polynome vom Grad \(\le 2\), \(V = \mathbb {R}[x]_{\le 2}\). Eine Basis ist \(B = (1, x, x^2)\). Als Operator betrachten wir die Ableitung \(D = \frac {d}{dx}\). Dies ist eine lineare Abbildung! Wie sieht \(D\) nun als Matrix aus? Wir wenden \(D\) auf die Basisvektoren an und stellen das Ergebnis wieder in der Basis dar:
\(\seteqnumber{0}{}{311}\)\begin{align*} D(1) &= 0 = \mathbf {0}\cdot 1 + \mathbf {0}\cdot x + \mathbf {0}\cdot x^2 \\ D(x) &= 1 = \mathbf {1}\cdot 1 + \mathbf {0}\cdot x + \mathbf {0}\cdot x^2 \\ D(x^2) &= 2x = \mathbf {0}\cdot 1 + \mathbf {2}\cdot x + \mathbf {0}\cdot x^2 \end{align*} Die Koeffizienten schreiben wir in die Spalten der Matrix:
\[ M_B^B(D) = \begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \]
Als Anwendung betrachten wir die Ableitung von \(p(x) = 3 + 5x + x^2\). In unserer Basis entspricht das dem Vektor \(\vec {v} = (3, 5, 1)^T\). Das Produkt aus der Darstellungsmatrix und diesem Vektor,
\[ \begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end {pmatrix}, \]
entspricht dem Polynom \(5 \cdot 1 + 2 \cdot x\). Dies sollte so sein, denn \(p'(x) = 5 + 2x\).