500250:
|
Lie Algebren
|
| Veranstalter: |
Dorothea Bahns
|
| Beginn: |
in der ersten Semesterwoche 15.10.2008
|
| Zeit und Ort: |
Mittwoch 10:15 bis 11:45,
Hörsaal H3 (Mathematisches Institut)
|
| Stud.IP:
|
Stud.IP link
|
| Module: |
M.mat.473 (Spezialkurs in Algebraische Strukturen) und
M.mat.479 (Spezialkurs Mathematische Methoden der Physik)
B.phy.508 (Kern- und Teilchenphysik) anrechenbar.
|
| Schein: |
Abschlussprüfung: Klausur.
Zur Vorbereitung: über das Semester verteilt freiwillige Hausaufgaben.
|
| |
Klausurtermine:
28.1.
10:15-11:00
Uhr HS 3 (erste Vorlesungsstunde). Es sind keine Hilfsmittel zugelassen.
Nachklausur: 30.3. 10:15-11:00 Uhr HS 3.
Aktuell:
Die Scheine für Studierende der Diplom-Studiengänge
sind ab sofort bei der Bibliotheksaufsicht erhältlich. Bitte
entschuldigen Sie die lange Verzögerung!
Für Studierende in Bachelor-Studiengängen werden die
Klausurergebnisse nachträglich durch Herrn Kriete in FlexNow
eingetragen.
|
Inhalt: |
Lie-Algebren sind gewisse nicht-assoziative Strukturen, die in vielen Gebieten der Mathematik und Physik auftreten. Ein Beispiel ist der Raum der nxn Matrizen mit der Verknüpfung [A,B]:=A B - B A (Lie-Klammer).
Zunächst werde ich eine Einführung in die Theorie der Lie-Algebren geben. Wir werden uns dann speziell mit der Klassifikation der komplexen halbeinfachen Lie-Algebren beschäftigen.
Es werden wichtige physikalische Anwendungen besprochen, etwa der sogenannte achtfache Weg des Standardmodells der Teilchenphysik. Es werden jedoch keine Kenntnisse der Physik vorausgesetzt.
|
| Vorkenntnisse:
|
Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Mathematik und der Physik.
Kenntnisse der Linearen Algebra sind notwendig, Kenntnisse der Algebra hilfreich.
|
Literatur: |
James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory,
Springer, 1997
SUBGoeOpac
Joachim Hilgert und Karl-Hermann Neeb,
Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1991
SUBGoeOpac
William Fulton and Joe Harris,
Representation theory : a first course, Springer, 1991
SUBGoeOpac
J. F Cornwell,
Group theory in physics : an introduction, Academic Press, 1997
SUBGoeOpac
|
Aufgaben:
|
Blatt 1
Lösungshinweise
[4.11. aktualisiert: Lösung Aufgabe 5 eingefügt, Lösungshinweis zu Aufgabe 4 verbessert]
Blatt 2
Lösungshinweise
[13.11.]
Blatt 3
Lösungshinweise
[4.12.]
Blatt 4
Lösungshinweise
Blatt 5
Lösungshinweise
Blatt 6
Lösungshinweise
Blatt 7
|
| Ergänzungen:
|
Aktuelle Ergänzungen zur Vorlesung
finden Sie
hier
[zuletzt aktualisiert 3.11.08 13:40].
|
|
|
Ergänzung
Tensorprodukt
inklusive Anwendung: Kopplung von Drehimpulsen in der
Quantenmechanik (Clebsch-Gordan-Analyse) [seit 24.12.
über Stud.IP
erhältlich].
|
|
|
Einige Anmerkungen [5.1.] (Entschuldigung!) :
- Zu Korollar 3.1.8: Gilt so nur unter der
Voraussetzung, dass g endlich-dimensional ist. Ist g
unendlich-dimensional, so folgt aus dem in der Vorlesung
geführten Beweis nur, dass x lokal ad-nilpotent ist (lokale
Nilpotenz wird bald (Def. 3.2.7.) in der Vorlesung behandelt).
- Satz 3.1.11. gilt aber in der Tat auch für
unendlich-dimensionale Moduln.
- Nochmals: In Satz 3.1.10. benötigen wir, dass h torale
Cartan Unteralgebra ist (eine solche existiert wegen Bemerkung
3.1.6. ii). Den Beweis aller Unterpunkte des Satzes liefere ich
Ihnen noch.
|
|
|
Ergänzung
Lineare Lie-Gruppen und die Exponentialabbildung (mit Beispielen)
[4.3.]
|
|
|
|